CCINP Mathématiques 2 MPI 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Puissances de matrices, racines n-ièmes de l'unité et polynômes de Laguerre

L'épreuve comporte deux exercices et un problème indépendants. Les exercices relèvent de la réduction des matrices : calcul des puissances d'une matrice 3×3 par deux méthodes, puis produit des valeurs d'un polynôme réel aux racines n-ièmes de l'unité. Le problème construit les polynômes de Laguerre comme base orthonormée pour un produit scalaire intégral et étudie la projection orthogonale.

1Exercice 1 : puissances d'une matrice 3×3 (Q1 à Q4)On diagonalise J, on en déduit le polynôme minimal de A = aJ + bI, puis on calcule A^n par le reste de la division euclidienne de X^n par ce polynôme et par la formule du binôme de Newton.
2Exercice 2 : produit des P(ω_k) (Q5 à Q9)Après un exemple avec j, on calcule le polynôme caractéristique d'une matrice de permutation circulaire J, on écrit A = P(J), on diagonalise, et on montre que le produit des P(ω_k) est réel.
3Problème : projection orthogonale et polynômes de Laguerre (Q10 à Q20)Question de cours sur le projeté orthogonal et l'inégalité de Bessel, construction d'un produit scalaire intégral à poids e^(-t), étude des polynômes L_n, preuve qu'ils forment une base orthonormée puis convergence d'une série de coefficients.

Difficulté moyenne. Le jury juge la structure et la longueur raisonnables et note que des candidats de niveau moyen ont pu gagner des points, malgré une grande disparité de niveaux.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,36 / 20 · écart-type 4,48 · 1 198 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,36/ 20
Écart-type: 4,48
Présents: 1 198
Coefficient: 11
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 21 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Diagonalisation affirmée sans justification · Calculs de déterminant forcés · Oubli du cas k = 0 avec le binôme

Le sujet a permis de classer les candidats sur des compétences variées, avec une large place pour l'algèbre linéaire matricielle dans les exercices et pour l'intégration dans le problème. Le jury relève des fragilités fréquentes sur des questions proches du cours, notamment au début du problème. Une coquille de l'énoncé en Q15 a été prise en compte dans le barème.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Diagonalisation affirmée sans justificationQ1, Q3, Q8
La diagonalisabilité de J est souvent posée sans argument, et le caractère scindé à racines simples du polynôme minimal est rarement justifié.
« La justification du caractère scindé à racines simples a été très souvent absente de la rédaction. »
2
Calculs de déterminant forcésQ6
Pour obtenir le polynôme caractéristique de J, beaucoup de copies présentent des calculs manifestement arrangés pour tomber sur le résultat annoncé.
« On déplore de nombreuses « escroqueries » de rédaction, avec des calculs de déterminants manifestement truqués ou forcés pour aboutir au résultat. »
3
Oubli du cas k = 0 avec le binômeQ4a, Q4b
Dans la somme issue du binôme de Newton, la formule de J^k n'est valable que pour k ≥ 1, ce que beaucoup ont oublié. Le reste de la division de X^n a rarement été trouvé.
4
Question de cours traitée hors hypothèsesQ10a, Q10b
Pour le projeté orthogonal, beaucoup reprennent une démonstration de cours utilisant des résultats non supposés. E n'étant pas a priori de dimension finie, le théorème de la base incomplète ne s'applique pas.
« L’espace E n’étant pas de dimension finie a priori, le théorème de la base incomplète ne s’applique pas ici. »
5
Intégrabilité et équivalents mal maîtrisésQ11, Q12, Q13
Le jury relève l'affirmation fausse selon laquelle le produit de deux fonctions intégrables serait intégrable, la linéarité du produit scalaire posée sans vérifier la convergence des intégrales, et des équivalents en +∞ erronés.
« Erreur rencontrée : "le produit de deux fonctions intégrables est intégrable" ! »
6
Convergence de série déduite de la limiteQ19
Pour la série des carrés des coefficients, des candidats passent à la limite avant d'avoir établi l'existence de cette limite.

Ce qui a été bien réussi

Le rang de la matrice J a été bien déterminé en général (Q1).
La comparaison entre A et P(J) a été bien traitée (Q7).
Les candidats qui ont utilisé la formule de Leibniz ont peu commis d'erreurs (Q14a).
Le calcul de l'intégrale de Q17 a souvent abouti au bon résultat par récurrence, et l'appartenance de g_α à E a été bien traitée (Q20).

Conseils du jury

Citer tous les théorèmes utilisés et rappeler leurs hypothèses au moment où on les applique.
Indiquer sur la copie à quel moment chaque hypothèse de la question sert.
Ne jamais forcer un calcul pour atteindre le résultat demandé : le jury le sanctionne.
Répondre aux consignes « en déduire » en utilisant effectivement la question précédente.
Lire le sujet en entier au début de l'épreuve et ne pas recopier l'énoncé avant chaque réponse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants.

EXERCICE 1

Soient

a

b

deux réels,

a \neq 0

,
on considère la matrice

A = (a + b, a, a; a, a + b, a; a, a, a + b)

et on note

J = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1)

.
Q1. Quel est le rang de la matrice

J

? Diagonaliser la matrice

J

sans calculer de déterminant. On ne demande pas la matrice de passage.

Q2. En déduire que la matrice

A

est semblable à une matrice diagonale que l'on précisera.
Q3. Justifier, sans calculs, que le polynôme minimal de la matrice

A

est :

π_A = (X - b)(X - 3a - b)

.
Q4. Déterminer les puissances successives de

A

par deux méthodes différentes :

a)En déterminant le reste dans la division euclidienne de $X^n$ par le polynôme $π_A = (X - b)(X - 3a - b)$ .
On pourra laisser la réponse en fonction des matrices $A$ et $I$ .
Pour simplifier les calculs, on posera $λ = 3a + b$ et on pourra laisser $λ$ dans la réponse.
b)Calculer $J^k$ pour tout entier $k \geq 1$ , puis utiliser $A = aJ + bl$ .
On pourra laisser la réponse en fonction des matrices $J$ et $I$ (sans le signe somme).

EXERCICE 2

Dans cet exercice

n

est un entier naturel non nul.
On note

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_(n - 1)X^(n - 1)

un polynôme de degré

n - 1

à coefficients réels.
On note, pour

k \in [ [0, n - 1] ], ω_k = e^((i2kπ)/n)

les

n

racines

n

-ièmes de l'unité.
Le but de l'exercice est de démontrer le résultat suivant :

(*) le produit $P(ω_1)P(ω_2)\dotsP(ω_(n - 1))$ est un nombre réel.

Q5. Exemple.
Si on note

j = e^((i2π)/3)

, déterminer ce que vaut

1 + j + j^2

.
Choisir un polynôme de votre choix de degré 2 à coefficients réels tous non nuls et tous différents et vérifier le résultat (*).

Q6. On note la matrice

J

M_n(ℝ) : J = (0, 1, ., ., 0, 0; 0, 0, 1, ., ., .; ., 0, ., ., ., .; ., ., ., ., ., .; ., ., ., ., 0, 1; 1, 0, ., ., 0, 0)

(chaque ligne et chaque colonne contient un et un seul 1).

Démontrer que le polynôme caractéristique de la matrice

J

est

χ_J = X^n - 1

.
Q7. On note

A = (a_0, a_1, a_2, \cdot, a_(n - 2), a_(n - 1); a_(n - 1), a_0, a_1, \cdot, a_(n - 3), a_(n - 2); \cdot, \cdot, \cdot, \cdot, \cdot, \cdot; \cdot, \cdot, \cdot, \cdot, \cdot, \cdot; a_2, a_3, a_4, \cdot, a_0, a_1; a_1, a_2, a_3, \cdot, a_(n - 1), a_0) \in M_n(ℝ)

.
(les coefficients du polynôme

P

se trouvent sur la première ligne, puis sur les lignes suivantes avec un « décalage d'une case vers la droite »).
Comparer la matrice

A

et la matrice

P(J)

(on ne demande pas le détail des calculs).
Q8. Diagonaliser la matrice

J

dans

M_n(ℂ)

(on ne demande pas la matrice de passage), puis diagonaliser la matrice

A

dans

M_n(ℂ)

Q9. En déduire le résultat (*).

PROBLÈME

Q10. Question de cours.
Si

E

est un espace préhilbertien réel muni d'un produit scalaire

⟨|⟩

et de sa norme euclidienne associée notée

‖‖

, si

F

est un sous-espace vectoriel de dimension finie de

E

, on définit le projeté orthogonal sur

F

d'un vecteur

x

E

noté

p_F(x)

ainsi :

p_F(x)

est l'unique vecteur de

F

vérifiant

x - p_F(x) \in F^⊥

a)Si $(e_0, e_1, e_2, \dots, e_n)$ est une base orthonormale de $F$ , démontrer que $p_F(x) = \sum_(i = 0)^n⟨x|e_i⟩e_i$ .
b)Démontrer que pour tout vecteur $x$ de $E, ‖p_F(x)‖^2 \leq ‖x‖^2$ et que $\sum_(i = 0)^n⟨x|e_i⟩^2 \leq ‖x‖^2$ .

Q11. Justifier que pour tout couple

(a, b) \in ℝ^2 : |ab| \leq (a^2 + b^2)/2

.
On note désormais

F = ℝ_n[X], I = [0, + \infty[

E

l'ensemble des fonctions continues de

I

dans

ℝ

, telles que la fonction

t \mapsto (f(t))^2 e^(- t)

soit intégrable sur l'intervalle

I

.
Justifier que pour

f

g

dans

E

, la fonction

t \mapsto f(t)g(t)e^(- t)

est intégrable sur l'intervalle

I

.
Q12. Démontrer que

E

est un espace vectoriel et que l'on définit un produit scalaire sur

E

en posant :

\forall(f, g) \in E^2, ⟨f|g⟩ = \int_0^(+ \infty)f(t)g(t)e^(- t) dt

Q13. On identifie

ℝ[X]

et les fonctions polynomiales sur

ℝ

. Justifier que

F

est un sous-espace vectoriel de

E

.
Ainsi

⟨|⟩

, défini sur

ℝ[X]

, par

\forall(P, Q) \in ℝ[X]^2, ⟨P|Q⟩ = \int_0^(+ \infty)P(t)Q(t)e^(- t) dt

est un produit scalaire sur

ℝ[X]

Q14.Pour tout $n \in ℕ$ , on pose pour tout réel $x$ ,
$h_n(x) = x^n e^(- x) et L_n(x) = (e^x)/(n!)h_n^((n))(x) = (e^x)/(n!)(d^n)/(dx^n)(x^n e^(- x)).$
- a)Calculer pour tout entier naturel $p \leq n, h_n^((p))(x)$ .
  Si $p < n$ , que vaut $h_n^((p))(0)$ ?
- b)Démontrer que $L_n \in ℝ[X]$ , préciser son degré et son coefficient dominant.
Q15.Soit $g$ élément de $ℝ[X]$ , exprimer $⟨g|h_n^((n))⟩$ en fonction de $\int_0^(+ \infty)g^((n))(t)h_n(t)dt$ , puis exprimer $⟨g|L_n⟩$ en fonction de $\int_0^(+ \infty)g^((n))(t)t^n e^(- t) dt$ .
Q16.Si $L_i$ et $L_j$ , avec $i < j$ , sont deux éléments de $F$ , déterminer $⟨L_i|L_j⟩$ .
Q17.Calculer par des intégrations par parties, $\int_0^(+ \infty)t^n e^(- t) dt$ , puis pour tout $n \in ℕ$ , calculer $⟨L_n|L_n⟩$ .
Q18.Que peut-on en conclure concernant la base ( $L_0, L_1, L_2, \dots, L_n$ ) de vecteurs de $F$ ?
Exprimer, pour tout $g$ élément de $E, P_F(g)$ dans cette base.
Q19.Démontrer que la série $\sum_(n \geq 0)⟨g|L_n⟩^2$ converge et majorer $\sum_(n = 0)^(+ \infty)⟨g|L_n⟩^2$ .
Q20.Pour $α > (- 1)/2$ , on pose $g_α(x) = e^(- αx)$ .
Vérifier que pour tout $α \in ℝ, g_α \in E$ .
Démontrer que $\sum_(n = 0)^(+ \infty)⟨g_α|L_n⟩^2 = ‖g_α‖^2$ .

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 CCINP MPI 2026 ?

Sur la réduction des matrices (diagonalisation, polynôme minimal, polynôme caractéristique), les racines n-ièmes de l'unité, et, dans le problème, les espaces préhilbertiens, la projection orthogonale et les intégrales généralisées à travers les polynômes de Laguerre.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 2 CCINP MPI 2026 ?

Le rapport du jury indique une moyenne de 10,36 avec un écart-type de 4,48.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 CCINP MPI 2026 ?

Des diagonalisations non justifiées, des calculs de déterminant truqués en Q6, une question de cours sur le projeté orthogonal traitée avec des résultats non supposés, et des confusions sur l'intégrabilité d'un produit de fonctions.

Y a-t-il une erreur d'énoncé dans le sujet de maths 2 CCINP MPI 2026 ?

Oui, la première égalité demandée en Q15 était mal formulée. Le jury indique avoir corrigé avec bienveillance et adapté le barème ; certains candidats ont réussi la question en laissant cette égalité de côté.

Pas de description pour le moment

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