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X ENS Mathématiques B MP 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Transformation d'Euler et accélération de convergence

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Transformation d'Euler et accélération de la convergence des séries alternées
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Le sujet étudie les suites complètement monotones et la transformée d'Euler, qui réécrit une série alternée sous une forme convergeant plus vite. Il établit la formule pour des suites de moments intégraux, puis pour toute série alternée convergente, avant de proposer une amélioration fondée sur une famille de polynômes liés à cos(2nt). Une dernière question compare les vitesses de convergence sur la série de ln 2.

  1. 1Première partie : suites complètement monotonesDifférences finies itérées, formule des accroissements finis généralisée, suites de moments et première expression de la somme d'une série alternée par la transformée d'Euler.
  2. 2Deuxième partie : transformée d'EulerDémonstration de la formule d'Euler pour une série alternée convergente quelconque, via un lemme de type Cesàro et des séries télescopiques.
  3. 3Troisième partie : une amélioration de la méthodeMajorations de l'erreur à l'aide de suites de polynômes, dont ceux vérifiant P_n(sin² t) = cos(2nt).
  4. 4Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exempleÉquivalents des restes pour la série de terme général (-1)^k/(k+1) et comparaison des vitesses de convergence.

Difficulté moyenne. Le jury juge l'épreuve plutôt réussie dans l'ensemble (moyenne 9,94), mais plusieurs questions centrales ne sont validées que par 10 à 25 % des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,94 / 20 · écart-type 3,68 · 1 617 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,94/ 20
Écart-type
3,68
Copies
1 617
moyenne 9,9405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Convergence des séries non vérifiée · Convergence uniforme de t ↦ t^n sur [0, 1] · Hérédité mal posée dans la récurrence
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L'épreuve a été plutôt réussie, mais le jury déplore une rédaction désinvolte : passages d'une ligne à l'autre non justifiés et références aux questions précédentes absentes. Les outils sur les suites et séries sont connus mais mal maîtrisés, en particulier pour la convergence et l'échange série-intégrale. La quatrième partie, aboutissement du sujet, n'a été abordée que par une minorité.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Convergence des séries non vérifiée3a, 7a

    L'énoncé demandait de vérifier la convergence de toute série rencontrée ; beaucoup écrivent des inégalités sur des sommes infinies dont l'existence n'est pas établie, ou appliquent le critère des séries alternées sans vérifier que le terme général tend vers zéro.

    « est très souvent appliqué de manière incorrecte »
  2. 2
    Convergence uniforme de t ↦ t^n sur [0, 1]3a

    Cette suite de fonctions est l'exemple type de convergence non uniforme ; l'affirmer ou ouvrir l'intervalle pour contourner le problème est sanctionné. Une majoration directe des sommes partielles suffisait.

  3. 3
    Hérédité mal posée dans la récurrence1a

    Beaucoup refusent l'indication de l'énoncé et oublient le quantificateur « pour toute fonction f » dans l'hypothèse de récurrence ; seuls 25 % obtiennent tous les points sur l'hérédité.

  4. 4
    Développement de ln(1 + x) au bord du disque4

    Appliquer le développement en série en x = 1 sans justification, alors que ce point est au bord du disque de convergence, est une négligence sévèrement jugée.

    « une négligence intolérable »
  5. 5
    Majorations clés rarement obtenues5b, 8a, 12c

    La majoration de 5b n'est réussie que par 20 % des candidats, la formule de 8a par un sur dix, et la majoration de 12c par un dixième.

    « Il est regrettable qu'elle n'ait été traitée avec succès que par 20% des candidats. »
  6. 6
    Existence des polynômes non démontrée12a

    Calculer les zéros de cos(2nt) ne prouve pas que cette fonction est un polynôme en sin² t ; un quart des candidats prouve l'unicité, un cinquième l'existence.

Ce qui a été bien réussi

  • Le cas p = 1 de la question 1a, application de la formule des accroissements finis, est réussi par 80 % des candidats.
  • Les questions 2a et 2b (triangle de Pascal, binôme de Newton) sont réussies par 90 % des candidats.
  • Le début de la troisième partie (9a, 9b) est traité correctement par neuf candidats sur dix.

Conseils du jury

  • Justifier, même en deux mots, chaque passage d'une ligne de calcul à la suivante.
  • Citer explicitement la question ou l'hypothèse dont découle une affirmation.
  • Éviter les abréviations, même définies au premier usage.
  • Préférer un argument élémentaire (série géométrique, majoration directe) à un théorème lourd lorsque c'est possible.
  • Ne pas se décourager devant les calculs ni survoler les questions faciles avec une rédaction laconique.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Transformation d'Euler et accélération de la convergence

Dans ce problème, R désigne l'ensemble des réels, R_+est l'ensemble des réels positifs et R_+^∗ l'ensemble des réels strictement positifs. La notation N désigne l'ensemble des entiers naturels et N^∗ l'ensemble des entiers naturels non nuls.
On note E l'espace vectoriel des suites réelles. On note u = (u_n)_(n ∈ N) une suite réelle de terme général u_n. On considère l'endomorphisme Δ de E qui à toute suite u = (u_n)_(n ∈ N) associe la suite de terme général (Δu)_n = u_(n + 1) − u_n, n ∈ N.
On pose, pour k et n dans N, (n/k) = (n!)/(k!(n − k)!) si n ≥ k. On convient que 0! = 1 et que (n/k) = 0 si k > n.
Les candidats vérifieront la convergence des séries qu'ils rencontrent, même si cela n'est pas explicitement demandé.

Première partie : suites complètement monotones

Pour tout p ∈ N^∗, on note Δ^p le p-ième itéré de Δ défini par Δ^p = Δ ∘ Δ^(p − 1), et par convention, Δ^0 est l'identité de E.
On dit qu'une suite (u_n)_(n ∈ N) est complètement monotone si pour tous entiers naturels p et n on a
(− 1)^p(Δ^p u)_n > 0
  1. Soit f une fonction sur R_+à valeurs réelles et indéfiniment dérivable. On considère la suite de terme général u_n = f(n).
1a. Montrer que pour tout entier p ≥ 1 et tout entier n, il existe un réel x dans l'intervalle ]n, n + p[ tel que
(Δ^p u)_n = f^((p))(x)
On pourra raisonner par récurrence en considérant la fonction g(x) = f(x + 1) − f(x) et la suite de terme général v_n = g(n).
1b. On considère la suite de terme général a_n = 1/(n + 1). Montrer que (a_n)_(n ∈ N) est complètement monotone.
2a. Démontrer que pour tout p ≥ 1, on a
(Δ^p u)_n = ∑_(k = 0)^p(− 1)^(p − k)(p/k)u_(n + k)
2b. Soit b ∈ ]0, 1[. On considère la suite de terme général b_n = b^n. Calculer (Δ^p b)_n pour tous les entiers naturels n et p et en déduire que (b_n)_(n ∈ N) est complètement monotone.
Soit ω une fonction continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. Jusqu'à la fin de la première partie, on considère la suite de terme général u_n = ∫_0^1 t^n ω(t)dt.
3a. Montrer que la série de terme général (− 1)^k u_k converge et que
∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k u_k = ∫_0^1(ω(t))/(1 + t)dt
3b. Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ N) est complètement monotone.
3c. Démontrer que
∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k u_k = 1/2∑_(p = 0)^(+ ∞)∫_0^1((1 − t)/2)^p ω(t)dt
3d. En déduire que l'on a
∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k u_k = ∑_(p = 0)^(+ ∞)((− 1)^p)/(2^(p + 1))(Δ^p u)_0
  1. Déduire des questions précédentes que
ln2 = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n + 1) = ∑_(p = 0)^(+ ∞)1/((p + 1)2^(p + 1))
  1. On pose E_n = 1/2∑_(k = 0)^n∫_0^1((1 − t)/2)^k ω(t)dt.
5a. Montrer que
E_n = ∑_(p = 0)^n((− 1)^p)/(2^(p + 1))(Δ^p u)_0
5b. On pose S = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k u_k. Montrer que |S − E_n| ≤ S/(2^(n + 1)).

Deuxième partie : Transformée d'Euler

Dans cette partie, on se donne une suite (u_n)_(n ∈ N) telle que la série de terme général (− 1)^n u_n soit convergente, et l'on note S sa somme. On ne suppose aucune autre propriété particulière de cette suite (u_n)_(n ∈ N). Le but est de démontrer que
S = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k u_k = ∑_(p = 0)^(+ ∞)((− 1)^p)/(2^(p + 1))(Δ^p u)_0
On dit que la série ∑((− 1)^p)/(2^(p + 1))(Δ^p u)_0 est la transformée d'Euler de la série ∑(− 1)^k u_k.
6a. Montrer que pour tout p ∈ N, on a lim_(n → ∞)(Δ^p u)_n = 0.
6b. Montrer que pour toute suite (r_n)_(n ∈ N) de limite nulle, on a lim_(p → ∞)1/(2^p)∑_(k = 0)^p(p/k)r_k = 0.
7a. Montrer que pour tout n ∈ N, on a
u_n = ∑_(p = 0)^(+ ∞)(((− 1)^p)/(2^p)(Δ^p u)_n − ((− 1)^(p + 1))/(2^(p + 1))(Δ^(p + 1)u)_n)
7b. Montrer que pour tout p ∈ N, on a
((− 1)^p)/(2^(p + 1))(Δ^p u)_0 = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(((− 1)^p)/(2^p)(Δ^p u)_n − ((− 1)^(p + 1))/(2^(p + 1))(Δ^(p + 1)u)_n).
8a. On pose E_n = ∑_(p = 0)^n((− 1)^p)/(2^(p + 1))(Δ^p u)_0. Montrer que
E_n − S = − 1/(2^(n + 1))∑_(p = 0)^(n + 1)((n + 1)/p)(∑_(k ≥ p)(− 1)^k u_k)
8b. Conclure.

Troisième partie : une amélioration de la méthode

Dans cette partie, comme dans la question 3 , on se donne une fonction ω continue et positive sur [0, 1], non identiquement nulle. On considère la suite de terme général u_n = ∫_0^1 t^n ω(t)dt et on pose
S = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k u_k
On se donne aussi une suite de polynômes à coefficients réels (P_n)_(n ∈ N) telle que pour tout n, P_n(− 1) ≠ 0. Pour tout n ∈ N, on pose
T_n = 1/(P_n(− 1))∫_0^1(P_n(− 1) − P_n(t))/(1 + t)ω(t)dt
9a. Montrer que S − T_n = ∫_0^1(P_n(t))/(P_n(− 1)(1 + t))ω(t)dt.
9b. En déduire que |S − T_n| ≤ (SM_n)/(|P_n(− 1)|) où M_n = sup_(t ∈ [0, 1])|P_n(t)|.
10. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes P_n(x) = (1 − x)^n. Donner une majoration explicite de |S − T_n|, en fonction de S et n.
11. Dans cette question, on choisit comme suite de polynômes P_n(x) = (1 − 2x)^n. Donner une majoration explicite de |S − T_n|, en fonction de S et n.
12a. Démontrer l'existence et l'unicité d'une suite de polynômes (P_n)_(n ∈ N) vérifiant les conditions suivantes : pour tout n ∈ N, pour tout t ∈ R,
degP_n = n, P_n(sin^2 t) = cos(2nt)
12b. Calculer P_n(− 1) pour tout n ∈ N.
12c. Donner une majoration explicite de |S − T_n|.

Quatrième partie : comparaison des méthodes sur un exemple

Dans cette partie, u_n = 1/(n + 1), S = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k u_k, S_n = ∑_(k = 0)^n(− 1)^k u_k, E_n = ∑_(k = 0)^n 1/((k + 1)2^(k + 1)) et T_n = 1/(P_n(− 1))∫_0^1(P_n(− 1) − P_n(t))/(1 + t)dt, où les P_n sont les polynômes de la question 12.
13. Donner un équivalent de S − S_n et de S − E_n. Comparez la vitesse de convergence de T_n avec celle de S_n et E_n. Donner un équivalent de S − T_n.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths B X ENS MP 2011 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths B X ENS MP 2011 ?

Sur la transformée d'Euler, qui accélère la convergence des séries alternées, à travers les suites complètement monotones, les différences finies itérées et une famille de polynômes liés à cos(2nt).

Quelle est la moyenne de l'épreuve de mathématiques B Polytechnique MP 2011 ?

Le rapport indique une moyenne de 9,94 sur 20 avec un écart-type de 3,68, pour 1617 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths B X MP 2011 ?

Des convergences de séries non vérifiées, la convergence uniforme de t ↦ t^n sur [0, 1] affirmée à tort, une récurrence mal posée en 1a et un développement de ln(1 + x) utilisé en x = 1 sans précaution.

Faut-il traiter la dernière question du sujet X maths B MP 2011 ?

Le jury a décidé qu'on pouvait théoriquement obtenir 20 sans la question 13, mais note que les meilleurs candidats ont traité l'intégralité du sujet, souvent avec succès.

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