Mission prolongée pour la sonde Juno : mécanique du champ newtonien, optique, gravitation, physique statistique, diffusion thermique, cristallographie et accumulateurs électrochimiques

Le problème suit la mission de la sonde Juno autour de Jupiter. La première partie mêle mécanique du mouvement à force centrale, optique géométrique, analogie champ électrique / champ gravitationnel et physique statistique. La deuxième porte sur la diffusion thermique dans les cartes électroniques et la structure cristalline du germanium. La troisième étudie des accumulateurs électrochimiques au lithium, au sodium et au soufre.

1Partie I : les caractéristiques de JupiterObservation de Jupiter et lunette astronomique, trajectoire de la sonde dans le champ newtonien de Jupiter, structure interne et champ de gravitation, distribution maxwellienne des vitesses.
2Partie II : électronique embarquée dans la sondeConduction thermique dans une plaque et un assemblage multi-cartes, puis structure cristalline du germanium.
3Partie III : vers des accumulateurs électrochimiques de nouvelle technologieComparaison des propriétés réductrices du lithium et du sodium, puis étude thermochimique de la production de trioxyde de soufre.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet a été 'volontairement conçu pour être très proche du cours', avec des questions d'initiative réservées aux meilleurs candidats ; la plupart des difficultés relevées viennent d'un manque de rigueur plutôt que de la nouveauté des notions.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Troisième loi de Kepler méconnue · Confusion entre énergie potentielle de pesanteur et énergie potentielle gravitationnelle · Théorème de Gauss énoncé sans phrase

Le sujet, proche du cours et couvrant à parts égales le programme de MPSI et de MP, a été abordé dans sa quasi-totalité par la plupart des candidats. Le jury signale une grande hétérogénéité de la qualité de rédaction, une dégradation de la présentation des copies, un manque de rigueur dans la conduite des calculs et de graves lacunes sur les chiffres significatifs.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Troisième loi de Kepler méconnueQ1
Utilisée pour estimer la masse de Jupiter, cette loi de cours n'est pas connue d'un nombre conséquent d'étudiants.
« La troisième loi de Kepler est méconnue par un nombre conséquent d'étudiants »
2
Confusion entre énergie potentielle de pesanteur et énergie potentielle gravitationnelleQ8
Pour la vitesse de libération de la Terre, l'usage de l'énergie potentielle de pesanteur Ep = mgz, valable seulement au voisinage du sol, conduit à des réponses fausses.
« a souvent conduit à des réponses erronées »
3
Théorème de Gauss énoncé sans phraseQ19
L'énoncé d'une loi ou d'un théorème doit être rédigé avec des phrases ; se contenter d'écrire la formule sans l'expliciter a été sanctionné.
« Se contenter d'une formule sans explicitation »
4
Manque de rigueur sur les chiffres significatifs
Des lacunes fréquentes apparaissent dans les applications numériques, notamment l'absence d'unité, qui rend une application numérique sans valeur.
« application numérique sans unité est sans valeur »
5
Schémas de Lewis et hypervalence mal maîtrisésQ41
Les schémas de Lewis demandés pour SO2 et SO3 sont souvent faux, la notion d'hypervalence étant méconnue de la plupart des candidats.
« Les schémas de Lewis demandés sont souvent faux »
6
Malhonnêteté intellectuelle sanctionnée
Affirmer une proposition comme vraie alors qu'elle repose sur une démonstration fausse est sévèrement pénalisé.
« comme vraie une proposition basée sur une démonstration fausse »

Ce qui a été bien réussi

Les bon(ne)s et très bon(ne)s candidat(e)s ont montré une bonne maîtrise des programmes de physique-chimie de MPSI et MP et une rédaction de qualité.
Les questions de cours sur la conduction thermique et sur la structure cristalline ont été bien traitées par les candidats maîtrisant leur cours.
L'étude du champ de gravitation d'une distribution sphérique non homogène a été bien traitée par les meilleurs candidats.

Conseils du jury

Soigner la présentation des copies : schémas nets et légendés, ratures tirées à la règle, pas d'abréviations.
Toujours donner une unité aux résultats numériques et vérifier leur pertinence physique.
Énoncer les lois et théorèmes du cours avec des phrases complètes, pas seulement une formule.
Ne pas conclure qu'une proposition est vraie si la démonstration qui y mène est fausse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

46 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

46 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Ce problème est constitué de trois parties indépendantes.

Remarques préliminaires importantes

Il est rappelé aux candidat(e)s que les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques.
Tout résultat fourni par l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e).
Les questions comportant le verbe " calculer " demandent une application numérique. Les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés.

Les données utiles sont fournies en page 13.

Mission prolongée pour la sonde Juno

Introduction

Jupiter est la planète la plus volumineuse du système solaire et fait partie des planètes «géantes gazeuses ». Compte tenu du rôle central de la planète géante dans la formation du système solaire, celle-ci intrigue toujours les scientifiques puisque de nombreuses questions concernant sa formation restent sans réponse. En particulier, deux scénarios s'affrontent sur la manière dont la planète Jupiter s'est constituée :

premier scénario : la planète s'est formée en deux temps - accrétion $^1$ des matériaux situés dans son voisinage jusqu'à former un noyau solide représentant une dizaine de masses terrestres puis effondrement gravitationnel de la masse de gaz et de poussière entourant la planète;
second scénario: celui-ci repose sur le seul effondrement gravitationnel d'un nuage de gaz et de poussières mais nécessite la présence d'une nébuleuse originelle de plus grande taille que celle retenue dans les scénarios de formation du système solaire.

La sonde Juno a pour objectif principal de résoudre ce dilemme en collectant des données permettant de reconstituer l'histoire de la formation de la planète géante et son évolution.

Figure 1 - Présentation de la sonde Juno - D’après Wikipedia

Partie I - Les caractéristiques de Jupiter

I. 1 - Observer Jupiter depuis la Terre

C'est en janvier 1610, à l'aide d'une très modeste lunette astronomique, que Galilée se rendit compte de la présence de quatre points lumineux à proximité de la planète géante. En notant soigneusement leurs positions, plusieurs soirs de suite, il s'aperçut que ces quatre points étaient mobiles et comprit qu'ils tournaient autour de la planète. Galilée venait de découvrir les quatre satellites principaux de Jupiter.

Le tableau 1 regroupe certaines données concernant ces satellites dont les orbites sont quasi circulaires :

Satellite	Distance moyenne au centre de Jupiter	Période de révolution sidérale
Io	$4, 218 \cdot 10^5 km$	1,769 jour
Europe	$6, 714 \cdot 10^5 km$	3,551 jours
Ganymède	$1, 070 \cdot 10^6 km$	7,155 jours
Callisto	$1, 883 \cdot 10^6 km$	16,689 jours

Tableau 1 - Données concernant les principaux satellites de Jupiter

Q1. Énoncer la troisième loi de Kepler, puis estimer la masse de Jupiter en précisant la méthode utilisée. Comparer cette valeur à celle fournie en fin de sujet.
Q2. Calculer la masse volumique moyenne de cette planète.
Pour un observateur terrestre, Jupiter est vue sous un angle

α

qui varie suivant la distance TerreJupiter. Les orbites de la Terre et de Jupiter sont assimilées à des cercles ayant pour centre le Soleil, contenus dans un même plan, de rayons respectifs

d_T

d_J

et décrits dans le même sens. La planète Jupiter est modélisée en première approximation par une sphère de rayon

R_J

Figure 2-Définition de l'angle

α

Q3. Calculer l'angle maximal

α_(max)

(en radians) sous lequel Jupiter est vue depuis la Terre.
Q4. Cette situation est la plus favorable à l'observation et porte le nom d'opposition de Jupiter. À l'aide des données fournies, évaluer la période de révolution sidérale

T_J

de Jupiter ainsi que la durée s'écoulant entre deux oppositions de celle-ci.

Une lunette astronomique est un système optique centré constitué d'un objectif et d'un oculaire. L'objectif est assimilé à une lentille mince convergente de centre optique

O_1

, de distance focale

f_1^' = 100 cm

et de diamètre

D_1

. L'oculaire est une lentille mince convergente de centre optique

O_2

, de distance focale

f_2^' = 10 cm

et de diamètre

D_2

Figure 3 - Lunette astronomique

L'objectif donne d'un objet éloigné une image réelle appelée image objective. Cette dernière est observée au moyen de l'oculaire.

Q5. À quelle condition l'œil d'un observateur, supposé sans défaut, n'accommode-t-il pas (ne se fatigue pas) ? En déduire la position relative de l'objectif et de l'oculaire dans ce cas de figure. Ce système optique possède-t-il des foyers? Comment se nomme un tel système optique?
Q6. Rappeler les conditions de Gauss. Reproduire la figure 3, sans respecter les échelles, et compléter la marche du rayon incident d'angle

α

avec l'axe optique en faisant clairement apparaître les traits de construction. Indiquer l'angle

α^'

sous lequel est vue la planète à travers l'instrument sous ces mêmes conditions.
Q7. Déterminer le grossissement de la lunette

G = (α^')/α

en fonction de

f_1^'

et de

f_2^'

et calculer celui-ci. Jupiter pourra-t-elle être discernée correctement avec une telle lunette?

I. 2 - La trajectoire de la sonde Juno

S'échapper de la Terre

Une des prouesses technologiques du siècle dernier a été de pouvoir s'échapper de la surface de la Terre afin d'envoyer hommes, satellites et instruments de mesure hors de l'atmosphère. Lancée en 2011 depuis la Terre, la sonde Juno restera en orbite autour de Jupiter jusqu'au mois de juillet 2021.

Pour libérer un objet M de masse

m

de l'attraction gravitationnelle terrestre, on comprend qu'il est nécessaire de le " lancer " vers l'espace avec une vitesse suffisamment importante. La vitesse de libération de la Terre

v_ℓ

est précisément la vitesse minimale, évaluée dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, avec laquelle on doit lancer l'objet pour qu'il " s'échappe ".

Q8. En appliquant le théorème de l'énergie mécanique à l'objet

M

entre l'instant initial (

M

à la surface de la Terre) et l'instant final (M à l'infini), déterminer la vitesse de libération

v_ℓ

en tenant compte de l'accélération de la pesanteur

g

supposée constante à la surface de la Terre. Calculer numériquement

v_ℓ

Caractéristiques de la trajectoire

La sonde Juno devait, en tout, effectuer 36 révolutions complètes autour de Jupiter et achever sa mission en février 2018 mais un problème de moteur a contraint les ingénieurs à la laisser sur une orbite elliptique de 53 jours.
On assimile la sonde Juno à un point matériel P de masse

m

soumis uniquement à la force d'interaction gravitationnelle exercée par Jupiter de masse

M_J

. En outre, le centre O de Jupiter est supposé immobile dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen et la sonde est repérée par le vecteur position

r⃗ = OP^(\to-)

Q9. Dans quelle circonstance est-il légitime de supposer que le centre de Jupiter est immobile ? Justifier alors l'approximation galiléenne du référentiel jupiterocentrique.
Q10. En appliquant le théorème du moment cinétique dans le référentiel jupiterocentrique, montrer que le moment cinétique

L_(O, P/ℛ)^(\to-) = r⃗ \land mv_(P/ℛ)^(\to-)

est constant au cours du temps. Conclure que le mouvement de la sonde est plan. Définir ce plan.

Il est donc plus judicieux de travailler en coordonnées cylindriques plutôt qu'en coordonnées sphériques. De plus, on choisit

O

comme étant l'origine du système de coordonnées cylindriques. Ce système de coordonnées est illustré sur la figure 4.

Figure 4 - Paramétrage cylindrique

Q11. Déterminer les expressions du vecteur position

r⃗

et du vecteur vitesse

v_(P/ℛ)^(\to-)

dans la base polaire

(u_r^(\to-), u_θ^(\to-))

Q12. On définit le vecteur

C⃗

par

C⃗ = (L_(O, P/ℛ)^(\to-))/m

. En exprimant

C⃗

dans la base cylindrique orthonormée directe

(u_r^(\to-), u_θ^(\to-), u_z^(\to-))

, montrer que

r^2(dθ)/(dt)

est une constante du mouvement que l'on exprimera en fonction de

C = C⃗ \cdot u_z^(\to-)

Q13. Déterminer l'énergie mécanique de la sonde et montrer qu'elle se met sous la forme :

ℰ_(m, P/ℛ) = ℰ_m = 1/2m(r˙)^2 + U_(eff)(r) avec U_(eff)(r) = (mC^2)/(2r^2) - 𝒢(mM_J)/r.

Justifier que

ℰ_m

se conserve.
Q14. Tracer l'allure de

U_(eff)(r)

et discuter les trajectoires possibles de la sonde en fonction de

ℰ_m

. On distinguera en particulier les états qualifiés de liés de ceux dits de diffusion.
Q15. En utilisant les données, déterminer le demi-grand axe

a

de l'orbite elliptique de la sonde. Exprimer, sans justifier,

ℰ_m

en fonction de

a

. En déduire une première équation liant la distance minimale

r_(min)

, la distance maximale

r_(max)

a

. Montrer également que

r_(min)

r_(max)

vérifient la relation suivante :

r_(min)r_(max) = - (mC^2)/(2ℰ_m).

Ces deux relations permettent de déterminer

r_(min)

r_(max)

, ce que l'on ne demande pas.

I. 3 - La structure interne de Jupiter

Électrostatique et gravitation universelle

On notera dans toute la suite

𝒢

la constante de la gravitation universelle dont la valeur numérique est fournie en fin de sujet. On s'intéresse maintenant au champ gravitationnel

G(P)^(\to-)

créé en P par une distribution de masse.

Figure 5 - Paramétrage

Une distribution de masse volumique

ρ

crée un champ gravitationnel

G⃗

(supposé stationnaire) qui satisfait les équations locales suivantes :

divG⃗ = - 4π𝒢ρ et rot^(\to-)G⃗ = 0\to.

Q16. Comment s'exprime la force de gravitation exercée par une distribution de masse sur un point matériel P de masse

m

en fonction du champ de gravitation

G(P)^(\to-)

?
Q17. Dresser une analogie entre les équations (3) et celles de l'électrostatique. Quelle est la différence fondamentale entre l'électrostatique et la gravitation?
Q18. Le potentiel gravitationnel

Φ

est pour

G⃗

l'analogue de ce qu'est le potentiel électrostatique

V

pour le champ électrostatique. Laquelle des deux équations précédentes (3) permet d'assurer l'existence d'un potentiel gravitationnel

Φ

pour le champ de gravitation

G⃗

? Écrire l'équation existant entre

Φ

G⃗

, au signe près. En déduire que le potentiel gravitationnel satisfait l'équation de Poisson et préciser alors le choix du signe effectué :

ΔΦ = 4π𝒢ρ.

Q19. Énoncer le théorème de Gauss liant le champ électrostatique

E⃗

à la distribution volumique de charge

ρ

. En s'appuyant sur l'analogie établie entre l'électrostatique et la gravitation, montrer que le champ gravitationnel

G⃗

créé par une distribution de masse volumique

ρ

satisfait la relation 5,

M_(int)

étant la masse contenue à l'intérieur de la surface fermée

Σ

∯ ∯ _(M \in Σ)G(M)^(\to-) \cdot dS_M^(\to-) = - 4π𝒢M_(int)

Distribution sphérique de masse non homogène

En étudiant les variations du champ de gravitation de Jupiter, la sonde Juno fournira des indications sur la distribution des masses à l'intérieur de la planète, l'incidence sur celle-ci du déplacement de son atmosphère et du mouvement de marée généré par ses lunes.

De manière générale, les planètes géantes possèdent :

un noyau d'éléments lourds;
une enveloppe d'hydrogène et d'hélium;
au-delà d'une pression donnée, l'hydrogène devient métallique.

Figure 6 - Structure interne de Jupiter - (J. Heyvaerts - Astrophysique)

On étudie ici quelques propriétés du champ de gravitation d'une distribution sphérique de masse non-homogène de rayon

R

. On associe un système de coordonnées sphériques à cette distribution dont le centre

O

est à l'origine du système. On notera (

u_r^(\to-), u_θ^(\to-), u_φ^(\to-)

) la base de vecteurs associée.

On suppose que la masse volumique

ρ(r)

ne dépend que de la coordonnée radiale

r

.
Q20. Justifier très précisément que le champ de gravitation est nécessairement de la forme

G(M)^(\to-) = - G(r)u_r^(\to-)

, où

G(r)

est la norme du champ de gravitation.
Q21. On note

M(r)

la masse contenue dans la boule de rayon

r

. Montrer alors que :

M(r) = \int_0^r 4πr^('2)ρ(r^')dr^'

Q22. En utilisant le théorème de Gauss pour la gravitation, déterminer dans le cas de ce modèle

G(r)

pour

r > R

. On rappelle que

M_J

est la masse de Jupiter que l'on définira à l'aide de

M(r)

. Tracer le graphe de

r ⟼ G(r)

pour

r > R

. Donner l'expression du potentiel gravitationnel

Φ(r)

dont dérive le champ de gravitation pour

r > R

en le prenant nul à l'infini.

Dans le référentiel jupiterocentrique supposé galiléen, Jupiter est animée d'un mouvement de rotation supposé uniforme autour de l'axe polaire (

Oz

), la période associée à ce mouvement de rotation valant

T_(sid) = 0, 41

jour terrestre. Chaque volume élémentaire

dτ

de l'atmosphère de Jupiter, de centre P , immobile dans le référentiel lié à Jupiter et de masse

δm

possède donc, dans ce référentiel, un mouvement de rotation circulaire uniforme de vitesse angulaire

ω_(sid)

. L'origine du repère est choisie au centre de Jupiter qui présente une symétrie de révolution autour de l'axe passant par les pôles

(Oz)

(mais qui n'est plus supposée sphérique).

Q23. Exprimer, en fonction de ses deux coordonnées sphériques

r

θ

et de

ω_(sid)

, le vecteur accélération du centre P du volume élémentaire

dτ

dans le référentiel jupiterocentrique.
Q24. Jupiter possède la forme d'un ellipsoïde de révolution. Le rayon polaire possède la valeur

R_P = 6, 68 \cdot 10^4 km

et le rayon équatorial possède la valeur

R_E = 7, 15 \cdot 10^4 km

. Comment expliquer simplement la forme de cette planète?

On définit l'aplatissement relatif

ε

par

ε = (R_E - R_P)/(R_E)

. Du fait de l'aplatissement de Jupiter, le potentiel gravitationnel à grande distance a pour expression, avec

K = (I_J)/(M_J R_J^2)

où

I_J

est le moment d'inertie diamétral qu'aurait Jupiter, de masse

M_J

et de rayon

R_J

, sans rotation propre (donc sans le phénomène d'aplatissement),

Φ(r, θ) = (𝒢M_J)/r[ - 1 + (εK)/2((R_J)/r)^2(3cos^2 θ - 1)].

On donne la valeur du moment d'inertie diamétral d'une boule pleine, de rayon

R

et masse volumique uniforme

ρ : I = (8π)/(15)ρR^5

Q25. Si Jupiter était assimilable en l'absence de rotation propre à une boule pleine, homogène, de masse volumique uniforme évaluée à la question Q2, quelle devrait être la valeur de la constante

K = (I_J)/(M_J R_J^2)

?
Q26. L'étude du champ de gravitation par la sonde Juno permettra l'estimation de la constante

K

. En quoi la connaissance de

K

est-elle intéressante?

Les couches supérieures de l'atmosphère de Jupiter sont riches en hélium et dihydrogène gazeux. On considère alors une région de l'atmosphère de Jupiter à une température

T

. Soit

dN

le nombre d'entités (atomes ou molécules) de masse

m

dont le module de la vitesse est compris entre

v_r

v_r + dv_r

. On suppose une distribution telle que:

(dN)/N = (m/(2πk_B T))^(3/2)exp(- (mv_r^2)/(2k_B T)) \times 4πv_r^2 dv_r = f(v_r)dv_r.

Q27. Calculer la valeur de

v_r

qui rend

f(v_r)

maximale. On l'appelle vitesse la plus probable d'agitation thermique et on la note

v_c

.
Q28. Expliquer alors pourquoi, contrairement à l'atmosphère terrestre, l'atmosphère de Jupiter peut être riche en dihydrogène ou hélium. On pourra comparer les valeurs des vitesses de libération de la Terre et de Jupiter.

Partie II - Électronique embarquée dans la sonde

Juno comporte huit ensembles d'instruments comprenant en tout 29 capteurs ainsi qu'une caméra. Ces instruments comprennent entre autres un radiomètre à micro-ondes destiné à sonder les couches inférieures de l'atmosphère de la planète, un magnétomètre chargé de mesurer les champs magnétiques interne et externe et un instrument de mesure du champ de gravitation par ondes radio. La plus grande partie de l'électronique permettant aux instruments scientifiques de fonctionner est confinée dans le compartiment blindé où se trouvent notamment les calculateurs et les centrales à inertie.

II. 1 - Traitement thermique de cartes électroniques

Conduction thermique dans une plaque

Une plaque plane de conductivité thermique

λ

, d'épaisseur

e

et normale à l'axe (

Ox

), sépare deux milieux dont la température est constante et uniforme. La surface de la plaque est notée

S

. Le milieu occupant la région

x < 0

est à la température

T_1

, alors que le milieu 2, remplissant la région

x > e

, est à la température

T_2

. On se place en régime stationnaire.

Figure 7 - Paramétrage

Q29. À l'aide d'un bilan d'énergie effectué sur un système à préciser, déterminer la température

T(x)

qui règne dans la plaque en fonction des données ci-dessus.
Q30. Calculer la puissance thermique

𝒫_(1 \to 2)

transférée depuis le milieu 1 vers le milieu 2 à travers la plaque.

Q31. Après avoir effectué une analogie précise avec l'électrocinétique, montrer que l'expression obtenue à la question précédente permet de définir une résistance thermique

R_(th)

et l'exprimer en fonction de

λ, e

S

Assemblages multi-cartes

Une des étapes de la fabrication des cartes supportant les circuits électroniques intégrés consiste à les enduire d'une résine époxy qui durcit à température élevée et sous forte pression. Pour cela, on assemble les cartes enduites de résine en piles, chacune étant séparée des autres par une plaque métallique.

Toutes les cartes sont planes, ont la même épaisseur

e_1

et une conductivité thermique

λ_1

. Les plaques métalliques de séparation, planes elles aussi, ont une épaisseur

e_2

et une conductivité thermique

λ_2

. Les cartes et les plaques ont une même aire de contact notée

S

L'ensemble ainsi obtenu, constitué d'un grand nombre de couches (

N≫1

) d'épaisseur totale

L

, est placé entre deux supports qui permettent à la fois de chauffer l'empilement et de soumettre la pile de cartes à la pression élevée nécessaire au durcissement de la résine.

La figure 8 représente le cas de

N = 6

empilements plaque-carte +1 carte.

Figure 8 - Assemblage multi-cartes

On admettra que la résine époxy ne joue aucun rôle dans les transferts et bilans thermiques. Sauf indication contraire, on néglige tout transfert thermique se produisant par les faces latérales des plaques et des cartes. De plus, on suppose que tous les contacts thermiques sont parfaits : la température est continue dans l'empilement.

Afin d'étudier de façon simplifiée les transferts thermiques, on cherche à représenter le système feuilleté décrit précédemment comme un milieu homogène. On veut alors déterminer les caractéristiques de ce milieu équivalent.

Q32. On considère que les transferts thermiques s'effectuent seulement selon la direction (

Ox

). Déterminer la résistance thermique

R_e

d'une épaisseur

L

de matériau, de surface

S

, constituée d'une carte seule en plus de

N≫1

empilements plaque-carte. En déduire que l'empilement est équivalent à une épaisseur

e

d'un matériau homogène de section

S

dont on exprimera la conductivité thermique

λ

en fonction de

λ_1, λ_2, e_1

e_2

Q33. Vérifier la pertinence du résultat précédent sur les deux cas particuliers suivants :

premier cas : $λ_1 = λ_2$ ;
deuxième cas : $e_1≪e_2$ et $λ_1$ et $λ_2$ étant du même ordre de grandeur.

II. 2 - Structure cristalline du germanium

Le germanium est un métalloïde utilisé dans la conception des composants électroniques insérés dans la sonde Juno. Il cristallise dans le système diamant de paramètre

a = 5, 66 \cdot 10^(- 1) nm

pour laquelle la structure hôte est une structure cubique faces centrées et un site tétraédrique sur deux est occupé par un atome de germanium.

Q34. Dessiner la maille conventionnelle du cristal de germanium. En déduire la coordinence d'un atome de germanium.

Q35. Déterminer la compacité de cette structure.
Q36. Évaluer la masse volumique du germanium en

kg \cdot m^(- 3)

Partie III - Vers des accumulateurs électrochimiques de nouvelle technologie

III. 1 - Accumulateur à base de lithium et de sodium

La sonde Juno possède deux accumulateurs lithium-ion d'une capacité de 55 Ah chacun et permettant de stocker l'énergie électrique délivrée par des panneaux photovoltaïques. L'un des intérêts du lithium (numéro atomique

Z = 3

) est sa faible masse volumique.

Figure 9 - Schéma de fonctionnement de l'accumulateur lithium-ion

On fournit pour cette partie à 298 K :

Potentiels standards en V:

Li^+/Li_((s)) : - 3, 0 V Na^+/Na_((s)) : - 2, 7 V H^+/H_(2(g)) : 0, 0 V

$(RT)/ℱln(10) = 6, 0 \cdot 10^(- 2) V$
Produit ionique de l'eau : $K_e = 1 \cdot 10^(- 14)$

Pour répondre à certaines questions suivantes, on s'appuiera sur le document 1 .
Q37. Quel intérêt y aurait-il à remplacer les électrodes à base de lithium par des électrodes à base de sodium?
Q38. Donner la configuration électronique d'un atome de lithium dans son état fondamental. Comment justifier la valeur très basse du potentiel standard

E_(Li^+/Li_((s)))^\circ

? Quelle autre propriété intéressante du lithium cela reflète-t-il?

Document 1 - Batteries Sodium - Ion

La start-up française Tiamat va commencer la production de petites séries de ses batteries sodium-ion. Alternative aux classiques batteries lithium-ion, cette technologie s'avère aussi, pour de nombreuses applications, moins polluante et plus performante.
À l'heure où les prix Nobel récompensent les concepteurs des piles lithium-ion, la recherche poursuit ses efforts pour faire encore mieux. Notamment en s'affranchissant du lithium dont l'exploitation, le recyclage et la toxicité posent des problèmes éthiques et environnementaux. Ainsi, les laboratoires du réseau sur le stockage électrochimique de l'énergie du CNRS et du CEA ont développé une nouvelle génération de batteries à charge ultra-rapide à base de sodium. Depuis les premiers prototypes industriels présentés fin 2015, la technologie a bien progressé. À présent, c'est Tiamat, une start-up amiénoise créée fin 2017, qui poursuit le développement, l'industrialisation et la commercialisation de ces batteries.

Concept et performances : les cellules de batterie sodium-ion fonctionnent sur le même principe que les batteries lithium-ion. Au fur et à mesure des cycles de charge et de décharge, les ions sodium se déplacent d'une électrode à l'autre dans un milieu liquide. Ce qui change, ce sont les performances. Tiamat annonce ainsi une charge bien plus rapide : 5 minutes au lieu de 4 h et une durée de vie de l'ordre de 10 ans (4 000 cycles d'utilisation).

Si ces batteries ne sont pas compétitives en termes de densité d'énergie électrique (quantité d'énergie stockée par kilogramme), elles sont idéales pour des applications nécessitant une forte puissance et une charge rapide comme les vélos, les scooters et les trottinettes électriques, pour les robots industriels et l'outillage ou encore pour le stockage de l'électricité sur les réseaux.
Les premières cellules fabriquées par Tiamat se présentaient sous le format industriel standard «18650», comme les batteries lithium-ion, c'est-à-dire un cylindre de

1, 8 cm

de diamètre sur

6, 5 cm

de haut. D'autres formats de cellules ont été testés depuis comme des piles boutons. Par ailleurs, en plus de se passer du lithium, ces batteries permettent aussi de s'affranchir de l'utilisation du cobalt présent dans les batteries lithium-ion, dont l'exploitation et l'utilisation posent aussi des problèmes sociaux et environnementaux.
(Jean-Marie Tarascon, Collège de France)

Certains électrolytes peuvent contenir de l'eau. Les questions suivantes se proposent de comparer les comportements du lithium et du sodium dans l'eau.

On fournit dans la figure

10

les courbes intensité-potentiel à

pH = 7, 0

maintenu constant :

Figure 10 - Courbes intensité-potentiel à

pH = 7, 0

Q39. Écrire les équations du lithium métal et du sodium métal avec l'eau en milieu acide. On précise que le nombre stœchiométrique du métal alcalin sera égal à 2 . Déterminer les valeurs des constantes d'équilibre associées à ces équations à 298 K . Que peut-on en déduire a priori?
Q40. Lequel de ces deux métaux apparaît finalement le plus réactif? Une comparaison des propriétés thermodynamiques et cinétiques est attendue.

III. 2 - Accumulateur à base de soufre

Les générateurs de nouvelle génération peuvent également être du type lithium-soufre ou sodiumsoufre. On s'intéresse à une étape de la production de soufre industriel.

Q41. Donner un schéma de Lewis des molécules

SO_2

SO_3

.
Q42. Calculer l'enthalpie standard de réaction

Δ_r H^\circ

et l'entropie standard de réaction

Δ_r S^\circ

à 298 K associées à la réaction d'équation :

2SO_(2(g)) + O_(2(g))⇌2SO_(3(g))

Rappeler en quoi consiste l'approximation d'Ellingham. Donner dans le cadre de cette approximation l'expression de

Δ_r G^\circ

en fonction de

T

.
Q43. Toutes choses égales par ailleurs, l'augmentation de la température favorise-t-elle la production de trioxyde de soufre

SO_(3(g))

?
Q44. Donner l'expression de la constante d'équilibre

K^\circ(T)

en fonction des fractions molaires, de la pression totale notée

P

et de la pression standard

P^\circ

associée à l'écriture de l'équation 9.
Q45. Toutes choses égales par ailleurs, l'augmentation de la pression totale favorise-t-elle la production de trioxyde de soufre

SO_(3(g))

?
Q46. En tant qu'ingénieur(e) des procédés physico-chimiques, quel(s) choix industriel(s) seriez-vous amené(e) à faire afin d'optimiser la production de

SO_(3(g))

? Expliciter les compromis cinétiques, thermodynamiques et financiers en prenant en compte les résultats précédents concernant l'influence de la température et de la pression.

Conclusion

Depuis son arrivée dans le voisinage de Jupiter, Juno a permis de confirmer l'affaiblissement de la grande tache rouge et sa probable disparition d'ici quelques dizaines d'années. Elle a également révélé l'existence de gigantesques orages aux pôles de la planète et délivre des centaines d'images de la géante gazeuse.

Document 2 - Données

Notations et valeurs numériques

é é é é œ é é é Constante d'Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 𝒩_A = 6, 02 \cdot 10^(23) mol^(- 1); Masses molaires (en g \cdot mol^(- 1)) \dots\dots\dots\dots\dots\dots.. ℳ_H = 1, 0; ℳ_(He) = 4, 0; ℳ_(Ge) = 72, 6; Numéros atomiques ............................... Z(O) = 8 et Z(S) = 16; Constante de Boltzmann ......................... k_B = 1, 38 \cdot 10^(- 23) J \cdot K^(- 1); Constante de la gravitation universelle \dots\dots\dots.. 𝒢 = 6, 67 \cdot 10^(- 11) m^3 \cdot kg^(- 1) \cdot s^(- 2); Accélération de la pesanteur terrestre \dots\dots\dots.. g = 9, 8 m \cdot s^(- 2); Pouvoir de résolution de l'œil .................... . ε_(ceil) = 1, 5^'; Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1^\circ = 60^' (minutes d'angle); Masse de la Terre ................................. . M_T = 6, 0 \cdot 10^(24) kg; Masse de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M_J = 1, 97 \cdot 10^(27) kg; Rayon de la Terre ................................. R_T = 6, 4 \cdot 10^3 km; Rayon de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R_J = 7, 0 \cdot 10^4 km; Rayon de l'orbite terrestre \dots\dots\dots\dots\dots\dots..\dots... d_T = 1, 50 \cdot 10^8 km; Rayon de l'orbite de Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d_J = 7, 80 \cdot 10^8 km; Période de révolution sidérale de la Terre ......... T_T = 365, 25 jours

Données thermodynamiques à 298 K :

Enthalpie standard de formation

Δ_f H^\circ

et entropie molaire standard

S_m^\circ

	$O_(2(g))$	$SO_(2(g))$	$SO_(3(g))$
$Δ_f H^\circ(enkJ \cdot mol^(- 1))$	$∙$	$- 296, 8$	$- 395, 7$
$S_m^\circ(enJ \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1))$	205,0	248,1	256,7

Une formule d'analyse vectorielle

On considère le champ scalaire suivant :

f : ℝ^3 ⟶ ℝ

. Alors :

Δf = div(grad^(\to-)f)

Opérateur gradient en coordonnées sphériques

grad^(\to-)f = ((\partialf)/(\partialr); 1/r(\partialf)/(\partialθ); 1/(rsinθ)(\partialf)/(\partialφ))_(ℬ(u_r^(\to-), u_θ^(\to-), u_φ^(\to-)))

FIN

1. processus d'agglomération

Questions fréquentes

4 questions

Le sujet E3a physique-chimie MP 2021 porte-t-il sur la sonde Juno ?

Oui, il suit la mission de la sonde Juno autour de Jupiter et couvre mécanique, optique, électromagnétisme, physique statistique, thermique, cristallographie et électrochimie.

Le sujet E3a physique-chimie MP 2021 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme volontairement proche du cours ; les difficultés observées viennent surtout d'un manque de rigueur dans les calculs et les chiffres significatifs.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur E3a physique-chimie MP 2021 ?

Une troisième loi de Kepler mal connue, une confusion entre énergie potentielle de pesanteur et gravitationnelle, des chiffres significatifs mal gérés et des schémas de Lewis faux.

Faut-il bien connaître le programme de MPSI pour ce sujet E3a MP 2021 ?

Oui, plusieurs notions de MPSI (mécanique, optique géométrique, structure diamant) sont mobilisées à parts égales avec le programme de MP.

Pas de description pour le moment

Commentaires• E3A Physique Chimie MP 2021

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