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E3A Mathématiques 2 MP 2019Sujet et corrigé

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Épreuve de Mathématiques 2 MP

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Partie I

  1. Rappel des propriétés de la trace d'une matrice, notée tr.
    1.1 Montrer que tr est une forme linéaire sur ℳ_n(ℝ).
    1.2 Prouver que: ∀(A, B) ∈ (ℳ_n(ℝ))^2, tr(AB) = tr(BA).
    1.3 En déduire que deux matrices semblables ont même trace.
  2. Dans toute la suite du problème, A est une matrice de ℳ_n(ℝ) ayant n valeurs propres deux à deux distinctes, λ_1, …, λ_n
    2.1 Justifer l'existence d'une matrice C ∈ GL_n(ℝ) telle que C^(− 1)AC = D où D = diag(λ_1, …, λ_n).
    2.2 Vérifier alors que l'on a: ∀k ∈ ℕ, tr(A^k) = ∑_(i = 1)^n λ_i^k.

Partie II

Soit Q un polynôme de degré n de ℂ[X] : Q(X) = ∑_(k = 0)^n b_k X^k.
On note α_1, …, α_n ses racines complexes, distinctes ou non et on a donc : Q(X) = b_n∏_(i = 1)^n(X − α_i).
On note, pour tout k ∈ ℕ^∗ : T_k = ∑_(i = 1)^n α_i^k et T_0 = n.
L'objectif de cette partie est de calculer les termes de la suite (T_k)_(k ∈ ℕ) à partir des coefficients du polynôme Q.
  1. Soit a ∈ ℂ.
Démontrer que, pour tout entier naturel m ⩾ 1, on a : X^m − a^m = (X − a)(∑_(k = 0)^(m − 1)a^k X^(m − 1 − k)).
2. Soit i ∈ [ [1, n] ]. On note Q_i le polynôme défini par : Q_i(X) = (Q(X))/(X − α_i).
Montrer que Q^′ est une combinaison linéaire des Q_i que l'on déterminera.
3. En remarquant que Q_i(X) = (Q(X) − Q(α_i))/(X − α_i), montrer que l'on a :
Q_i(X) = ∑_(r = 1)^n(∑_(k = r)^n b_k α_i^(k − r))X^(r − 1)
  1. Déduire des questions 2 et 3 que l'on a : ∀r ∈ [ [1, n] ], rb_r = ∑_(j = 0)^(n − r)b_(r + j)T_j.
  2. Soit k ∈ [ [1, n − 1] ]. Exprimer T_k en fonction de T_0, …, T_(k − 1) et des coefficients du polynôme Q.
  3. Soit k ⩾ n.
    6.1 Montrer que l'on a : ∑_(j = 0)^n b_j T_(k − n + j) = 0.
    6.2 Exprimer alors T_k à l'aide de T_(k − n), T_(k − n + 1), …, T_(k − 1) et des coefficients du polynôme Q.
  4. Conclure.

Partie III

On rappelle que A est une matrice de ℳ_n(ℝ) ayant n valeurs propres deux à deux distinctes, λ_1, …, λ_n et on pose :
P(X) = ∏_(i = 1)^n(X − λ_i) = X^n + ∑_(k = 0)^(n − 1)a_k X^k
et pour tout élément k de ℕ^∗, S_k = ∑_(i = 1)^n λ_i^k.
On considère alors le système linéaire ( Σ ) dont les inconnues sont u_1, …, u_n et défini par les n équations suivantes:
S_1 + u_1 = 0 et ∀, k ∈ [ [2, n] ], S_k + u_1 S_(k − 1) + u_2 S_(k − 2) + … + u_(k − 1)S_1 + ku_k = 0
  1. Démontrer que le système ( Σ ) possède une unique solution dans ℝ^n.
  2. Vérifier que u_1 = a_(n − 1) et que u_2 = a_(n − 2). On pourra utiliser les relations coefficients racines d'un polynôme.
  3. En utilisant la partie II, montrer que ( a_(n − 1), a_(n − 2), …, a_1, a_0 ) est solution du système ( Σ ).
  4. En déduire que l'on a : ∀k ∈ [ [1, n] ], u_k = a_(n − k).

Partie IV

  1. Justifier que P(A) = O_n.
  2. Prouver l'équivalence : A inversible ⟺ a_0 ≠ 0.
  3. Montrer que la matrice A^(− 1), si elle existe, s'écrit comme un polynôme en A.
  4. On considère la suite (B_k)_(k ∈ [ [1, n] ]) de matrices de ℳ_n(ℝ) et la suite (d_k)_(k ∈ [ [1, n] ]) de réels définies par :
{d_1 = − tr(A), B_1 = A + d_1 I_n; ∀k ∈ [ [2, n] ], d_k = − 1/ktr(B_(k − 1)A) et B_k = B_(k − 1)A + d_k I_n
4.1 Etablir que l' on a :
∀k ∈ [ [1, n] ], B_k = A^k + ∑_(i = 1)^k d_i A^(k − i)
4.2 Montrer que l'on a aussi :
∀k ∈ [ [2, n] ], d_k = − 1/k(tr(A^k) + ∑_(i = 1)^(k − 1)d_i tr(A^(k − i)))

4.3

4.3a Prouver alors que: ∀k ∈ [ [1, n] ], d_k = a_(n − k)
4.3b Déterminer B_(n − 1).
4.3c Déterminer B_n. Le résultat était-il prévisible?
5. Application : On prend n = 4 et A = (1, 0, − 1, 1; 0, 0, 0, 2; − 1, 0, − 1, 0; 1, 2, 0, 1) Utiliser la méthode étudiée au-dessus pour déterminer le polynôme caratéristique de A et la matrice A^(− 1).
On pourra utiliser que : B_2 A = (− 5, 2, 4, 0; 2, 0, − 2, − 4; 4, − 2, 3, 0; 0, − 4, 0, − 1)
6. Le listing ci-dessous fournit 5 fonctions écrites en langage Python. Les matrices seront notées comme des listes de listes.
def fonction1 (A,B) :
    $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
    $\mathrm{C}=[]$
    for $i$ in range( $n$ ):
        $\mathrm{L}=[]$
            for $j$ in range $(n)$ :
                $\mathrm{s}=0$
                for k in range( n ):
                    $\mathrm{s}+=\mathrm{A}[\mathrm{i}][\mathrm{k}] * \mathrm{~B}[\mathrm{k}][\mathrm{j}]$
            L. append (s)
        C. append (L)
    return C
def fonction2 ( $\mathrm{x}, \mathrm{n}$ ) :
    $\mathrm{A}=[]$
    for $i$ in range ( $n$ ):
            $\mathrm{L}=[0] * \mathrm{n}$
            $\mathrm{L}[\mathrm{i}]=\mathrm{x}$
            A. append (L)
    return A
def fonction3(A):
    $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
    $\mathrm{S}=0$

25 for i in range ( n ):
$26 \quad$ S $+=$ A[i][i]
27 return S
28
29
fonction4 (A, x) :
$\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
$\mathrm{B}=[]$
for $i$ in range( $n$ ):
    $\mathrm{L}=[]$
    for $j$ in range( $n$ ):
        L.append(A[i][j]*x)
    B. append (L)
return $B$
def fonction5 (A,B) :
    $\mathrm{n}=\operatorname{len}(\mathrm{A})$
    $\mathrm{C}=[]$
    for $i$ in range( $n$ ):
        $\mathrm{L}=[]$
        for $j$ in range( $n$ ):
            L.append(A[i][j]+B[i][j])
        C. append (L)
    return $C$
6.1 Déterminer les types d'arguments pris par chaque fonction et le résultat qu'elles retournent.
6.2 Compléter le programme ci-dessous permettant d'afficher les coefficients du polynôme caractéristique de la matrice A
d=[1]
A=[[1,0 , -1,1],[0,0,0,2],[ - 1,0, -1,0],[1,2,0,1]]
n=len (A)
#
# Compléter le programme
#
#
print("Les_coefficents_du_polynôme_caractéristique,_dans_l'ordre_décroissant_des_
    puissancesusontu:",d)

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