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X ENS Mathématiques B MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Fonction zêta de Riemann : calcul de ζ(2), ζ(4), ζ(6) et probabilité que k entiers soient premiers entre eux
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Le sujet calcule d'abord ζ(2), ζ(4) et ζ(6) à partir du développement de x cotan(x), obtenu par une équation fonctionnelle et un argument de prolongement analytique. Il étudie ensuite les mesures de probabilité sur N* (modes de convergence, suites tendues, extraction diagonale), établit un résultat de densité, puis montre que la probabilité que k entiers inférieurs à n tirés au hasard soient premiers entre eux tend vers 1/ζ(k).

  1. 1Première partie : valeurs de ζ aux entiers pairsSéries de fonctions, continuité, équation fonctionnelle, développement en série entière de x cotan(x) et calcul de ζ(2), ζ(4), ζ(6) (questions 1 à 7).
  2. 2Deuxième partie : mesures de probabilité sur un ensemble dénombrableNorme infinie, équivalence entre convergence en norme et convergence sur les singletons, suites tendues et procédé diagonal de Cantor (questions 8 à 12).
  3. 3Troisième partie : un résultat de densitéApproximation d'une loi de probabilité par des lois dont le support ne fait intervenir qu'un nombre fini de nombres premiers (questions 13 à 16).
  4. 4Quatrième partie : entiers premiers entre euxVariables aléatoires arithmétiques et limite de la probabilité que k entiers soient premiers entre eux, exprimée avec la première partie (questions 17 à 21).

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet pas particulièrement difficile ni original, mais note des taux de réussite très faibles dans les parties III et IV, abordées par peu de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,73 / 20 · écart-type 3,9 · 1 429 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,73/ 20
Écart-type
3,9
Présents
1 429
Durée
4 h
moyenne 9,7305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 26 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Réarrangements de séries non justifiés · Convergence uniforme mal établie · Somme d'équivalents
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Le jury constate une nette baisse du niveau moyen des copies, que la difficulté du sujet ne suffit pas à expliquer. Les bases en analyse réelle et en probabilités sont jugées fragiles : justifications absentes dans la manipulation des séries, majorations uniformes mal conduites, doubles passages à la limite mal maîtrisés. Seul un quart des candidats a abordé la troisième partie.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Réarrangements de séries non justifiés1c, 2b

    Pour une série qui ne converge qu'avec un ordre de sommation précis, il fallait passer par les sommes partielles puis à la limite.

    « les transformations par un réarrangement «arbitraire» des termes de la série (2) ne sont pas acceptables »
  2. 2
    Convergence uniforme mal établie1d, 3a

    Absence de majoration sur un compact et problèmes aux bornes ; certains majorent une borne supérieure de valeurs absolues par une quantité négative.

    « La manipulation des inégalités que nécessite toute preuve de convergence uniforme pose des difficultés considérables à une majorité de candidats. »
  3. 3
    Somme d'équivalents3a

    Additionner ou soustraire des équivalents conduit à des conclusions fausses ; des développements limités permettaient de conclure.

    « consistait à ajouter des équivalents de manière illicite. »
  4. 4
    Interversion de sommes non justifiée5a

    L'échange de l'ordre de sommation dans une somme double doit s'appuyer sur les théorèmes de Fubini ou de sommation par paquets (réussite 25 %).

    « le changement d’ordre de sommation devait être méticuleusement justifié »
  5. 5
    Double passage à la limite12d

    Il fallait faire tendre un indice vers l'infini à l'autre fixé, puis le second (réussite 15 %).

    « Dans le terme de gauche de la deuxième inégalité il y a deux infinis. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1a sur la convergence ponctuelle est réussie à 97 %.
  • La question 1b est réussie par la quasi-totalité des candidats.
  • La question 3b (théorème des bornes atteintes) est réussie à 92 %.
  • La question 5b est réussie à 83 % et la question de cours 8b à 86 %.

Conseils du jury

  • Traiter correctement plusieurs questions consécutives, dont des questions difficiles, plutôt que grappiller les plus faciles.
  • Il est permis d'admettre le résultat d'une question sautée, à condition de vérifier toutes les hypothèses pour l'utiliser.
  • Lire le sujet en entier avant de commencer.
  • Utiliser un brouillon et ne présenter que les étapes essentielles d'un raisonnement.
  • Soigner la lisibilité : un passage indéchiffrable ne rapporte pas de points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2022

MARDI 26 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve n^∘3
MATHEMATIQUES B (X)
On appelle fonction cotangente, la fonction
cotan : ℝ∖πℤ, ⟶ ℝ; t, ⟼ (cos(t))/(sin(t))
Pour tout entier k ⩾ 2, on pose ζ(k) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− k).
Les parties I et II sont indépendantes.

Première partie

Soient les fonctions f, g et D définies sur ℝ∖ℤ par :
f(x) = πcotan(πx) = π(cos(πx))/(sin(πx)), g(x) = 1/x + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/(x + n) + 1/(x − n)).
On pose D = f − g.
1a. Pour x ∈ ℝ∖ℤ, justifier que la série définissant g(x) est convergente.
1b. Montrer que les fonctions g et D sont impaires.
1c. Montrer que les fonctions g et D sont périodiques de période 1.
1d. Montrer que les fonctions g et D sont continues sur ℝ∖ℤ.
2a. Montrer que pour tout x ∈ ℝ∖ℤ, on a
f(x/2) + f((1 + x)/2) = 2f(x)
2b. Montrer que pour tout x ∈ ℝ∖ℤ, on a
g(x/2) + g((1 + x)/2) = 2g(x)
3a. Montrer que la fonction D se prolonge par continuité en une fonction D˜ sur ℝ telle que D˜(0) = 0.
3b. Justifier l'existence de α ∈ [0, 1] tel que D˜(α) = M, où M = sup_(t ∈ [0, 1])D˜(t), puis montrer que:
∀n ∈ ℕ, D˜(α/(2^n)) = M
  1. En déduire que la fonction D˜ est nulle sur ℝ, puis que :
∀x ∈ ℝ∖ℤ, πxcotan(πx) = 1 + 2∑_(n = 1)^(+ ∞)(x^2)/(x^2 − n^2)
5a. Montrer que :
∀x ∈ ] − 2π, 2π[∖{0}, x/2cotan(x/2) = 1 − ∑_(k = 1)^(+ ∞)(ζ(2k))/(2^(2k − 1)π^(2k))x^(2k)
5b. En déduire :
∀x ∈ ] − 2π, 2π[∖{0}, (ix)/(e^(ix) − 1) = 1 − (ix)/2 − ∑_(k = 1)^(+ ∞)(ζ(2k))/(2^(2k − 1)π^(2k)) ⋅ x^(2k)
Soit h la fonction de ℝ dans ℝ définie par
∀x ∈ ℝ, h(x) = {x/(e^x − 1), si x ≠ 0; 1, si x = 0
  1. Montrer que pour tout z ∈ ℂ tel que |z| < 2π, on a
z = (e^z − 1)(1 − z/2 + ∑_(k = 1)^(+ ∞)((− 1)^(k − 1)ζ(2k))/(2^(2k − 1)π^(2k))z^(2k))
7a. Montrer que la fonction h est de classe C^∞ sur ℝ et que, pour tout n ∈ ℕ^∗, on a
h^((2n))(0) = ((− 1)^(n − 1)(2n)!)/(π^(2n)2^(2n − 1))ζ(2n)
7b. On définit une suite de nombres réels (b_n)_(n ∈ ℕ) en posant b_0 = 1, b_1 = − 1/2, puis
∀n ∈ ℕ^∗, b_(2n + 1) = 0 et b_(2n) = ((− 1)^(n − 1)(2n)!ζ(2n))/(2^(2n − 1)π^(2n))
Montrer que pour tout n ∈ ℕ :
∑_(k = 0)^n(b_k)/(k!(n + 1 − k)!) = {1, si n = 0; 0, si n ⩾ 1
7c. Calculer b_2, b_4 et b_6 puis ζ(2), ζ(4) et ζ(6).

Deuxième partie

Soit E = {x_1, x_2, …, x_n, …} un ensemble infini dénombrable où les x_i sont des éléments deux à deux distincts. On note ℳ(E) l'ensemble des mesures de probabilité sur E. Si μ ∈ ℳ(E), on note μ(x) pour μ({x}).
On note 𝒫(E) l'ensemble des parties de E. Soit ℬ(𝒫(E), ℝ) le ℝ-espace vectoriel des fonctions bornées de 𝒫(E) dans ℝ. Si f ∈ ℬ(𝒫(E), ℝ), on pose
‖f‖ = sup{|f(A)|, A ∈ 𝒫(E)}
8a. Montrer que ℳ(E) est une partie de ℬ(𝒫(E), ℝ).
8b. Montrer que ‖ ⋅ ‖ définit une norme sur l'espace vectoriel ℬ(𝒫(E), ℝ).
9. Soient (μ_n)_(n ∈ ℕ) une suite d'éléments de ℳ(E) et soit μ un élément de ℳ(E). Montrer que si la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) converge vers μ dans l'espace vectoriel normé ℬ(𝒫(E), ℝ), alors
∀x ∈ E, lim_(n → + ∞)μ_n(x) = μ(x)
On se propose réciproquement de montrer qu'une suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) d'éléments de ℳ(E) vérifiant la condition (1) pour un élément μ ∈ ℳ(E) converge vers μ dans ℬ(𝒫(E), ℝ). On fixe donc une suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) d'éléments de ℳ(E) et μ ∈ ℳ(E) vérifiant la condition (1). On fixe également un réel ε > 0.
10a. Montrer qu'il existe une partie finie F_ε de E et un entier N_ε ⩾ 0 tels que μ(F_ε) > 1 − ε et pour tout entier n ⩾ N_ε
∑_(x ∈ F_ε)|μ_n(x) − μ(x)| < ε
10b. Montrer que pour toute partie A de E :
|μ_n(A) − μ(A)| ⩽ |μ_n(A ∩ F_ε) − μ(A ∩ F_ε)| + μ(E∖F_ε) + μ_n(E∖F_ε)
et en déduire que si n ⩾ N_ε, alors |μ_n(A) − μ(A)| < 4ε.
10c. En déduire que la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) converge vers μ dans ℬ(𝒫(E), ℝ) si et seulement si elle vérifie la condition (1).
11. Pour tout entier k ∈ ℕ^∗, on note δ_k la mesure de probabilité sur E telle que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
δ_k({x_n}) = {1, si n = k; 0, sinon
La suite (δ_k)_(k ∈ ℕ^∗) converge-t-elle dans ℬ(𝒫(E), ℝ) ?
Soit (μ_n)_(n ∈ ℕ) une suite d'éléments de ℳ(E).
12a. Montrer qu'il existe une suite (φ_k)_(k ∈ ℕ^∗) d'applications strictement croissantes de ℕ^∗ dans ℕ^∗ telle que, pour tout k ∈ ℕ^∗ et pour tout entier 1 ⩽ i ⩽ k, la suite (μ_(φ_1 ∘ φ_2 ∘ … ∘ φ_k(n))(x_i))_(n ∈ ℕ^∗) converge.
12b. Montrer que pour tout i ∈ ℕ^∗ et tout entier k ⩾ i, la limite de la suite (μ_(φ_1 ∘ φ_2 ∘ … ∘ φ_k(n))(x_i))_(n ∈ ℕ^∗) ne dépend que de i et pas de k. On note cette limite μ_∞(x_i).
12c. Montrer que l'application
ψ : ℕ^∗, ⟶ ℕ^∗; k, ⟼ φ_1 ∘ φ_2 ∘ … ∘ φ_k(k)
est strictement croissante, et que, pour tout entier i ∈ ℕ^∗, la suite (μ_(ψ(k))(x_i))_(k ∈ ℕ^∗) converge vers μ_∞(x_i).
12d. Montrer que μ_∞(x_i) ⩾ 0 pour tout i de ℕ^∗, et que ∑_(i = 1)^∞μ_∞(x_i) ⩽ 1.
On dit que la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) d'éléments de ℳ(E) est tendue si pour tout réel ε > 0, il existe une partie finie F_ε de E telle que μ_n(F_ε) ⩾ 1 − ε pour tout entier naturel n.
12e. On supose de plus que la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) est tendue. Montrer alors que μ_∞ définit un élément de ℳ(E) qui est une valeur d'adhérence de la suite (μ_n)_(n ∈ ℕ) dans ℬ(𝒫(E), ℝ).

Troisième partie

Soit E une partie infinie dénombrable de ℝ. Soit (Ω, 𝒜, P) un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires apparaissant dans la suite de ce problème. On admet que toutes les variables aléatoires introduites peuvent être construites sur cet espace. On note 𝔼(X) l'espérance d'une variable aléatoire réelle X sur (Ω, 𝒜, P).
Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P) et à valeurs dans E. On appelle loi de la variable X et on note μ_X l'application
μ_X :, 𝒫(E), →, [0; 1]; A, ↦, P({X ∈ A})
où {X ∈ A} = {ω ∈ Ω tel que X(ω) ∈ A}.
13. Vérifier que μ_X est une probabilité sur E.
14. Montrer que pour toutes variables aléatoires X et Y sur (Ω, 𝒜, P) et pour toute partie A de E :
|μ_X(A) − μ_Y(A)| ⩽ 𝔼(|𝟙_({X ∈ A}) − 𝟙_({Y ∈ A})|)
et en déduire que ‖μ_X − μ_Y‖ ⩽ P(X ≠ Y), où {X ≠ Y} = {ω ∈ Ω tel que X(ω) ≠ Y(ω)}.
Soit (X_n)_(n ∈ ℕ) une suite de variables aléatoires définies sur ( Ω, 𝒜, P ), et à valeurs dans E. On suppose que pour tout ω ∈ Ω, la suite (X_n(ω))_(n ∈ ℕ) est stationnaire et converge vers X(ω). On définit aussi la variable aléatoire :
L : Ω, ⟶ ℕ; ω, ↦ {0, si ∀n ∈ ℕ, X_n(ω) = X(ω); max{n ∈ ℕ, X_n(ω) ≠ X(ω)}, sinon.
15a. Justifier que l'application L est bien définie.
15b. Montrer que P(X_n ≠ X) ⩽ P(L ⩾ n) pour tout entier n de ℕ.
15c. En déduire que lim_(n → + ∞)‖μ_(X_n) − μ_X‖ = 0.
Si N ∈ ℕ^∗ et p est un nombre premier, on note ν_p(N) la valuation p-adique de N. Pour n ∈ ℕ^∗, on définit l'application
ψ_n : ℕ^∗, ⟶ ℕ^∗; x, ⟼ ∏_(i = 1)^n p_i^(ν_(p_i)(x))
où (p_i)_(i ∈ ℕ^∗) est la suite des nombres premiers, classés par ordre croissant.
16. Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P) et à valeurs dans ℕ^∗. Montrer que
∀x ∈ ℕ^∗, P(X = x) = lim_(n → + ∞)P(ψ_n(X) = x)

Quatrième partie

Si X est une variable aléatoire à valeurs dans ℕ^∗ et si N ∈ ℕ^∗, on note P(N|X) la probabilité de l'évènement « N divise X ». Si r ∈ ℕ^∗, on note ℕ^∗ r l'ensemble des multiples strictement positifs de r.
17. Soient μ_1 et μ_2 deux probabilités sur ℕ^∗. On suppose que ∀r ∈ ℕ^∗, μ_1(ℕ^∗ r) = μ_2(ℕ^∗ r). On veut montrer que μ_1 = μ_2.
17a. On rappelle que l'on note (p_i)_(i ∈ ℕ^∗) la suite des nombres premiers, classés par ordre croissant. Montrer que pour tout r ∈ ℕ^∗ et tout entier n ⩾ 1 :
⋃_(i = 1)^(n + 1)ℕ^∗ rp_i = (⋃_(i = 1)^n ℕ^∗ rp_i) ∪ (ℕ^∗ rp_(n + 1)∖⋃_(i = 1)^n ℕ^∗ rp_(n + 1)p_i)
17b. Montrer que pour tout r ∈ ℕ^∗ et tout entier n ⩾ 1 :
μ_1(ℕ^∗ r∖⋃_(i = 1)^n ℕ^∗ rp_i) = μ_2(ℕ^∗ r∖⋃_(i = 1)^n ℕ^∗ rp_i)
17c. Conclure.
18. Soit (X_n)_(n ∈ ℕ) une suite de variables aléatoires définies sur ( Ω, 𝒜, P ) et à valeurs dans ℕ^∗ et soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, 𝒜, P) et à valeurs dans ℕ^∗. On suppose que:
i. La suite (μ_(X_n))_(n ∈ ℕ) est tendue (on rappelle que le qualiticatif tendue a été défini en 12e ).
ii. Pour tout r ∈ ℕ^∗, lim_(n → + ∞)P(r|X_n) = P(r|X).
Montrer qu'alors, la suite (μ_(X_n))_(n ∈ ℕ) tend vers μ_X dans ℬ(𝒫(ℕ^∗), ℝ).
Soit s ∈ ℕ^∗. Pour n ∈ ℕ, soient X_n^((1)), X_n^((2)), …, X_n^((s))s variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur {1, 2, …, n}.
On note Z_n^((s)) = X_n^((1)) ∧ … ∧ X_n^((s)) le pgcd de X_n^((1)), …, X_n^((s)).
19. Pour r ∈ ℕ^∗ et i ∈ {1, 2, …, s}, calculer P(r|X_n^((i))) et montrer que P(r|X_n^((i))) ⩽ 1/r. En déduire que
lim_(n → + ∞)P(r|Z_n^((s))) = 1/(r^s)
Pour s > 1 fixé, on définit une loi de probabilité μ_s sur ℕ^∗ en posant, pour n ∈ ℕ^∗,
μ_s({n}) = 1/(ζ(s)n^s)
20a. Soit Z une variable aléatoire définie sur ( Ω, 𝒜, P ) qui suit la loi μ_s. Calculer P(k|Z) pour k ∈ ℕ^∗.
20b. Soit s ⩾ 2 un entier. En déduire que la suite (μ_(Z_n^((s))))_(n ∈ ℕ) converge dans ℬ(𝒫(ℕ^∗), ℝ) vers μ_s.
21. Soit s, n ∈ ℕ^∗ avec 2 ⩽ s ⩽ n. On tire au hasard s nombres dans {1, 2, …, n} et on note P_n(s) la probabilité que ces nombres soient premiers entre eux. Montrer que
lim_(n → + ∞)P_n(s) = 1/(ζ(s))
et donner la valeur de lim_(n → + ∞)P_n(s) dans le cas où s = 2, puis s = 4, et enfin s = 6.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths B X MP 2022 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths B X MP 2022 ?

Sur la fonction zêta de Riemann : calcul de ζ(2), ζ(4), ζ(6), puis preuve que la probabilité que k entiers soient premiers entre eux tend vers 1/ζ(k), via les mesures de probabilité sur N*.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B X MP 2022 ?

La moyenne des 1429 candidats français est de 9,73 sur 20 (écart-type 3,90) ; celle des 456 candidats internationaux est de 8,41.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths B X-ENS MP 2022 ?

Des manipulations de séries sans justification, des preuves de convergence uniforme mal conduites, des sommes d'équivalents illicites et des doubles passages à la limite mal maîtrisés.

Quelles questions du sujet maths B X MP 2022 faisaient la différence ?

Le jury cite les questions 5a et 10b : les réussir donnait les clés des parties I et II.

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