WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 1 MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Formule asymptotique de Hardy et Ramanujan

5,0(1 vote)
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2022FilièreMPMatièreMathématiques
Annales Mines MP MathématiquesMines MP 2022MP MathématiquesMathématiques 2022

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Formule asymptotique de Hardy et Ramanujan pour le nombre de partitions d'un entier
Afficher ou masquer la section

Le sujet démontre un équivalent du nombre p_n de partitions d'un entier n, formule due à Hardy et Ramanujan. Il construit la fonction génératrice P comme somme d'une série entière, la contrôle au voisinage de 1, estime des sommes par comparaison à des intégrales, puis utilise des fonctions caractéristiques de lois géométriques et une convergence vers une gaussienne.

  1. 1Partie A : fonctions L et Pdeuxième annéeOn étudie la série entière L(z) de terme zⁿ/n sur le disque unité, on montre que exp(L(z)) = 1/(1-z) et on définit P.
  2. 2Partie B : développement de P en série entièredeuxième annéeOn dénombre les partitions, on développe P en série entière par un argument de sommabilité et on exprime p_n par une intégrale.
  3. 3Partie C : contrôle de Pdeuxième annéeOn majore le module de P(xe^{iθ})/P(x) par des inégalités techniques.
  4. 4Partie D : estimations de sommesdeuxième annéeOn compare des sommes S_{n,α}(t) à des intégrales généralisées et on calcule une intégrale valant π²/6 par intégration terme à terme.
  5. 5Partie E : contrôle des fonctions caractéristiquesdeuxième annéePour une loi géométrique, on calcule la fonction caractéristique et on contrôle moments et écart à une gaussienne.
  6. 6Parties F et G : convergence vers une gaussienne et conclusiondeuxième annéeOn montre la convergence d'une intégrale vers √(2π) puis on en déduit l'équivalent de p_n.

Difficile. Le jury qualifie le problème de très long, avec plusieurs questions relativement difficiles ou très techniques, et pratiquement aucune copie ne dépasse la question 21.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Logarithme et inégalités sur des nombres complexes · Confusion entre deux séries entières · Questions techniques évitées
Afficher ou masquer la section

Le problème, très long, couvrait une grande partie des programmes d'analyse et de probabilités. Les copies ont surtout traité les quinze premières questions, et la partie F, avec ses notations complexes, a fait barrière. Le sujet a bien classé les candidats, à la fois sur la maîtrise du programme et sur la gestion du temps et de l'énoncé.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Logarithme et inégalités sur des nombres complexesQ1, Q3

    Il fallait éviter de parler de logarithme népérien d'un nombre complexe et d'écrire des inégalités entre complexes.

    « Elle était très classique mais il fallait éviter de parler de logarithme népérien d’un nombre complexe. »
  2. 2
    Confusion entre deux séries entièresQ2

    En question 2, les séries en z et en t ont été confondues et le rayon de convergence de la série en t n'était pas déterminé. La dérivation d'une série de fonctions donnait les meilleurs résultats.

    « Les meilleurs résultats sur cette question ont été obtenus par ceux qui ont utilisé la dérivation d’une série de fonctions. »
  3. 3
    Questions techniques évitéesQ8, Q9, Q10

    Beaucoup de candidats ont sauté les questions 8 et 9, alors que la question 8 était abordable. Le calcul de dérivée de la question 10 a souvent été évité.

    « Une proportion non négligeable de candidats a pris la décision de les éviter. Pourtant la question 8 était abordable. »
  4. 4
    Sommes indexées sur ΩQ13

    L'univers Ω et la tribu n'étant pas connus, une somme indexée sur ces ensembles n'avait pas de sens. Le théorème de transfert permettait de se ramener à une somme sur les entiers.

  5. 5
    Théorème de transfert non citéQ14, Q15

    Dans les questions 14 et 15, les points perdus venaient surtout de justifications insuffisantes, par exemple l'oubli du théorème de transfert.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 4, inhabituelle, a été plutôt bien réussie, ce que le jury salue comme une bonne capacité d'adaptation.
  • En question 7, la convergence normale a en général été bien justifiée.
  • Les candidats sérieux ont bien maîtrisé le théorème d'interversion en question 12.
  • Les questions 14 et 15 ont en général été bien réussies par ceux qui les ont abordées.

Conseils du jury

  • Face à un sujet très long, éviter de survoler le problème et se concentrer sur des parties précises.
  • Ne pas grappiller : des copies avec 10 questions abordées ont dépassé la moyenne, d'autres avec 20 questions abordées ont obtenu une note proche de 0.
  • Utiliser les résultats de cours sans les redémontrer, comme le développement en série entière de ln(1-x).
  • Citer explicitement les théorèmes employés, notamment le théorème de transfert.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'objectif de ce problème est l'étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier naturel n, c'est-à-dire du nombre de décompositions de n en somme d'entiers naturels non nuls (sans tenir compte de l'ordre des termes). Une définition rigoureuse de ce nombre, noté p_n, est donnée en début de partie B. Dans la partie A, on introduit une fonction P de variable complexe ; dans la fin de la partie B on démontre qu'il s'agit de la somme, sur le disque unité ouvert de C, de la série entière ∑_(n ≥ 0)p_n z^n. L'étude de P au voisinage de 1 permet alors, dans les parties suivantes, de progresser vers l'obtention d'un équivalent simple de la suite (p_n)_(n ∈ N) (formule asymptotique de Hardy et Ramanujan).
Tout au long du problème, le disque unité ouvert de C sera noté
D = {z ∈ C : |z| < 1}
Dans tout l'énoncé, on utilisera la dénomination «variable aléatoire réelle» pour signifier « variable aléatoire discrète réelle ».
On admettra aussi les deux identités classiques suivantes :
∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6 et ∫_R e^(− (u^2)/2) du = √(2π)

A. Fonctions L et P

1▹ Soit z ∈ D. Montrer la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)(z^n)/n. Préciser la valeur de sa somme lorsque z ∈ ] − 1, 1[. On notera
L(z):=∑_(n = 1)^(+ ∞)(z^n)/n
2▹ Soit z ∈ D. Montrer que la fonction t ∈ [0, 1] ↦ L(tz) est dérivable et donner une expression simple de sa dérivée. En déduire que t ↦ (1 − tz)e^(L(tz)) est constante sur [0, 1] et conclure que
exp(L(z)) = 1/(1 − z)
3▹ Montrer que |L(z)| ≤ − ln(1 − |z|) pour tout z dans D. En déduire la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)L(z^n) pour tout z dans D. Dans la suite, on notera, pour z dans D,
P(z):=exp[∑_(n = 1)^(+ ∞)L(z^n)]
On remarque, en vertu de la question précédente et des propriétés de l'exponentielle, que
∀z ∈ D, P(z) ≠ 0 et P(z) = lim_(N → + ∞)∏_(n = 1)^N 1/(1 − z^n)

B. Développement de P en série entière

Pour (n, N) ∈ N × N^∗, on note P_(n, N) l'ensemble des listes (a_1, …, a_N) ∈ N^N telles que ∑_(k = 1)^N ka_k = n. Si cet ensemble est fini, on note p_(n, N) son cardinal.
4▹ Soit n ∈ N. Montrer que P_(n, N) est fini pour tout N ∈ N^∗, que la suite (p_(n, N))_(N ≥ 1) est croissante et qu'elle est constante à partir du rang max(n, 1).
Dans toute la suite, on notera p_n la valeur finale de (p_(n, N))_(N ≥ 1).
5- Montrer par récurrence que
∀N ∈ N^∗, ∀z ∈ D, ∏_(k = 1)^N 1/(1 − z^k) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_(n, N)z^n.
6▹ Soit z ∈ D. On convient que p_(n, 0) = 0 pour tout n ∈ N. En examinant la sommabilité de la famille ((p_(n, N + 1) − p_(n, N))z^n)_((n, N) ∈ N^2), démontrer que
P(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n z^n
En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑_n p_n x^n.
7▹ Soit n ∈ N. Montrer que pour tout réel t > 0,
p_n = (e^(nt))/(2π)∫_(− π)^π e^(− inθ)P(e^(− t + iθ))dθ
si bien que
p_n = (e^(nt)P(e^(− t)))/(2π)∫_(− π)^π e^(− inθ)(P(e^(− t + iθ)))/(P(e^(− t)))dθ.
Dans le reste du problème, l'objectif est d'obtenir un équivalent du nombre p_n lorsque n tend vers + ∞. Cet équivalent sera obtenu via un choix approprié de t en fonction de n dans la formule (1).

C. Contrôle de P

8▹ Soit x ∈ [0, 1[ et θ ∈ R. En utilisant la fonction L, montrer que
|(1 − x)/(1 − xe^(iθ))| ≤ exp(− (1 − cosθ)x)
En déduire que pour tout x ∈ [0, 1[ et tout réel θ,
|(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− 1/(1 − x) + Re(1/(1 − xe^(iθ))))
9▹ Soit x ∈ [1/2, 1[ et θ ∈ R. Montrer que
1/(1 − x) − Re(1/(1 − xe^(iθ))) ≥ (x(1 − cosθ))/((1 − x)((1 − x)^2 + 2x(1 − cosθ)))
En déduire que
|(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− (1 − cosθ)/(6(1 − x)^3)) ou que |(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− 1/(3(1 − x)))

D. Intermède : quelques estimations de sommes

On fixe dans cette partie un réel α > 0 et un entier n ≥ 1. Sous réserve d'existence, on pose
S_(n, α)(t):=∑_(k = 1)^(+ ∞)(k^n e^(− ktα))/((1 − e^(− kt))^n)
On introduit aussi la fonction
φ_(n, α) : x ∈ R_+^∗ ↦ (x^n e^(− αx))/((1 − e^(− x))^n)
qui est évidemment de classe C^∞.
10▹ Montrer que φ_(n, α) et φ_(n, α)^′ sont intégrables sur ]0, + ∞[.
11▹ Montrer, pour tout réel t > 0, l'existence de S_(n, α)(t), sa positivité stricte, et l'identité
∫_0^(+ ∞)φ_(n, α)(x)dx = t^(n + 1)S_(n, α)(t) − ∑_(k = 0)^(+ ∞)∫_(kt)^((k + 1)t)(x − kt)φ_(n, α)^′(x)dx
En déduire que
S_(n, α)(t) = 1/(t^(n + 1))∫_0^(+ ∞)(x^n e^(− αx))/((1 − e^(− x))^n) dx + O(1/(t^n)) quand t → 0^+
12▹ Démontrer, sans utiliser ce qui précède, que
∫_0^(+ ∞)(xe^(− x))/(1 − e^(− x)) dx = (π^2)/6
Dans le reste du problème, nous admettrons le résultat suivant (il peut être démontré par une méthode similaire) :
∫_0^(+ ∞)(x^2 e^(− x))/((1 − e^(− x))^2) dx = (π^2)/3

E. Contrôle des fonctions caractéristiques

Étant donné une variable aléatoire réelle X sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), ainsi qu'un réel θ, les variables aléatoires réelles cos(θX) et sin(θX) sont d'espérance finie puisque bornées : on introduit alors le nombre complexe
Φ_X(θ):=E(cos(θX)) + iE(sin(θX)).
13▹ Soit X une variable aléatoire réelle. Montrer que |Φ_X(θ)| ≤ 1 pour tout réel θ.
Dans les questions 14▹ à 18▹, on se donne une variable aléatoire réelle X suivant une loi géométrique, de paramètre p ∈ ]0, 1[ arbitraire. On pose q = 1 − p.
14▹ Montrer que pour tout (a, b) ∈ R^2 et tout réel θ,
Φ_(aX + b)(θ) = (pe^(i(a + b)θ))/(1 − qe^(iaθ)).
15▹ Montrer que pour tout k ∈ N, la variable aléatoire X^k est d'espérance finie. Montrer que Φ_X est de classe C^∞ sur R et que Φ_X^((k))(0) = i^k E(X^k) pour tout k ∈ N.
16▹ Montrer qu'il existe une suite (P_k)_(k ∈ N) de polynômes à coefficients dans C, indépendante de p, telle que
∀θ ∈ R, ∀k ∈ N, Φ_X^((k))(θ) = pi^k e^(iθ)(P_k(qe^(iθ)))/((1 − qe^(iθ))^(k + 1)) et P_k(0) = 1.
17 - En déduire qu'il existe une suite (C_k)_(k ∈ N) de réels strictement positifs, indépendante de p, telle que
∀k ∈ N, |E(X^k) − 1/(p^k)| ≤ (C_k q)/(p^k)
18▹ En déduire qu'il existe un réel K > 0 indépendant de p tel que
E((X − E(X))^4) ≤ (Kq)/(p^4).
Dans les questions 19▹ à 21▹, on se donne une variable aléatoire réelle centrée Y telle que Y^4 soit d'espérance finie.
19▹ Montrer successivement que Y^2 et |Y|^3 sont d'espérance finie, et que
E(Y^2) ≤ (E(Y^4))^(1/2) puis E(|Y|^3) ≤ (E(Y^4))^(3/4)
20▹ Montrer, pour tout réel u, l'inégalité
|e^(iu) − 1 − iu + (u^2)/2| ≤ (|u|^3)/6
En déduire que pour tout réel θ,
|Φ_Y(θ) − 1 + (E(Y^2)θ^2)/2| ≤ (|θ|^3)/3(E(Y^4))^(3/4)
21▹ Conclure que pour tout réel θ,
|Φ_Y(θ) − exp(− (E(Y^2)θ^2)/2)| ≤ (|θ|^3)/3(E(Y^4))^(3/4) + (θ^4)/8E(Y^4).

F. Convergence vers une gaussienne

Étant donné un réel t > 0, on pose, suivant les notations de la partie C,
m_t:=S_(1, 1)(t) et σ_t:=√(S_(2, 1)(t))
Étant donné des réels t > 0 et θ, on pose
h(t, θ) = e^(− im_t θ)(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))
Étant donné des réels t > 0 et u, on pose
ζ(t, u) = exp(iu/(σ_t)(m_t − (π^2)/(6t^2))) et j(t, u) = ζ(t, u)h(t, u/(σ_t)).
22▹ Soit n ∈ N^∗ ainsi que des complexes z_1, …, z_n, u_1, …, u_n tous de module inférieur ou égal à 1 . Montrer que
|∏_(k = 1)^n z_k − ∏_(k = 1)^n u_k| ≤ ∑_(k = 1)^n|z_k − u_k|.
23▹ Soit θ ∈ R et t ∈ R_+^∗. On considère, pour tout k ∈ N^∗, une variable aléatoire Z_k suivant la loi G(1 − e^(− kt)), et on pose Y_k = k(Z_k − E(Z_k)). Démontrer que
h(t, θ) = lim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n Φ_(Y_k)(θ)
En déduire, à l'aide en particulier de la question 21▹, l'inégalité
|h(t, θ) − e^(− (σ_t^2 θ^2)/2)| ≤ K^(3/4)|θ|^3 S_(3, 3/4)(t) + Kθ^4 S_(4, 1)(t).
On rappelle que la constante K a été introduite à la question 18▹, les quantités S_(n, α)(t) dans la partie D.
24▹ Montrer que σ_t ∼ π/(√3t^(3/2)) quand t tend vers 0^+. En déduire, pour tout réel u, que
j(t, u) ⟶ _(t → 0^+)e^(− u^2/2)
25▹ Montrer qu'il existe un réel α > 0 tel que
∀θ ∈ [ − π, π], 1 − cosθ ≥ αθ^2.
À l'aide de la question 9▹, en déduire qu'il existe trois réels t_0 > 0, β > 0 et γ > 0 tels que, pour tout t ∈ ]0, t_0] et tout θ ∈ [ − π, π],
|h(t, θ)| ≤ e^(− β(σ_t θ)^2) ou |h(t, θ)| ≤ e^(− γ(σ_t|θ|)^(2/3))
26▹ Conclure que
∫_(− πσ_t)^(πσ_t)j(t, u)du ⟶ _(t → 0^+)√(2π)

G. La conclusion

Dans cette dernière partie, on admet que P(e^(− t)) ∼ √(t/(2π))exp((π^2)/(6t)) quand t tend vers 0^+.
27▹ En appliquant la formule (1) à t = π/(√(6n)), démontrer que
p_n ∼ (exp(π√((2n)/3)))/(4√3n) quand n → + ∞
formule découverte par Hardy et Ramanujan en 1918.
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 MP 2022 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quoi porte le sujet Mines maths 1 MP 2022 ?

Il porte sur la formule asymptotique de Hardy et Ramanujan pour le nombre de partitions d'un entier. Il mobilise les séries entières, les familles sommables, les séries de fonctions, les intégrales généralisées et les probabilités discrètes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 MP 2022 ?

Le jury signale des logarithmes et des inégalités de nombres complexes, la confusion entre séries en z et en t, des sommes indexées sur l'univers Ω et l'oubli du théorème de transfert.

Jusqu'où les candidats sont-ils allés en Mines maths 1 MP 2022 ?

Les copies ont surtout traité les quinze premières questions et pratiquement personne n'a dépassé la question 21. Les cinq dernières questions, peu cotées, n'ont joué aucun rôle dans la sélection.

Faut-il grappiller des points sur un sujet long comme Mines maths 1 MP 2022 ?

Non selon le jury. Les bonnes notes ont été obtenues par des candidats qui avançaient avec soin, et des copies traitant une question de temps en temps ont obtenu des notes très faibles.

Pas de description pour le moment