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E3A Mathématiques MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit f : m = (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n ↦ ∑_(j = 1)^n e^(x_j) ∈ ℝ.
  1. Étudier l'existence d'extrema locaux de f.
  2. La fonction f est-elle majorée ?
  3. Démontrer que f admet une borne inférieure que l'on déterminera.
Soit g la fonction qui à m = (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n, associe g(m) = ∑_(j = 1)^n x_j.
On note H = g^(− 1)({0}) = {m = (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n, ∑_(j = 1)^n x_j = 0}
4. Déterminer le seul extremum possible de la restriction de f à H.
5. Montrer que : ∀t ∈ ℝ, e^t ⩾ 1 + t.
6. En déduire que f admet, sous la contrainte H, un minimum global que l'on déterminera.

EXERCICE 2

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3 . On note dans tout l'exercice :
  • E = ℂ_(n − 1)[X],
  • A et B les deux polynômes : A = X^n − 1 et B = X^n − X.

Questions préliminaires

  1. Énoncer le théorème de la division euclidienne pour les polynômes.
  2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B.
On pourra poser la division euclidienne de A par B.
3. Déterminer le PGCD des polynômes A et B.
4. Décomposer les deux polynômes A et B en produits de facteurs irréductibles dans ℂ[X].
Les n racines distinctes de B seront notées : z_1, z_2, …, z_(n − 1) et z_n avec z_n = 0.
On considère l'application f qui à tout polynôme P de E, associe le reste de la division euclidienne du produit AP par B.
5. Prouver que f est un endomorphisme de E.
6. Soit k ∈ [ [0, n − 2] ]. En posant la division euclidienne, déterminer f(X^k).
7. De la même façon, déterminer f(X^(n − 1)).
8. En déduire la matrice M de f dans la base canonique ℬ = (1, X, …, X^(n − 1)) de E.
9. Calculer la trace de M.

Étude du noyau et de l'image de f

  1. Justifier que le rang de M est égal à n − 1.
  2. Déterminer une base de Im(f).
  3. Déterminer une base de Ker(f).
  4. Justifier que Im(f) = {(X − 1)P|P ∈ ℂ_(n − 2)[X]}.
  5. Montrer que Ker(f) et Im(f) sont supplémentaires dans E.

Éléments propres de f

Soit j ∈ [ [1, n] ]. On note P_j le polynôme de E défini par P_j = B/(X − z_j) = ∏_(k = 1; k ≠ j)^n(X − z_k) et R_j = f(P_j).
15. Vérifier que P_j(z_j) ≠ 0.
16. Montrer que les racines de P_j sont racines de R_j.
17. En déduire qu'il existe un scalaire λ_j tel que R_j = λ_j P_j. Que peut-on alors dire du polynôme P_j ?
18. Montrer que l'on a : A(z_j) = λ_j.
19. En déduire l'expression de λ_j à l'aide de z_j. On précisera la valeur de λ_n.
20. L'endomorphisme f est-il diagonalisable?
21. Retrouver la valeur de la trace de l'endomorphisme f.
22. Déterminer le polynôme caractéristique χ_f de l'endomorphisme f sous forme développée.
23. En déduire le déterminant de l'endomorphisme induit par fsurIm(f).

EXERCICE 3

Questions préliminaires

  1. Déterminer le développement en série entière de t ↦ 1/(1 − t) et donner son domaine de validité.
  2. Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière ∑_(n ⩾ 0)(n + 1)t^n.
  3. Soit ∑_(n ⩾ 0)a_n t^n et ∑_(n ⩾ 0)b_n t^n deux séries entières définies sur ] − R, R[( avec R > 0).
On note ∑_(n ⩾ 0)c_n t^n le produit de Cauchy de ces deux séries entières.
Soit n ∈ ℕ. Choisir sans justification l'expression correcte de c_n :
(a) c_n = ∑_(p − q = n)a_p b_q
(b) c_n = ∑_(p − q ⩽ n)a_p b_q
(c) c_n = ∑_(p + q ⩽ n)a_p b_q
(d) c_n = ∑_(p + q = n)a_p b_q
4. Soit f une fonction continue sur le segment [a, b].
Rappeler sans démonstration la valeur de lim_(n → + ∞)(b − a)/n∑_(k = 0)^(n − 1)f(a + k(b − a)/n).
On rappelle que si t est un réel, ⌊t⌋ désigne la partie entière du réel t et que l'on a : ⌊t⌋ ⩽ t < ⌊t⌋ + 1 ou encore t − 1 < ⌊t⌋ ⩽ t.
Pour tout x ∈ ℝ_+, on note E_x l'ensemble: E_x = {m = (a, b) ∈ ℕ^2, √(a^2 + b^2) ⩽ x}, c'est-à-dire l'ensemble des points du plan euclidien ℝ^2 à coordonnées entières positives du disque fermé de centre O et de rayon x.
On pose enfin G(x) = Card(E_x).
5. Représenter graphiquement E_2 et déterminer G(2).
6. En utilisant le changement de variable t = sin(u), calculer l'intégrale : J = ∫_0^1(1 − t^2)^(1/2) dt.
7. Montrer que l'on a: ∀n ∈ ℕ^⋆, G(n) = ∑_(k = 0)^n(⌊√(n^2 − k^2)⌋ + 1).
On pourra s'aider d'un dessin.
8. Prouver que lim_(n → + ∞)1/n∑_(k = 0)^(n − 1)(1 − (k^2)/(n^2))^(1/2) = π/4.
9. Pour n ∈ ℕ^⋆, on pose S_n = ∑_(k = 0)^(n − 1)√(n^2 − k^2). Démontrer que S_n→−_(n → + ∞)^∼n^2 π/4.
10. En déduire un équivalent de G(n) lorsque l'entier n tend vers plus l'infini.
11. Déterminer alors un équivalent de la fonction G au voisinage de plus l'infini.
12. On définit la série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n t^n où a_n vaut 1 si n est le carré d'un entier et 0 sinon.
Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière. On notera h la somme de cette série.
13. On pose, pour t ∈ I = ] − 1, 1[, g(t) = (h(t)^2)/(1 − t). Prouver que : ∀t ∈ I, g(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)G(√n)t^n.

Un équivalent de g

  1. Montrer que l'on a:
∀ε > 0, ∃n_0 ∈ ℕ^⋆, tel que ∀n ⩾ n_0, |G(√n) − π/4(n + 1)| ⩽ ε(n + 1)
  1. En majorant la quantité |g(t) − π/4∑_(n = 0)^(+ ∞)(n + 1)t^n|, montrer que g(t) ∼ _(t → 1^−)π/4(1 − t)^(− 2).

FIN

Pas de description pour le moment