E3A Mathématiques A MP 2013Sujet et corrigé

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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

L'objet du problème est l'étude des deux suites récurrentes doubles définies par:

u_0 = a, u_1 = b, \foralln ⩾ 0, u_(n + 2) = 2/(u_(n + 1) + u_n) et v_0 = a, v_1 = b, \foralln ⩾ 0, v_(n + 2) = 1/(\sqrt(v_(n + 1)v_n))

où

a

b

sont deux réels strictement positifs.

Partie I : étude de la suite ( $v_n$ )

Soit

v_0 > 0

v_1 > 0

. On considère la suite définie pour

n ⩾ 0

par :

v_(n + 2) = 1/(\sqrt(v_(n + 1)v_n))

Quelles sont les limites possibles, finies ou infinies, de la suite $(v_n)$ ? (On justifiera précisément la réponse.)
On pose $w_n = ln(v_n)$ .
(a) Déterminer une relation de récurrence vérifiée par la suite ( $w_n$ ). On note $F$ l'espace vectoriel complexe des suites complexes vérifiant cette relation de récurrence.
(b) Déterminer une base de $F$ .
(c) $Si(x_n) \in F$ , que peut-on dire quant à la convergence de $(x_n)$ ?
Que peut-on en déduire concernant le comportement de la suite ( $v_n$ ) ? sur le comportement de la série $\sum_(n ⩾ 0)v_n$ ? de la série $\sum_(n ⩾ 0)(v_n - 1)$ ?

Partie II : étude de normes matricielles

Soit

n \in ℕ^*

. Dans la suite, on note

‖.‖_\infty

la norme usuelle sur

ℂ^n

définie pour

(z_1, z_2, \dots, z_n) \in ℂ^n

par :

‖(z_1, z_2, \dots, z_n)‖_\infty = max(|z_1|, |z_2|, \dots, |z_n|)

et on identifie le

n

-uplet

(z_1, z_2, \dots, z_n) \in ℂ^n

au vecteur colonne

[z_1; z_2; ⋮; z_n] \in M_(n, 1)(ℂ)

. Pour

A \in M_n(ℂ)

, on note

‖|A|‖_\infty

la norme de

A

pour la norme subordonnée à la norme

‖.‖_\infty

. On rappelle que celle-ci est définie de la manière suivante:

‖‖A‖_\infty = sup_(X \in ℂ^n, ‖X‖_\infty ⩽ 1)‖AX‖_\infty

Enfin, pour

Z \in ℂ^n

P \in M_n(ℂ)

, on pose :

N_P(Z) = ‖PZ‖_\infty

Soit $D \in M_n(ℂ)$ une matrice diagonale :

D = [m_(1, 1), 0, \dots, \dots, 0; 0, m_(2, 2), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, \dots, 0, m_(n, n)]

On pose

m = max_(1 ⩽ i ⩽ n)|m_(i, i)|

.
(a) Soit

Z \in ℂ^n

. Montrer que :

‖DZ‖_\infty ⩽ m‖Z‖_\infty

.
(b) Déterminer

‖|D|‖_\infty

.
2. (a) Soit

P \in M_n(ℂ)

. Montrer que

N_P

est une norme sur

ℂ^n

si et seulement si

P

est une matrice inversible.
Lorsque que

P

est inversible, on notera dorénavant

‖.‖_P

pour

N_P

et la norme subordonnée à la norme

‖.‖_P

sur

M_n(ℂ)

sera notée

‖.|‖_P

.
(b) On se donne une matrice

P \in GL_n(ℂ)

. Pour

A \in M_n(ℂ)

, montrer que :

‖AA‖_P = ‖‖PAP^(- 1)‖_\infty

Soit $A \in M_n(ℂ)$ . Pour $M \in M_n(ℂ)$ , on note $sp(M)$ l'ensemble des valeurs propres de $M$ et on définit $ρ(M)$ par :

ρ(M) = max{|μ|, μ \in sp(M)}

(a) Montrer que pour toute matrice

P \in GL_n(ℂ)

, on a :

ρ(A) = ρ(PAP^(- 1))

.
(b) Soit

P \in GL_n(ℂ)

. Montrer que

ρ(A) ⩽ ‖A|‖_P

.
(c) On suppose

A

diagonalisable. Montrer qu'il existe

P \in GL_n(ℂ)

tel que

ρ(A) = ‖A‖_P

.
(d) Un exemple. Soit

A = [0, 0, 1; 1, 0, 0; 0, 1, 0]

. Déterminer

ρ(A)

. Déterminer l'inverse

P^(- 1)

d'une matrice

P \in GL_3(ℂ)

telle que

‖

A‖‖_P = ρ(A)

.
(e) Un exemple. Soit

A = (a_(i, j)) \in M_n(ℂ)

définie par

a_(i, j) = j

. Déterminer l'inverse

P^(- 1)

d'une matrice

P \in GL_n(ℂ)

telle que

‖A‖_P = ρ(A)

.
4. Dans cette question, on suppose que

n = 2

. Soit donc

A = [a, b; c, d] \in M_2(ℂ)

.
(a) On pose

m = max(|a| + |b|, |c| + |d|)

. Montrer que pour

Z \in ℂ^2

, on a:

‖AZ‖_\infty ⩽ m‖Z‖_\infty

. Déterminer

‖|A|‖_\infty

.
(b) On suppose la matrice

A

non diagonalisable et on note

f

l'endomorphisme de

ℂ^2

canoniquement associé à

A

.
i. Démontrer que

sp(A)

ne contient qu'un seul élément. On le note

α

.
ii. Démontrer l'existence d'une base

e

ℂ^2

telle que :

mat_e(f) = [α, β; 0, α]

iii. Soit

ε > 0

. Démontrer l'existence d'une base

e^'

ℂ^2

telle que :

ù mat_(e^')(f) = [α, β^'; 0, α] où |β^'| ⩽ ε

iv. En déduire l'existence d'une matrice

P \in GL_2(ℂ)

telle que

‖‖A‖‖_P ⩽ ρ(A) + ε

.
(c) Déterminer

inf_(P \in GL_2(ℂ))‖A‖‖_P

.
(d) Un exemple. Soit

A = [- 3, 8; - 2, 5]

. Calculer

‖‖A‖_\infty

et montrer qu'il existe

P \in GL_2(ℂ)

telle que

‖‖A‖‖_P ⩽ 2

.
(e) On suppose que

ρ(A) < 1

. Justifier l'existence d'une matrice

P \in GL_2(ℂ)

telle que

|‖A|‖_P < 1

. Que peut-on en déduire concernant la suite

(A^n)_(n \in ℕ)

Partie III : étude de la suite ( $u_n$ )

Soit

u_0 > 0

u_1 > 0

. On considère la suite définie pour

n ⩾ 0par : u_(n + 2) = 2/(u_(n + 1) + u_n)

. On considère la fonction :

f : (ℝ_+^*)^2, \to (ℝ_+^*)^2; (x, y), \mapsto (y, 2/(x + y))

On a alors:

f(u_n, u_(n + 1)) = (u_(n + 1), u_(n + 2))

pour tout

n \in ℕ

Justifier que $f$ est de classe $C^1$ . Dans la suite, on note respectivement $df_((x_0, y_0))$ et $J_((x_0, y_0))$ la différentielle et la matrice jacobienne de $f$ au point $(x_0, y_0) \in (ℝ_+^*)^2$ .
Déterminer les points fixes de $f$ dans $(ℝ_+^*)^2$ .
Déterminer la matrice $J_((1, 1))$ .
Démontrer l'existence d'une matrice $P \in GL_2(ℂ)$ telle que $‖|J_((1, 1))‖_P = (\sqrt2)/2$ .
On fixe un réel $α$ vérifiant $(\sqrt2)/2 < α < 1$ .
(a) Justifier l'existence d'un réel $η > 0$ tel que:

\forall(x_0, y_0) \in (ℝ_+^*)^2, ‖(1, 1) - (x_0, y_0)‖_P ⩽ η ⟹ ‖‖J_((x_0, y_0))‖_P ⩽ α

Dans la suite, on note

D

le disque fermé de centre

(1, 1)

et de rayon

η

pour la norme

‖.‖_P

et on suppose qu'il existe un entier

n_0

tel que

(u_(n_0), u_(n_0 + 1)) \in D

.
(b) Soit

(x_0, y_0) \in D \cap (ℝ_+^*)^2

. On définit, pour

t \in [0, 1]

φ(t) = f((1, 1) + t[(x_0, y_0) - (1, 1)])

Justifier que

φ

est de classe

C^1

et obtenir une expression de

φ^'(t)

faisant intervenir la différentielle de

f

. En déduire :

‖(1, 1) - f(x_0, y_0)‖_P ⩽ α‖(1, 1) - (x_0, y_0)‖_P

n ⩾ n_0, (u_n, u_(n + 1)) \in D

.
(d) Démontrer que pour tout

n ⩾ n_0

, on a l'inégalité :

‖(1, 1) - (u_n, u_(n + 1))‖_P ⩽ α^(n - n_0)‖(1, 1) - (u_(n_0), u_(n_0 + 1))‖_P

(e) Obtenir que

u_n = 1 + O(α^n)

.
(f) Que peut-on en déduire concernant le comportement de la suite

(u_n)

? sur le comportement de la série

\sum_(n ⩾ 0)u_n

? de la série

\sum_(n ⩾ 0)(u_n - 1)

Partie IV : suite de l'étude

On considère une suite réelle

(x_n)_(n \in ℕ)

. On rappelle qu'une valeur d'adhérence de

(x_n)

est un réel

λ

pour lequel il existe une suite

(x_(φ(n)))

extraite de

(x_n)

qui converge vers

λ

. On rappelle que toute suite bornée admet une valeur d'adhérence et on admet que toute suite bornée admet une plus petite et une plus grande valeur d'adhérence.

(a) Soit ( $x_n$ ) une suite bornée non convergente admettant $λ$ pour valeur d'adhérence. Justifier l'existence d'un réel $τ > 0$ tel que pour tout $N \in ℕ$ , il existe $n ⩾ N$ vérifiant $|x_n - λ| > τ$ . En déduire que ( $x_n$ ) admet une valeur d'adhérence $λ^' \neq λ$ .
(b) Montrer que toute suite bornée ayant une unique valeur d'adhérence est convergente.
(c) Soit ( $x_n$ ) une suite bornée. On note $l_-$ sa plus petite valeur d'adhérence et $l_+$ sa plus grande. Montrer l'équivalence :

(x_n) est convergente \Leftrightarrow l_- = l_+

Dans cette question, ( $u_n$ ) désigne la suite étudiée dans la partie III. On pose $α = min{u_0, u_1, 1/(u_0), 1/(u_1)}$ .
(a) Montrer que pour tout $n \in ℕ, α ⩽ u_n ⩽ 1/α$ . On note alors $l_-$ et $l_+$ les plus petite et plus grande valeurs d'adhérences de $(u_n)$ .
(b) Justifier l'existence d'une suite extraite $(u_(φ(n)))$ de $(u_n)$ telle que $(u_(φ(n)))$ et $(u_(φ(n) + 1))$ convergent et $u_(φ(n) + 2)\to-_(n \to + \infty)^l_-$ . En déduire l'inégalité $l_-l_+ ⩾ 1$ .
(c) Montrer qu'on a: $l_-l_+ = 1$ .
(d) En considérant une suite extraite $(u_(φ(n)))$ de $(u_n)$ telle que $(u_(φ(n))), (u_(φ(n) + 1))$ et $(u_(φ(n) + 2))$ convergent et $u_(φ(n) + 3)\to-_(n \to + \infty)^l_-$ , obtenir l'égalité $l_- = l_+$ et conclure.
(e) Que peut-on dire de l'hypothèse d'existence d'un entier $n_0$ tel que $(u_(n_0), u_(n_0 + 1)) \in D$ dans la question 5.(a) de la partie III?

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AVERTISSEMENT

Partie I : étude de la suite ( v_n )

Partie II : étude de normes matricielles

Partie III : étude de la suite ( u_n )

Partie IV : suite de l'étude

Commentaires• E3A Mathématiques A MP 2013

Commentaires• E3A Mathématiques A MP 2013

Partie I : étude de la suite ( $v_n$ )

Partie III : étude de la suite ( $u_n$ )