E3A Mathématiques 1 MP 2017Sujet et corrigé

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Quatre exercices indépendants : fonction Gamma, endomorphismes antisymétriques, méthode de Newton et probabilités, marches aléatoires

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le premier étudie une suite d'intégrales convergeant vers la fonction Gamma d'Euler et son développement en série entière. Le deuxième porte sur les automorphismes antisymétriques d'un espace euclidien et leur réduction par blocs. Le troisième combine méthode de Newton, programmation Python et fonction génératrice pour étudier l'extinction d'une population. Le quatrième modélise, à l'aide de dénombrement et de probabilités, le trajet d'un piéton dans une ville en damier.

1Exercice 1Étudier une suite d'intégrales à paramètre convergeant vers la fonction Gamma d'Euler, en déduire un équivalent, puis étudier la série entière associée.
2Exercice 2Étudier un automorphisme antisymétrique d'un espace euclidien, montrer que sa dimension est paire et obtenir une réduction par blocs de sa matrice dans une base orthonormée.
3Exercice 3Appliquer la méthode de Newton à une fonction polynomiale, programmer la suite obtenue en Python, puis relier sa limite à la probabilité d'extinction d'une population modélisée par une fonction génératrice.
4Exercice 4Dénombrer les trajets d'un piéton se déplaçant vers le Nord ou l'Est dans une ville en damier, puis calculer la probabilité que le trajet croise pour la première fois une diagonale donnée, et étudier son comportement asymptotique.

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e3a 2017 MP : Maths 1

EXERCICE n $^\circ1$

Dans tout l'exercice

α

désigne un réel strictement supérieur à 1 .

Soit un entier $n$ strictement positif.
a) Justifier l'existence de l'intégrale notée $I_n$ égale à $\int_0^(+ \infty)1/((1 + t^α)^n) dt$ .
b) En effectuant le changement de variable $t = (u/n)^(1/α)$ dans l'intégrale $I_n$ , montrer que l'application $u ⟼ (u^(1/α - 1))/((1 + u/n)^n)$ est intégrable sur ] $0, + \infty$ [ et exprimer l'intégrale $\int_0^(+ \infty)(u^(1/α - 1))/((1 + u/n)^n) du$ en fonction de l'intégrale $I_n$ .
c) Montrer que :

\foralln \in ℕ^*, \forallu ⩾ 0, (1 + u/n)^n ⩾ 1 + u

Déterminer la limite : $lim_(n \to + \infty)(1 + u/n)^n$ pour $u ⩾ 0$ .
Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on définit la suite $(v_n)$ par :

\foralln \in ℕ^*, v_n = \int_0^(+ \infty)(u^(1/α - 1))/((1 + u/n)^n) du

a) Montrer, en justifiant avec soin, que la limite de la suite

(v_n)_(n \in ℕ^*)

lorsque

n

tend vers plus l'infini est égale à

Γ(1/α)

où

Γ(1/α) = \int_0^(+ \infty)u^(1/α - 1)e^(- u) du

.
b) En déduire un équivalent de l'intégrale

I_n

lorsque

n

tend vers plus l'infini.
4) a) Déterminer le rayon de convergence

R

de la série entière

\sum_(n ⩾ 1)I_n x^n

où

I_n

est la suite définie à la question 1).
b) Pour

x \in ℝ

tel que :

|x| < R

, on note

S(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)I_n x^n

. Montrer, en précisant avec soin le théorème utilisé, que :

S(x) = \int_0^(+ \infty)x/(1 + t^α - x) dt pour |x| < R

EXERCICE n $^\circ2$

E

est un espace euclidien de dimension

n ⩾ 1

muni du produit scalaire (

x, y

)

⟼ (x|y)

. On rappelle qu'un automorphisme de

E

est un endomorphisme bijectif de

E

. On considère un automorphisme

u

E

qui vérifie la propriété (1) :

(1) \forall(x, y) \in E \times E, (u(x)|y) = - (x|u(y)).

Soit $B = (e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormée de $E$ . Soit $A$ la matrice de $u$ dans la base $B$ .
a) Étant donnés deux entiers $i, j$ compris entre 1 et $n$ , on note $a_(i, j)$ le $(i, j)$ -ème coefficient de A. Justifier :

a_(i, j) = (u(e_j)|e_i).

b) En déduire l'égalité :

^t A = - A

.
2) Montrer que l'entier

n

est un nombre pair.

Indication : On pourra considérer le déterminant de la matrice

A

.
3) On appelle

v

l'automorphisme égal à

u \circ u

. Montrer que

v

est un automorphisme diagonalisable dans une base orthonormée de

E

.
4) Soit

λ

une valeur propre réelle de

v

, montrer que

λ

est strictement négative.
5) On note

x

un vecteur propre de l'automorphisme

v

associé à la valeur propre

λ

F

le sous-espace vectoriel de

E

engendré par

x

u(x)

.
a) Montrer que la dimension de

F

est égale à 2 .
b) Montrer que

F

est stable par l'automorphisme

u

, en déduire que l'orthogonal

F^⊥

est aussi stable par

u

. On notera

u_F

u_(F ⊥)

les applications induites par l'automorphisme

u

sur les sous-espaces vectoriels

F

F^⊥

.
c) Soit

λ

une valeur propre réelle de

v

, on pose

a = \sqrt(- λ)

. Montrer qu'il existe une base orthonormée

B^'

F

telle que la matrice de

u_F

dans la base

B^'

soit égale à

(0, - a; a, 0)

. Indication : On pourra considérer les vecteurs

e_1^' = 1/(‖x‖)x

e_2^' = 1/(a‖x‖)u(x)

.
d) Montrer que l'endomorphisme

u_(F ⊥)

est un automorphisme vérifiant la relation (1).
6) On suppose dans cette question que l'espace euclidien

E

est de dimension 4 . Soit

u

un automorphisme de

E

vérifiant la relation (1).
Montrer qu'il existe une base orthonormée

B

" de

E

et deux réels

α

β

non nuls tels que la matrice de l'automorphisme

u

dans cette base soit égale à :

(0, - α, 0, 0; α, 0, 0, 0; 0, 0, 0, - β; 0, 0, β, 0)

EXERCICE n $^\circ3$

Première partie

Soit un réel

a \in ]0, 29[

, on considère la fonction

H

définie sur

ℝ

par :

\forallt \in ℝ, H(t) = 10t^3 + 31t^2 + 71t - a.

Montrer qu'il existe un unique réel noté $ℓ \in ]0, 1/2[$ tel que : $H(ℓ) = 0$ .
On considère la suite ( $u_n$ ) définie par : $u_0 = 1/2$ .

Pour tout entier

n, u_(n + 1)

est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe d'équation

y = H(x)

, au point de coordonnées

(u_n, H(u_n))

.
a) Montrer que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

est bien définie et que :

\foralln \in ℕ, u_(n + 1) = u_n - (H(u_n))/(H^'(u_n)).

b) Déterminer le sens de variation de l'application

f : | [0, 1], ⟶, ℝ; t, ⟼, t - (H(t))/(H^'(t))

En déduire que :

\foralln \in ℕ, u_n \in [ℓ, 1/2].

c) Montrer que :

\foralln \in ℕ, |H(ℓ) - H(u_n) - (ℓ - u_n)H^'(u_n)| ⩽ 46|u_n - ℓ|^2.

d) En déduire :

\foralln \in ℕ, |u_(n + 1) - ℓ| ⩽ (46|u_n - ℓ|^2)/(71)

puis que :

\foralln \in ℕ, |u_(n + 1) - ℓ| ⩽ (7|u_n - ℓ|^2)/(10)

e) Pour tout réel

a \in ]0, 29[

, vérifier que

u_2

est une valeur approchée de

ℓ

à 0.03 près.
3) Application informatique. On utilisera le langage Python sans aucune bibliothèque supplémentaire. Écrire une fonction suite

(a, n)

en langage Python qui prend en entrée le paramètre

a

et un entier

n

et qui renvoie la liste

[u_0, u_1, \dots, u_n]

des

n + 1

premiers termes de la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

de la question 2) en fonction de

a

Deuxième partie

On considère un espace probabilisé (

Ω, A, P

), deux réels

a

b

strictement positifs et une variable aléatoire

X

définie sur

Ω

telle que

X(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4}

et dont la loi est définie par :

{P(X = 0) = a/(100); P(X = 1) = b/(100); P(X = 2) = 2/5; P(X = 3) = (21)/(100); P(X = 4) = 1/(10)

On rappelle que la fonction génératrice d'une variable aléatoire

Y

est la somme de la série entière :

\forallt \in [0, 1], G_Y(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)P(Y = n)t^n

Déterminer la relation liant les réels $a$ et $b$ .
Déterminer la fonction génératrice $G_X$ de la variable aléatoire $X$ .
On suppose qu'une population évolue par générations. Étant donné un entier naturel $n ⩾ 1$ , on note $Z_n$ la variable aléatoire qui représente le nombre d'individus de la $n$ -ième génération. Le nombre de descendants de chaque individu d'une génération quelconque suit la loi de la variable aléatoire $X$ . On pose $Z_0 = 1$ .
On admet que pour tout entier naturel $n$ , la fonction génératrice $G_(Z_n)$ de la variable aléatoire $Z_n$ vérifie la relation de récurrence :

G_(Z_(n + 1)) = G_X \circ G_(Z_n)

Dans cet exercice, on s'intéresse à la probabilité d'extinction de la population à long terme, ce qu'on mesure par le comportement asymptotique de la suite

(P(Z_n = 0))_(n \in ℕ)

. Pour

n \in ℕ

, on note

w_n = P(Z_n = 0)

.
a) Soit

n \in ℕ

, exprimer

w_n

en fonction de la fonction génératrice

G_(Z_n)

.
b) Pour

n \in ℕ

, exprimer

w_(n + 1)

en fonction de

w_n

.
c) Montrer que

G_X([0, 1/2]) \subset [0, 1/2]

, en déduire que :

\foralln \in ℕ, w_n \in [0, 1/2]

Montrer alors que la suite (

w_n

) est convergente vers un réel noté

L(a)

appartenant à

[0, 1/2]

.
d) Montrer que le réel

L(a)

est égal au réel

ℓ

de la partie I, en déduire une approximation de la probabilité

L(a)

d'extinction de la population à long terme en fonction de

a

EXERCICE n $^\circ4$

Le but de cet exercice est de modéliser le trajet d'un piéton dans une grande ville dont les rues se croisent à angle droit.
À New-York, dans le quartier de Manhattan, un piéton voit au loin, dans la direction du Nord, le gratte-ciel Empire State Building sous un angle de 45 degrés vers l'Est.
À chaque croisement de rues, le piéton choisit d'aller soit vers le Nord

(N)

, soit vers l'Est

(E)

.
On appelle étape le déplacement du piéton entre deux croisements consécutifs. Soit

l

un entier naturel non nul. Un trajet de

l

étapes est représenté par une suite (

u_1, u_2, \dots, u_l

) avec, pour tout entier

i

compris entre 1 et

l, u_i = Esi

, au

i

-ème croisement, le piéton s'est dirigé vers l'Est et

u_i = Nsi

, au

i

-ème croisement, le piéton s'est dirigé vers le Nord.
On définit l'origine du repère au point de départ du piéton, chaque croisement du trajet a pour coordonnées (

x, y

) où

x

reprśente le nombre de rues vers l'Est depuis l'origine et

y

le nombre de rues vers le Nord toujours depuis l'origine, les croisements se situent à égales distances. A chaque trajet de

l

étapes (

l

est un entier naturel non nul) on associe le chemin passant par la suite des points de coordonnées

(x_k, y_k)

pour

0 ⩽ k ⩽ l

définies par récurrence par :

x_0 = y_0 = 0

pour

1 ⩽ k ⩽ l

(x_k, y_k) = {(x_(k − 1), y_(k − 1) + 1), si, u_k = N; (x_(k − 1) + 1, y_(k − 1)), si, u_k = E

La figure ci-jointe illustre un trajet de 18 étapes du piéton.

a) Écrire en langage Python une fonction deplacement( $L, a, b$ ) dont la valeur est ( $a, b + 1$ ) si $L = 'N'$ et $(a + 1, b)$ si $L = 'E'$ .
b) Écrire une fonction $chemin(m)$ où $m$ est une chaîne constituée des caractères " $N$ " et " $E$ " et qui renvoie la liste des abscisses ainsi que la liste des ordonnées des points du trajet.
a) En remarquant qu'à chaque étape on a deux choix possibles, déterminer le nombre de trajets comportant exactement $l$ étapes où $l \in ℕ^*$ .
b) Le nombre de chemins reliant l'origine au point de coordonnées ( 3,2 ) est égal au nombre de trajets de cinq étapes comportant deux étapes $N$ et trois étapes $E$ , en déduire le nombre de trajets reliant l'origine au point de coordonnées $(3, 2)$ .
c) Plus généralement, soit un point $M$ de coordonnées $(a, b)$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$ , déterminer le nombre de chemins reliant l'origine à ce point $M$ .
Pour $n \in ℕ^*$ , on appelle $U_n$ l'événement "Le chemin passe pour la première fois à l'étape $2n$ par un point de la droite $Δ$ d'équation $y = x$ ". On pourra noter $N_k$ l'événement "à l'étape $k$ , le déplacement se fait vers le Nord" et $E_k$ l'événement "à l'étape $k$ , le déplacement se fait vers l'Est".
a) Calculer la probabilité de l'événement $U_1$ .
b) Soient quatre entiers naturels $a, b, c, d$ , on note $C_((a, b))^((c, d))$ l'ensemble des chemins reliant le point de coordonnées $(a, b)$ au point de coordonnées $(c, d)$ . Déterminer le cardinal de l'ensemble $C_((0, 1))^((n - 1, n))$ des chemins reliant le point de coordonnées $(0, 1)$ au point de coordonnées $(n - 1, n)$ pour $n ⩾ 2$ .
c) Soit $n ⩾ 2$ . On admet pour des raisons de symétrie que le nombre de chemins reliant le point de coordonnées $(0, 1)$ au point de coordonnées $(n - 1, n)$ et coupant la droite d'équation $y = x$ est égal au nombre de chemins reliant le point de coordonnées $(1, 0)$ au point de coordonnées $(n - 1, n)$ . Déterminer le nombre de chemins reliant le point de coordonnées $(0, 1)$ au point de coordonnées $(n - 1, n)$ et coupant la droite d'équation $y = x$ .
Soient quatre entiers naturels $a, b, c, d$ , on note $T_((a, b))^((c, d))$ l'ensemble des chemins reliant le point de coordonnées $(a, b)$ au point de coordonnées $(c, d)$ ne coupant pas la droite d'équation $y = x$ .
d) En déduire le cardinal de l'ensemble $T_((0, 1))^((n - 1, n))$ des chemins reliant le point de coordonnées $(0, 1)$ au point de coordonnées $(n - 1, n)$ ne coupant pas la droite d'équation $y = x$ .
e) Déterminer de même le cardinal de l'ensemble $T_((1, 0))^((n, n - 1))$ des chemins reliant le point de coordonnées $(1, 0)$ au point de coordonnées $(n, n - 1)$ ne coupant pas la droite d'équation $y = x$ .
f) En déduire que pour tout entier $n \in ℕ, n ⩾ 2$ :

P(U_n) = 1/(2^(2n - 1)) \times ((2n - 2)!)/(n!(n - 1)!)

puis que

P(U_n) = (1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2n - 3))/(2 \times 4 \times \dots \times 2n).

On considère la suite ( $v_n$ ) définie par : $\foralln \in ℕ^*, v_n = P(U_n)$ .
a) Déterminer le réel $a$ tel que :

ln((v_(n + 1))/(v_n)) = _(n \to + \infty)a/n + O(1/(n^2))

b) En appliquant la comparaison série-intégrale, montrer qu'il existe une constante

γ

réelle telle que :

\sum_(n = 1)^(N - 1)1/n = _(N \to + \infty)ln(N) + γ + o(1)

c) En calculant de deux manières différentes la somme

\sum_(n = 1)^(N - 1)ln((v_n + 1)/(v_n))

, montrer qu'il existe une constante

k > 0

telle que :

v_N \sim _(N \to + \infty)k/(N^(3/2))

d) Montrer que:

\foralln \in ℕ, n ⩾ 2, v_(n + 1) = (2n - 1)v_n - (2n + 1)v_(n + 1)

, en déduire la somme de la série

\sum_(n = 1)^(+ \infty)P(U_n)

, que peut-on en déduire?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 e3a MP 2017 ?

Il porte sur les intégrales à paramètre, les séries entières, la réduction des endomorphismes euclidiens, la méthode de Newton, la programmation Python et les probabilités discrètes.

Les quatre exercices sont-ils indépendants ?

Oui, les quatre exercices traitent des sujets distincts et peuvent être abordés dans n'importe quel ordre.

Le sujet demande-t-il de programmer en Python ?

Oui, l'exercice 3 demande d'écrire une fonction Python calculant les termes d'une suite, et l'exercice 4 demande deux fonctions Python pour construire un trajet.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La convergence des intégrales généralisées, les séries entières, la réduction des endomorphismes dans un espace euclidien, la méthode de Newton et les fonctions génératrices de variables aléatoires.

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EXERCICE n ^∘2

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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 e3a MP 2017 ?

Les quatre exercices sont-ils indépendants ?

Le sujet demande-t-il de programmer en Python ?

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

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