Mines Mathématiques 2 MP 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Racines carrées de matrices complexes : existence, calcul numérique par l'algorithme de Newton et stabilité

Le problème étudie l'existence et le calcul d'une racine carrée d'une matrice complexe. Après quelques exemples introductifs, il établit l'existence et l'unicité d'une racine carrée symétrique définie positive pour une matrice adaptée, avant de construire un algorithme de Newton pour la calculer numériquement, d'en donner une forme équivalente, puis d'en étudier la stabilité.

1Partie A : quelques exemplesRecherche des matrices vérifiant A² = I2 puis de racines carrées d'une matrice triangulaire.
2Partie B : existence et calcul d'une racine carréeDémonstration de l'existence et de l'unicité d'une racine carrée symétrique définie positive.
3Partie C : algorithme de NewtonConstruction et étude de convergence d'un algorithme de Newton pour calculer numériquement une racine carrée de matrice.
4Partie D : forme équivalenteÉcriture d'une forme équivalente de l'algorithme à l'aide de suites de matrices couplées.
5Partie E : stabilitéÉtude de la stabilité de la méthode et de la convergence des suites associées.

Difficile. Le rapport signale une dégradation sensible de la qualité des copies et décrit la question 1, pourtant simple, comme ayant fait visiter aux correcteurs une véritable cour des miracles mathématiques.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Solutions de A² = I2 mal justifiées · Majoration fausse du carré d'une somme · Erreurs sur le polynôme minimal

Les correcteurs constatent une dégradation sensible de la qualité des copies, tant dans la présentation que dans le contenu mathématique. Les candidats justifient de moins en moins leurs assertions et omettent de nombreux points de détail essentiels, comme vérifier qu'une matrice est symétrique définie positive ou qu'une application est bijective.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Solutions de A² = I2 mal justifiéesQ1
De nombreuses confusions et affirmations non justifiées ont conduit le jury à parler d'une véritable cour des miracles mathématiques sur cette question pourtant simple.
« nous a fait visiter une véritable cour des miracles »
2
Majoration fausse du carré d'une sommeQ6
La moitié des candidats majorent à tort le carré d'une somme par la somme des carrés, alors que (1+1)² n'est pas majoré par 1²+1².
« il est pourtant facile de remarquer que (1 + 1)2 n’est pas majoré »
3
Erreurs sur le polynôme minimalQ7
Le polynôme minimal d'un produit de matrices n'est pas le produit de leurs polynômes minimaux, contrairement à ce qu'affirment de nombreux candidats.
« Non, le polynôme minimal d’un produit de matrices n’est pas le produit de leurs polynômes minimaux. »
4
Non-commutativité du produit matriciel ignoréeQ9
Certains candidats écrivent à tort dFH(X) = 2HX = XH + HX, oubliant que le produit matriciel n'est pas commutatif.
« écrivent par exemple dFH(X) = 2HX = XH + HX. »
5
Produit de deux matrices symétriques supposé symétriqueQ16
Cette affirmation, fausse en général, simplifie artificiellement le raisonnement de certains candidats.
« le produit de deux matrices symétriques est toujours une matrice symétrique »
6
Recours à une notion hors programmeQ12
L'usage de la norme d'opérateur, hors programme, est sanctionné sauf si le candidat en établit d'abord les propriétés.
« notion hors programme, a été sanctionné »

Ce qui a été bien réussi

La question 2 a été paradoxalement mieux traitée que la question 1.
La plupart des candidats ont montré que G(X*) = X*, à la question 11.
De nombreux candidats ont établi correctement la deuxième relation demandée à la question 19.

Conseils du jury

Justifier systématiquement l'existence et le caractère infini d'un ensemble de solutions avant de l'affirmer.
Vérifier les propriétés d'une notion hors programme avant de l'utiliser, ou l'éviter.
Rédiger les récurrences complètement, avec hypothèse, hérédité et conclusion explicites.
Tenir compte de la non-commutativité du produit matriciel dans tous les calculs de différentielle.
Vérifier les points de détail essentiels : caractère symétrique défini positif, non-nullité, linéarité, bijectivité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Racines carrées de matrices complexes : existence et calcul numérique

Dans ce problème, on étudie l'existence de racines carrées d'une matrice complexe, puis on introduit l'algorithme de Newton pour calculer numériquement l'une de ces racines carrées, avec des considérations sur la convergence et la stabilité de l'algorithme.

Soit

n

un entier supérieur ou égal à 2 . On note

ℳ_n(ℂ)

l'ensemble des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients complexes. La matrice identité de

ℳ_n(ℂ)

est notée

I_n

. On appelle racine carrée de

A \in ℳ_n(ℂ)

toute matrice

X \in ℳ_n(ℂ)

solution de l'équation

X^2 = A

On note

ℂ˜

l'ensemble des nombres complexes non nuls qui ne sont pas des nombres réels négatifs.

A. Quelques exemples

Montrer que la matrice $A = I_2$ admet une infinité de racines carrées (on pourra utiliser la notion de symétrie). Lesquelles sont des polynômes en $A$ ?
Montrer que $A = (0, 0, 1; 0, 0, 0; 0, 0, 0)$ admet une infinité de racines carrées et qu'aucune d'entre elles n'est un polynôme en $A$ .

Dans la question suivante,

A \in ℳ_n(ℝ)

est une matrice symétrique réelle qui est définie positive, c'est-à-dire que ses valeurs propres sont strictement positives.
3) Montrer que

A

admet une unique racine carrée symétrique réelle définie positive.
(On pourra montrer que deux racines carrées de ce type possèdent les mêmes valeurs et sous-espaces propres.)

B. Existence et calcul d'une racine carrée

Dans cette partie

A \in ℳ_n(ℂ)

désigne une matrice inversible quelconque.
4) Soit

T = (t_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

U = (u_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in ℳ_n(ℂ)

deux matrices complexes triangulaires supérieures. On suppose que

T

est inversible. Mon-
trer que l'équation

U^2 = T

est équivalente au système d'équations suivant:

{u_(i, i)^2 = t_(i, i), (1 ⩽ i ⩽ n); (u_(i, i) + u_(j, j))u_(i, j) = t_(i, j) − ∑_(k = i + 1)^(j − 1)u_(i, k)u_(k, j), (1 ⩽ i < j ⩽ n).

Montrer que

T

étant donnée, on peut résoudre ce système en choisissant une solution

U

telle que

u_(i, i) + u_(j, j) \neq 0

pour tous

i, j \in {1, 2, \dots, n}

. (On pourra considérer les parties réelles et imaginaires des

u_(i, i)

.)
5) En déduire que

A

admet une racine carrée. Si en outre, les valeurs propres de

A

appartiennent à

ℂ˜

, montrer que

A

admet une racine carrée dont les valeurs propres sont de partie réelle strictement positive.

On admet qu'une telle racine carrée est unique et on la notera

\sqrtA

dans toute la suite du problème.

C. Algorithme de Newton

Pour tout

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in ℳ_n(ℂ)

on pose

‖A‖ = \sqrt(\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n|a_(i, j)|^2⎷)

et on admet que

‖ \cdot ‖

définit une norme sur

ℳ_n(ℂ)

. On note

B(X, r)

B¯(X, r)

les boules, respectivement ouverte et fermée, de centre

X \in ℳ_n(ℂ)

et de rayon

r

Soit

A

B

deux matrices quelconques de

ℳ_n(ℂ)

.
6) Montrer que

‖AB‖ ⩽ ‖A‖‖B‖

On note

m_A

le polynôme minimal de

A

.
7) Montrer que la matrice

m_A(B)

est inversible si et seulement si

A

B

n'ont aucune valeur propre commune.
En déduire que s'il existe une matrice

M \in ℳ_n(ℂ)

non nulle telle que

AM = MB

, alors

A

B

ont au moins une valeur propre commune.
8) Réciproquement, si

A

B

ont au moins une valeur propre commune, montrer qu'il existe une matrice

M \in ℳ_n(ℂ)

non nulle telle que

AM = MB

.
(On pourra considérer une matrice de la forme

XY^T

où

X

Y

sont deux matrices colonnes bien choisies).

Soit

F : ℳ_n(ℂ) \to ℳ_n(ℂ)

l'application définie par la formule

F(X) = X^2 - A

.
9) Montrer que la différentielle

dF_X

F

X \in ℳ_n(ℂ)

est donnée par

\forallH \in ℳ_n(ℂ), dF_X(H) = XH + HX.

Déduire des deux questions précédentes une condition nécessaire et suffisante pour que

dF_X

soit inversible. Montrer que cette condition implique que

X

est inversible.

Dans toute la suite du problème, A désigne une matrice inversible de

ℳ_n(ℂ)

dont les valeurs propres appartiennent à

ℂ˜

. On pose

X^* = \sqrtA

(la matrice

\sqrtA

a été définie à la question 5).

On définit, sous réserve d'existence, une suite

(X_k)_(k \in ℕ)

d'éléments de

ℳ_n(ℂ)

par:

(N){X_0 ∈ ℳ_n(ℂ); ∀k ∈ ℕ, X_(k + 1) = X_k − (dF_(X_k))^(− 1)(F(X_k)).

Dans les questions suivantes, on étudie l'existence et la convergence de la suite

(X_k)_(k \in ℕ)

.
10) Montrer que

dF_(X^*)

est inversible et qu'il existe

r > 0

tel que

dF_X

soit inversible pour tout

X \in B¯(X^*, r)

.
Pour tout

Y \in B¯(X^*, r)

on pose

G(Y) = Y - (dF_Y)^(- 1)(F(Y))

.
11) Calculer

G(X^*)

et montrer que pour tout

H \in B(0, r)

G(X^* + H) - G(X^*) = (dF_(X^* + H))^(- 1)(H^2)

où

(dF_(X^* + H))^(- 1) = (Id + (dF_(X^*))^(- 1) \circ dF_H)^(- 1) \circ (dF_(X^*))^(- 1).

En déduire qu'il existe une constante $C > 0$ telle que pour tout $X$ de $B(X^*, r), ‖G(X) - X^*‖ ⩽ C‖X - X^*‖^2$ . (On pourra utiliser le résultat de la question 6.)
Montrer qu'il existe $ρ > 0$ tel que pour tout $X_0 \in B(X^*, ρ)$ la suite $(X_k)_(k \in ℕ)$ soit bien définie et vérifie, pour tout $k \in ℕ$ ,

‖X_k - X^*‖ ⩽ ((ρ\sqrtC)^(2^k))/C

Que peut-on en conclure?

D. Forme équivalente

Dans cette partie, on étudie deux algorithmes équivalents à celui de Newton. On rappelle que

A

désigne une matrice inversible de

ℳ_n(ℂ)

dont les valeurs propres appartiennent à

ℂ˜

. Soit

U_0

V_0

deux matrices de

ℳ_n(ℂ)

. Sous réserve d'existence, on note

(U_k)_(k \in ℕ)

la suite de matrices de

ℳ_n(ℂ)

définie par

ùé(I){U_0 ∈ ℳ_n(ℂ); U_(k + 1) = U_k + H_k où H_k ∈ ℳ_n(ℂ) vérifie; U_k H_k + H_k U_k = A − U_k^2 pour tout k ⩾ 0

(V_k)_(k \in ℕ)

la suite de matrices de

ℳ_n(ℂ)

définie par

(II) {V_0 ∈ ℳ_n(ℂ); V_(k + 1) = 1/2(V_k + V_k^(− 1)A) pour tout k ⩾ 0

Si la suite $(X_k)_(k \in ℕ)$ est bien définie par (N) et $U_0 = X_0$ , montrer que la suite $(U_k)_(k \in ℕ)$ est bien définie par (I) et égale à $(X_k)_(k \in ℕ)$ . Réciproquement si la suite $(U_k)_(k \in ℕ)$ est bien définie par (I) et $X_0 = U_0$ , montrer que la suite $(X_k)_(k \in ℕ)$ est bien définie par ( $N$ ) et égale à $(U_k)_(k \in ℕ)$ . On suppose dorénavant ces conditions vérifiées.
On suppose que $U_0 = V_0$ commute avec $A$ . Montrer que la suite $(V_k)_(k \in ℕ)$ est bien définie par (II) et que pour tout $k \in ℕ, U_k = V_k$ commute avec $A$ . (On pourra d'abord montrer que $U_k$ est inversible pour tout $k \in ℕ$ et considérer la matrice $G_k = 1/2(U_k^(- 1)A - U_k)$ .)
On rappelle qu'une matrice symétrique réelle est définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives, et qu'une telle matrice admet une unique racine carrée définie positive (question 3).

Dans la suite du problème, A désigne une matrice symétrique réelle définie positive.
On considère la suite

(V_k)_(k \in ℕ)

définie par la relation (II) avec

V_0 = μI_n

μ > 0

. On fixe une matrice orthogonale

P

de sorte que

A = PDP^T

où

D

est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres

λ_1, \dots, λ_n

A

, ordonnées par ordre croissant. On note

e_1, \dots, e_n

les vecteurs propres correspondants.

Soit

k \in ℕ

ℓ \in {1, \dots, n}

quelconques.
16) Montrer que

V_k

est symétrique réelle définie positive de mêmes vecteurs propres

e_1, \dots, e_n

que

A

dont on notera

λ_(k, 1), \dots, λ_(k, n)

les valeurs propres correspondantes. Trouver une relation entre

λ_(k + 1, ℓ)

λ_(k, ℓ)

.
17) Montrer que

(λ_(k + 1, ℓ) - \sqrt(λ_ℓ))/(λ_(k + 1, ℓ) + \sqrt(λ_ℓ)) = ((μ - \sqrt(λ_ℓ))/(μ + \sqrt(λ_ℓ)))^(2^(k + 1))

Déterminer la limite de la suite $(V_k)_(k \in ℕ)$ .

E. Stabilité

On considère la suite

(V_k)_(k \in ℕ)

définie par la relation (II) avec

V_0 = \sqrtA

. Soit

ε > 0

i, j

deux indices distincts de

{1, \dots, n}

. On note

C_1, \dots, C_n

les colonnes de la matrice orthogonale

P

définie dans la partie précédente et on pose

Δ = εC_i C_j^T

Soit

V_0 ˆ = V_0 + Δ

. La matrice

V_1 ˆ

est calculée par la relation (II) à partir de

V_0 ˆ

et on pose

Δ_1 = V_1 ˆ - V_1

. Ensuite

V_2 ˆ

est calculé à partir de

V_1 ˆ

par la relation (II), puis

V_3 ˆ, V_4 ˆ\dots

de la même manière.
19) Montrer les relations suivantes:

{(V_0 + Δ)^(− 1) = V_0^(− 1) − V_0^(− 1)ΔV_0^(− 1); Δ_1 = 1/2(Δ − V_0^(− 1)ΔV_0^(− 1)A)

Déterminer la valeur de $η \in ℝ$ telle que pour tout $k \in ℕ$ ,

V_k ˆ = \sqrtA + η^k Δ.

On appelle conditionnement de $A$ le rapport entre sa plus grande valeur propre et sa plus petite. Que doit vérifier le conditionnement de $A$ pour que la suite $(V_k ˆ)_(k ⩾ 0)$ converge?

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Mines-Ponts MP 2018 ?

Le sujet porte sur l'existence, le calcul numérique par l'algorithme de Newton et la stabilité des racines carrées de matrices complexes.

Ce sujet de Mathématiques II Mines-Ponts MP 2018 est-il difficile ?

Oui, le rapport signale une dégradation sensible de la qualité des copies et qualifie la première question, pourtant simple, de source d'une véritable cour des miracles mathématiques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts Maths II MP 2018 ?

Le jury relève une majoration fausse du carré d'une somme, des erreurs sur le polynôme minimal, et l'oubli fréquent de la non-commutativité du produit matriciel.

Faut-il bien rédiger les récurrences pour ce sujet Mines-Ponts Maths II MP 2018 ?

Oui, le rapport signale que les récurrences ont été particulièrement maltraitées, avec des hypothèses non fournies et des hérédités bâclées.

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