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CCINP Mathématiques 2 MPI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Accessible
Inégalité de Hadamard, polynômes de Tchebychev et réduction des matrices de rang 1
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L'épreuve de mathématiques 2 MPI du CCINP 2025 (4 heures) comporte deux exercices et un problème indépendants. Le premier exercice démontre l'inégalité de Hadamard pour les matrices symétriques définies positives à partir de l'inégalité arithmético-géométrique. Le second construit une base orthonormée à l'aide des polynômes de Tchebychev, et le problème étudie la réduction des matrices de rang 1, d'abord sur un exemple probabiliste puis de façon générale.

  1. 1Exercice 1 : inégalité de Hadamard (Q1 à Q6)Démonstration de l'inégalité arithmético-géométrique par concavité du logarithme, puis de l'inégalité de Hadamard pour les matrices symétriques définies positives.
  2. 2Exercice 2 : polynômes de Tchebychev (Q7 à Q12)Étude d'une suite de polynômes définie par récurrence, lien avec cos(n theta), puis construction d'un produit scalaire et d'une base orthonormée sur les polynômes de degré au plus k.
  3. 3Problème, partie I : exemples (Q13 à Q18)Étude du rang et de la trace d'une matrice M = U U^T construite à partir de variables aléatoires de Bernoulli puis de Poisson, et exemples de matrices de rang 1.
  4. 4Problème, partie II : résultats généraux (Q19 à Q25)Écriture d'une matrice de rang 1 sous forme C x L, calcul du polynôme caractéristique et minimal, condition de diagonalisabilité et classification des matrices de rang 1 à similitude près.

Accessible. Le jury indique que le sujet était très abordable et de longueur très raisonnable, avec des thèmes très classiques, ce qui a permis à une majorité de candidats de le traiter entièrement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,28 / 20 · écart-type 4,55 · 1 079 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,28/ 20
Écart-type
4,55
Présents
1 079
Coefficient
11
Durée
4 h
moyenne 10,2805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Récurrence inutile · Confusion sur les sommes strictement positives · Continuité par morceaux et positivité oubliées
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Le sujet balayait une large partie du programme avec des thèmes classiques et quelques questions difficiles, ce qui a permis de bien classer les candidats. La moyenne est de 10,28 avec un écart-type de 4,55. Le jury regrette surtout que la consigne de traiter les questions dans l'ordre n'ait pas été bien respectée.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Récurrence inutileQ3

    Les tentatives de démonstration par récurrence pour la question 3 se sont souvent soldées par un échec et ont fait perdre du temps.

    « ont donc été une perte de temps »
  2. 2
    Confusion sur les sommes strictement positivesQ5

    Certains candidats ont cru qu'une somme strictement positive n'a que des termes strictement positifs.

    « Certains candidats ont cru qu'une somme strictement positive n'a que des termes strictement positifs. »
  3. 3
    Continuité par morceaux et positivité oubliéesQ9

    Pour l'étude de convergence de l'intégrale, la continuité par morceaux de l'intégrande et la positivité ont souvent été oubliées, avec des équivalents aberrants.

    « beaucoup d'équivalents se sont avérés aberrants »
  4. 4
    Trois cas non distinguésQ11

    Très souvent les candidats n'ont pas vu qu'il fallait distinguer trois cas pour éviter une division par zéro.

    « Très souvent les candidats n'ont pas vu qu'on devait distinguer trois cas pour éviter une division par zéro. »
  5. 5
    Calcul truqué pour retrouver un résultat donnéQ20

    Certains candidats ont truqué leur calcul pour arriver au résultat donné par l'énoncé, ce qui a été sanctionné.

    « Cela a bien sûr été sanctionné. »
  6. 6
    Confusion polynôme minimal et caractéristiqueQ21

    Beaucoup d'erreurs portent sur la notion d'ordre de multiplicité d'une valeur propre et sur la confusion entre polynôme minimal et polynôme caractéristique.

    « Beaucoup d'erreurs sur la notion d'ordre de multiplicité d'une valeur propre et de confusions entre les notions de polynômes minimal et caractéristique. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 est bien réussie.
  • La question 4 est bien réussie.
  • La question 7, classique, est très bien réussie.
  • La question 24 est mieux réussie, bien que la non-nullité de a ne soit pas toujours justifiée.

Conseils du jury

  • Éviter d'essayer de « trafiquer les calculs » pour retrouver un résultat donné par l'énoncé.
  • Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses au moment de leur usage.
  • Numéroter les copies et traiter les questions dans l'ordre de l'énoncé.
  • Commencer par une lecture diagonale du sujet pour mieux s'en imprégner.
  • Ne pas recopier l'énoncé avant chaque réponse, ce qui fait perdre du temps.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème.

EXERCICE 1

n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On se donne des réels strictement positifs notés x_1, …, x_n et on pose :
m = 1/n∑_(j = 1)^n x_j
On désigne par S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices réelles symétriques définies positives d'ordre n.
Q1. Démontrer l'inégalité suivante:
∑_(k = 1)^n ln((x_k)/m) ≤ ∑_(k = 1)^n((x_k)/m − 1)
Q2. En déduire l'inégalité :
(∏_(k = 1)^n x_k)^(1/n) ≤ 1/n∑_(k = 1)^n x_k.
Q3. Établir que l'inégalité précédente est une égalité si, et seulement si, x_1 = x_2 = ⋯ = x_n.
Q4. Dans cette question B désigne une matrice de S_n^(+ +)(ℝ). Démontrer l'inégalité :
(det(B))^(1/n) ≤ 1/nTr(B),
et établir que c'est une égalité si, et seulement si, B ∈ Vect(I_n).
Désormais A = (a_(i, j)) désigne une matrice de S_n^(+ +)(ℝ).
Q5. Démontrer que pour tout i ∈ [ [1, n] ] on a : a_(i, i) > 0.
Q6. On pose D = Diag(1/(√(a_(1, 1))), 1/(√(a_(2, 2))), ⋯, 1/(√(a_(n, n)))) et B = DAD. Démontrer que B ∈ S_n^(+ +)(ℝ) et en déduire que :
det(A) ≤ a_(1, 1) × a_(2, 2) × ⋯ × a_(n, n),
avec égalité si, et seulement si, A est diagonale.

EXERCICE 2

On définit une suite (P_n)_(n ∈ ℕ) de ℝ[X] en posant P_0 = 1, P_1 = X et pour tout entier naturel n :
P_(n + 2) = 2XP_(n + 1) − P_n.
Dans les questions suivantes, n et k sont des entiers naturels.
Q7. Donner le degré et le terme dominant de P_n en fonction de n.
Q8. Justifier que pour tout réel θ :
P_n(cos(θ)) = cos(nθ).
Pour P et Q dans ℝ[X], on pose :
⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1(P(t)Q(t))/(√(1 − t^2))dt
Q9. Justifier la convergence de cette intégrale.
Q10. Démontrer que ⟨, ⟩estunproduitscalairesurℝ_k[X] (ensemble des polynômes de ℝ[X] de degré inférieur ou égal à k ).
Q11. Calculer pour n et m entiers naturels, ∫_0^π cos(nθ)cos(mθ)dθ.
Q12. Donner une base orthonormale de ℝ_k[X] pour ce produit scalaire.

PROBLÈME - Matrices de rang 1

n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices réelles d'ordre n, M_(n, 1)(ℝ) l'ensemble des matrices colonnes réelles d'ordre n et M_(1, n)(ℝ) l'ensemble des matrices lignes réelles d'ordre n.

Partie I - Exemples

On suppose que X_1, X_2, …, X_n sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0, 1[. On définit les matrices aléatoires :
U = (X_1; X_2; ⋮; ⋮; X_n) et M = U × U^T = (X_1^2, X_1 X_2, X_1 X_3, ⋯, ⋯, X_1 X_n; X_2 X_1, X_2^2, X_2 X_3, ⋯, ⋯, X_2 X_n; X_3 X_1, X_3 X_2, X_3^2, ⋯, ⋯, X_3 X_n; ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; X_n X_1, X_n X_2, X_n X_3, ⋯, ⋯, X_n^2).
Q13. On pose Y = rg(M).
Montrer que la variable aléatoire Y suit une loi de Bernoulli de paramètre 1 − (1 − p)^n.
Q14. Reconnaître la loi de la variable aléatoire Tr(M).
Q15. Vérifier que M^2 = Tr(M)M et en déduire la probabilité de l'événement « M est une matrice de projection ».
Q16. Dans cette question, on suppose que X_1, X_2, …, X_n sont des variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et toutes de loi de Poisson de paramètre λ > 0. On définit la matrice aléatoire M comme ci-dessus. Avec ces nouvelles hypothèses, calculer à nouveau la probabilité de l'événement « M est une matrice de projection ».
Q17. On note J la matrice de M_n(ℝ) dont tous les coefficients sont égaux à 1 . Donner son rang et sa trace, puis la diagonaliser (on précisera une matrice de passage).
Q18. Donner (en le justifiant) une matrice d'ordre 3 de rang 1 non diagonalisable. Préciser sa trace.

Partie II - Résultats généraux

Dans cette partie, A désigne une matrice de M_n(ℝ) de rang égal à 1 .
Q19. On note C ∈ M_(n, 1)(ℝ) la première colonne non nulle de A. Démontrer qu'il existe une matrice ligne L ∈ M_(1, n)(ℝ) non nulle telle que A = C × L.
Q20. Calculer le réel L × C et en déduire que A^2 = Tr(A)A.
Q21. Déterminer le polynôme caractéristique de A ainsi que son polynôme minimal.
Q22. Établir que:
A est diagonalisable ⇔ Tr(A) ≠ 0.
On note désormais u l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à A.
Q23. On suppose que Im(u) ∩ Ker(u) ≠ {0_(ℝ^n)}.
Justifier que Im(u) ⊆ Ker(u), puis qu'il existe une base de ℝ^n dans laquelle u est représenté par la matrice :
(0, 0, 0; 1, 0, 0, (0); 0, 0, 0; (0), ⋱, ⋱; 0).
Q24. On suppose que Im(u) ∩ Ker(u) = {0_(ℝ^n)}.
Démontrer qu'il existe une base de ℝ^n dans laquelle u est représenté par la matrice :
(a, 0, 0; 0, 0, 0, (0); 0, 0, 0; (0), ⋱; 0)
où a est un réel non nul.
Q25. Conclure que dans M_n(ℝ) deux matrices de rang 1 sont semblables si et seulement si elles ont la même trace.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 2 MPI du CCINP 2025 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 2 MPI du CCINP 2025 ?

Sur l'inégalité de Hadamard pour les matrices symétriques définies positives, les polynômes de Tchebychev et une base orthonormée associée, puis la réduction des matrices de rang 1.

Le sujet de maths 2 MPI CCINP 2025 est-il difficile ?

Non, le jury le qualifie de très abordable et de longueur très raisonnable, avec des thèmes classiques du programme.

Quelle est la moyenne au sujet de maths 2 MPI CCINP 2025 ?

La moyenne était de 10,28 avec un écart-type de 4,55, selon le rapport du jury.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 MPI CCINP 2025 ?

Des tentatives de récurrence inutiles, des oublis de continuité ou de positivité dans l'étude d'une intégrale, une confusion entre polynôme minimal et caractéristique, et des calculs truqués pour retrouver un résultat donné.

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