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On note ℝ[X] la ℝ - algèbre des polynômes à coefficients dans ℝ. Pour tout polynôme P , on note P^′ son polynôme dérivé.
Étant donné un entier naturel n, [ [0, n] ] désigne l'ensemble des entiers naturels compris entre 0 et n.

Partie I.

Soit φ l'application :
φ : {ℝ[X], ⟶, ℝ[X]; P, ⟼ P − P^′
Soit n un entier naturel non nul. On note ℝ_n[X] le ℝ-espace vectoriel des polynômes de degré ⩽ n.
  1. Démontrer que φ induit sur ℝ_n[X] un endomorphisme. On note φ_n cet endomorphisme.
  2. Expliciter la matrice de φ_n sur la base canonique de ℝ_n[X].
  3. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de φ_n. L'endomorphisme φ_n est-il diagonalisable?
  4. Démontrer que φ_n est un automorphisme de ℝ_n[X].
  5. En déduire qu'il existe une unique famille de polynômes s_0, s_1, …, s_n telle que :
    (a) ∀i ∈ [ [0, n] ], φ_n(s_i) = (X^i)/(i!),
    (b) (s_0, s_1, …, s_n) est une base de ℝ_n[X].
  6. On note Id l'endomorphisme identité de ℝ_n[X] et δ l'endomorphisme induit par la dérivation sur le ℝ-espace vectoriel ℝ_n[X]. Justifier :
(Id − δ) ∘ (Id + δ + ⋯ + δ^n) = Id
  1. En déduire l'expression de s_i en fonction de X , pour tout i dans [ [0, n] ].
Dans le reste du problème, on considère les deux familles de polynômes (S_n)_(n ∈ ℕ) et (T_n)_(n ∈ ℕ) définies par :
∀n ∈ ℕ, S_n(X) = 1 + X/(1!) + ⋯(X^n)/(n!) = ∑_(i = 0)^n(X^i)/(i!); T_n(X) = S_n(nx)
Dans les parties II, III et IV, on admettra le résultat suivant qui est démontré indépendamment dans la partie V :
Soit n un entier naturel ⩾ 2. Toutes les racines complexes du polynôme S_n ont un module < n.

Partie II.

  1. Donner le tableau de variations de S_3. Représenter sur un même graphique les courbes des fonctions S_1, S_3 ainsi que la fonction exponentielle ( x ↦ e^x ) en s'attachant à respecter la position relative de ces trois courbes.
  2. Soit n ∈ ℕ. Démontrer que le polynôme S_n n'a pas de racine réelle si n est pair et a une unique racine réelle simple si n est impair. (Indication : On pourra faire une démonstration par récurrence.)
Dans la suite du problème, on note α_n l'unique racine réelle de S_n, pour tout entier naturel impair n.
10. On se propose d'étudier le comportement de la suite (α_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) lorsque n tend vers + ∞.
(a) Justifier que la suite (α_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) est décroissante. (Indication : On pourra étudier le signe de S_(2n + 1)(α_(2n − 1)).)
(b) Soit (v_m)_(m ∈ ℕ) une suite de nombres réels qui converge vers un nombre réel ℓ.
i. Soit ε un nombre réel > 0. Justifier qu'il existe un entier naturel M tel que :
∀m ∈ ℕ, m > M ⇒ | S_m(v_m) − e^(v_m)| < ε.
ii. En déduire que la suite (S_m(v_m))_(m ∈ ℕ) converge vers e^ℓ.
(c) En déduire que la suite (α_(2n + 1))_(n ∈ ℕ) diverge vers − ∞.

Partie III.

Soit h la fonction de la variable réelle x définie par :
h(x) = xe^(1 − x)
  1. Étudier la fonction h. Représenter son graphe sur ℝ.
  2. Démontrer qu'il existe une fonction g de classe C^∞ de ] − ∞, 1[ dans ] − ∞, 1[ telle que :
∀x ∈ ] − ∞, 1[, h(g(x)) = x
Représenter le graphe de g. L'étude précise de g n'est pas demandée.
13. Démontrer qu'il existe un unique nombre réel ρ tel que h(ρ) = − 1.
14. Démontrer que ρ est dans l'intervalle ] − 1/2, − 1/4 [. Indication : on pourra utiliser le fait que ln2 ⩾ (13)/(20).
15. Soit z un nombre complexe tel que : |z| ⩽ 1 et |ze^(1 − z)| ⩽ 1. Soit n un entier naturel.
(a) Justifier l'égalité :
1 − e^(− nz) T_n(z) = (ze^(1 − z))^n e^(− n)∑_(k = n + 1)^(+ ∞)(n^k)/(k!)z^(k − n)
(b) En déduire que :
|1 − e^(− nz) T_n(z)| ⩽ 1 − e^(− n) T_n(1)
(c) En déduire que T_n(z) ≠ 0.
16. Soit n un entier naturel impair ⩾ 3. Démontrer que α_n est dans l'intervalle ] − n, nρ[.

Partie IV.

Pour tout entier naturel m, on pose γ_(2m + 1) = α_(2m + 1)/(2m + 1).
17. Démontrer que pour tout nombre réel u et tout entier naturel n, on a :
e^(− u) S_n(u) = 1 + 1/(n!)∫_u^0 t^n e^(− t) dt
  1. Soit m une entier naturel. On note n = 2m + 1. Justifier l'égalité :
∫_(γ_n)^0 h(t)^n dt = − (n!e^n)/(n^(n + 1))
  1. En déduire que la suite (∫_(γ_(2m + 1))^0 h(t)^(2m + 1) dt)_(m ∈ ℕ) est une suite convergente et expliciter sa limite.
  2. Démontrer que (∫_(γ_(2m + 1))^ρ h(t)^(2m + 1) dt)_(m ∈ ℕ) est une suite convergente et expliciter sa limite.
  3. Déterminer un équivalent de α_(2m + 1).

Partie V.

Cette partie a pour but de démontrer le résultat admis dans les parties précédentes : Si n est un entier naturel ⩾ 2, les racines complexes du polynôme S_n ont un module < n.
22. Soit p un entier naturel non nul. Soient α_1, …, α_p des nombres complexes de module ⩽ 1. Soient θ_1, …, θ_p des nombres réels > 0. On suppose que |∑_(i = 1)^p θ_i α_i| = ∑_(i = 1)^p θ_i.
(a) Démontrer que α_1, …, α_p sont des nombres complexes de module exactement 1.
(b) On suppose dans cette question seulement p = 2 et α_1 = 1. Soit t un nombre réel tel que α_2 = e^(it). En développant |θ_1 + θ_2 e^(it)|^2, justifier que α_2 = 1.
(c) Dans le cas général, démontrer que α_1 = α_2 = ⋯ = α_p.
23. Soit P dans ℝ[X] de degré n ⩾ 2. On note a_0, …, a_n ses coefficients :
P(X) = a_n X^n + a_(n − 1)X^(n − 1) + ⋯ + a_1 X + a_0.
On suppose que a_0 = a_1 > a_2 > ⋯ > a_(n − 1) > a_n > 0.
(a) Justifier que ni 0 , ni 1 , ne sont des racines de P .
(b) Déterminer les coefficients du polynôme (X − 1)P(X).
(c) Démontrer que les racines complexes de P ont un module > 1. Indication : on pourra raisonner par l'absurde et utiliser la question 22c.
24. Soit Q dans ℝ[X] de degré n ⩾ 2. Soient a_0, …, a_n ses coefficients :
Q(X) = a_n X^n + a_(n − 1)X^(n − 1) + ⋯ + a_1 X + a_0.
On suppose que 0 < a_0 < a_1 < ⋯a_(n − 2) < a_(n − 1) = a_n. Justifier que les racines complexes de Q ont un module < 1.
25. Conclure.

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