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Centrale Mathématiques 2 MP MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Équation fonctionnelle f(x+1) - f(x) = h(x), opérateur différence finie et polynômes de Bernoulli
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Le sujet étudie l'équation f(x+1) - f(x) = h(x) sous deux angles. Il la résout d'abord par l'algèbre linéaire lorsque h est polynomiale, puis construit les polynômes de Bernoulli à partir d'intégrales de séries entières pour obtenir des solutions explicites. La dernière partie traite le cas où h est une fonction entière.

  1. 1Partie I : étude de l'opérateur différence finieNoyau, image et polynôme annulateur de l'endomorphisme P(X) ↦ P(X+1) - P(X), appliqués au cas où h est polynomiale.
  2. 2Partie II : fonctions entièresStabilité des séries entières de rayon infini, expression des coefficients par une intégrale et étude d'une suite d'intégrales.
  3. 3Partie III : polynômes de BernoulliDéfinition intégrale, relation de dérivation, caractérisation par unicité et obtention via une fonction de deux variables de classe C∞.
  4. 4Partie IV : solution entière de l'équationInégalité de contrôle démontrée par l'absurde, puis construction d'une solution développable en série entière lorsque h est entière.

Difficile. Le jury décrit une technicité croissante : la partie IV n'a été abordée que dans la moitié des copies et réussie dans environ 10 % d'entre elles, et l'épreuve est qualifiée de longue.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,19 / 20 · écart-type 4,18 · 4 434 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,19/ 20
Écart-type
4,18
Présents
4 434
Coefficient
19
Durée
4 h
1er quartile
6,2
Médiane
9,1
3e quartile
12
moyenne 9,1905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 7 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Degré d'une différence de polynômes · Hypothèses d'interversion série-intégrale mal connues · Exponentielle complexe traitée comme réelle
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L'algèbre linéaire de la partie I est globalement bien comprise. Les parties II et III ont donné des résultats satisfaisants dans environ la moitié des copies, la partie IV étant nettement plus technique. Comme les années précédentes, les questions élémentaires sont bien traitées, et ce sont l'analyse plus fine et la compréhension de l'architecture du sujet qui font les meilleures notes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Degré d'une différence de polynômesQ2

    Certaines copies utilisent une formule fausse pour le degré d'une différence ou concluent sans vérifier que les coefficients dominants ne se compensent pas. Le cas des polynômes constants est mal géré.

  2. 2
    Hypothèses d'interversion série-intégrale mal connuesQ9, Q14

    Il faut expliciter la suite de fonctions étudiée, son indice et sa variable. Affirmer que l'interversion est licite car les rayons sont infinis ne suffit pas. Q9 n'a été réussie que dans environ un tiers des copies.

    « la phrase « on considère des séries entières de rayon infini donc l’interversion est licite » mériterait d’être largement précisée »
  3. 3
    Exponentielle complexe traitée comme réelleQ10, Q24

    L'équation e^z = 1 a pour solutions les éléments de 2iπZ, pas seulement z = 0. Le jury rappelle aussi qu'on ne majore pas des nombres complexes non réels.

    « il est vivement déconseillé de minorer ou majorer des nombres complexes (a priori non réels) ! »
  4. 4
    Rolle appliqué à des polynômes complexesQ4

    Pour montrer qu'un polynôme 1-périodique est constant, certaines copies invoquent le théorème de Rolle, qui ne s'applique pas à des fonctions à valeurs complexes sans passer par parties réelle et imaginaire.

    « le théorème de Rolle ne s’applique pas pour des polynômes à valeurs complexes »
  5. 5
    Unicité et récurrence mal rédigéesQ18

    La preuve d'unicité se fait par récurrence rédigée proprement. Certaines copies affirment à tort qu'une fonction d'intégrale nulle est identiquement nulle.

    « on rappelle qu’une fonction d’intégrale nulle n’est pas forcément identiquement nulle »
  6. 6
    Régularité C∞ invoquée par « théorèmes généraux »Q20

    Toute la difficulté porte sur la fonction x/(e^x - 1) en 0. Une simple évocation des théorèmes généraux ne rapporte pas de points, et la régularité des fonctions partielles ne suffit pas.

Ce qui a été bien réussi

  • La question Q1 (Δ est un endomorphisme) a été réussie dans environ 90 % des copies.
  • Les parties I et II ont été abordées dans la quasi-totalité des copies.
  • La question Q15 est bien traitée dans la très grande majorité des copies.
  • Le calcul de la première dérivée partielle en Q21 a été trouvé dans presque toutes les copies.

Conseils du jury

  • Mettre en avant les hypothèses des résultats de cours utilisés, ce qui peut être valorisé même si l'application est imparfaite.
  • Connaître et citer correctement les théorèmes d'interversion série-intégrale, utiles à plusieurs reprises.
  • Structurer une récurrence : hypothèse, initialisation, hérédité.
  • Rendre une copie lisible, claire et propre : beaucoup de copies ont subi un malus.
  • Savoir écrire la négation d'une assertion quantifiée (Q23).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Notations

  • Dans tout le problème, 𝕂 désigne ℝ ou ℂ.
  • On note 𝕂[X] le 𝕂-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans 𝕂.
  • Pour tout d ∈ ℕ, 𝕂_d[X] désigne le 𝕂-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à d.
  • On note 𝕌 le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1.

Objectifs du problème

Soit h une fonction de 𝕂 dans 𝕂. On dit qu'une fonction f de 𝕂 dans 𝕂 est solution de l'équation ( E_h ) sur 𝕂 si
∀x ∈ 𝕂, f(x + 1) − f(x) = h(x).
Le but du problème est l'étude de l'équation ( E_h ).
La partie I de ce problème étudie l'existence de solutions dans le cas où h est polynomiale.
La partie II introduit la définition et établit quelques propriétés des fonctions entières.
La partie III définit les polynômes de Bernoulli et explicite une solution polynomiale à l'équation ( E_h ), ainsi qu'une application analytique de ces polynômes.
La partie IV étend la résolution de ( E_h ) au cas où h est une fonction entière.

I Étude de l'opérateur différence finie

On considère l'application Δ définie par :
Δ : {𝕂[X] → 𝕂[X]; P(X) ↦ P(X + 1) − P(X)
Q1. Montrer que Δ est un endomorphisme de 𝕂[X].
Q 2. Soit P ∈ 𝕂[X]. Déterminer le degré de Δ(P) en fonction de celui de P.
Q 3. Montrer que, pour tout d ∈ ℕ^∗, Δ induit un endomorphisme sur 𝕂_d[X].
On note Δ_d l'endomorphisme de 𝕂_d[X] induit par Δ.
Q 4. Déterminer Ker(Δ_d) et Im(Δ_d) pour tout d ∈ ℕ^∗.
Q 5. En déduire Ker(Δ) et Im(Δ). Appliquer les résultats obtenus à l'étude de l'équation ( E_h ) dans le cas où h est une fonction polynomiale.
Q 6. On suppose (pour cette question seulement) que h est la fonction x ↦ x. Déterminer une solution de ( E_h ) dans 𝕂_2[X], puis toutes les solutions polynomiales de l'équation ( E_h ).
Q 7. Soit d ∈ ℕ^∗. Déterminer un polynôme annulateur de Δ_d. L'endomorphisme Δ_d est-il diagonalisable ?

II Fonctions entières

On note ω l'application de [0, 1] dans ℂ définie, pour tout t ∈ [0, 1], par ω(t) = e^(2iπt).

II.A - Généralités

On note E l'ensemble des fonctions f : ℂ → ℂ développables en série entière de rayon de convergence infini.
Q 8. Justifier que si (f, g) ∈ E^2 et (λ, μ) ∈ ℂ^2, alors λf + μg ∈ E et fg ∈ E.
Q 9. Soit f ∈ E dont on note ∑a_n z^n le développement en série entière.
Montrer que, pour tout k ∈ ℤ :
∫_0^1 f(ω(t))ω(t)^(− k) dt = {a_k, si k ∈ ℕ; 0, sinon

II.B - Une intégrale

Pour tout p ∈ ℤ, on pose
I_p = ∫_0^1(ω(t)^(p + 1))/(e^(ω(t)) − 1) dt
Q 10. Vérifier que cette intégrale est bien définie pour tout p ∈ ℤ.
Q 11. Montrer qu'il existe une fonction β ∈ E et une constante C ∈ ]0, 1[ telles que, pour tout ζ ∈ 𝕌,
e^ζ − 1 = ζ(1 + ζβ(ζ)) et |β(ζ)| ⩽ C.
Q 12. En déduire que pour tout ζ ∈ 𝕌 et tout p ∈ ℤ,
(ζ^p)/(e^ζ − 1) = ∑_(j = 0)^(+ ∞)(− 1)^j ζ^(j + p − 1)β(ζ)^j
Q 13. Montrer que I_0 = 1 et que, pour tout p ∈ ℕ^∗, I_p = 0.

III Polynômes de Bernoulli

Pour tout n ∈ ℕ et tout z ∈ ℂ, on définit dans cette partie :
B_n(z) = n!∫_0^1(e^(zω(t)))/((e^(ω(t)) − 1)ω(t)^(n − 1)) dt

III.A - Lien avec l'équation ( E_h )

Q 14. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et tout z ∈ ℂ,
B_n(z) = n!∑_(k = 0)^n(z^k)/(k!)I_(k − n).
En déduire que B_n est un polynôme unitaire de degré n.
Q 15. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, B_n^′ = nB_(n − 1).
Q 16. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout z ∈ ℂ,
B_n(z + 1) − B_n(z) = nz^(n − 1).
Q 17. En déduire l'expression d'une fonction polynomiale vérifiant l'équation ( E_h ) sur ℂ lorsque h est une fonction polynomiale.

III.B - Unicité

Q 18. Montrer que (B_n)_(n ∈ ℕ) est l'unique suite de polynômes vérifiant
{B_0 = 1; ∀n ∈ ℕ^∗, B_n^′ = nB_(n − 1); ∀n ∈ ℕ^∗, ∫_0^1 B_n(t)dt = 0
Q 19. Soit (H_n)_(n ∈ ℕ) la suite de polynômes définie par: ∀n ∈ ℕ, H_n(X) = (− 1)^n B_n(1 − X). Montrer que pour tout n ∈ ℕ, H_n = B_n.

III.C - Une application analytique

Soit ψ la fonction de ℝ dans ℝ telle que, pour tout x ∈ ℝ,
ψ(x) = {x/(e^x − 1), si x ≠ 0; 1, sinon
Soit de plus u la fonction de ℝ^2 dans ℝ telle que, pour tout (x, t) ∈ ℝ^2,
u(x, t) = ψ(x)e^(tx).
Q 20. Montrer que u est de classe C^∞ sur ℝ^2.
Q 21. Pour tout (x, t) ∈ ℝ^2, calculer (∂u)/(∂t)(x, t) puis montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
∂/(∂t)(∂^n u)/(∂x^n)(x, t) = x(∂^n u)/(∂x^n)(x, t) + n(∂^(n − 1)u)/(∂x^(n − 1))(x, t).
Pour tout n ∈ ℕ, soit A_n la fonction de ℝ dans ℝ telle que, pour tout t ∈ ℝ, A_n(t) = (∂^n u)/(∂x^n)(0, t).
Q 22. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, A_n = B_n.

IV Solution entière de l'équation ( E_h )

IV.A - Une inégalité de contrôle

On se propose dans cette partie de montrer par l'absurde la propriété P :
∃c > 0, ∀n ∈ ℕ, ∀z ∈ ℂ, (|z| = (2n + 1)π ⇒ |e^z − 1| ⩾ c).
On suppose que P est fausse.
Q 23. Montrer l'existence d'une suite d'entiers naturels (n_p)_(p ∈ ℕ) et d'une suite de nombres complexes (z_p)_(p ∈ ℕ) telles que :
e^(z_p) → _(p → + ∞)1 et ∀p ∈ ℕ, |z_p| = (2n_p + 1)π
Pour tout p ∈ ℕ, on note a_p = Re(z_p) et b_p = Im(z_p).
Q 24. Montrer que a_p → _(p → + ∞)0 et |z_p| − |b_p| → _(p → + ∞)0.
Q 25. Pour tout p ∈ ℕ, on note
ε_p = {+ 1 si b_p ⩾ 0; − 1 si b_p < 0
En étudiant exp(z_p − iε_p|z_p|), aboutir à une contradiction et conclure.

IV.B - Une solution à ( E_h )

Pour tout n ∈ ℕ, on définit maintenant
γ_n : {[0, 1] → ℂ; t ↦ (2n + 1)πe^(2iπt)
Pour tout n ∈ ℕ et tout z ∈ ℂ, soit
Q_n(z) = n!∫_0^1(e^(zγ_n(t)))/((e^(γ_n(t)) − 1)γ_n(t)^(n − 1)) dt.
Q 26. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, Q_n ∈ E.
Q 27. Montrer que
∀n ∈ ℕ^∗, ∀z ∈ ℂ, Q_n(z + 1) − Q_n(z) = nz^(n − 1)
Q 28. Montrer qu'il existe deux constantes a, b ∈ ℝ_+^∗ telles que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout z ∈ ℂ,
|Q_n(z)| ⩽ ae^(bn|z|)
Q 29. En déduire l'existence d'une solution dans E à l'équation (E_h) lorsque h ∈ E.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP MPI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 MP MPI 2024 ?

Sur l'algèbre linéaire en dimension finie appliquée aux polynômes, les séries entières et l'interversion série-intégrale, les polynômes de Bernoulli et les fonctions de plusieurs variables.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 2 MP MPI 2024 ?

Des hypothèses d'interversion série-intégrale mal citées, des confusions entre exponentielle réelle et complexe, des inégalités écrites entre nombres complexes et des justifications absentes sur le degré d'un polynôme.

Quelle partie du sujet Centrale Maths 2 MP MPI 2024 était la plus difficile ?

La partie IV, sur le cas où h est une fonction entière. Elle n'a été abordée que dans la moitié des copies et réussie dans environ 10 % d'entre elles ; la sous-partie IV.B a été très peu traitée de façon satisfaisante.

Le sujet Centrale Maths 2 MP MPI 2024 était-il long ?

Oui, le jury le qualifie de long et souligne que la qualité de rédaction reste un atout majeur pour obtenir de bonnes notes.

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