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X ENS Mathématiques B MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence

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Présentation du sujet

Difficile
Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence : convergence au sens de Césaro et théorème de Kronecker
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Le sujet étudie le comportement d'une série entière sur son cercle de convergence. Il introduit la convergence au sens de Césaro, démontre ensuite un théorème de Kronecker à l'aide d'un espace de fonctions engendré par des exponentielles, puis s'en sert pour décrire les valeurs d'adhérence des sommes partielles sur quelques exemples.

  1. 1Première partie : convergence au sens de CésaroLien entre convergence et C-convergence, lemme de type Abel et calcul de l'ensemble des points de C-convergence pour trois séries entières.
  2. 2Deuxième partie : un théorème de KroneckerEspace de dimension infinie engendré par les exponentielles, forme linéaire moyenne, noyau de Fejér et démonstration du théorème de Kronecker.
  3. 3Troisième partie : valeurs d'adhérence aux points de C-convergenceDescription des valeurs d'adhérence des séries des exemples de la première partie, sous forme de cercles ou de couronne.

Difficile. Le jury décrit un sujet long, exigeant de reproduire des démonstrations de cours, avec un gros tiers des copies passées à côté et une troisième partie très peu traitée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,89 / 20 · écart-type 4,55 · 1 564 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,89/ 20
Écart-type
4,55
Copies
1 564
moyenne 7,8905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Mauvaise compréhension de la divergence · Confusion entre série et suite C-convergentes · Critère des séries alternées appliqué à tort
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Les notes se répartissent en deux groupes : un gros tiers des copies centré vers 3,8/20, et les autres autour de 11,5/20. Le sujet demandait de refaire des démonstrations de cours plutôt que de citer des théorèmes, ce qui a pénalisé les candidats connaissant les énoncés sans leurs preuves. Le jury insiste aussi sur la présentation et l'honnêteté des calculs.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Mauvaise compréhension de la divergenceParties 1 et 3

    Certains candidats pensent qu'une série entière divergente en un point a des sommes partielles qui tendent vers l'infini, ce qui fausse la première et la troisième partie.

  2. 2
    Confusion entre série et suite C-convergentesQuestions 4, 5 et 13

    Confondre la C-convergence de la série et celle de la suite de ses termes a conduit à des hors-sujets.

  3. 3
    Critère des séries alternées appliqué à tortQuestion 3

    En question 3, le terme général ne tend pas vers 0 : il fallait s'inspirer de la preuve du critère, pas l'invoquer directement. Cette question a été majoritairement ratée.

    « puisque le terme général an ne tend pas vers 0 »
  4. 4
    Oubli que l'espace est engendré par des combinaisons finiesQuestions 6a et 6b

    Un élément de l'espace est une combinaison linéaire finie d'exponentielles. Passer par des séries infinies menait à des justifications douteuses d'inversions série-intégrale.

  5. 5
    Produits de sommes mal développésQuestions 8a et 8b

    Les questions 8a et 8b, réussies par 15 % des candidats, exigeaient la stabilité par produit, la distributivité et la liberté sur Q. Beaucoup intervertissent somme et produit sans changer les indices.

  6. 6
    Calculs maquillés

    Des calculs non aboutis se terminent par un « donc » injustifié. Le jury prévient que cela le rend plus sévère sur le reste de la copie.

    « Nous invitons donc les candidats à utiliser un brouillon et à ne pas recopier des pages de calculs inutiles sur leur copie »

Ce qui a été bien réussi

  • La question de cours sur le théorème de Césaro (question 1) est traitée correctement par 80 % des candidats.
  • La question 2 est correctement traitée par 75 % des candidats, et la question 7a par 85 %.
  • Les quelques candidats qui ont abordé la question 11a l'ont généralement bien traitée, et quelques copies excellentes ont traité la troisième partie avec les seuls arguments essentiels.

Conseils du jury

  • Connaître les démonstrations des résultats de cours, pas seulement leurs énoncés.
  • Sur un sujet long, traiter correctement une partie des questions plutôt que survoler l'ensemble.
  • S'entraîner aux espaces de fonctions et aux spécificités de la dimension infinie, fréquents en MP.
  • Traiter complètement les exemples de la question 5 : c'était long mais récompensé par le barème et utile pour la suite.
  • Faire ressortir les arguments clés de chaque démonstration et soigner la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - B - (X)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Valeurs d'adhérence de séries entières sur le cercle de convergence

La notation i étant réservée (c'est un nombre complexe dont le carré est -1 ) les candidats éviteront de l'utiliser à d'autres fins, par exemple comme indice de suite, de sommation ou de produit.

Première partie : convergence au sens de Césaro

Soit (a_n)_(n ⩾ 0) une suite de nombres complexes. On dit qu'elle est C-convergente si la suite (m_n)_(n ⩾ 0) définie par
∀n ⩾ 0, m_n = (a_0 + a_1 + ⋯ + a_n)/(n + 1)
est convergente et on appelle alors C-limite de (a_n)_(n ⩾ 0) la limite de la suite (m_n)_(n ⩾ 0).
  1. Montrer que toute suite convergente est C-convergente et donner un exemple de suite C-convergente mais non convergente.
  2. Montrer que si la suite (a_n)_(n ⩾ 0) est C-convergente, alors lim_(n → ∞)(a_n)/n = 0.
  3. Montrer que pour tout α ∈ ]0, 1[, la suite de terme général a_n = (− 1)^n n^α est C-convergente.
Si (b_n)_(n ⩾ 0) est une suite de nombre complexes, on dit que la série ∑b_n est C-convergente si la suite des sommes partielles de la série est C-convergente et la C-limite de la suite des sommes partielles sera appelée C-limite de la série.
Soit ∑c_n z^n une série entière de rayon de convergence R > 0. On note pour tout n ⩾ 0,
S_n(z) = ∑_(k = 0)^n c_k z^k, σ_n(z) = (S_0(z) + S_1(z) + ⋯ + S_n(z))/(n + 1).
  1. Soit z_0 un nombre complexe tel que la série ∑c_n z_0^n soit C-convergente. Montrer que |z_0| ⩽ R.
Si z_0 ∈ C est tel que ∑c_n z_0^n est C-convergente, on note σ(z_0) sa C-limite. On note F l'ensemble des nombres complexes de module R pour lesquels la série est C-convergente.
5. Pour chacune des séries entières ∑c_n z^n suivantes, déterminer le rayon de convergence, l'ensemble F et la valeur de σ(z) pour tout z ∈ F.
5a. ∀n ∈ N, c_n = 1.
5b. ∀n ∈ N, c_(2n) = α, c_(2n + 1) = α + β, α, β ∈ C, β ≠ 0, 2α + β ≠ 0.
5c. ∀n ∈ N, c_n = 1 + αe^(inλ), α ∈ ]0, 1[, λ ∈ R.

Deuxième partie : un théorème de Kronecker

On rappelle que des nombres réels x_1, …, x_m sont linéairement indépendants sur Q s'ils forment un système libre de R considéré comme Q-espace vectoriel.
Soit C_b(R, C) le C-espace vectoriel des fonctions continues bornées de R dans C. Il est muni de la norme définie pour toute fonction f ∈ C_b(R, C) par
‖f‖_∞ = sup_(x ∈ R)|f(x)|
Si λ ∈ R, on désigne par e_λ ∈ C_b(R, C) la fonction définie par e_λ(t) = e^(iλt). Soit E le sous-espace de C_b(R, C) engendré par les fonctions e_λ, λ ∈ R.
6a. Montrer que pour tout f ∈ E, la fonction x ↦ 1/(2x)∫_(− x)^x f(t)dt admet une limite lorsque x tend vers + ∞ qu'on note M(f). Vérifier que f ↦ M(f) est une forme linéaire continue sur E.
6b. Montrer que (e_λ)_(λ ∈ R) est une base de E et que pour tout f ∈ E, M(f) est la coordonnée de f suivant e_0 dans la base des (e_λ)_(λ ∈ R).
6c. Montrer que si f, g ∈ E alors il en est de même de fg. Dans le cas où g est à valeurs réelles positives, établir que |M(fg)| ⩽ ‖f‖_∞M(g).
7. On pose pour tout entier N ⩾ 0, K_N = ∑_(j = − N)^N(1 − (|j|)/(N + 1))e_j.
7a. Montrer que K_N(t) = 1 + ∑_(j = 1)^N(2j)/(N + 1)cos((N + 1 − j)t).
7b. Montrer que pour tout t ∈ R∖2πZ,
(sin((N + 1)/2t))/(sin(t/2)) = ∑_(k = 0)^N e^(i(N/2 − k)t) puis que K_N(t) = 1/(N + 1)((sin((N + 1)/2t))/(sin(t/2)))^2.
Dans la suite de cette partie, on fixe un entier n ⩾ 1, des nombres réels λ_1, …, λ_n, λ_(n + 1) linéairement indépendants sur Q, des nombres réels positifs r_0, …, r_(n + 1) et des nombres réels α_1, …, α_(n + 1).
Pour j = 1, …, n + 1, on pose a_j = r_j e^(iα_j) et pour tout x ∈ R, f(x) = r_0 + ∑_(j = 1)^(n + 1)a_j e^(iλ_j x).
8. Pour tout entier N ⩾ 0, on pose g_N(x) = ∏_(p = 1)^(n + 1)K_N(λ_p x + α_p).
8a. Écrire g_N comme combinaison linéaire de fonctions e_λ avec λ de la forme
λ = k_1 λ_1 + ⋯ + k_(n + 1)λ_(n + 1), k_i ∈ { − N, …, N}.
En déduire que M(g_N) = 1.
8b. Montrer que M(fg_N) = r_0 + N/(N + 1)∑_(j = 1)^(n + 1)r_j.
8c. En déduire que ‖f‖_∞ = ∑_(j = 0)^(n + 1)r_j, (on pourra utiliser 6c).
9. Soient u_1, …, u_m des nombres complexes de module 1 et ε un réel strictement positif. On suppose que |u_1 + ⋯ + u_m| ⩾ m − ε. Montrer que si k ≠ j on a |u_k + u_j| ⩾ 2 − ε et |u_k − u_j| ⩽ 2√ε.
Dans la suite on suppose de plus que λ_(n + 1) = 2π, r_j = 1 pour tout j ∈ {1, …, n + 1} et α_(n + 1) = 0, de sorte que f(x) = 1 + ∑_(j = 1)^n e^(iα_j)e^(iλ_j x) + e^(i2πx).
10a. Montrer qu'il existe une suite de nombres réels (x_m)_(m ∈ N) telle que lim_(m → + ∞)|f(x_m)| = n + 2.
10b. Montrer qu'une telle suite (x_m)_(m ∈ N) vérifie pour tout j ∈ {1, …, n},
lim_(m → + ∞)e^(iλ_j x_m) = e^(− iα_j), lim_(m → + ∞)e^(i2πx_m) = 1
10c. Posons x_m = N_m + y_m, avec y_m ∈ [ − 1/2, 1/2[ et N_m ∈ Z. Montrer que lim_(m → + ∞)y_m = 0, puis que pour tout j ∈ {1, …, n}, on a lim_(m → + ∞)e^(iλ_j N_m) = e^(− iα_j).
11. Dans cette question, on considère le cas particulier où α_j = π, pour tout j ∈ {1, …, n}, de sorte que f(x) = 1 − ∑_(j = 1)^n e^(iλ_j x) + e^(i2πx).
11a. Montrer que sur tout intervalle fermé borné I de R, sup_(x ∈ I)|f(x)| < n + 2.
11b. En déduire l'existence d'une suite (N_m^′)_(m ∈ N) d'entiers relatifs telle que lim_(m → + ∞)N_m^′ = ± ∞
et pour tout j ∈ {1, …, n}, lim_(m → + ∞)e^(iλ_j N_m^′) = − 1. Que peut-on dire des suites (e^(i2λ_j N_m^′))_(m ∈ N) ?
12. Déduire de ce qui précède le théorème suivant.
Théorème de Kronecker. Soient λ_1, …, λ_n des réels tels que λ_1, …, λ_n, π sont linéairement indépendants sur Q. Soient α_1, …, α_n des réels. Alors il existe une suite (N_m)_(m ∈ N) d'entiers naturels tels que lim_(m → + ∞)N_m = + ∞ et pour tout j ∈ {1, …, n}, lim_(m → + ∞)e^(iλ_j N_m) = e^(iα_j).

Troisième partie : valeurs d'adhérence aux points de C-convergence

On rappelle que ℓ est une valeur d'adhérence de la suite (u_n)_(n ∈ N) s'il existe une application strictement croissante φ : N → N telle que ℓ = lim_(n → + ∞)u_(φ(n)).
Les valeurs d'adhérence d'une série sont celles de la suite de ses sommes partielles. Si ∑c_n z^n est une série entière et z_0 ∈ C, on note L(z_0) l'ensemble des valeurs d'adhérence de la série ∑c_n z_0^n. Dans cette partie, on étudie l'ensemble L(z_0), z_0 ∈ F, pour les exemples de la question 5. Les notations F, σ(z) sont celles de la première partie.
13a. On reprend l'exemple 5a. Déterminer L(e^(ix)), lorsque x/π ∈ Q. Lorsque x/π ∉ Q, montrer que L(e^(ix)) est un cercle de centre σ(e^(ix)) dont on déterminera le rayon.
13b. On reprend l'exemple 5b. On suppose que x/π ∉ Q, α ≠ 0 et β/α ∉ R. Montrer que L(e^(ix)) est réunion de deux cercles de centre σ(e^(ix)) dont on déterminera les rayons.
13c. On reprend l'exemple 5c. On suppose que les nombres x, λ, π sont linéairement indépendants sur Q. Montrer que pour α > 0 suffisamment petit,
L(e^(ix)) = {ζ ∈ C; |ζ − σ(e^(ix))| ∈ [r_1, r_2]}
pour des réels 0 < r_1 < r_2 que l'on déterminera.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X ENS maths B MP 2012 ?
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Sur quoi porte le sujet X ENS maths B MP 2012 ?

Sur les séries entières sur leur cercle de convergence : convergence au sens de Césaro, démonstration d'un théorème de Kronecker dans un espace de fonctions, puis description des valeurs d'adhérence des sommes partielles.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B de l'X en MP 2012 ?

Le tableau du rapport indique une note moyenne de 7,89 sur 1564 copies, avec un écart-type de 4,55. Le texte du rapport évoque aussi une moyenne générale de 7,6/20.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths B X 2012 MP ?

Des théorèmes cités au lieu d'être redémontrés, la confusion entre C-convergence d'une série et d'une suite, l'oubli que les éléments de l'espace sont des combinaisons finies et des calculs non aboutis conclus par un « donc » injustifié.

Comment réussir le sujet de maths B de l'X MP 2012 ?

Le jury conseille de traiter à fond une partie des questions plutôt que de grappiller. Les exemples de la question 5 et les questions 7b, 8a et 8b ont fait la différence entre copies moyennes et bonnes copies.

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