E3A Mathématiques 1 MP 2018Sujet et corrigé

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueE3A Année2018 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales E3A MP Mathématiques E3A MP 2018 MP Mathématiques Mathématiques 2018

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Mathématiques 1, e3a MP 2018 : constante d'Euler, matrices de Hadamard et nombre de valeurs distinctes dans un tirage

Ce sujet comporte trois exercices indépendants. Le premier étudie deux suites liées à la série harmonique pour définir la constante d'Euler et en donner un développement asymptotique. Le deuxième étudie les matrices à coefficients dans {-1, 1} et à colonnes orthogonales, appelées matrices de Hadamard, et montre que leur taille est nécessairement un multiple de 4. Le troisième étudie, en probabilités, le nombre de valeurs distinctes prises par n variables uniformes indépendantes, avec une application au problème des anniversaires.

1Exercice 1 : constante d'Euler et développement asymptotiqueOn construit deux suites adjacentes liées à la série harmonique pour démontrer l'existence de la constante gamma, puis on obtient un développement asymptotique de la somme harmonique.
2Exercice 2 : matrices de HadamardOn étudie les matrices à coefficients dans {-1, 1} dont les colonnes sont orthogonales, on calcule leur déterminant et on démontre que leur taille, si elle dépasse 2, est un multiple de 4, avec une question de programmation en Python.
3Exercice 3 : nombre de valeurs distinctes et problème des anniversairesOn calcule l'espérance du nombre de valeurs distinctes prises par n variables uniformes indépendantes sur un intervalle d'entiers, avec simulation en Python, puis on applique ce résultat au problème des anniversaires partagés.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,8 / 20 · écart-type 4,25 · 3 160 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,8/ 20
Écart-type: 4,25
Présents: 3 160

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 MP

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Exercices

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1

Pour tout entier naturel

n

clans

ℕ^*

, on note

h_n = \sum_(k = 1)^n 1/k, f_n = h_n - ln(n).

On considère les suites

(u_n)_(n \in ℕ^*)

(v_n)_(n \in ℕ^*)

définies par :

u_1 = 1 et pour n \geq 2, u_n = 1/n + ln(1 - 1/n); v_n = 1/n - ln(1 + 1/n).

Rappeler le domaine de définition de la fonction $(x \mapsto x + ln(1 - x))$ . Préciser son développement de Taylor à l'ordre 2 en 0 .
Soit $n$ un entier naturel non nul. Quel est le signe de $u_n$ ?
Justifier que la série $\sum_(n \geq 1)u_n$ est convergente.
Etudier la fonction $(f : x \mapsto x - ln(1 + x))$ sur $[0, 1]$ .
Justifier que la série $\sum_(n \geq 1)v_n$ est convergente.
Soit $n$ un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de $n, v_n - u_n$ .

En déduire une expression de

\sum_(n = 1)^N(v_n - u_n)

en fonction de

N

pour tout entier naturel

N

supérieur ou égal à 3 .
7. Que peut-on dire des suites

(\sum_(n = 1)^N v_n)_(N \in ℕ^*)

(\sum_(n = 1)^N u_n)_(N \in ℕ^*)

? Justifier que

\sum_(n \geq 1)u_n = \sum_(n \geq 1)v_n

Dans la suite de l'exercice, on note

γ

la somme des séries

\sum_(n \geq 1)u_n

\sum_(n \geq 1)v_n

.
8. Démontrer que

γ

est dans l'intervalle

]0, 1[

.
9. Soit

n

un entier naturel non nul. Justifier que:

ln(n + 1) \leq h_n \leq 1 + ln(n)

Justifier que la suite $(f_n)_(n \in ℕ^*)$ est décroissante.
Démontrer que la suite $(f_n)_(n \in ℕ^*)$ est convergente et de limite $γ$ .

Indication : Exprimer les sommes partielles de la série

\sum_(n \geq 1)u_n

en fonction des termes de la suite

(f_n)

.
12. Soit

r

un entier naturel

> 1

.
(a) Dessiner le graphe de la fonction

(x \mapsto (1/x^r))

sur

ℝ^(+ *)

.
(b) Soit

a

un nombre réel

> 0

. Exprimer en fonction de

a

r

I(a) = \int_a^(+ \infty)(dt)/(t^r)

(w_n)_(n \in ℕ)

une suite de nombres réels qui converge vers 0 et telle que la suite

(n^r(w_(n + 1) - w_n))_(n \in ℕ)

est convergente vers une limite

ℓ

telle que

ℓ > 0

.
i. Soient

a, b

dans

ℝ^(+ *)

tels que

0 < a < ℓ < b

. Justifier l'existence d'un entier naturel

N

supérieur ou égal à 2 tel que pour tout entier naturel

n \geq N

, on ait les inégalités :

a \leq n^r(w_(n + 1) - w_n)) \leq b

ii. Démontrer que pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à

N

a\int_N^(n + 1)(dt)/(t^r) \leq w_(n + 1) - w_N \leq b\int_(N - 1)^n(dt)/(t^r)

iii. En déduire l'encadrement :

- bI(N - 1) \leq w_N \leq - aI(N)

où

I

a été défini dans la question 12(b).
iv. Démontrer que la suite

(n^(r - 1)w_n)_(n \in ℕ)

est convergente et expliciter en fonction de

ℓ

r

sa limite.
v. Ce résultat reste-t-il vrai si la limite

ℓ

de la suite

(n^r(w_(n + 1) - w_n))_(n \in ℕ)

est 0 ?
13. Démontrer qu'il existe un nombre réel

α

qu'on explicitera tel que :

\foralln \in ℕ^*, \sum_(k = 1)^n 1/k = ln(n) + γ + α/n + o(1/n)

Indication: On appliquera les résultats de la question 12 à une suite bien choisie.

Exercice 2

Soit

n

un entier naturel strictement supérieur à 1 . On note

E

l'espace vectoriel euclidien

ℝ^n

muni du produit scalaire canonique

<, >

\forall(x_1; ⋮; x_n), (y_1; ⋮; y_n) \in ℝ^n, < (x_1; ⋮; x_n), (y_1; ⋮; y_n)>=\sum_(i = 1)^n x_i y_i

On note

‖‖

la norme associée et

e_1, \dots, e_n

la base canonique de

E

Soit $M$ une matrice dans $M_n(ℝ)$ . On note $v_1, \dots, v_n$ ses vecteurs colonnes.
(a) Exprimer en fonction des vecteurs $v_1, \dots, v_n$ les coefficients de la matrice $^t MM$ .
(b) Dans le cas particulier où les vecteurs $v_1, \dots, v_n$ sont orthogonaux deux à deux, démontrer que

|det(M)| = ‖v_1‖‖v_2‖\dots‖v_n‖.

Déterminer les matrices dans $M_n(ℝ)$ qui sont diagonales et orthogonales.

On note

H_n

l'ensemble des matrices

M

dans

M_n(ℝ)

telles que :

Tous les coefficients de $M$ sont dans ${ - 1, 1}$ .
Les vecteurs colonnes de la matrice $M$ sont orthogonaux 2 à 2 .

Par exemple, on pourra constater que :

(1, 1; 1, - 1) \in H_2 et (1, 1, - 1, 1; - 1, - 1, - 1, 1; 1, - 1, - 1, - 1; - 1, 1, - 1, - 1) \in H_4

Ecrire une fonction en Python qui lorsqu'elle prend en entrée la liste des colonnes d'une matrice $M$ , de taille $n$ , renvoie 1 si la matrice est dans $H_n$ et 0 sinon.
Soit $M \in H_n$ .
(a) Quelle est la norme d'un vecteur colonne de $M$ ?
(b) Que vaut $|det(M)|$ ?
Soit $M \in H_n$ . On suppose que le premier vecteur colonne de $M$ est le vecteur

v_1 = \sum_(i = 1)^n e_i = (1; ⋮; 1)

Soit, pour

i

dans

[ [2, n] ], v_i = \sum_(i = 1)^n m_(j, i)e_j

, le

i

-ème vecteur colonne de

M

. Démontrer que le nombre de

m_(j, i)

égaux à 1 est égal au nombre de

m_(j, i)

égaux à -1 .
6. On suppose que

H_n

est non vide. Démontrer que

H_n

contient une matrice

M_0

dont la première colonne est le vecteur

v_1 = \sum_(i = 1)^n e_i = (1; ⋮; 1)

.
7. Lorsque

H_n

est non vide, que peut-on en dire de la parité de

n

?
8. On suppose

n > 2

H_n

non vide. Soit

M_0

une matrice dans

H_n

dont la première colonne est le vecteur

v_1 = \sum_(i = 1)^n e_i = (1; ⋮; 1)

.
(a) Démontrer que det

(M_0)

est un entier relatif multiple de

2^(n - 1)

.
(b) Démontrer que

n

est un entier naturel multiple de 4 .

Exercice 3

Soient

a

b

des entiers naturels tels que

a \leq b

. On rappelle que

[ [a, b] ]

désigne l'ensemble des entiers naturels

k

tels que

a \leq k \leq b

S

est un ensemble fini, on note

|S|

son cardinal.
Si

X

est une variable aléatoire à valeurs dans une partie finie de

ℕ

, on note

𝔼(X)

son espérance.

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 et soit

ℓ

un entier naturel non nul. Soient

X_1, \dots, X_n

des variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur l'ensemble

[ [1, ℓ] ]

On note

U_n

le nombre de valeurs distinctes prises par les variables

X_1, \dots, X_n :

k_1, \dots, k_n

sont les valeurs prises respectivement par les variables

X_1, \dots, X_n

, alors

U_n

prend la valeur

|S|

où

S = {k_1, …, k_n}

, pour tout

(k_1, \dots, k_n)

dans

[ [1, ℓ] ]^n

S

est une partie de

[ [1, ℓ] ]

, on note

⟨{X_1, …, X_n} = S

» la réunion des événements «

(X_1, \dots, X_n) = (k_1, \dots, k_n)

», pour tout

(k_1, \dots, k_n)

dans

[ [1, ℓ] ]^n

tels que

S = {k_1, …, k_n}

On suppose dans cette question seulement $n = 2$ et $ℓ \geq 2$ .
(a) Justifier que $U_2$ ne prend que les valeurs 1 et 2 .
(b) Calculer $P(U_2 = 1)$ et $P(U_2 = 2)$ .
(c) Calculer $E(U_2)$ .
On se propose de simuler en Python la variable aléatoire $U_n$ pour $n = 10$ dans le cas où $ℓ = 25$ .
(a) Ecrire une fonction simulU qui renvoie une réalisation de $U_(10)$ .

On pourra utiliser la fonction : random.randint
L'instruction random.randint

(1, 25)

fournit un nombre entier aléatoire dans

[ [1, 25] ]

uniformément.
(b) Ecrire une fonction espu qui renvoie une approximation de l'espérance de

U_(10)

. Quel théorème utilisez-vous pour justifier que le résultat de cette fonction est une approximation de l'espérance de

U_(10)

? Enoncez précisément ce théorème.
3. Quel est l'ensemble des valeurs prises par

U_n

?
4. Soit

i

dans

[ [1, n] ]

. Soit

S

une partie de

[ [1, ℓ] ]

. Quelle est la probabilité de l'événement «

X_i \in S

» en fonction de

|S|

?
5. Soit

a

dans

[ [1, ℓ] ]

. Exprimer

P(X_1 \neq a, \dots, X_(n - 1) \neq a)

, la probabilité qu'aucune des variables

X_1, \dots, X_(n - 1)

ne prenne la valeur

a

, en fonction de

n

ℓ

.
6. En déduire

P(X_1 \neq X_n, \dots, X_(n - 1) \neq X_n)

, la probabilité que la valeur prise par

X_n

soit différente de toutes les valeurs prises par les autres variables, en fonction de

n

ℓ

.
7. Justifier

P(X_1 ≠ X_n, …, X_(n − 1) ≠ X_n) = ∑_(S ∈ P_ℓ)P({X_1, …, X_(n − 1)} = S)((ℓ − |S|)/ℓ)

où

P_ℓ

désigne l'ensemble des parties non vides de

[ [1, ℓ] ]

.
8. En déduire dans le cas où

n \geq 3

E(U_(n - 1)) = ℓ(1 - P(X_1 \neq X_n, \dots, X_(n - 1) \neq X_n))

Exprimer $E(U_n)$ en fonction de $n$ et $ℓ$ .
Déterminer la limite de $E(U_n)$ lorsque $ℓ$ est fixé et $n$ tend vers $+ \infty$ . Interprétez votre résultat.
Déterminer la limite de $E(U_n)$ lorsque $n$ est fixé et $ℓ$ tend vers $+ \infty$ . Interprétez votre résultat.
On s'intéresse aux possibles partages de dates d'anniversaire dans un groupe de $n$ personnes. On suppose que les années sont toutes de 365 jours et que les dates d'anniversaire sont uniformément réparties sur chaque jour de l'année. On fait aussi l'hypothèse que les dates d'anniversaire de $n$ personnes choisies au hasard sont indépendantes mutuellement.

Soit

D_n

le nombre de dates d'anniversaire d'un groupe de

n

personnes choisies au hasard.
(a) Exprimer en fonction de

n

le nombre moyen de dates d'anniversaire d'un groupe de

n

personnes, c'est-à-dire

E(D_n)

.
(b) Quelle est la limite de ce nombre moyen lorsque

n

tend vers

+ \infty

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 e3a MP 2018 ?

Il porte sur les séries numériques et développements asymptotiques, le produit scalaire et les matrices orthogonales, ainsi que les variables aléatoires discrètes et l'algorithmique en Python.

Les trois exercices sont-ils indépendants ?

Oui, les trois exercices portent sur des thèmes distincts : analyse, algèbre linéaire et probabilités, et peuvent être traités séparément.

Qu'est-ce qu'une matrice de Hadamard dans ce sujet ?

C'est une matrice dont tous les coefficients valent 1 ou -1 et dont les vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux ; l'exercice 2 étudie leurs propriétés de déterminant et de taille.

Faut-il maîtriser Python pour ce sujet ?

Oui, les exercices 2 et 3 demandent chacun d'écrire une courte fonction Python, l'une pour tester une propriété de matrice, l'autre pour simuler une variable aléatoire et approcher son espérance.

Pas de description pour le moment

Commentaires• E3A Mathématiques 1 MP 2018

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...