CCINP Physique Chimie MPI 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

PHYSIQUE - CHIMIE

• -Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• -Ne pas utiliser de correcteur.
• -Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Notre Terre : attractive, si chaleureuse et... magn(if)(ét)ique

Partie I - Champ gravitationnel et champ de pesanteur

• Q1.Donner les expressions des champs gravitationnel G(M)^(→−) et électrostatique E(M)^(→−), créés en un point M, respectivement par la masse ponctuelle m et par la charge ponctuelle q, chacune étant placée en O. En déduire les analogues gravitationnels de la charge q et de la permittivité diélectrique du vide ε_0. En utilisant l'analogie, écrire l'énoncé du théorème de Gauss intégral relatif au champ gravitationnel G(M)^(→−) créé par une distribution volumique de masse μ(P) contenue dans un volume V délimité par une surface S.

Figure 1 - Présence de pétrole dans le sol terrestre

• Q3.En utilisant le principe de superposition, exprimer G_(Tp)(M)u_z^(→−) et la variation relative du champ gravitationnel ε = (G_T(M) − G_(Tp)(M))/(G_T(M)) en fonction de μ_T, μ_P, r^′, d et de R_T. En présence de pétrole, indiquer avec justification si le champ gravitationnel devient plus intense ou moins intense.

Partie II - Forme de la Terre

• Q4.Justifier l'expression du champ de pesanteur g(M)^(→−) donnée ci-dessus en précisant quel est le terme gravitationnel et quel est le terme d'inertie. Donner l'ordre de grandeur de sa norme à la surface de la Terre.
• Q5.
  En général, la force de Coriolis peut être négligée devant le poids. Justifier cette approximation en prenant l'exemple d'un train TGV roulant à 360 km/heure, c'est-à-dire 100 m/s.
  

  Figure 2 - Référentiel géocentrique et référentiel terrestre
• Q6.Montrer que le rapport des normes du terme d'inertie d'entraînement et du terme de gravitation à la surface de la Terre est majoré par une valeur η qu'on exprimera en fonction de Ω, R_T, G et de M_T. Déterminer l'ordre de grandeur de la quantité η et commenter.

• Q7.a) La force gravitationnelle F_G^(→−)(M) dérive de l'énergie potentielle de gravitation E_(pG)(M). Donner l'expression de celle-ci pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle à l'infini.
  • b)La force d'inertie d'entraînement F_e^(→−) dérive de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement E_(pe)(M). Établir que celle-ci s'écrit E_(pe)(M) = − 1/2mΩ^2(HM^(→−))^2 pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle en r = 0.
  • c)En déduire l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E_(pp)(M) en coordonnées sphériques.

• Q8.Montrer que, dans un plan méridien, la trace de cette surface équipotentielle (Σ) peut être décrite par la forme approchée r(θ) ≈ r_n(1 + εsin^2 θ) et exprimer la constante ε en fonction de R_T, r_n et de η. Dessiner l'allure de r(θ) et exprimer le paramètre d'aplatissement ε^′ = (r_e − r_n)/(r_n) sachant que r vaut r_e dans tout le plan équatorial.

Partie III - Détermination optique du champ de pesanteur

Figure 3 - Mesure du champ de pesanteur terrestre par un interféromètre de Mach-Zehnder

• Q9.Le corps C_1 tombe en chute libre, sans vitesse initiale, parallèlement à lui-même à l'intérieur d'une chambre vide.
  • a)Justifier l'hypothèse de la norme g constante en donnant une estimation de la variation relative (g(h) − g(0))/(g(0)) pour une hauteur de chute égale à h = 1 m.
  • b)Déterminer, alors, l'équation horaire du mouvement de O_1 en fonction du temps : z_1(t), en prenant la position initiale O_(10)(t = 0) comme origine des espaces sur l'axe vertical descendant.

• Q10.a) Exprimer en fonction du temps t la différence de chemins optiques δ(P, t) entre ces deux rayons.
  • b)On donne, en figure 3(b), la représentation graphique l(t) de l'intensité au point P en fonction du temps. On note t_0 l'instant correspondant au premier minimum de l'intensité et t_q les instants des autres minima d'intensité successifs, avec q appartenant à ℕ^∗. Exprimer la quantité Δ_q = δ(P, t_q) − δ(P, t_0). En déduire l'expression de g en fonction de t_0, t_q, λ et de q.
  • c)On veut déterminer la valeur locale de g. Il est commode d'exploiter le graphe d'une fonction linéaire affine y(q) : préciser ce qu'est la fonction y.
    Les mesures expérimentales permettent d'obtenir y(q) = 64598q. Sans effectuer le calcul numérique, indiquer comment on en déduit que g = 9, 7961 m ⋅ s^(− 2).

Partie IV - Le calcaire et l'argile : des richesses du sol bon marché

Partie IV. 1 - Obtention d'un ciment

• (H1): tout l'oxyde Fe_2 O_(3, (s)) se retrouve dans le composé D,
• (H2): tout l'oxyde Al_2 O_(3, (s)) restant sert à fabriquer le composé C,
• (H3): tout l'oxyde SiO_(2, (s)) se retrouve dans les composés A et B,
• (H4): tout l'oxyde CaO_((s)) se retrouve dans l'ensemble des composés A, B, C et D.

• Q12.Compléter le script ci-dessous à la ligne 5, qui définit la matrice gob par ses éléments β_(ij) exprimés en fonction des masses molaires M_(1 ≤ i ≤ 8).

• -la ligne 6 détermine bog, la matrice inverse de la matrice gob,
• -la ligne 7 définit le vecteur cim et la ligne 8 affiche le résultat.
  • 1import numpy as np
  • 2M1,M2,M3,M4=56,60,102,159
  • 3M5, M6, M7, M8 = 3∗M1 + M2, 2^∗ M1 + M2, 3^∗ M1 + M3, 4^∗ M1 + M3 + M4
  • 4oxy=np.array([62, 24, 9, 5]) #exemple d'un mélange réactionnel des quatre oxydes
  • 5gob=... #définition de la matrice gob
  • 6bog=np.linalg.inv(gob)
  • 7cim=np.dot(bog,oxy)
  • 8print('cim=',cim)

Partie IV. 2 - Les pluies acides

• Q13.a) Écrire les deux équilibres acido-basiques de ce diacide et expliciter l'expression de leurs quotients réactionnels. On supposera les solutions aqueuses suffisamment diluées pour confondre les activités des solutés avec la valeur de leur concentration en quantité de matière volumique exprimée en mol ⋅ L^(− 1).
  • b)La figure 4 donne, en fonction du pH, les proportions, ou pourcentages (%), des différentes espèces acido-basiques issues de la dissolution du dioxyde de carbone dans l'eau : ces courbes sont notées (1), (2) et (3). Attribuer chacune de ces courbes aux trois espèces acido-basiques du diacide.
  • c)Déterminer les valeurs des constantes d'acidités K_(a1) et K_(a2) pour le diacide étudié.

Figure 4 - Distribution des espèces acido-basiques issues de la dissolution de CO_(2, (g)) dans l'eau, en fonction du pH

• Q14.On étudie l'eau de pluie devenue acide à cause de la dissolution du dioxyde de carbone CO_(2(g)) atmosphérique. Elle impose une concentration molaire volumique du dioxyde de carbone dissous c = [CO_(2, (aq)), H_2 O] = 1, 0 ⋅ 10^(− 5) constante à température et pression fixées. Établir l'expression du pH de cette solution à 25 °C et déterminer les valeurs de toutes les concentrations des espèces présentes dans la solution.

Partie V - Quelques propriétés thermodynamiques de la Terre

Partie V. 1 - Mesure de la conductivité thermique d'une roche terrestre

Figure 5 - Dispositif de mesure de la conductivité thermique d'une roche

• Q15.Donner la définition et l'expression de la résistance thermique R_(th) d'un conducteur thermique de conductivité λ, de section s et de longueur I traversé par un flux thermique uniforme perpendiculaire à la section.
• Q16.Établir alors, la relation (T_1 − T_2)/(T_c − T_1) = (λ_1)/I(d/λ + (e_1)/(λ_1) + (e_2)/(λ_2)). Expliquer comment on peut déterminer λ expérimentalement, en s'affranchissant des indéterminations dues aux contacts.

Partie V. 2 - Évolution de la température à l'intérieur de la Terre

• Q17.a) Exprimer l'énergie gravitationnelle finale dE_(pG)(r) des masse m et dm . On considère l'énergie gravitationnelle nulle quand dm est infiniment éloignée de m.
  • b)On modélise la formation d'une sphère de centre O, de rayon R et de masse volumique uniforme μ par l'apport de coquilles sphériques, d'épaisseur dr et de volume dτ = 4πr^2 dr, depuis l'infini jusqu'à la position occupée dans la sphère.
    Établir que l'expression de l'énergie gravitationnelle E_(pG)(R) de cette distribution de masse totale M est : E_(pG)(R) = − (3G)/5(M^2)/R. Commenter le signe.
• Q18.La sphère précédente modélise la Terre. En supposant que l'énergie gravitationnelle est convertie totalement en énergie thermique, exprimer la température T_(eq) atteinte par la Terre à partir d'une température initiale voisine de 0 K, en fonction de M_T, R_T, G et de C (capacité thermique massique de la Terre). Estimer T_(eq) et commenter.

    import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
    Na,mu=6.02*10**23,4500
    Mi=np.array([0.238,0.232,0.04])
    ci=np.array([(10**-8)*1.3,(10**-8)*4,(10**-8)*1.87])
    epsi=np.array([(10**-12)*7.41,(10**-12)*6.24,(10**-12)*0.114])
    taui=(365*24*3600*10**9)*np.array([4.46,13.9,1.26])
    tGyi=np.array([4.46,13.9,1.26])
    pvi0=0.69*mu*Na*np.array([(ci[k]*epsi[k])/(Mi[k]*taui[k]) for k in range(0,3)])
    t=np.linspace(0,10,100)#Gigaans
    def pv(t):
        return # expression de pv(t) de la question Q20
    #v.min(): donne la valeur minimale des éléments du vecteur v
    Dp=(np.abs(pv(t)-pv(0)/2)).min()
    #l.index(x): donne la position de x dans la liste I
    n=((np.abs(pv(t)-pv(0)/2)).tolist()).index(Dp)
    t0=t[n]
    print('pv0(nW/m3)=',pv(0),' --- t0=',t0)
    ...
    ...

• a)Ligne 10 : donner la signification physique de pvi0.
• b)Ligne 15 : que représente la grandeur Dp ?
• c)Ligne 17 : que représente n ?
• d)Ligne 19 : que représentent pv(0) et t0 ? Comment augmenter la précision sur t0 ?
• e)Compléter les lignes, après la ligne 19, pour que l'exécution du programme donne et visualise l'allure du graphe de la puissance volumique totale en fonction du temps p_v(t) (sans quadrillage).

• f)Reproduire l'allure de ce graphe sur votre copie et en déduire, avec justification, la date t_(1/2) à laquelle la puissance volumique sera réduite de moitié.

Figure 6 - Évolution de la puissance volumique, d'origine radioactive, avec le temps

• b)Déterminer la loi de variation spatiale de la température T(r) dans la Terre en supposant que la température est finie au centre de celle-ci et que la puissance volumique p_v^′ est uniforme dans tout le volume de la Terre. La température du sol vaut T_s = 298 K.

• c)Déterminer l'expression de la puissance surfacique j(r).
• d)On donne la puissance surfacique à la surface de la Terre j(R_T) = 70 mW ⋅ m^(− 2). En déduire la valeur de p_v^′. Commenter compte tenu de Q21.

Partie VI - Bilan énergétique sur le sol de la Terre, d'après une analyse documentaire

Figure 7 - Flux énergétiques échangés entre le sol terrestre, le Soleil et l'atmosphère (en W ⋅ m^(− 2) )

Partie VII - Le champ magnétique terrestre

Figure 8 - Dipôle magnétique terrestre