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Mines Mathématiques 1 MP MPI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Théorème de stabilité de Liapounov pour un système différentiel autonome
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Le sujet démontre le théorème de Liapounov : si toutes les valeurs propres de dφ(0) ont une partie réelle strictement négative, les solutions de y' = φ(y) issues d'un point proche de 0 décroissent exponentiellement. Il étudie d'abord une norme d'opérateur, puis la stabilité du système linéaire via la décomposition en sous-espaces caractéristiques, et conclut avec un produit scalaire défini par une intégrale et du calcul différentiel.

  1. 1Partie A : étude d'une norme sur L(E)deuxième annéeOn définit la norme d'opérateur associée à la norme euclidienne et on montre qu'elle est sous-multiplicative.
  2. 2Partie B : stabilité en 0 du système linéairedeuxième annéePar la décomposition des noyaux et Cayley-Hamilton, on majore l'exponentielle de ta et on caractérise la convergence vers 0 des solutions par le signe des parties réelles des valeurs propres.
  3. 3Partie C : démonstration du théorème de Liapounovdeuxième annéeOn construit un produit scalaire défini par une intégrale généralisée, puis on contrôle la forme quadratique associée le long des solutions pour obtenir la décroissance exponentielle.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet progressif et de longueur raisonnable, peut-être un peu long pour trois heures, avec une dernière partie assez difficile et très peu abordée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,78 / 20 · écart-type 4,27 · 5 090 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,78/ 20
Écart-type
4,27
Présents
5 090
Coefficient
4
Durée
3 h
moyenne 11,7805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Norme euclidienne supposée sous-multiplicative · Arguments manquants pour la décomposition des noyaux · Sous-espaces caractéristiques confondus avec sous-espaces propres
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Le sujet mobilisait topologie, algèbre linéaire et calcul différentiel ; il a permis de classer correctement les candidats et un candidat l'a traité presque entièrement. La dernière partie, sur le calcul différentiel, a été très peu abordée, si bien que le barème valorisait les seize premières questions. Le jury déplore une nette dégradation de la présentation des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Norme euclidienne supposée sous-multiplicativeQ3

    L'erreur de base consistait à croire la norme euclidienne sous-multiplicative. La majoration des puissances exigeait une récurrence rédigée, pas une « récurrence immédiate ».

    « les « par une récurrence immédiate » et autres « par itération » ne rapportaient aucun point. »
  2. 2
    Arguments manquants pour la décomposition des noyauxQ4

    Quatre arguments étaient attendus : polynôme caractéristique scindé parce qu'on travaille sur ℂⁿ, facteurs premiers entre eux, Cayley-Hamilton et lemme de décomposition des noyaux. Il en manquait souvent au moins un.

  3. 3
    Sous-espaces caractéristiques confondus avec sous-espaces propresQ6

    Cette confusion est apparue en question 6, alors que deux résultats du cours suffisaient à conclure rapidement.

  4. 4
    Majoration de l'exponentielle incomplèteQ10

    La question 10 demandait de nombreuses justifications, comme la norme de l'identité égale à 1, et de remarquer que la somme est finie grâce à la nilpotence.

    « La question dix était rarement traitée de façon parfaite, en raison du nombre important de justifications à donner »
  5. 5
    Produit scalaire défini par une intégraleQ15

    Il fallait prouver la convergence de l'intégrale généralisée pour tout couple de vecteurs, puis ne pas oublier l'argument de continuité pour le caractère défini positif.

  6. 6
    Borne supérieure de polynômesQ13, Q14

    En question 14, certains ont pris le sup d'une famille de polynômes, qui n'est en général pas un polynôme. En question 13, le résultat de cours sur les solutions du système différentiel était souvent absent ou mal énoncé.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1, question de cours, a été assez correctement traitée.
  • Les meilleurs candidats, qui maîtrisaient un minimum le calcul différentiel et avaient une vue d'ensemble du problème, ont abordé la dernière partie.

Conseils du jury

  • Rédiger soigneusement les premières questions, qui doivent être complètes pour rapporter tous les points.
  • Écrire à l'encre noire, lisiblement, et limiter les ratures en préparant les questions au brouillon : une réponse illisible vaut zéro.
  • Citer précisément les questions antérieures et énoncer complètement chaque théorème utilisé.
  • Insister sur la dimension finie lorsque les résultats utilisés en dépendent.
  • Éviter le grappillage : sauter des questions pour tenter Q17 à Q20 n'a rien rapporté sur ce problème.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul. On note ⟨.|. ⟩leproduitscalaireusuel de K^n, K pouvant être R ou C, et ‖. ‖lanormeeuclidienneassociée.
Si u et v sont deux applications linéaires pour lesquelles la notation u ∘ v a un sens, alors on note uv l'application u ∘ v. De plus, si u est un endomorphisme d'un espace vectoriel E et k est un entier naturel non nul, u^k désigne l'application u ∘ ⋯ ∘ u, où u apparaît k fois dans l'écriture. Par convention u^0 = id_E.
On s'intéresse au système différentiel suivant :
{y^′, = φ(y); y(0), = x_0
avec x_0 ∈ R^n et φ est une application de classe C^1 de R^n à valeurs dans R^n, telle que φ(0) = 0. Cela entraîne que si x_0 = 0, alors la solution de ce système est la fonction nulle, et donc 0 est un point d'équilibre. Notons dφ(0) l'application différentielle de φ en 0 . L'objectif de ce problème est d'établir une condition suffisante sur le spectre de dφ(0) pour assurer la stabilité de l'équilibre en ce point, et d'obtenir des informations quant à la dynamique des solutions au voisinage de ce point d'équilibre. Plus précisément, on établit le résultat suivant :

Théorème de Liapounov :

Soit le système différentiel suivant :
{y^′, = φ(y); y(0), = x_0
avec x_0 ∈ R^n et φ est une application de classe C^1 de R^n à valeurs dans R^n, telle que φ(0) = 0 et telle que toutes les valeurs propres complexes de dφ(0) aient une partie réelle strictement négative. Alors il existe trois constantes α~, C et β strictement positives telles que :
∀x_0 ∈ B(0, α~), ∀t ∈ R_+, ‖f_(x_0)(t)‖ ⩽ Ce^(− βt)‖x_0‖,
où f_(x_0) est l'unique solution du système différentiel et B(0, α~) désigne la boule ouverte, pour la norme ‖. ‖, decentre0 et de rayon α~.
Dans une première partie, on étudie une norme sur les endomorphismes des sous-espaces vectoriels de K^n. Dans la seconde partie, on établit des résultats sur le système différentiel linéaire, en se servant des résultats de la partie A . Enfin, la troisième partie est consacrée à la démonstration du théorème de Liapounov. Cette dernière partie est très largement indépendante des deux premières, à l'exception du résultat obtenu à la fin de la partie B .

A.. Etude d'une norme sur L(E)

Soit E un sous-espace vectoriel de K^n. Soit u un endomorphisme de E.
1 - Après avoir justifié l'existence des bornes supérieures, montrer que :
sup_(x ∈ E; x ≠ 0)(‖u(x)‖)/(‖x‖) = sup_(x ∈ E; ‖x‖ = 1)‖u(x)‖.
2▹ On note ‖u‖ = sup_(x ∈ E; x ≠ 0)(‖u(x)‖)/(‖x‖). Montrer que ‖‖ ⋅ ‖ est une norme sur L(E).
3▹ Montrer qu'il s'agit d'une norme sous-multiplicative, c'est-à-dire que :
∀(u, v) ∈ L(E)^2, ‖uv‖‖ ⩽ ‖u‖‖ ⋅ ‖v‖‖,
et en déduire une majoration de ‖|u^k‖|, pour tout entier naturel k, en fonction de ‖|u|‖ et de l'entier k.

B.. Etude de la stabilité en 0 du système linéaire

Dans cette partie, a désigne un endomorphisme de C^n.
4▹ Montrer qu'il existe un entier naturel non nul r, des nombres complexes distincts λ_1, λ_2, …, λ_r, ainsi que des entiers naturels non nuls m_1, m_2, …, m_r, tels que:
C^n = ⨁_(i = 1)^r E_i,
où pour i ∈ [ [1; r] ], E_i = Ker(a − λ_i id_(C^n))^(m_i).
D'après la question précédente, si x est un élément de C^n, il existe un unique r-uplet (x_1, …, x_r) ∈ E_1 × ⋯ × E_r tel que x = ∑_(i = 1)^r x_i. Fixons à présent i ∈ [ [1; r] ]. On définit alors les endomorphismes :
p_i : | C^n, →, E_i; x, ↦, x_i et q_i : | E_i, →, C^n; x_i, ↦, x_i.
Par ailleurs, on note ‖‖ ⋅ ‖_i la norme sur L(E_i) introduite à la partie A , à savoir
∀u ∈ L(E_i), ‖u‖_i = sup_(x ∈ E_i; x ≠ 0)(‖u(x)‖)/(‖x‖)
On utilisera la notation ‖.‖.‖_c pour L(C^n). Enfin, on notera a_i l'endomorphisme p_i aq_i.
5▹ Montrer que, pour tout i ∈ [ [1; r] ], il existe une constante C_i > 0 telle que :
∀u ∈ L(E_i), ‖‖q_i up_i‖_c ⩽ C_i‖u‖_i.
6▹ Montrer que, pour i ∈ [ [1; r] ], E_i est stable par a.
7▹ Soient (i, j) ∈ [ [1; r] ]^2. Exprimer p_i q_j puis ∑_(i = 1)^r q_i p_i en fonction des endomorphimes id_(C^n) et id_(E_j).
8▹ Montrer que : a = ∑_(i = 1)^r q_i a_i p_i.
9▹ En déduire que :
∀t ∈ R, e^(ta) = ∑_(i = 1)^r q_i e^(ta_i)p_i
10▹ Montrer par ailleurs que :
∀i ∈ [ [1; r] ], ∀t ∈ R, ‖|e^(ta_i)|‖_i ⩽ |e^(tλ_i)|∑_(k = 0)^(m_i − 1)(|t|^k)/(k!)‖|a_i − λ_i id_(E_i)‖_i^k
11▹ En déduire l'existence d'un polynôme P à coefficients réels tel que :
∀t ∈ R, ‖‖e^(ta)‖_c ⩽ P(|t|)∑_(i = 1)^r e^(tRe(λ_i))
où Re(z) désigne la partie réelle d'un nombre complexe z.
12▹ Pour toute matrice A ∈ ℳ_n(R), on notera u_A l'endomorphisme canoniquement associé à A dans R^n et v_A l'endomorphisme de C^n canoniquement associé à A, vue comme une matrice de ℳ_n(C). On conservera la notation ‖.‖‖_c pour la norme introduite à la partie A sur L(C^n) et on utilisera ‖ ⋅ ‖‖_r sur L(R^n). Montrer qu'il existe C > 0 telle que :
∀A ∈ ℳ_n(R), ∀t ∈ R, ‖|e^(tu_A)|‖_r ⩽ C‖|e^(tv_A)‖‖_c.
Dans la suite de cette partie, on considère u un endomorphisme de R^n, et A ∈ ℳ_n(R) sa matrice dans la base canonique. On notera par ailleurs, Sp(A) le spectre complexe de A. Notons g_(x_0) l'unique solution de classe C^1 sur R_+de :
{y^′, = u(y); y(0), = x_0
13▹ Montrer que :
∀x_0 ∈ R^n, lim_(t → + ∞)‖g_(x_0)(t)‖ = 0 ⟺ Sp(A) ⊂ R_−^∗ + iR.
14▹ On se place dans cette question dans le cas où toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle strictement négative. Montrer alors qu'il existe deux constantes C_2 et α strictement positives telles que :
∀t ∈ R_+, ‖e^(tu)‖_r ⩽ C_2 e^(− αt),
et en déduire une majoration de ‖g_(x_0)(t)‖ pour t ∈ R_+.

C.. Démonstration du théorème de Liapounov

On considère dans cette partie une application φ de R^n dans R^n de classe C^1 telle que φ(0) = 0, et en notant a = dφ(0), telle que toutes les valeurs propres de a aient une partie réelle strictement négative.
Soit x_0 ∈ R^n. On s'intéresse au système différentiel suivant :
{y^′, = φ(y); y(0), = x_0
On admettra l'existence d'une solution de ce système définie sur R_+, que l'on notera f_(x_0).
15▹ Montrer que la fonction
b : | R^n × R^n, →, R; (x, y), ↦, ∫_0^(+ ∞)⟨e^(ta)(x)|e^(ta)(y)⟩dt
est bien définie et qu'elle définit un produit scalaire sur R^n.
On notera q la forme quadratique associée à b, c'est-à-dire que pour tout x ∈ R^n, q(x) = b(x, x).
16▹ Démontrer alors que:
∀x ∈ R^n, dq(x)(a(x)) = 2b(x, a(x)) = − ‖x‖^2
Pour toute fonction y définie sur R_+, on associe la fonction ε(y) définie par :
ε(y) : | R_+, →, R^n; t, ↦ φ(y(t)) − a(y(t))
17▹ Vérifier l'égalité
∀t ∈ R_+, q(f_(x_0))^′(t) = − ‖f_(x_0)(t)‖^2 + 2b(f_(x_0)(t), ε(f_(x_0)(t)))
18▹ Prouver l'existence de deux nombres réels α et β strictement positifs tels que, pour tout t ∈ R_+, on ait:
q(f_(x_0)(t)) ⩽ α ⇒ − ‖f_(x_0)(t)‖^2 + 2b(f_(x_0)(t), ε(f_(x_0))(t)) ⩽ − βq(f_(x_0)(t))
On fixe un tel couple (α, β) pour la suite de ce problème.
19▹ Montrer alors que :
q(x_0) < α ⇒ ∀t ⩾ 0, q(f_(x_0))(t) ⩽ e^(− βt)q(x_0)
20▹ En déduire l'existence de trois constantes α~, C et β strictement positives telles que :
∀x_0 ∈ B(0, α~), ∀t ∈ R_+, ‖f_(x_0)(t)‖ ⩽ Ce^(− β/2t)‖x_0‖
où B(0, α~) désigne la boule ouverte, pour la norme ‖. ‖, decentre0 et de rayon α~.
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 MP MPI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 MP MPI 2023 ?

Le sujet porte sur les normes d'opérateur, la réduction des endomorphismes (sous-espaces caractéristiques, Cayley-Hamilton, lemme des noyaux), l'exponentielle d'endomorphisme, les systèmes différentiels linéaires, les produits scalaires et le calcul différentiel, autour du théorème de Liapounov.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 MP 2023 ?

Le jury relève la croyance que la norme euclidienne est sous-multiplicative, des récurrences non rédigées, des arguments manquants pour la décomposition des noyaux, la confusion entre sous-espaces caractéristiques et propres, et l'oubli de la convergence de l'intégrale définissant le produit scalaire.

Quelles questions comptaient le plus en Mines maths 1 MP MPI 2023 ?

La dernière partie ayant été très peu abordée, le barème valorisait les seize premières questions. Le jury précise que le grappillage entre les questions 17 et 20 n'a rien rapporté.

Le sujet Mines maths 1 MP 2023 était-il long ?

Le jury le juge de longueur raisonnable, peut-être un peu long pour une épreuve de trois heures, et précise qu'un candidat l'a traité presque en totalité.

Pas de description pour le moment