E3A Mathématiques 1 MP 2019Sujet et corrigé

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueE3A Année2019 FilièreMP MatièreMathématiques

Annales E3A MP Mathématiques E3A MP 2019 MP Mathématiques Mathématiques 2019

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Séries de fonctions trigonométriques, endomorphisme de sommation des colonnes, équation intégrale et endomorphisme symétrique sur des polynômes

Le sujet comprend quatre exercices indépendants. L'exercice 1 étudie une série de fonctions trigonométriques, puis l'utilise pour des coefficients de Fourier. L'exercice 2 étudie l'endomorphisme de Mn(K) qui remplace chaque colonne par la somme des autres, ses éléments propres et son déterminant. L'exercice 3 résout une équation intégro-différentielle par série entière. L'exercice 4 étudie un endomorphisme symétrique de polynômes, sa diagonalisation et sa trace.

1Exercice 1 : série de fonctions et coefficients de FourierÉtude du domaine de définition et de la convergence uniforme d'une série de fonctions cos(nx), expression de sa somme à l'aide de fonctions usuelles, puis calcul de coefficients de Fourier associés.
2Exercice 2 : endomorphisme de sommation des colonnes d'une matriceÉtude de l'endomorphisme u qui remplace chaque colonne d'une matrice par la somme des autres colonnes : nature géométrique pour n=2, calcul du déterminant, polynôme annulateur et éléments propres.
3Exercice 3 : résolution d'une équation intégrale par série entièreRéduction d'une équation intégro-différentielle à une équation différentielle linéaire du second ordre, puis résolution par recherche d'une solution développable en série entière.
4Exercice 4 : endomorphisme symétrique sur un espace de polynômesÉtude d'un endomorphisme défini par une intégrale à paramètre sur Rn[X] muni du produit scalaire canonique, démonstration de sa symétrie, diagonalisation et calcul de sa trace et de la trace de son carré.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Épreuve de Mathématiques 1 MP

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

On rappelle les formules de trigonométrie que l'on pourra utiliser sans les redémontrer :

2cos(p)cos(q) = cos(p + q) + cos(p - q) et 2sin(p)cos(q) = sin(p + q) + sin(p - q)

Soit

α

un réel non nul fixé.
Pour tout entier naturel

n

, on définit la fonction

u_n

ℝ

vers

ℝ

par :

\forallx \in ℝ, u_n(x) = (α^n cos(nx))/(n!)

Déterminer l'ensemble de définition $𝒟$ de la fonction $C : x \mapsto \sum_(n ⩾ 0)u_n(x)$ .
Etudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum_(n ⩾ 0)u_n$ sur $𝒟$ .
Donner pour tout $x \in 𝒟$ une expression de $C(x)$ à l'aide des fonctions usuelles.
Pour tout entier naturel $n$ , on note :

J_n = \int_(- π)^π sin(nx)C(x)dx et I_n = \int_(- π)^π cos(nx)C(x)dx

4.1 Calculer

J_n

puis

I_n

.
4.2 Déterminer

lim_(n \to + \infty)J_n

lim_(n \to + \infty)I_n

.
5. On pose enfin, lorsque cela existe,

S(x) = \sum_(n ⩾ 0)(α^n cos^2(nx))/(n!)

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

S

et donner une expression de

S(x)

à l'aide des fonctions usuelles.

Exercice 2.

Soient

n

un entier supérieur ou égal à

2, 𝕂 = ℝ

ℂ

E_n = ℳ_n(𝕂)

. La matrice identité de

E_n

sera notée

I_n

.
Soit

A \in E_n

. Pour tout

j \in [ [1, n] ]

, on note

A_j

j

-ième colonne de la matrice

A

.
Soit

u

l'application qui à toute matrice

A

E_n

associe la matrice

B

dont les colonnes

B_j

sont :

ù \forallj \in [ [1, n] ], B_j = S - A_j = \sum_(k = 1, k \neq j)^n A_k où S = \sum_(k = 1)^n A_k

Dans cette question $n = 2$ et $E_2$ est muni de la base: $ℬ = (K_1, K_2, K_3, K_4)$
où $K_1 = (1, 0; 0, 0), K_2 = (0, 0; 1, 0), K_3 = (0, 1; 0, 0)$ et $K_4 = (0, 0; 0, 1)$ .
1.1 Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E_2$ .
1.2 Déterminer la matrice de $u$ dans la base $ℬ$ . Démontrer que $u$ est un automorphisme de $E_2$ .
1.3 Reconnaître la nature géométrique de l'automorphisme $u$ en précisant ses éléments caractéristiques.
Exprimer $det(u(A))$ en fonction de $det(A)$ dans les cas $n = 2$ et $n = 3$ .

On revient au cas général et on admettra que

u

est un endomorphisme de

E_n

.
3. Montrer à l'aide d'opérations sur les colonnes et en utilisant

S

que l'on a :

det(u(A)) = (- 1)^(n - 1)(n - 1)det(A)

4.1 Déterminer un polynôme annulateur de degré 2 de l'endomorphisme

u

.
4.2 En déduire les éléments propres de l'endomorphisme

u

. Est-il diagonalisable?
5. Soient

J_n

la matrice de

E_n

dont tous les coefficients sont égaux à 1 et

U_n = J_n - I_n

.
5.1 Déterminer les colonnes du produit matriciel

AU_n

à l'aide de celles de

A

.
5.2 Retrouver alors le résultat de la question 4.1.

Exercice 3.

On se propose de déterminer toutes les fonctions

f

solutions du problème (

𝒫

) suivant :

(f est continue sur ℝ) et (\forallx \in ℝ, f(x) = 1 - \int_0^x(t + x)f(x - t)dt : (E_1))

Pour toute fonction

f

continue sur

ℝ

, on pose

F(x) = \int_0^x f(t)dt

Soit $f$ une fonction continue sur $ℝ$ .
1.1 Justifier que $F$ est de classe $C^1$ sur $ℝ$ .
1.2 Montrer que si $f$ vérifie ( $E_1$ ), alors $f$ est dérivable sur $ℝ$ .
Démontrer que $f$ est solution de ( $𝒫$ ) si et seulement si :

é(𝒫_1){f est dérivable sur ℝ; ∀x ∈ ℝ, f^′(x) + xf(x) + 2∫_0^x f(u)du = 0; f(0) = 1

En déduire que $f$ est solution de $(𝒫)$ si et seulement si :

é(𝒫_2){F est deux fois dérivable sur ℝ; ∀x ∈ ℝ, F^(′′)(x) + xF^′(x) + 2F(x) = 0; F^′(0) = 1

On suppose qu'il existe une fonction $H$ développable en série entière sur $ℝ : H(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n$ , vérifiant :

{∀x ∈ ℝ, H^(′′)(x) + xH^′(x) + 2H(x) = 0; H^′(0) = 1 et H(0) = 0

4.1 Prouver que l'on a :

a_0 = 0, a_1 = 1

\foralln \in ℕ, a_(n + 2) = - (a_n)/(n + 1)

.
4.2 En déduire une expression de

H(x)

pour tout

x

réel à l'aide de fonctions usuelles.
5. Déterminer alors l'ensemble des solutions du problème (

𝒫

Exercice 4.

Question de cours : Soit

E

un espace euclidien. Redonner sans démonstration la dimension de

E^⊥

.
Soit

E = ℝ_n[X]

muni du produit scalaire

⟨P|Q⟩ = \int_0^1 P(t)Q(t)dt

On note

ℬ_n = (1, X, \dots, X^n)

la base canonique de

E

.
Soit

u

l'application qui à

P \in E

associe

u(P)

défini par:

\forallx \in ℝ, u(P)(x) = \int_0^1(x + t)^n P(t)dt

Montrer que $u \in GL(E)$ .

2.1 Prouver que pour tous

p

q

dans

[ [0, n] ]

, on a :

⟨u(X^p)|X^q⟩ = \sum_(k = 0)^n((n/k))/((k + q + 1)(n + p + 1 - k))

2.2 En déduire que

u

est un endomorphisme symétrique.
3. On sait qu'il existe alors une base orthonormale

(P_j)_(0 ⩽ j ⩽ n)

de vecteurs propres de

u

associés aux valeurs propres

(λ_j)_(0 ⩽ j ⩽ n)

.
Montrer que:

\forall(x, y) \in ℝ^2, (x + y)^n = \sum_(j = 0)^n λ_j P_j(x)P_j(y)

.
Pour

y

réel, on pourra décomposer le polynôme

Q_y = (X + y)^n

dans la base

(P_j)_(0 ⩽ j ⩽ n)

.
4. Déterminer alors

tr(u)

(trace de l'endomorphisme

u

).
5.
5.1 Pour tout

y

réel, montrer que l'on a :

u(Q_y)(y) = 1/(2n + 1)[(y + 1)^(2n + 1) - y^(2n + 1)]

.
5.2 Déterminer

tr(u^2)

. On pourra calculer

\int_0^1 u(Q_y)(y)dy

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 e3a MP 2019 ?

Le sujet porte sur les séries de fonctions et de Fourier, la réduction des endomorphismes, les équations différentielles résolues par séries entières, et les endomorphismes symétriques d'un espace euclidien de polynômes.

Les quatre exercices du sujet sont-ils indépendants ?

Oui, le sujet est structuré en quatre exercices totalement indépendants les uns des autres.

Quel résultat de cours faut-il connaître pour l'exercice 3 ?

Il faut maîtriser la résolution d'équations différentielles linéaires par recherche de solutions développables en série entière, ainsi que le lien entre une équation intégrale et l'équation différentielle qu'elle induit par dérivation.

Pas de description pour le moment

Commentaires• E3A Mathématiques 1 MP 2019

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...