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E3A Mathématiques MP 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Trois exercices indépendants : extrema sous contrainte dans R^4, endomorphisme de polynômes lié aux racines de l'unité, étude d'une fonction définie par une série entière
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L'épreuve de mathématiques e3a MP 2025 comporte trois exercices indépendants, sans exercice de probabilités. Le premier étudie par trois méthodes différentes les extrema sous contrainte d'une fonction de R^4. Le deuxième porte sur un endomorphisme de l'espace des polynômes de degré au plus n-1 construit à partir d'une racine n-ième de l'unité, et parcourt une bonne partie du programme d'algèbre linéaire des deux années. Le troisième étudie une fonction définie par une série entière puis une fonction définie par une intégrale à paramètre.

  1. 1Exercice 1 : extrema sous contrainte dans R^4Recherche, par trois méthodes différentes (réduction algébrique, multiplicateur de Lagrange, puis projection orthogonale sur un sous-espace affine), du minimum de x2+y2+z2+t2 sous la contrainte x+y=2.
  2. 2Exercice 2 : endomorphisme de polynômes lié aux racines de l'unitépremière et deuxième annéeÉtude de la matrice et des éléments propres de l'endomorphisme de C_{n-1}[X] associé à une racine n-ième de l'unité, sur un exercice qui parcourt une bonne partie du programme d'algèbre linéaire des deux années de classes préparatoires.
  3. 3Exercice 3 : étude d'une fonction définie par une série entièredeuxième annéeÉtude de la régularité, du caractère lipschitzien et d'équivalents d'une fonction définie par une série entière, puis d'une fonction définie par une intégrale à paramètre construite à partir de la précédente.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Point critique confondu avec extremum · Caractère C1 non signalé avant de dériver · Sous-espace vectoriel F mal démontré
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Le jury reprend ses critiques habituelles sur la présentation des copies, l'orthographe et les abréviations non explicites. Il déplore une maîtrise insuffisante des bases d'algèbre linéaire de première année et des théorèmes d'analyse de deuxième année, ainsi qu'une grande maladresse dans les calculs, y compris les plus simples. Le premier exercice, pourtant proche du cours, a été trop peu traité, si bien que le rapport propose cette année une correction succincte pour inciter les candidats à le retravailler en détail.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Point critique confondu avec extremumExercice 1, question 1

    Certains candidats concluent trop vite qu'un point critique est un extremum, sans justification supplémentaire, y compris sur un ouvert.

    « Un point critique n'est pas forcément un extremum, même sur un ouvert. »
  2. 2
    Caractère C1 non signalé avant de dériverExercice 1, question 1

    Avant de calculer des dérivées partielles, presque personne ne signale explicitement que la fonction étudiée est de classe C1.

    « Très peu d'étudiants (1% environ) pensent à signaler que f est de classe C1 »
  3. 3
    Sous-espace vectoriel F mal démontréExercice 1, question 5

    Montrer que l'ensemble F défini par l'équation x+y=0 est un sous-espace vectoriel de R^4, puis trouver son orthogonal, pose de grandes difficultés à de nombreux candidats.

    « représente un réel challenge pour certains candidats. »
  4. 4
    Somme géométrique mal maîtriséeExercice 2, question 1

    La première question, qui demande de calculer une somme de termes d'une suite géométrique, est souvent mal traitée, ce qui bloque la suite des calculs.

    « La somme des termes d'une suite géométrique n'est pas toujours connue. »
  5. 5
    Énoncé traité seulement pour n=3Exercice 2, questions 3 à 7

    Plusieurs candidats se contentent de traiter les questions générales dans le cas particulier n=3, sans répondre à la question posée pour n quelconque.

    « Trop de candidats ont traité les questions 3. à 7. dans le cas n= 3. »
  6. 6
    Confusion entre continuité uniforme et caractère lipschitzienExercice 3, question 4

    Des candidats croient qu'une fonction uniformément continue est automatiquement lipschitzienne, ce qui est faux en général.

    « f uniformément continue (sans intervalle) n'implique pas f lipschitzienne (toujours sans intervalle) ! »

Conseils du jury

  • Présenter une copie claire, propre et correctement numérotée, sans ratures ni jeu de piste pour le correcteur.
  • Éviter les abréviations personnelles et ne pas écorcher le nom des théorèmes cités.
  • Démontrer chaque affirmation plutôt que d'utiliser des formules comme « il est clair que » ou « par une récurrence immédiate ».
  • Admettre clairement un résultat non démontré pour poursuivre l'exercice plutôt que d'inventer un argument fallacieux.
  • Lire l'intégralité de chaque exercice avant de le traiter pour en comprendre l'architecture, y compris les questions faciles situées en fin d'exercice.
  • Se relire pour éviter les erreurs basiques, par exemple des développements limités dont les deux membres ne tendent pas vers la même limite.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit f la fonction définie sur ℝ^4 muni de son produit scalaire canonique, par :
∀X = (x, y, z, t) ∈ ℝ^4, f(X) = x^2 + y^2 + z^2 + t^2
On cherche les extrema éventuels de la fonction f sous la contrainte : H = {X = (x, y, z, t) ∈ ℝ^4, x + y = 2} et les points où ces extrema sont atteints.
Première méthode
  1. Déterminer les extrema de la fonction h : (u, v, w) ∈ ℝ^3 ↦ 2u^2 + v^2 + w^2 − 4u + 4.
  2. Déterminer les solutions du problème posé.
Deuxième méthode
Soit g : X = (x, y, z, t) ∈ ℝ^4 ↦ x + y − 2.
3. En utilisant la fonction g, déterminer les extrema possibles de f restreinte à H.
4. Retrouver les solutions du problème posé.
Troisième méthode
Soit F = {X = (x, y, z, t) ∈ ℝ^4, x + y = 0} et Y = (− 1, − 1, 0, 0) ∈ ℝ^4.
5. Démontrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ^4 et en donner la dimension.
6. Déterminer le sous-espace orthogonal du sous-espace F.
7. Calculer la distance d(Y, F) entre Y et le sous-espace vectoriel F.
8. Soit X ∈ ℝ^4. Justifier que : X ∈ H ⟺ X + Y ∈ F.
9. En déduire la structure de l'ensemble H.
10. Retrouver de nouveau les solutions du problème posé.

EXERCICE 2

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
On note E_(n − 1) = ℂ_(n − 1)[X] le ℂ-espace vectoriel de dimension n, des polynômes de degré inférieur ou égal à n − 1 et à coefficients dans ℂ.
On note ℬ = (Q_0, Q_1, …, Q_(n − 1)) où, pour tout k ∈ [ [0, n − 1] ], Q_k(X) = X^k, la base canonique de E_(n − 1). Pour tout α ∈ ℂ, on note φ_α l'endomorphisme de E_(n − 1) qui à tout polynôme P, associe :
φ_α(P) = 1/(√n)∑_(q = 0)^(n − 1)P(α^q)X^q
Soit A_α la matrice de l'endomorphisme φ_α dans la base canonique ℬ de E_(n − 1).
Soit ω = e^((2iπ)/n). On rappelle que ω^n = 1 et que ω¯ = ω^(− 1) = 1/ω.
  1. Déterminer, suivant la valeur de l'entier relatif m, la somme : σ_m = ∑_(r = 1)^n ω^(m(r − 1)).
On note A_ω = (a_(k, ℓ))_(1 ⩽ k, ℓ ⩽ n) la matrice associée à l'endomorphisme φ_ω dans la base ℬ de E_(n − 1).
2. Écrire la matrice A_ω dans le cas où n = 3. On utilisera le nombre complexe j = e^((2iπ)/3).
3. Démontrer que, pour tout couple (k, ℓ) ∈ [ [1, n] ]^2, on a : a_(k, ℓ) = 1/(√n)ω^((k − 1)(ℓ − 1)).
4. La matrice A_ω est-elle symétrique? Peut-on affirmer qu'elle est diagonalisable?
5. Calculer A_ω × A_(ω¯). En déduire que A_ω est inversible et déterminer son inverse.
6. Déterminer alors un nombre complexe α tel que : φ_ω^(− 1) = φ_α.
7. Calculer (A_ω)^2 puis vérifier que (A_ω)^4 = I_n.
8. La matrice A_ω est-elle diagonalisable?

Éléments propres de φ_ω

On note, pour q ∈ [ [0, n − 1] ], L_q(X) = (X^n − 1)/(X − ω^q). En particulier, L_0(X) = 1 + X + ⋯ + X^(n − 1).
9. Déterminer les valeurs propres possibles de φ_ω.
10. Exprimer les n racines du polynôme X^n − 1 à l'aide de puissances de ω.
11. En déduire que : ∀q ∈ [ [0, n − 1] ], L_q ∈ E_(n − 1).
On pose H_0 = Vect(Q_0, L_0) et on admet que (Q_0, L_0) en est une base.
12. Vérifier que H_0 est stable par φ_ω.
13. Écrire la matrice de l'endomorphisme induit par φ_ω sur H_0 dans la base ( Q_0, L_0 ).
14. En déduire:
  • un vecteur non nul de Ker(φ_ω − Id_(E_(n − 1))),
  • un vecteur non nul de Ker(φ_ω + Id_(E_(n − 1))).
  1. Dans le cas n = 3, déterminer le spectre de A_ω.
  2. Dans le cas n = 4, déterminer les valeurs propres de A_ω.
  3. Déterminer les valeurs propres de la matrice (0, 0, (√n)/ω, 0; 0, 0, 0, (√n)/(ω^(n − 1)); 0, ω/(√n), 0, 0; (ω^(n − 1))/(√n), 0, 0, 0)
On suppose à présent n ⩾ 5.
18. Montrer que le sous-espace vectoriel G = Vect(Q_1, Q_(n − 1), L_1, L_(n − 1)) est de dimension 4 et est stable parφ_ω.
19. Déterminer le spectre de φ_ω.

EXERCICE 3

Question de cours

  1. Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle et son domaine de validité.
On pose, lorsque cela est possible, f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/((n!)^2).
2. Montrer que la fonction f est définie sur ℝ.
3. Justifier que f est de classe C^∞ sur ℝ.
4. Démontrer que la fonction f est lipschitzienne sur tout segment [a, b] de ℝ.
5. Prouver que pour tout réel positif x, f^′(x) ≤ e^x.
6. Soient x et y deux réels positifs. On note z = max(x, y). Prouver que l'on a : |f(x) − f(y)| ⩽ e^z|x − y|.
7. Prouver que l'on a: f(x) − 1 ∼ _(x → 0)x.
On pose, pour tout x > 0, g(x) = ∫_1^x 1/(t[f(t)]^2) dt.
8. Justifier que g est de classe C^∞ sur ]0, + ∞[.
9. Étudier le signe de g sur ]0, + ∞[.
10. Montrer que : g(x) ∼ _(x → 0)ln(x).
11. Prouver que pour tout t > 0, on a : f(t) > 1 + t.
12. En déduire que g possède une limite finie lorsque x tend vers + ∞.
13. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle F(X) = 1/(X(1 + X)^2).
14. Démontrer que pour tout x > 1, on a:
g(x) ⩽ ln(x/(x + 1)) + 1/(x + 1) + ln(2) − 1/2
  1. En déduire que g est majorée par ln(2) sur ]0, + ∞[.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a MP 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a MP 2025 ?

Sur les extrema de fonctions de plusieurs variables sous contrainte, la réduction d'un endomorphisme de polynômes lié aux racines de l'unité, et l'étude d'une fonction définie par une série entière puis par une intégrale à paramètre.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths e3a MP 2025 ?

Une maîtrise insuffisante des bases d'algèbre linéaire et d'analyse, des calculs abandonnés trop tôt, des sous-espaces vectoriels mal démontrés, et une confusion entre continuité uniforme et caractère lipschitzien.

Y a-t-il un exercice de probabilités dans le sujet de maths e3a MP 2025 ?

Non. Le rapport précise explicitement qu'il n'y avait pas d'exercice de probabilités cette année-là.

Le sujet de maths e3a MP 2025 est-il difficile ?

Le rapport ne donne pas d'appréciation globale sur la difficulté du sujet. Il indique seulement que le premier exercice ne présentait pas de grosses difficultés théoriques, alors qu'il a été trop peu traité par les candidats.

Pas de description pour le moment