E3A Mathématiques MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Quatre exercices indépendants : séries de fonctions et fonction Gamma, inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique, fonctions génératrices, formes linéaires sur les polynômes

Le sujet se compose de quatre exercices indépendants. Le premier établit l'égalité entre l'intégrale de x^(-x) sur [0,1] et la somme des n^(-n) à l'aide d'une série de fonctions et de la fonction Gamma. Les suivants construisent l'inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique, étudient deux variables aléatoires à partir de leurs fonctions génératrices, puis décrivent le noyau d'une forme linéaire intégrale sur R_n[X].

1Exercice 1 : une série de fonctions et la fonction Gammadeuxième annéeContinuité, convergence simple puis normale d'une série de fonctions, étude de t ln(t), ensemble de définition de Gamma, calcul d'intégrales par changement de variable et intégration terme à terme.
2Exercice 2 : inverse généralisé d'un endomorphisme symétriquedeuxième annéeThéorème spectral, projecteurs orthogonaux sur les sous-espaces propres, construction de l'inverse généralisé, lien avec la projection orthogonale et application à une matrice 4x4.
3Exercice 3 : fonctions génératricesdeuxième annéeDéveloppements en série entière de deux fonctions génératrices, lois de X, Y et X+Y, loi géométrique, espérances et variances.
4Exercice 4 : une forme linéaire sur R_n[X]deuxième annéeBase de R_n[X], image et noyau de la forme linéaire P donne l'intégrale de P sur [0,1], application primitive, base de l'espace des formes linéaires.

Difficulté moyenne. Le jury juge les questions classiques mais se dit déçu du niveau en algèbre linéaire et en analyse, et plusieurs fins d'exercices sont peu traitées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Continuité en 0 mal justifiée · Convergence normale et convergence uniforme confondues · Fonction Gamma et changement de variable mal rédigés

D'après le jury, les quatre exercices parcouraient les parties les plus classiques du programme de deuxième année MP. Il regrette que beaucoup de candidats ne maîtrisent pas les bases d'algèbre linéaire et d'analyse, abandonnent vite les calculs et présentent des copies désordonnées. Il rappelle que toute affirmation doit être démontrée et que les arguments forcés pour atteindre le résultat de l'énoncé sont sanctionnés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Continuité en 0 mal justifiéeExercice 1, questions 1 et 2
Il faut traiter explicitement le point 0 en utilisant la limite de f en 0+ pour prolonger par continuité, et maîtriser les croissances comparées.
« la continuité en 0 n’entraîne pas la continuité sur [0, 1] »
2
Convergence normale et convergence uniforme confonduesExercice 1, question 5
Le lien avec l'étude de t ln(t) de la question 3 est rarement fait, et certaines copies affichent des normes infinies nulles ou négatives.
« De nombreuses confusions entre convergence normale et uniforme. »
3
Fonction Gamma et changement de variable mal rédigésExercice 1, questions 6 et 7
La continuité de l'intégrande, la convergence en 0 et les hypothèses de l'intégration par parties ou du changement de variable sont souvent omises, et le calcul de Gamma(n+1) s'arrête à la relation de récurrence.
« Trop de candidats obtiennent que Γ(n + 1) = n Γ(n) et s’arrêtent là. »
4
Théorème spectral cité de façon approximativeExercice 2, questions 1.1 à 1.5
Plus de la moitié des candidats donnent des hypothèses incomplètes. Ensuite, somme directe et supplémentarité sont confondues, et l'orthogonalité des sous-espaces propres est oubliée.
« Confusion entre ”être en somme directe” et ”être supplémentaire”. »
5
Hypothèses des développements en série entière ignoréesExercice 3, questions 1, 4 et 6
Le domaine de validité du développement de G_X n'est pas précisé, l'unicité des coefficients n'est pas justifiée, et des probabilités ou des variances négatives sont écrites sans réaction.
« La encore des variances négatives sont obtenues sans remarque des candidats. »
6
Dimensions mal maîtriséesExercice 4, questions 1 et 2.2
Le nombre de vecteurs de la famille B, la dimension de R_n[X] et celle du noyau de la forme linéaire sont souvent fausses; la définition d'un hyperplan exige une forme linéaire non nulle.

Ce qui a été bien réussi

Dans l'exercice 2, l'équivalence de la question 2.1 est en général bien traitée et la question 3.4 ne pose pas de problème.
Dans l'exercice 3, les questions 2 et 3 (cours sur les séries entières et ses conséquences) sont en général réussies, et la loi géométrique de la question 6 est souvent trouvée.
La question 2.1 de l'exercice 4 est traitée sans difficulté.

Conseils du jury

Présenter une copie claire et ordonnée, sans obliger le correcteur à chercher les réponses.
Bannir les formules comme « il est trivial que » : chaque affirmation doit être démontrée.
Citer les théorèmes par leur nom avec toutes leurs hypothèses (théorème spectral, projection orthogonale, intégration terme à terme, changement de variable).
Mener les calculs jusqu'au bout et vérifier la vraisemblance des résultats (une probabilité ou une variance ne peut pas être négative).
Faire figurer tous les calculs, par exemple celui du polynôme caractéristique, sur la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Dans tout l'exercice,

I

est le segment

[0, 1]

f

la fonction définie sur

I

par :

x ⟼ {x^(− x) si x ≠ 0; 1 si x = 0

.
On considère la suite de fonctions

(f_n)_(n \in ℕ)

définies sur

I

par :

$\forallx \in I, f_0(x) = 1$
$∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ I, f_n(x) = {0 si x = 0; ((− 1)^n)/(n!)(xln(x))^n sinon$

Montrer que $f$ et toutes les fonctions $f_n$ sont continues sur $I$ .
On considère la série de fonctions $\sum_(n ⩾ 0)f_n$ .

Démontrer que cette série de fonctions converge simplement sur

I

vers une fonction que l'on déterminera.
3. Étudier les variations de la fonction

φ

continue sur

I

, définie pour tout

t \in ]0, 1]parφ(t) = tln(t)

.
4. Représenter graphiquement la fonction

φ

sur

I

en précisant les tangentes aux bornes.
5. Démontrer que la série de fonctions

\sum_(n ⩾ 0)f_n

converge normalement sur

I

.
6. On pose pour tout réel

x

et lorsque cela est possible

Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t) dt

.
6.1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction

Γ

.
6.2. Soit

n \in ℕ

. Calculer

Γ(n + 1)

.
7. Soit

n \in ℕ^*

. Calculer l'intégrale

J_n = \int_0^1 f_n(t)dt

. On pourra effectuer le changement de variable

u = - ln(t)

.
8. On pose

J = \int_0^1 f(t)dt

. Montrer que l'on a :

J = \sum_(n = 1)^(+ \infty)n^(- n)

.
9. Trouver un rang

n_0

pour lequel la somme partielle d'ordre

n_0

sera une valeur approchée de

J

10^(- 6)

près.

Exercice 2

Soient

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 et

E

un espace euclidien de dimension

n

dont le produit scalaire est noté (

|

) et la norme

‖‖

.
On note id

_E

l'endomorphisme identité de

E

θ

l'endomorphisme nul de

E

Soit $f$ un endomorphisme symétrique de $E$ que l'on suppose non inversible et non nul.

1.1. Citer le théorème spectral.

1.2. Montrer que 0 est valeur propre de

f

et que

f

admet au moins une valeur propre non nulle.
1.3. Montrer que les sous-espaces

Ker(f)

Im(f)

sont orthogonaux.

Sont-ils supplémentaires? On justifiera la réponse.
On suppose désormais et jusqu'à la fin de l'exercice que

f

admet exactement

k + 1

valeurs propres deux à deux distinctes

(λ_j)_(j \in [ [0, k] ])

avec :

k ⩾ 1, λ_0 = 0 et 0 < |λ_1| ⩽ \dots ⩽ |λ_k|.

Pour tout

j \in [ [0, k] ]

, on note

E_j

le sous-espace propre associé à la valeur propre

λ_j

p_j

le projecteur orthogonal sur

E_j

.
1.4. Montrer que

id_E = \sum_(j = 0)^k p_j

.
1.5. Prouver que l'on a pour tout couple

(i, j)

[ [0, k] ]^2

tels que

i \neq j, p_i \circ p_j = θ

.
1.6. Démontrer que :

f = \sum_(j = 0)^k λ_j p_j

.
1.7. Soit

p

le projecteur orthogonal sur

Im(f)

. Montrer que l'on a :

p = \sum_(j = 1)^k p_j

On note alors

f^I

l'endomorphisme de

E

défini par :

f^I = \sum_(j = 1)^k 1/(λ_j)p_j

, appelé inverse généralisé de

f

2. Quelques propriétés de l'inverse généralisé

2.1. Montrer que l'on a :

f \circ f^I = p

En déduire que :

\forall(x, y) \in E^2, (f(x) = p(y) ⟺ x - f^I(y) \in Ker(f))

.
2.2. Soit

y

un vecteur de

E

Montrer que l'on a :

\forallx \in E, (‖f(x) - y‖ = Inf_(z \in E)‖f(z) - y‖ ⟺ x - f^I(y) \in Ker(f))

3. Application à un exemple

On prend

E

un espace euclidien de dimension 4 et

ℬ = (e_1, e_2, e_3, e_4)

une base orthonormale de

E

.
Soit

f

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans

ℬ

est :

A = (3, 0, - 1, 0; 0, 1, 0, - 1; - 1, 0, 3, 0; 0, - 1, 0, 1)

3.1. Justifier que

f

est un endomorphisme symétrique, non nul et non inversible.
3.2. Montrer que 2 est valeur propre double de la matrice

A

.
3.3. En déduire que

f

admet exactement 3 valeurs propres :

λ_0 < λ_1 < λ_2

On note pour tout

j \in [ [0, 2] ], M_j

la matrice de

p_j

dans la base

ℬ

.
3.4. Justifier que l'on peut écrire

A

sous la forme :

A = 2M_1 + 4M_2

.
3.5. Montrer que

E_2

est de dimension 1 et déterminer un vecteur

v_2

E_2

tel que

‖v_2‖ = 1

.
3.6. Démontrer que:

\forallx \in E, p_2(x) = (x|v_2)v_2

.
3.7. Déterminer la matrice

M_2

.
4. En déduire la matrice associée à

f^I

relativement à la base

ℬ

Exercice 3

Soient

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans

ℕ

définies sur un même espace probabilisé (

Ω, A, ℙ

).
Pour

|t| < 1

, on définit les fonctions génératrices de

X

et de

Y

respectivement par :

$G_X(t) = 1/(2 - t)$ ,
$G_Y(t) = 2 - \sqrt(2 - t)$ .

Déterminer le développement en série entière de la fonction $G_X$ .
Donner le terme d'ordre $n \in ℕ^*$ du développement en série entière de la fonction $t \mapsto (1 + t)^(1/2)$ .
En déduire le développement en série entière de la fonction $G_Y$ .
Pour tout $n \in ℕ$ , calculer $ℙ(X = n)$ et $ℙ(Y = n)$ .
Soient $S = X + Y$ et $n \in ℕ$ . Déterminer $ℙ(S = n)$ .

6. Calculs d'espérances et de variances

6.1. Justifier que la variable aléatoire

X + 1

suit une loi géométrique dont on déterminera le paramètre.
6.2. En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire

X

.
6.3. Déterminer à l'aide de la fonction génératrice

G_Y

l'espérance des variables aléatoires

Y

Y(Y - 1)

.
6.4. En déduire la variance de la variable aléatoire

Y

.
6.5. Déterminer l'espérance et la variance de la variable aléatoire

S

Exercice 4

Dans tout l'exercice,

n

est un entier naturel non nul.
Soit

φ

l'application qui à tout polynôme

P

ℝ_n[X]

associe

φ(P) = \int_0^1 P(t)dt

Démontrer que $B = (1, X - 1, X(X - 1), \dots, X^(n - 1)(X - 1))$ est une base de $ℝ_n[X]$ .
Généralités sur $φ$
2.1. Démontrer que $φ$ est une forme linéaire sur $ℝ_n[X]$ .
2.2. Déterminer $Im(φ)$ et la dimension du noyau de $φ$ .
On considère alors l'application $ψ$ qui à tout polynôme $P$ de $ℝ_n[X]$ associe le polynôme $Q$ tel que:

\forallx \in ℝ, Q(x) = \int_0^x P(t)dt

3.1. Justifier que l'application

ψ

est linéaire.
3.2. Démontrer que

Im(ψ) = Vect(X, X^2, \dots, X^(n + 1))

.
3.3. Démontrer que :

P \in Ker(φ) ⟺ ψ(P) \in Vect(X(X - 1), \dots, X^n(X - 1))

.
3.4. Donner alors une base de

Ker(φ)

.
4. On note

H = ℒ(ℝ_n[X], ℝ)

.
4.1. Donner la dimension de

H

.
4.2. Pour

k \in [ [0, n] ]

, soit

ψ_k

la forme linéaire sur

ℝ_n[X]

qui à tout polynôme

P

ℝ_n[X]

associe

(P^((k))(0))/(k!)

.
Démontrer que la famille

(ψ_0, \dots, ψ_n)

est une base de

H

.
4.3. Déterminer les composantes de

φ

dans cette base.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths e3a MP 2021 ?

Sur quatre exercices indépendants : une série de fonctions liée à la fonction Gamma, l'inverse généralisé d'un endomorphisme symétrique, des fonctions génératrices de variables aléatoires et une forme linéaire sur R_n[X].

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths e3a MP 2021 ?

Des théorèmes cités sans leurs hypothèses (théorème spectral, intégration terme à terme, changement de variable), la confusion entre convergence normale et uniforme, des dimensions fausses et des probabilités ou variances négatives laissées sans commentaire.

Le sujet e3a maths MP 2021 était-il difficile ?

Le jury le décrit comme un parcours des parties classiques du programme de deuxième année. Il se dit toutefois déçu par la maîtrise des bases et note que plusieurs fins d'exercices ont été peu traitées.

Comment bien rédiger au concours e3a MP en maths selon le rapport 2021 ?

Soigner la présentation, démontrer chaque affirmation, nommer les théorèmes avec leurs hypothèses et mener les calculs jusqu'au bout en contrôlant la cohérence des résultats.

Pas de description pour le moment

Commentaires• E3A Mathématiques MP 2021

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