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Mines Mathématiques 1 MP MPI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Accessible
Intégrale de Dirichlet généralisée et espérance de |S_n| pour une marche aléatoire
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Le sujet calcule l'intégrale généralisée de (1 - cos(t)^(2p+1))/t² sur ]0, +∞[ puis s'en sert pour obtenir l'espérance de |S_n|, où S_n est une somme de variables indépendantes valant -1 ou 1. Il passe par une intégrale à paramètre, un développement de π/sin(πx) en série et des interversions somme-intégrale. Les quatre parties ne sont pas indépendantes, mais de nombreuses questions fermées permettent d'avancer en admettant les résultats.

  1. 1Partie I : calcul d'une intégraledeuxième annéePar une intégrale à paramètre dérivable et le théorème de convergence dominée, on établit que l'intégrale de t^(x-1)/(1+t) sur ]0, +∞[ vaut π/sin(πx).
  2. 2Partie II : une expression de la fonction sinusdeuxième annéeOn transforme cette intégrale en séries alternées pour obtenir un développement de π/sin(πx) et une identité sur la fonction sinus.
  3. 3Partie III : calcul d'une intégrale de Dirichlet généraliséedeuxième annéePar intégration par parties, découpage de l'intervalle, interversion série-intégrale et formule du binôme, on calcule l'intégrale de Dirichlet généralisée.
  4. 4Partie IV : calcul de E(|S_n|)deuxième annéeOn calcule espérance et variance de S_n, puis on relie E(|S_n|) à l'intégrale de la partie III pour obtenir une formule explicite.

Accessible. Le jury qualifie la longueur et la difficulté de raisonnables et le sujet de relativement abordable, avec un bon étalement des notes et une proportion non négligeable de notes supérieures à 15.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,47 / 20 · écart-type 4,53 · 5 100 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,47/ 20
Écart-type
4,53
Présents
5 100
Coefficient
4
Durée
3 h
moyenne 11,4705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 13 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Inégalités entre nombres complexes · Théorème utilisé à tort · Bluff sur les questions fermées
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Les points étaient répartis régulièrement dans le sujet, et les nombreuses questions fermées permettaient de progresser en admettant des résultats. La moyenne brute est jugée très convenable et l'étalement des notes bon ; quelques candidats ont obtenu la note maximale. Le jury relève toutefois une dégradation de la présentation par rapport aux années précédentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Inégalités entre nombres complexesQ1, Q2

    Des comparaisons ont été écrites sans module, ce qui revient à comparer des nombres complexes. La continuité de la fonction, avec un dénominateur non nul, était aussi souvent oubliée.

    « Une autre erreur fréquente consistait à utiliser une relation de comparaison sans prendre le module »
  2. 2
    Théorème utilisé à tortQ3

    Un nombre important de candidats a appliqué le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre pour dériver g, alors qu'il s'agissait d'un produit de fonctions dérivables.

  3. 3
    Bluff sur les questions ferméesQ4, Q5

    Le résultat étant donné, des tentatives d'escroquerie ont été repérées. En question 4, sans l'argument g(-θ) = g(θ), la preuve était très probablement fausse ; en question 5, le résultat était parfois recopié sans calcul.

    « La question 4 était, comme de nombreuses autres, fermée, et elle a été l’occasion de pas mal de tentatives d’escroqueries. »
  4. 4
    Interversion série-intégrale inadaptéeQ9, Q10

    Le théorème d'intégration terme à terme ne s'appliquait pas directement, la série des intégrales des valeurs absolues divergeant. Un contrôle du reste de la série alternée était la bonne méthode.

    « Les questions 9 et 10 ont été très mal traitées. »
  5. 5
    Convergence dominée mal mise en placeQ6

    La méthode était indiquée et le théorème connu, mais la vérification des hypothèses a rarement été parfaite.

  6. 6
    Abandons sur une question guidéeQ8

    Beaucoup de candidats ont abandonné la question 8, alors que le résultat était donné et que l'intervalle d'intégration suggérait la méthode.

Ce qui a été bien réussi

  • Le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre était en général bien connu (question 2).
  • La question 7 et la question 19 ont été bien traitées, la seconde étant l'une des mieux réussies du sujet.
  • Les questions 20 et 21 ont été bien réussies, avec de bonnes récurrences où l'initialisation était rarement oubliée.
  • La question 15, peu abordée, a en général été réussie par ceux qui l'ont tentée.

Conseils du jury

  • Vérifier précisément toutes les hypothèses d'un théorème au lieu de se contenter de le nommer.
  • Ne pas utiliser la copie comme brouillon : un résultat illisible ou noyé dans les ratures ne rapporte aucun point.
  • Justifier une intégration par parties sur une intégrale généralisée en montrant que la partie intégrée tend vers zéro.
  • Détailler les calculs intermédiaires, même quand le résultat est fourni par l'énoncé.
  • Écrire lisiblement à l'encre foncée, numéroter les copies et traiter les questions dans l'ordre.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Généralisation d'une intégrale de Dirichlet et application

Le but de ce sujet est de calculer l'intégrale de Dirichlet généralisée
∫_0^(+ ∞)(1 − (cos(t))^(2p + 1))/(t^2) dt
et d'utiliser ce calcul pour évaluer une espérance.

Partie I: Calcul d'une intégrale

Dans tout ce qui suit, x est un élément de ]0; 1[ fixé.
1▹ Montrer que pour tout θ ∈ ] − π; π[, la fonction f définie par
f : ]0; + ∞[, ⟶ C; t, ⟼ (t^(x − 1))/(1 + te^(iθ))
est définie et intégrable sur ]0; + ∞[.
Soit r la fonction définie par
r : ] − π; π[, ⟶ C; θ, ⟼ ∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(1 + te^(iθ)) dt.
2▹ Montrer que la fonction r est de classe C^1 sur ] − π; π[ et que :
∀θ ∈ ] − π; π[, r^′(θ) = − ie^(iθ)∫_0^(+ ∞)(t^x)/((1 + te^(iθ))^2) dt.
Indication : soit β ∈ ]0; π[, montrer que pour tout θ ∈ [ − β; β] et t ∈ [0, + ∞[,; |1 + te^(iθ)|^2 ≥ |1 + te^(iβ)|^2 = (t + cos(β))^2 + (sin(β))^2.
Soit g la fonction définie par
g : ] − π; π[, ⟶ C; θ, ⟼ e^(ixθ)∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(1 + te^(iθ)) dt.
3▹ Montrer que la fonction g est de classe C^1 sur ] − π; π[ et que pour tout θ ∈ ] − π; π[,
g^′(θ) = ie^(ixθ)∫_0^(+ ∞)h^′(t)dt
où h est la fonction définie par
h : ]0; + ∞[, ⟶ C; t, ⟼ (t^x)/(1 + te^(iθ)).
Calculer h(0) et
lim_(t → + ∞)h(t).
En déduire que la fonction g est constante sur ] − π; π[.
4▹ Montrer que pour tout θ ∈ ]0; π[,
g(θ)sin(xθ) = 1/(2i)(g(− θ)e^(ixθ) − g(θ)e^(− ixθ)) = sin(θ)∫_0^(+ ∞)(t^x)/(t^2 + 2tcos(θ) + 1) dt.
5▹ En déduire que :
∀θ ∈ ]0; π[, g(θ)sin(θx) = ∫_(cotan(θ))^(+ ∞)((usin(θ) − cos(θ))^x)/(1 + u^2) du,
où cotan(θ) = (cos(θ))/(sin(θ)).
6▹ Montrer, en utilisant le théorème de convergence dominée, que :
lim_(θ → π^−)g(θ)sin(xθ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(du)/(1 + u^2).
7 - En déduire que
∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(1 + t) dt = π/(sin(πx))

Partie II: Une expression (utile) de la fonction sinus

On rappelle que x est un élément de ]0; 1[ fixé.
8 - Montrer que
∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(1 + t) dt = ∫_0^1((t^(x − 1))/(1 + t) + (t^(− x))/(1 + t))dt
9▹ Montrer que :
∫_0^1(t^(x − 1))/(1 + t) dt = ∑_(k = 0)^(+ ∞)((− 1)^k)/(k + x)
10▹ Établir l'identité
∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(1 + t) dt = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n + x) + ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n + 1 − x)
11▹ En déduire que l'on a
π/(sin(πx)) = 1/x − ∑_(n = 1)^(+ ∞)(2(− 1)^n x)/(n^2 − x^2).
12▹ En déduire enfin que:
∀y ∈ ]0; π[, ∑_(n = 1)^(+ ∞)(2(− 1)^n ysin(y))/(y^2 − n^2 π^2) = 1 − (sin(y))/y.

Partie III : Calcul d'une intégrale de Dirichlet généralisée

13▹ Montrer que l'intégrale
∫_0^(+ ∞)(1 − (cos(t))^(2p + 1))/(t^2) dt
converge et que :
∫_0^(+ ∞)(1 − (cos(t))^(2p + 1))/(t^2) dt = (2p + 1)∫_0^(+ ∞)(cos(t))^(2p)(sin(t))/t dt
14▹ Montrer que pour tout n ∈ N^∗ :
∫_(π/2 + (n − 1)π)^(π/2 + nπ)(cos(t))^(2p)(sin(t))/t dt = ∫_0^(π/2)(cos(t))^(2p)(2(− 1)^n tsin(t))/(t^2 − n^2 π^2) dt
15▹ En déduire que :
∫_(π/2)^(+ ∞)(cos(t))^(2p)(sin(t))/t dt = ∫_0^(π/2)(cos(t))^(2p)(∑_(n = 1)^(+ ∞)(2(− 1)^n tsin(t))/(t^2 − n^2 π^2))dt
16▹ En déduire que :
∫_0^(+ ∞)(cos(t))^(2p)(sin(t))/t dt = ∫_0^(π/2)(cos(t))^(2p) dt
Dans le cas p = 0, cette intégrale est communément appelée "Intégrale de Dirichlet".
17▹ Montrer que :
(cos(t))^(2p) = 1/(2^(2p))(((2p)/p) + 2∑_(k = 0)^(p − 1)((2p)/k)cos(2(p − k)t)).
Indication : On pourra développer ((e^(it) + e^(− it))/2)^(2p).
18▹ En déduire que:
∫_0^(+ ∞)(1 − (cos(t))^(2p + 1))/(t^2) dt = π/2((2p + 1)!)/(2^(2p) ⋅ (p!)^2)

Partie IV : Calcul de E(|S_n|)

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé ( Ω, A, P ). Soient (X_k)_(k ∈ N^∗) des variables aléatoires indépendantes, de même loi donnée par :
P(X_1 = − 1) = P(X_1 = 1) = 1/2
Pour tout n ∈ N^∗, on note S_n = ∑_(k = 1)^n X_k.
19▹ Déterminer, pour tout n ∈ N^∗, E(S_n) et V(S_n).
Soient S et T deux variables aléatoires indépendantes prenant toutes deux un nombre fini de valeurs réelles. On suppose que T et − T suivent la même loi.
20▹ Montrer que :
E(cos(S + T)) = E(cos(S))E(cos(T))
21▹ En déduire que pour tout n ∈ N^∗, et pour tout t ∈ R :
E(cos(tS_n)) = (cos(t))^n
22▹ Soient a, b ∈ R tels que a ≠ 0 et |b| ≤ |a|. Montrer que
|a + b| = |a| + signe(a)b
où signe (x) = x/|x| pour x réel non nul. En déduire que :
∀n ∈ N^∗, E(|S_(2n)|) = E(|S_(2n − 1)|).
23▹ Montrer que pour tout s ∈ R
∫_0^(+ ∞)(1 − cos(st))/(t^2) dt = π/2|s|.
24▹ En déduire que pour tout n ∈ N^∗ :
E(|S_n|) = 2/π∫_0^(+ ∞)(1 − (cos(t))^n)/(t^2) dt
25▹ Conclure que :
∀n ∈ N^∗, E(|S_(2n)|) = E(|S_(2n − 1)|) = ((2n − 1)!)/(2^(2n − 2)((n − 1)!)^2).

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France. Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 MP MPI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 MP MPI 2024 ?

Le sujet porte sur les intégrales généralisées et à paramètre, le théorème de convergence dominée, les séries alternées, l'intégration terme à terme et, en dernière partie, les variables aléatoires discrètes et l'espérance.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 MP 2024 ?

Le jury cite des inégalités entre nombres complexes, des tentatives de bluff sur les questions à résultat donné, une interversion série-intégrale forcée aux questions 9 et 10 et une mise en place imparfaite de la convergence dominée.

Le sujet Mines maths 1 MP 2024 était-il difficile ?

Le jury juge sa longueur et sa difficulté raisonnables et le décrit comme relativement abordable. Une proportion non négligeable de copies a dépassé 15 et quelques candidats ont obtenu la note maximale.

Peut-on traiter la partie probabilités de Mines maths 1 MP 2024 sans le reste ?

Les parties ne sont pas indépendantes, mais les questions fermées permettent d'admettre les résultats. Le rapport note qu'une part significative des candidats a traité la dernière partie presque entièrement en sautant des questions antérieures.

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