E3A Mathématiques MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Pour tout réel $x$ , on pose, lorsque cela est possible, $Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t) dt$ .
1.1. Déterminer l'ensemble de définition $Δ$ de $Γ$ .
1.2. Démontrer que pour tout réel $x$ de $Δ, Γ(x + 1) = xΓ(x)$ .
1.3. On admet que $Γ(1/2) = \sqrtπ$ .

Calculer

Γ(n + 1/2)

pour tout entier naturel

n

. On exprimera le résultat à l'aide de factorielles.
2. Pour tout entier naturel

n

, on pose

I_n = \int_0^(+ \infty)t^(2n)exp(- t^2)dt

.
2.1. Justifier l'existence de

I_n

.
2.2. En utilisant la question 1. calculer

I_n

.
3. Pour tout réel

x

, on pose, lorsque cela est possible,

H(x) = \int_0^(+ \infty)cos(xt)exp(- t^2)dt

.
3.1. Donner le développement en série entière de la fonction cos au voisinage de 0 et préciser son domaine de validité.
3.2. Justifier que

H

est définie sur

ℝ

et l'exprimer à l'aide de fonctions usuelles. On citera les théorèmes utilisés en s'assurant que toutes leurs hypothèses sont bien vérifiées.
4. On se propose de retrouver le résultat établi à la question 3.2. par une autre méthode.
4.1. Démontrer que

H

est de classe

C^1

sur

ℝ

.
4.2. Montrer que

H

est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
4.3. Retrouver l'expression de

H

obtenue à la question 3.2.

EXERCICE 2

1. Questions de cours

1.1. Soit

f

une fonction continue sur le segment

[a, b]

Donner, sans démonstration, la limite quand

n

tend vers l'infini de l'expression :

(b - a)/n\sum_(k = 0)^(n - 1)f(a + k(b - a)/n)

1.2. Soit

m \in ℕ

. Déterminer en fonction de

m

la valeur de

lim_(n \to + \infty)1/n\sum_(j = 0)^(n - 1)(j/n)^m

.
1.3. Soit

n

un entier non nul. Donner, sans démonstration, l'espérance d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur

[ [1, n] ]

Soient

k

n

deux éléments de

ℕ^*

. On dispose de

k

urnes contenant chacune

n

boules numérotées de 1 à

n

.
On tire une boule au hasard de chaque urne et on désigne par

X_n

la variable aléatoire égale au plus grand des numéros obtenus. On suppose que les tirages sont indépendants les uns des autres.
2. Donner l'ensemble

J

des valeurs prises par

X_n

.
3. Soit

j \in J

. Évaluer

ℙ(X_n ⩽ j)

et prouver que l'on a :

ℙ(X_n = j) = (j^k - (j - 1)^k)/(n^k)

.
4. Démontrer que l'espérance

𝔼(X_n)

de la variable aléatoire

X_n

peut s'écrire :

𝔼(X_n) = \sum_(j = 0)^(n - 1)ℙ(X_n > j).

Calculer $𝔼(X_n)$ et en donner un équivalent lorsque $n$ tend vers l'infini.
Lorsque $k = 1$ , reconnaître la loi de $X_n$ et vérifier la cohérence du résultat obtenu à la question précédente.

EXERCICE 3

Soit

E

un espace euclidien muni d'un produit scalaire (

|

) dont la norme est notée

‖‖

1. Questions de cours

1.1. Soient

x

y

deux vecteurs de

E

. Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

|(x|y)| ⩽ ‖x‖‖y‖

. On pourra utiliser la fonction

t \mapsto ‖x + ty‖^2

.
1.2. Démontrer qu'on a l'égalité

|(x|y)| = ‖x‖‖y‖

si, et seulement si, les vecteurs

x

y

sont colinéaires.
1.3. On considère

E = ℳ_(n, 1)(ℝ)

muni de sa base canonique et du produit scalaire canonique

(X|Y) = X^T Y

.
Écrire cette inégalité pour

X = (1; 1; ⋮; 1)

Y = (y_1; y_2; ⋮; y_n)

Pour toute la suite de l'exercice, on identifie

ℝ^n

ℳ_(n, 1)(ℝ)

Partie 1

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note

B = {X ∈ ℝ^n, ‖X‖ ⩽ 1}

.
On considère l'application

F

ℝ^n

vers

ℝ

définie par :

\forallX = (x_1; ⋮; x_n) \in ℝ^n, F(X) = \sum_(1 ⩽ i, j ⩽ n; i \neq j)x_i x_j

Par exemple, pour

n = 3

, on a

F(X) = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_1 + x_2 x_3 + x_3 x_1 + x_3 x_2 = 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)

.
2. Exprimer alors

F(X)

à l'aide de

S_1(n) = \sum_(i = 1)^n x_i

et de

S_2(n) = \sum_(i = 1)^n x_i^2

.
3. Montrer que

F

possède un maximum sur

B

que l'on notera

M

.
4. Montrer en utilisant la question 1. que

M = n - 1

.
5. Déterminer tous les

X \in ℝ^n

tels que

F(X) = M

Partie 2

On note

ℬ = (e_1, \dots, e_n)

la base canonique orthonormale pour le produit scalaire

(X|Y) = X^T Y

ℝ^n

.
Pour tout couple de vecteurs

(X, Y)

ℝ^n

décomposés dans la base

ℬ : X = (x_1; x_2; ⋮; x_n)

Y = (y_1; y_2; ⋮; y_n)

, on pose :

φ(X, Y) = 1/2\sum_(1 ⩽ i, j ⩽ n; i \neq j)(x_i y_j + x_j y_i)

Par exemple, pour

n = 3

, on a

φ(X, Y) = x_1 y_2 + x_1 y_3 + x_2 y_1 + x_2 y_3 + x_3 y_1 + x_3 y_2

.
6. Pour tout

X \in ℝ^n

exprimer

F(X)

à l'aide de

φ

.
7. Écrire la matrice

A = (a_(ij)) \in ℳ_n(ℝ)

définie pour tout

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

par

a_(ij) = φ(e_i, e_j)

.
8. Justifier l'existence d'une base orthonormale

U = (u_1, u_2, \dots, u_n)

constituée de vecteurs propres de la matrice

A

.
9. Vérifier que pour tout couple de vecteurs

(X, Y)

(ℝ^n)^2

, on a

φ(X, Y) = Y^T AX = X^T AY

.
10. Soit

J

la matrice de

ℳ_n(ℝ)

dont tous les éléments sont égaux à 1 .
10.1. Déterminer les valeurs propres de la matrice

J

.
10.2. En déduire une matrice diagonale

Δ

semblable à la matrice

A

.
11. Donner l'expression de

φ(X, Y)

en fonction des coordonnées de

X

Y

dans la base

U

.
12. Retrouver alors le résultat établi à la question 4.

EXERCICE 4

Questions préliminaires

Pour tout entier

n ⩾ 2

, on note :

ω = exp((2iπ)/n)

où i est un nombre complexe tel que

i^2 = - 1

Soit $z \in ℂ^*$ . Démontrer que $|z| = 1$ si, et seulement si, $z¯ = 1/z$ .
Soit $k \in [ [0, n - 1] ]$ . Déterminer $r \in [ [0, n - 1] ]$ tel que $ω^k^- = ω^r$ .
Calculer $S_n = \sum_(k = 0)^(n - 1)ω^k$ et $P_n = \prod_(k = 0)^(n - 1)ω^k$ .
On considère le polynôme $P = \sum_(k = 1)^n kX^(k - 1)$ .
4.1. Montrer que pour tout réel $x$ différent de $1 : P(x) = (nx^(n + 1) - (n + 1)x^n + 1)/((x - 1)^2)$ .
4.2. Montrer que : $\forallk \in [ [1, n - 1] ], P(ω^k) = n/(ω^k - 1)$ .
4.3. En factorisant $X^n - 1$ dans $ℂ[X]$ , montrer que : $\prod_(k = 1)^(n - 1)(1 - ω^k) = n$ .

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 4 .
On note

F

A

les matrices de

ℳ_n(ℂ)

définies par :

F = (0, 1, 0, \dots, \dots, 0; 0, 0, 1, 0, ⋮; ⋮, 0, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, \dots, 0, 1; 1, 0, 0, \dots, \dots, 0) et A = P(F)

où

P

est le polynôme défini à la question 4 .

5. Réduction de la matrice $F$

5.1. Donner, sans démonstration, la matrice

F^k

pour

k \in [ [2, n - 2] ], F^(n - 1)

puis

F^n

On pourra étudier le cas

n = 4

et/ou l'endomorphisme

f

canoniquement associé à

F

pour conjecturer les résultats.
5.2. On note

G_F

le sous-espace vectoriel de

ℳ_n(ℂ)

engendré par la famille

(F^k)_(k \in ℕ)

. Montrer que

G_F

est de dimension

n

. En donner une base.
5.3. Démontrer que

X^n - 1

est le polynôme minimal de

F

.
5.4. Justifier que

F

est diagonalisable dans

ℳ_n(ℂ)

et donner une matrice diagonale

D

semblable à

F

6. Réduction de la matrice $A$

6.1. Expliciter la matrice

A

.
6.2. Déterminer une matrice

Δ

diagonale semblable à la matrice

A

.
6.3. Déterminer le degré du polynôme minimal de

A

En déduire que

(I_n, A, \dots, A^(n - 1))

est une famille libre de

ℳ_n(ℂ)

.
7. Calculer le déterminant de

A

. Justifier que la matrice

A

est inversible.
8. Soit

G_A

le sous-espace vectoriel de

ℳ_n(ℂ)

engendré par la famille

(A^k)_(k \in ℕ)

. Vérifier que

A^(- 1) \in G_A

.
9. Montrer que

G_A = G_F

.
10. Vérifier que l'on a l'égalité :

A(F - I_n)^2 = n(F - I_n)

.
11. Déterminer enfin une expression de

A^(- 1)

à l'aide des puissances de la matrice

F

FIN

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MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

RAPPEL DES CONSIGNES

Les calculatrices sont interdites.

EXERCICE 1

EXERCICE 2

1. Questions de cours

EXERCICE 3

1. Questions de cours

Partie 1

Partie 2

EXERCICE 4

Questions préliminaires

5. Réduction de la matrice F

6. Réduction de la matrice A

FIN

Commentaires• E3A Mathématiques MP 2022

Commentaires• E3A Mathématiques MP 2022

5. Réduction de la matrice $F$

6. Réduction de la matrice $A$