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E3A Mathématiques 2 MP 2017

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Polynômes et fractionsRéductionSuites et séries de fonctions
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E3A
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2017
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Mathématiques
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Calculatrices interdites
On note la - algèbre des polynômes à coefficients dans . Pour tout polynôme P , on note son polynôme dérivé.
Étant donné un entier naturel désigne l'ensemble des entiers naturels compris entre 0 et .

Partie I.

Soit l'application :
Soit un entier naturel non nul. On note le -espace vectoriel des polynômes de degré .
  1. Démontrer que induit sur un endomorphisme. On note cet endomorphisme.
  2. Expliciter la matrice de sur la base canonique de .
  3. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de . L'endomorphisme est-il diagonalisable?
  4. Démontrer que est un automorphisme de .
  5. En déduire qu'il existe une unique famille de polynômes telle que :
    (a) ,
    (b) est une base de .
  6. On note Id l'endomorphisme identité de et l'endomorphisme induit par la dérivation sur le -espace vectoriel . Justifier :
  1. En déduire l'expression de en fonction de X , pour tout dans .
Dans le reste du problème, on considère les deux familles de polynômes et définies par :
Dans les parties II, III et IV, on admettra le résultat suivant qui est démontré indépendamment dans la partie V :
Soit un entier naturel . Toutes les racines complexes du polynôme ont un module .

Partie II.

  1. Donner le tableau de variations de . Représenter sur un même graphique les courbes des fonctions ainsi que la fonction exponentielle ( ) en s'attachant à respecter la position relative de ces trois courbes.
  2. Soit . Démontrer que le polynôme n'a pas de racine réelle si est pair et a une unique racine réelle simple si est impair. (Indication : On pourra faire une démonstration par récurrence.)
Dans la suite du problème, on note l'unique racine réelle de , pour tout entier naturel impair .
10. On se propose d'étudier le comportement de la suite lorsque tend vers .
(a) Justifier que la suite est décroissante. (Indication : On pourra étudier le signe de .)
(b) Soit une suite de nombres réels qui converge vers un nombre réel .
i. Soit un nombre réel . Justifier qu'il existe un entier naturel tel que :
ii. En déduire que la suite converge vers .
(c) En déduire que la suite diverge vers .

Partie III.

Soit la fonction de la variable réelle définie par :
  1. Étudier la fonction . Représenter son graphe sur .
  2. Démontrer qu'il existe une fonction de classe de dans telle que :
Représenter le graphe de . L'étude précise de n'est pas demandée.
13. Démontrer qu'il existe un unique nombre réel tel que .
14. Démontrer que est dans l'intervalle [. Indication : on pourra utiliser le fait que .
15. Soit un nombre complexe tel que : et . Soit un entier naturel.
(a) Justifier l'égalité :
(b) En déduire que :
(c) En déduire que .
16. Soit un entier naturel impair . Démontrer que est dans l'intervalle .

Partie IV.

Pour tout entier naturel , on pose .
17. Démontrer que pour tout nombre réel et tout entier naturel , on a :
  1. Soit une entier naturel. On note . Justifier l'égalité :
  1. En déduire que la suite est une suite convergente et expliciter sa limite.
  2. Démontrer que est une suite convergente et expliciter sa limite.
  3. Déterminer un équivalent de .

Partie V.

Cette partie a pour but de démontrer le résultat admis dans les parties précédentes : Si est un entier naturel , les racines complexes du polynôme ont un module .
22. Soit un entier naturel non nul. Soient des nombres complexes de module . Soient des nombres réels . On suppose que .
(a) Démontrer que sont des nombres complexes de module exactement 1.
(b) On suppose dans cette question seulement et . Soit un nombre réel tel que . En développant , justifier que .
(c) Dans le cas général, démontrer que .
23. Soit P dans de degré . On note ses coefficients :
On suppose que .
(a) Justifier que ni 0 , ni 1 , ne sont des racines de P .
(b) Déterminer les coefficients du polynôme .
(c) Démontrer que les racines complexes de P ont un module . Indication : on pourra raisonner par l'absurde et utiliser la question 22c.
24. Soit Q dans de degré . Soient ses coefficients :
On suppose que . Justifier que les racines complexes de Q ont un module .
25. Conclure.

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