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E3A Mathématiques A MP 2011Sujet et corrigé

Pas encore noté
  • Séries entières et rayon de convergence
  • Fonctions définies par une intégrale
  • Suites et séries numériques, sommation de séries classiques
  • Développements limités et branches infinies
  • Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2
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Étude de la fonction ln(1-t)/t, de sa primitive L et calcul de la somme des inverses des carrés
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Le problème étudie la fonction f(t) = ln(1-t)/t et la série entière S qui lui est égale au voisinage de 0, puis sa primitive L, dont on étudie les propriétés (croissance, développement en série entière, relations fonctionnelles). Il établit ensuite, par une méthode trigonométrique originale, la valeur de la somme des inverses des carrés des entiers, en déduit les valeurs remarquables L(1) et L(-1), puis étudie le comportement asymptotique de L et une famille d'équations différentielles dont L est solution.

  1. 1Partie I : étude de la fonction fOn détermine le rayon de convergence de la série entière S, on montre l'égalité f + S = 0 sur ]-1,1[, et on étudie le signe et la régularité de f.
  2. 2Partie II : la fonction primitive LOn étudie la continuité, la croissance et le développement en série entière de L, ainsi qu'une relation fonctionnelle liant L(x), L(-x) et L(x²).
  3. 3Partie III : calcul de la somme des inverses des carrésOn établit, par une identité trigonométrique et un passage à la limite, la valeur de la somme des inverses des carrés des entiers impairs, puis on en déduit les valeurs de L(1) et L(-1) ainsi qu'une expression de L(1/2).
  4. 4Partie IV : comportement asymptotique de LOn étudie la limite et la branche infinie de L en moins l'infini, et on trace l'allure de son graphe.
  5. 5Partie V : équations différentielles associées à LOn résout deux équations différentielles dont les solutions générales s'expriment à l'aide de L, en étudiant leur domaine de validité et la structure de l'espace des solutions.

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Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A MP

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Problème
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Notations

Dans tout le problème, ln désigne le logarithme népérien.
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] − ∞, 1[ par :
f(t) = {ln(1 − t)/t, si t ≠ 0; − 1, si t = 0
Soit S la série entière :
S(t) = ∑_(n = 0)^∞(t^n)/(n + 1)

Partie I

  1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière S.
  2. Démontrer l'égalité f(t) + S(t) = 0, pour tout nombre réel t dans l'intervalle ] − 1, 1[.
  3. Justifier que la fonction f est de classe C^∞ sur l'intervalle ] − ∞, 1[.
  4. Déterminer le signe de f(t), selon la valeur du nombre réel t dans ] − ∞, 1[.

Partie II

Soit L la fonction définie sur l'intervalle ] − ∞, 1[ par :
L(x) = ∫_x^0 f(t)dt = − ∫_0^x(ln(1 − t))/t dt
  1. Justifier que la fonction L est de classe C^∞ sur l'intervalle ouvert ] − ∞, 1[.
  2. Démontrer que la fonction L admet un prolongement par continuité à gauche au point 1 .
  3. Justifier que la fonction L est strictement croissante sur l'intervalle ] - ∞, 1 ].
  4. Démontrer que la fonction L admet un développement en série entière sur l'intervalle ] − 1, 1[; on énoncera explicitement le théorème utilisé. Expliciter les coefficients de ce développement.
  5. Soit x dans l'intervalle ] − 1, 1[. Démontrer la relation :
L(x) + L(− x) = (L(x^2))/2
Cette relation est-elle vérifiée pour x = 1 ?
6. Justifier l'égalité :
L(1) = ∑_(k = 1)^∞1/(n^2).

Partie III

  1. Soit n un entier naturel non nul. Démontrer que l'application qui envoie un entier m sur l'entier m + 2^(n − 1) induit une bijection de l'ensemble des entiers naturels impairs compris entre 0 et 2^(n − 1) − 1 sur l'ensemble des entiers naturels impairs compris entre 2^(n − 1) et 2^n − 1.
  2. Soit x dans l'intervalle ]0, π/2[. Démontrer l'égalité :
4/(sin^2 x) = 1/(sin^2(x/2)) + 1/(sin^2((x + π)/2))
  1. Démontrer, pour tout entier naturel n non nul, l'égalité :
2^(2n − 1) = ∑_(k = 0)^(2^(n − 1) − 1)1/(sin^2(((2k + 1)π)/(2^(n + 1))))
  1. On se propose de démontrer l'égalité :
∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((2k + 1)^2) = (π^2)/8
(a) Démontrer, pour tout nombre réel x dans l'intervalle ]0, π/2] :
sinx ⩾ 2/πx.
(b) Démontrer qu'il existe un nombre réel C > 0 tel que tout entier naturel n non nul et tout entier naturel k compris entre 0 et 2^(n − 1) − 1 vérifient l'inégalité :
(π/(2^(n + 1)))^2 1/(sin^2(((2k + 1)π)/(2^(n + 1)))) ⩽ C/((2k + 1)^2)
(c) Conclure.
5. En déduire la valeur de L(1) et la valeur de L(− 1).
6. Démontrer, pour tout x dans l'intervalle ]0, 1[, la relation :
L(1 − x) = L(1) − ln(x)ln(1 − x) − L(x)
  1. En déduire une expression de L(1/2) en fonction de π et de ln2.
  2. En déduire en fonction de π la valeur de l'intégrale
∫_0^(ln2)t/(1 − e^(− t))dt

Partie IV

  1. Déterminer la limite quand x tend vers − ∞ de L(x).
  2. Quel est l'image de l'intervalle ]0, 1[ par la fonction h_1 qui envoie x sur 1 − 1/x ?
  3. Soit h_2 la fonction définie sur l'intervalle ]0, 1] par h_2(x) = L(1 − x) + L(1 − 1/x).
    (a) Après avoir justifié que la fonction h_2 est dérivable sur l'intervalle ]0, 1[, calculer la dérivée de h_2.
    (b) En déduire, pour tout x dans l'intervalle ]0, 1[, la relation
L(1 − x) + L(1 − 1/x) = − 1/2ln^2(x).
  1. Déterminer la limite quand x tend vers − ∞ de (L(x))/x.
  2. Quelle est la nature de la branche infinie de L en − ∞ ?
  3. Représenter le graphe de la fonction L sur l'intervalle ] − ∞, 1].

Partie V

Soit J un intervalle contenu dans ] − ∞, 0[ ∪ ]0, 1[. On considère l'équation différentielle
(E_J) (1 − x)xy^′ + (1 − x)y = 1
  1. Résoudre sur l'intervalle J l'équation homogène associée. Quelle est la nature de l'espace des solutions?
  2. En déduire les solutions sur l'intervalle J de l'équation (E_J).
Soit alors (F_J) l'équation différentielle :
(F_J) (1 − x)xy^(′′) + (1 − x)y^′ = 1
  1. Démontrer que les solutions sur l'intervalle J de ( F_J ) sont les fonctions g de la forme g(t) = L(t) + Aln|t| + B, où A et B sont des constantes.
  2. Peut-on trouver des solutions de l'équation différentielle (1 − x)xy^(′′) + (1 − x)y^′ = 1 sur l'intervalle ] − ∞, 1 [ ? Si oui, les décrire. Quelle est la nature de l'espace des solutions ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths A MP e3a 2011 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths A MP e3a 2011 ?

Il porte sur les séries entières, les fonctions définies par une intégrale, les séries numériques et les équations différentielles linéaires.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Le sujet est progressif : chaque partie s'appuie sur les résultats établis dans les parties précédentes concernant la fonction f puis sa primitive L.

Quel résultat célèbre est démontré dans la partie III de ce sujet ?

La valeur de la somme des inverses des carrés des entiers naturels non nuls (problème de Bâle), obtenue ici par une identité trigonométrique originale plutôt que par les séries de Fourier.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Certaines questions sur les équations différentielles et l'étude de fonctions sont accessibles en première année, mais l'essentiel du sujet (séries entières, développements en série) relève du programme de deuxième année.

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