X ENS Mathématiques A MP 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Grassmanniennes orientées : matrices de Gram, formes multilinéaires alternées et plongement dans une sphère

Le problème étudie des propriétés topologiques de l'ensemble des sous-espaces vectoriels orientés de dimension fixée d'un espace euclidien. Il part de préliminaires de géométrie euclidienne sur les déterminants de matrices de Gram, relie ces matrices aux applications multilinéaires alternées, munit ces dernières d'une structure euclidienne, puis construit une application explicite permettant d'établir la compacité et la connexité par arcs de l'image de cet ensemble.

1Partie I : préliminaires de géométrie euclidienneConstruction par récurrence de familles orthonormées maximisant des produits scalaires entre deux sous-espaces, puis majoration du déterminant de leur matrice de Gram.
2Partie II : matrices de Gram et applications multilinéaires alternéesCaractère alterné du produit mixte, application Ω_p associée aux matrices de Gram, notion de p-volume et inégalité avec le produit des normes.
3Partie III : structure euclidienne des formes alternéesDécomposition d'une forme p-linéaire alternée sur une base, produit scalaire associé, isométrie dans le cas p = d − 1 et indépendance vis-à-vis de la base orthonormée.
4Partie IV : sous-espaces orientésConstruction d'une injection des sous-espaces orientés dans la sphère unité des formes alternées, compacité de l'image et critère de connexité par arcs.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de relativement difficile, en raison de notations lourdes et d'objets abstraits, et la quatrième partie a été peu abordée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,06 / 20 · écart-type 3,7 · 1 785 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,06/ 20
Écart-type: 3,7
Présents: 1 785
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 25 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre p et la dimension · Borne supérieure non atteinte · Dérivée calculée sans objectif

Les questions étaient bien posées et toutes les définitions rappelées, mais la lourdeur des notations et la nature des objets (espaces d'espaces, applications à valeurs dans des applications) ont dérouté une partie des candidats. Les deux premières parties et le début de la troisième ont été largement traités, la quatrième très peu. Les réponses n'exigeaient pas de longues rédactions, mais une bonne intégration des notations et des hypothèses.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre p et la dimension
Certaines copies confondent le nombre de vecteurs d'une famille avec la dimension de l'espace, ou remplacent l'espace euclidien abstrait par R^n.
« certaines copies ont confondu le nombre p de vecteurs d’une famille d’un espace vectoriel E avec la dimension de cet espace »
2
Borne supérieure non atteinte1a
Justifier l'existence d'une borne supérieure ne suffit pas : il faut montrer qu'elle est atteinte.
3
Dérivée calculée sans objectif3b
Pour cette question difficile, il fallait exploiter le caractère maximal des familles construites, par exemple via l'annulation de la dérivée en un extremum.
« Beaucoup de copies ont cherché à calculer une dérivée »
4
Caractère alterné mal justifié5a, 6b
Les copies qui utilisent une autre caractérisation que la définition de l'énoncé doivent justifier l'équivalence. Le jury relève des erreurs sur l'action d'une permutation sur les coefficients de la matrice de Gram.
« des erreurs récurrentes malheureuses dans l’écriture de l’action d’une permutation »
5
Matrice de passage utilisée à tort7a
La matrice n'était pas forcément inversible et l'espace quelconque, ce qui rendait les arguments de matrice de passage délicats voire faux.
« la matrice pas nécessairement inversible ce qui rendait les arguments de matrice de passage délicats, et possiblement faux »
6
Calculs sans référence aux questions précédentes11
Des questions reposant sur des calculs explicites sont souvent mal rédigées, sans détail ni renvoi aux résultats utilisés.
« trop souvent mal rédigée, notamment sans donner de détails sur les calculs faits ni référence aux questions précédentes »

Ce qui a été bien réussi

La première question a été abordée dans toutes les copies, la majorité utilisant à bon escient la compacité des sphères unités et la continuité du produit scalaire (1a).
Plusieurs questions plus classiques ont été plutôt bien traitées, par exemple 3c, 4b, 4c, 5b et 7c.
12 copies ont obtenu la note de 20/20.

Conseils du jury

Rédiger avec rigueur et soin, en numérotant clairement les questions et en mettant en valeur les résultats.
Citer explicitement et précisément les questions précédentes utilisées.
Rédiger correctement même les résultats élémentaires.
Éviter de survoler le sujet en ne traitant que les questions les plus simples.
S'en tenir aux définitions de l'énoncé ou justifier l'équivalence avec celles que l'on utilise.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve

n^\circ1

MATHEMATIQUES A (XLSR)

- Notations et rappels

Dans tout le problème, $p$ désigne un entier strictement positif.
On note $ℕ$ l'ensemble des entiers naturels. Pour tous entiers $a$ et $b$ dans $ℕ$ tels que $a ⩽ b$ , on note $[ [a, b] ] = {n \in ℕ|a ⩽ n ⩽ b}$ .

On note

𝔖_p

le groupe des permutations de l'ensemble fini

[ [1, p] ]

muni de la composition.
On note

ε : 𝔖_p → { − 1, + 1}

l'application signature, définie comme l'unique morphisme de groupes de

(𝔖_p, \circ)

dans

({ - 1, + 1}, \times)

qui vaut -1 sur toutes les transpositions.

On note $M_p(ℝ)$ le $ℝ$ -espace vectoriel des matrices carrées de taille $p \times p$ .

Pour tout

(x_1, \dots, x_p) \in (ℝ^p)^p

, on appelle produit mixte de (

x_1, \dots, x_p

) la quantité

[x_1, \dots, x_p] = \sum_(σ \in 𝔖_p)ε(σ)\prod_(i = 1)^p x_(σ(i), i)

où pour tout

j \in [ [1, p] ]

, on a noté

x_j = (x_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ p) \in ℝ^p

. En particulier, si on note

(x_1|\dots|x_p)

la matrice de taille

p \times p

élément de

M_p(ℝ)

dont les colonnes sont données par les vecteurs

x_1, \dots, x_p

, on a donc l'égalité

[x_1, \dots, x_p] = det((x_1|\dots|x_p))

où det est le déterminant usuel.

Si $F$ et $G$ sont deux $ℝ$ -espaces vectoriels, on dit que $f : F^p \to G$ est $p$ -linéaire alternée si pour tout $u = (u_1, \dots, u_p) \in F^p$ et tout $i \in [ [1, p] ]$ , l'application

y \mapsto f(u_1, \dots, u_(i - 1), y, u_(i + 1), \dots, u_p)

F

dans

G

est linéaire et pour tout

σ \in 𝔖_p

on a

f(u \cdot σ) = ε(σ)f(u)

où

u \cdot σ = (u_(σ(i)))_(1 ⩽ i ⩽ p)

On notera

𝒜_p(F, G)

l'ensemble des applications

p

-linéaires alternées de

F^p

dans

G

Dans tout le problème, on considère un espace euclidien $E$ de dimension $d ⩾ 1$ muni de son produit scalaire $(x, y) \mapsto ⟨x, y⟩$ . On note pour $x \in E, ‖x‖ = ⟨x, x⟩^(1/2)$ la norme associée.
Pour tout entier $q$ non nul, et toute famille ( $u_1, \dots, u_q$ ) d'éléments de $E, Vect(u_1, \dots, u_q)$ désigne le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par $u_1, \dots, u_q$ .
Pour tous $u = (u_1, \dots, u_p)$ et $v = (v_1, \dots, v_p)$ dans $E^p$ , on note $Gram(u, v)$ , la matrice carrée de $M_p(ℝ)$ définie pour tous $i, j \in [ [1, p] ]$ par

Gram(u, v)_(i, j) = ⟨u_i, v_j⟩

- Partie I

Soient

V

V^'

deux sous-espaces de

E

de dimension

p

(on rappelle que

p ⩾ 1

).
(1) (a) Montrer qu'il existe

u_1 \in V

u_1^' \in V^'

de norme 1 tels que

⟨u_1, u_1^′⟩ = sup{⟨a, a^′⟩|(a, a^′) ∈ V × V^′, ‖a‖ = ‖a^′‖ = 1}.

(b) Étendre ce résultat en montrant qu'il existe une famille

u = (u_1, \dots, u_p)

de vecteurs de

V

et une famille

u^' = (u_1^', \dots, u_p^')

de vecteurs de

V^'

telles que

u

u^'

soient orthonormées et vérifient les deux conditions suivantes :
(i) Pour

k = 1

, on a

⟨u_1, u_1^′⟩ = sup{⟨a, a^′⟩|(a, a^′) ∈ V × V^′, ‖a‖ = ‖a^′‖ = 1}.

(ii) Pour

k \in [ [2, p] ]

, on a

⟨u_k, u_k^′⟩ = sup{⟨a, a^′⟩|(a, a^′) ∈ V × V^′, ‖a‖ = ‖a^′‖ = 1,; ⟨a, u_l⟩ = ⟨a^′, u_l^′⟩ = 0 pour tout l ∈ [ [1, k − 1] ]}.

(Indication : On pourra construire les vecteurs

u_k

u_k^'

par récurrence sur l'entier

k

On fixe deux telles familles

u

u^'

dans le reste de la partie I.
(2) Montrer que si

dim(V \cap V^') ⩾ 1

, on a

u_k = u_k^'

pour tout

1 ⩽ k ⩽ dim(V \cap V^')

.
(3) (a) Montrer que

u

est une base orthonormée de

V

.
(b) Montrer que pour

k \in [ [1, p - 1] ]

, on a

u_k^' \in Vect(u_(k + 1), \dots, u_p)^⊥

.
(Indication : On pourra considérer l'application

t \mapsto u_k(t) = (u_k + tu_l)/(‖u_k + tu_l‖)

pour tous

t \in ℝ

l \in [ [k + 1, p] ]

ainsi que sa dérivée.)
(c) Montrer que

u_(k + 1) \in (Vect(u_1, \dots, u_k) + Vect(u_1^', \dots, u_k^'))^⊥

pour tout

k

élément de

[ [1, p - 1] ]

.
(d) En déduire que les sous-espaces

W_k = Vect(u_k, u_k^')

pour

k \in [ [1, p] ]

sont orthogonaux deux à deux.
(4) (a) Montrer qu'il existe

0 ⩽ θ_1 ⩽ \dots ⩽ θ_p ⩽ π/2

tel que

cos(θ_k) = ⟨u_k, u_k^'⟩

pour tout

k \in [ [1, p] ]

.
(b) Calculer la valeur de

det(Gram(u, u^'))

en fonction des

cos(θ_k)

.
(c) En déduire que

det(Gram(u, u^')) ⩽ 1

. Que dire sur

V

V^'

dans le cas d'égalité?

- Partie II

Pour tout

e \in E^p

, on considère

Ω_p(e) : E^p \to ℝ

définie pour tout

u \in E^p

par

Ω_p(e)(u) = det(Gram(e, u))

(5) (a) Vérifier que l'application

(x_1, \dots, x_p) \mapsto [x_1, \dots, x_p]

appartient à

𝒜_p(ℝ^p, ℝ)

.
(b) Vérifier que si

F

est un espace vectoriel sur

ℝ

et si

f : F \to ℝ^p

est linéaire, alors

g : F^p \to ℝ

définie pour

u = (u_1, \dots, u_p) \in F^p

par

g(u) = [f(u_1), \dots, f(u_p)]

est un élément de

𝒜_p(F, ℝ)

.
(6) (a) Montrer que pour tout

e \in E^p

, on a

Ω_p(e) \in 𝒜_p(E, ℝ)

.
(b) Vérifier que pour tout

(e, u) \in E^p \times E^p

, on a

Ω_p(e)(u) = Ω_p(u)(e)

.
(c) Montrer que

Ω_p \in 𝒜_p(E, 𝒜_p(E, ℝ))

.
(7) (a) Soient

M \in M_p(ℝ), e = (e_1, \dots, e_p)

e^' = (e_1^', \dots, e_p^')

dans

E^p

vérifiant

e_i^' = \sum_(j = 1)^p M_(ij)e_j

pour tout

i \in [ [1, p] ]

. Montrer que

Ω_p(e^') = det(M)Ω_p(e)

.
(b) Soit

e \in E^p

. Montrer que

Ω_p(e) \neq 0

si et seulement si

e

est une famille libre.
(c) Vérifier que

Ω_p(e)(e) ⩾ 0

pour toute famille

e \in E^p

Dans la suite pour tout

e \in E^p

, on appelle

p

-volume de

e

la quantité

vol_p(e) = \sqrt(Ω_p(e)(e)) = (det(Gram(e, e))^(1/2)

(8) (a) Calculer

vol_p(b)

lorsque

b = (b_1, \dots, b_p)

est une famille orthonormée de vecteurs de

E

.
(b) On suppose ici que

p ⩾ 2

. Soit

e = (e_1, \dots, e_p) \in E^p

. On note pr la projection orthogonale sur l'orthogonal de l'espace engendré par la famille

e_2^p = (e_2, \dots, e_p).Montrer

que

vol_p(e) = ‖pr(e_1)‖vol_(p - 1)(e_2^p)

.
(c) Pour toute famille libre

e = (e_1, \dots, e_p) \in E^p

, montrer que

vol_p(e) ⩽ \prod_(i = 1)^p‖e_i‖

avec égalité si et seulement si

e

est une famille de vecteurs orthogonaux 2 à 2.
(9) (a) Montrer que si

e \in E^p

est une famille libre et si

b \in E^p

est une base orthonormée de

Vect(e)

, alors

vol_p(e) = |det(P_b^e)|

où

P_b^e

est la matrice de passage de

b

e

i.e.

e_j = \sum_(i = 1)^p(P_b^e)_(ij)b_i

pour tout

j \in [ [1, p] ]

.
(b) Montrer que pour tous

e, e^' \in E^p

, on a

|Ω_p(e)(e^')| ⩽ vol_p(e)vol_p(e^')

- Partie III

Soient

e = (e_1, \dots, e_d)

une base orthonormée de

E, p

un entier tel que

1 ⩽ p ⩽ d

I_p = {α = (i_1, …, i_p) ∈ ℕ^p|1 ⩽ i_1 < ⋯ < i_p ⩽ d}

.
Pour tout

α = (i_1, \dots, i_p) \in I_p

, on note

e_α = (e_(i_1), \dots, e_(i_p)) \in E^p

et pour tous

ω

ω^'

éléments de

𝒜_p(E, ℝ)

⟨ω, ω^'⟩ = \sum_(α \in I_p)ω(e_α)ω^'(e_α).

(10) (a) Montrer que pour tout

ω \in 𝒜_p(E, ℝ)

, on a

ω = \sum_(α \in I_p)ω(e_α)Ω_p(e_α)

.
(b) En déduire que

(ω, ω^') \mapsto ⟨ω, ω^'⟩

est un produit scalaire sur

𝒜_p(E, ℝ)

pour lequel

(Ω_p(e_α))_(α \in I_p)

est une base orthonormée de

𝒜_p(E, ℝ)

et donner la dimension de

𝒜_p(E, ℝ)

.
(c) Construire dans le cas

p = d - 1

une isométrie entre

𝒜_p(E, ℝ)

E

.
(11) On considère

u, v \in E^p

. Montrer que

Ω_p(u)(v) = ⟨Ω_p(u), Ω_p(v)⟩.

(12) Montrer que le produit scalaire

(ω, ω^') \mapsto ⟨ω, ω^'⟩

défini par (1) ne dépend que du produit scalaire sur

E

et non du choix de la base orthonormée

e

- Partie IV

Soit

p \in [ [1, d] ]

. On définit une relation sur l'ensemble des bases d'un sous-espace

V

de dimension

p

E

par :

e

e^'

sont en relation si

det_e(e^') > 0

où

det_e(e^')

est le déterminant de

e^'

dans la base

e

. On admet que cette relation est une relation d'équivalence sur l'ensemble des bases de

V

pour laquelle il existe exactement deux classes d'équivalence appelées orientations de

V

. Un sous-espace orienté est un couple (

V, C

) où

C

est une orientation de

V

On note

Gr˜(p, E)

l'ensemble des sous-espaces orientés de dimension

p

E

.
(13) (a) Montrer que si

e

e^'

sont deux familles libres de cardinal

p

E

alors

Ω_p(e)

Ω_p(e^')

sont colinéaires si et seulement si

Vect(e) = Vect(e^')

.
(b) Montrer que pour tout sous-espace vectoriel orienté (

V, C

) de dimension

p

E

, il existe une unique

Ψ(V, C) \in 𝒜_p(E, ℝ)

tel que pour tout

e \in C

on a

Ω_p(e) = vol_p(e)Ψ(V, C)

.
(14) On munit

𝒜_p(E, ℝ)

du produit scalaire introduit dans la partie III.
(a) Vérifier que

Ψ : (V, C) \mapsto Ψ(V, C)

est une injection de

Gr˜(p, E)

dans la sphère de rayon 1 de

𝒜_p(E, ℝ)

.
(b) Montrer que

Ψ(Gr˜(p, E))

est une partie compacte de

𝒜_p(E, ℝ)

.
(15) Montrer que

Ψ(Gr˜(p, E))

est une partie connexe par arcs de

𝒜_p(E, ℝ)

si et seulement si

p ⩽ d - 1

. (Indication : On pourra utiliser la question 3d.)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths A MP 2022 ?

Sur les sous-espaces vectoriels orientés d'un espace euclidien, étudiés à l'aide des matrices de Gram et des formes multilinéaires alternées. Il utilise l'algèbre linéaire et multilinéaire, les espaces euclidiens et la topologie.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths A MP 2022 ?

Sur 2272 copies, la moyenne est de 8,06/20 avec un écart type de 3,70 pour les candidats français, et de 6,59/20 pour les candidats internationaux.

Le sujet X-ENS Maths A MP 2022 était-il difficile ?

Le jury le juge relativement difficile à cause de notations lourdes et d'objets abstraits. La quatrième partie, qui demandait d'avoir assimilé les précédentes, a été peu abordée.

Quelles erreurs le jury de X-ENS Maths A MP 2022 a-t-il relevées ?

La confusion entre le nombre de vecteurs et la dimension, des bornes supérieures non atteintes, des caractérisations de l'alternance non justifiées et des arguments de matrice de passage invalides.

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Commentaires• X ENS Mathématiques A MP 2022

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