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Mines Mathématiques 2 MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Fonctions de matrices symétriques, continuité et convexité

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Présentation du sujet

Fonctions de matrices symétriques réelles : continuité et convexité
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Le sujet définit l'image d'une matrice symétrique réelle par une fonction d'une variable réelle, en appliquant la fonction aux valeurs propres après orthodiagonalisation. Il montre ensuite que cette construction transmet la continuité, grâce à la continuité du spectre ordonné et à la compacité du groupe orthogonal, puis que la trace associée est convexe lorsque la fonction l'est.

  1. 1Matrices de permutationspremière et deuxième annéePropriétés des matrices de permutation et action par conjugaison sur les matrices diagonales.
  2. 2Fonctions de matrices symétriquesdeuxième annéeDéfinition de u(φ) via le théorème spectral et un polynôme d'interpolation de Lagrange, linéarité, injectivité, surjectivité et passage à la limite simple ou uniforme.
  3. 3Norme et convexitédeuxième annéeCaractérisation des valeurs propres extrêmes par la forme quadratique, convexité de S_n(I) et rayon spectral comme norme sur les matrices symétriques.
  4. 4Continuité des fonctions de matrices symétriquesdeuxième annéeContinuité du polynôme caractéristique et du spectre croissant, compacité de O_n(R), puis continuité de u(φ) et v(φ).
  5. 5Convexité des fonctions de matrices symétriquesdeuxième annéeExpression de v(f)(S) comme maximum sur les conjuguées orthogonales, puis équivalence entre convexité de f et convexité de v(f).

L'épreuve en chiffres

6 681 copies
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Copies
6 681

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème spectral cité de façon imprécise · Continuité justifiée par une formule vague · Valeurs propres d'une somme ou d'un barycentre
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Le jury a observé tout l'éventail des résultats, des copies qui maîtrisent le sujet jusqu'au bout à d'autres qui ignorent la définition du produit matriciel. Il regrette le manque d'attention aux définitions de l'énoncé et des démonstrations réduites à leurs grandes lignes. Les candidats rigoureux, même sans finir, ont obtenu une note bien meilleure que ceux qui ont survolé toutes les questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème spectral cité de façon impréciseQ5, Q13

    Il faut préciser que S est symétrique réelle et conclure à l'existence d'une matrice orthogonale, pas seulement à la diagonalisabilité. Beaucoup ont aussi mal lu la définition de S_n(I), qui porte sur le spectre et non sur les coefficients.

    « Cette question de cours n’a pas connu la réussite que nous attendions. »
  2. 2
    Continuité justifiée par une formule vagueQ11, Q18

    Le passage de la convergence de D_k à celle de la matrice conjuguée demande d'invoquer la continuité d'une application linéaire en dimension finie. Une formule générale sur le produit ne suffit pas.

    « Signalons que l’argument « par continuité du produit matriciel » est bien trop vague pour pouvoir être pris en compte. »
  3. 3
    Valeurs propres d'une somme ou d'un barycentreQ12, Q13

    De nombreux candidats affirment que les valeurs propres d'une somme ou d'un barycentre de matrices symétriques sont les sommes ou barycentres des valeurs propres, ce qui est faux. Il fallait passer par la question 12 et la forme quadratique.

  4. 4
    Continuité du polynôme caractéristiqueQ14

    Dire que le déterminant est continu ne suffit pas : ce sont les coefficients du polynôme caractéristique qui dépendent polynomialement de S, et il faut munir l'espace des polynômes d'une norme.

    « L’immense majorité des candidats n’ont pas compris qu’il n’y a pas de réponse simple et rapide à cette question »
  5. 5
    Compacité du groupe orthogonal et définition d'une matrice orthogonaleQ18

    Cet exercice classique a rarement été complètement réussi. Le jury relève des candidats qui parlent d'espace vectoriel O_n(R) ou qui caractérisent les matrices orthogonales par leur seul déterminant.

  6. 6
    Matrices de passage différentes oubliéesQ19, Q20

    Pour la continuité de u(φ), seuls certains candidats ont vu que les matrices de passage dépendent de k et qu'il fallait extraire une sous-suite convergente grâce à la compacité de O_n(R). En Q20, l'erreur la plus fréquente est de croire les conjuguées diagonales.

    « Très peu de candidats ont abordé cette question avec quelque succès »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3 a été en général correctement traitée.
  • En Q10, la plupart des candidats ont vérifié sans peine que u(P)(S) = P(S) pour un polynôme P.
  • La convergence uniforme en Q11, quand elle a été abordée, a été traitée avec plus de rigueur que la convergence simple.
  • En Q22, la plupart des candidats qui l'ont traitée ont utilisé à juste titre des matrices scalaires pour le sens direct.

Conseils du jury

  • Connaître précisément les notions fondamentales : produit de matrices, matrice orthogonale, théorème spectral, théorème de Bolzano-Weierstrass.
  • Lire attentivement l'énoncé, y compris les définitions et notations du préambule.
  • Vérifier toutes les hypothèses d'un théorème et énoncer sa conclusion exacte ; une paraphrase de la question ne rapporte aucun point.
  • Chercher dans les questions précédentes ce qui peut servir, et avancer dans l'ordre plutôt que de grappiller des points partout.
  • S'entraîner régulièrement sur des sujets de concours en rédigeant, sans se contenter de lire les corrigés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans ce problème, on propose de définir la notion d'image d'une matrice réelle symétrique par une fonction d'une variable réelle, puis d'étudier quelques propriétés de cette notion (en particulier, relativement à la continuité et à la convexité). Ces notions présentent un intérêt en sciences physiques (statistique ou quantique).

Notations

Dans tout le problème :
  • n désigne un entier naturel non nul;
  • si p et q sont des entiers naturels, l'ensemble des entiers k tels que p ≤ k ≤ q est noté [ [p, q] ];
  • si i et j sont des entiers naturels, alors δ_(i, j) = 1 si i = j et δ_(i, j) = 0 sinon;
  • B_n désigne l'ensemble des bijections de [ [1, n] ] dans lui-même;
  • I est un intervalle de R qui n'est ni vide ni réduit à un singleton;
  • C^0(I, R) désigne l'ensemble des fonctions continues de I dans R;
  • une fonction φ de I dans R est dite polynomiale s'il existe P un polynôme réel tel que, pour tout x ∈ I, φ(x) = P(x);
  • M_n(R) (respectivement D_n(R), resp. S_n(R), resp. O_n(R) ), désigne l'ensemble des matrices carrées (resp. diagonales, resp. symétriques, resp. orthogonales) d'ordre n à coefficients réels, et on confond un élément de M_1(R) avec son unique coefficient ;
  • on note Tr l'application trace définie sur M_n(R);
  • si M ∈ M_n(R), on note ^t M sa transposée, on note Sp(M) son spectre réel, et si (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, [M]_(i, j) est le coefficient de M situé à la i-ème ligne et j-ème colonne;
  • on munit M_n(R) de sa norme infinie, notée ‖ ⋅ ‖ et définie par :
∀M ∈ M_n(R), ‖M‖ = max{|[M]_(i, j)|, 1 ≤ i, j ≤ n}
  • S_n(I) désigne l'ensemble des matrices de S_n(R) dont le spectre réel est inclus dans I;
  • si u = (u_i)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ R^n, on dit que ce n-uplet est croissant si pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2,
(i ≤ j) ⟹ (u_i ≤ u_j)
  • si i_0 ∈ [ [1, n] ], on appelle nombre d'occurrences de u_(i_0) dans u le cardinal de l'ensemble {i ∈ [ [1, n] ]; u_i = u_(i_0)};
  • enfin Diag((u_i)_(1 ≤ i ≤ n)) désigne l'élément D de D_n(R) tel que :
∀i ∈ [ [1, n] ], [D]_(i, i) = u_i
on pourra noter cet élément en extension D = Diag(u_1, …, u_n).

Matrices de permutations

Le but de cette partie est d'étudier l'action sur les matrices diagonales de la conjugaison par des matrices de permutations. On considère l'application ω de B_n dans M_n(R) définie par :
∀σ ∈ B_n, ∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, [ω(σ)]_(i, j) = δ_(i, σ(j)).
1▹ Démontrer que pour tout (σ, σ^′) ∈ B_n^2, ω(σ ∘ σ^′) = ω(σ)ω(σ^′).
2▹ Démontrer que ω(B_n) ⊂ O_n(R).
3▹ Soit σ ∈ B_n et (d_i)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ R^n. Vérifier que :
Diag((d_i)_(1 ≤ i ≤ n))ω(σ) = ω(σ)Diag((d_(σ(i)))_(1 ≤ i ≤ n))
4▹ En déduire l'équivalence suivante concernant deux éléments D et D^′ de D_n(R),
i) D et D^′ ont le même ensemble de coefficients diagonaux, chacun ayant le même nombre d'occurrences dans D et D^′.
ii) il existe M ∈ ω(B_n) telle que D^′ = ^t MDM.

Fonctions de matrices symétriques

Cette partie a pour objectif de définir une correspondance entre l'espace des fonctions de I dans R et l'espace des fonctions de S_n(I) dans S_n(R), puis d'en démontrer quelques propriétés. Dans cette partie, f est une fonction de I dans R.
5▹ Soit S ∈ S_n(I). Justifier l'existence de Ω ∈ O_n(R) et de (s_i)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ I^n tels que :
S = ^t ΩDiag((s_i)_(1 ≤ i ≤ n))Ω
6▹ Pour tout (s_i)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ I^n, justifier l'existence d'un élément P de R[X] tel que :
∀i ∈ [ [1, n] ], P(s_i) = f(s_i)
Soit S ∈ S_n(I). On suppose que l'on dispose des deux écritures :
S = ^t ΩDiag((s_i)_(1 ≤ i ≤ n))Ω et S = ^t Ω^′ Diag((s_i^′)_(1 ≤ i ≤ n))Ω^′,
avecΩ, Ω^′ ∈ O_n(R) et (s_i)_(1 ≤ i ≤ n), (s_i^′)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ I^n.
7▹ Montrer que l'on a alors :
^t Ω^′ Diag((f(s_i^′))_(1 ≤ i ≤ n))Ω^′ = ^t ΩDiag((f(s_i))_(1 ≤ i ≤ n))Ω; puis que ^t ΩDiag((f(s_i))_(1 ≤ i ≤ n))Ω ∈ S_n(R)
Dans la suite du problème, on note u l'application qui, à toute fonction φ de I dans R, associe u(φ) la fonction de S_n(I) dans S_n(R) définie par :
∀S ∈ S_n(I), u(φ)(S) = ^t ΩDiag((φ(s_i))_(1 ≤ i ≤ n))Ω,
où S = ^t ΩDiag((s_i)_(1 ≤ i ≤ n))Ω, avec Ω ∈ O_n(R) et (s_i)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ I^n.
Cette fonction est bien définie puisque, d'après la question précédente, u(φ)(S) ne dépend pas du choix des matrices Ω ∈ O_n(R) et D = Diag((s_i)_(1 ≤ i ≤ n)) avec (s_i)_(1 ≤ i ≤ n) ∈ I^n, tel que S = ^t ΩDΩ.
Enfin, on désigne par v l'application Tr ∘ u.
8▹ Vérifier que u et v sont linéaires, puis calculer, pour toute fonction φ de I dans R et pour tout x ∈ I, u(φ)(xI_n).
9▹ Étudier l'injectivité et la surjectivité de u.
10▹ On suppose que f est polynomiale ; montrer qu'il existe P ∈ R[X] tel que pour tout S ∈ S_n(I), u(f)(S) = P(S).
Réciproquement, est-il vrai que, s'il existe P ∈ R[X] tel que pour tout S ∈ S_n(I), u(f)(S) = P(S), alors f est polynomiale?
11▹ Démontrer que, si (φ_k)_(k ∈ N) est une suite de fonctions de I dans R qui converge simplement sur I vers une fonction φ, alors les suites (u(φ_k))_(k ∈ N) et (v(φ_k))_(k ∈ N) convergent simplement sur S_n(I).
Y a-t-il convergence uniforme sur S_n(I) si l'on suppose que (φ_k)_(k ∈ N) converge uniformément sur I ?

Norme et convexité

L'objectif de cette partie est de munir S_n(R) d'une nouvelle norme qui permettra de compléter l'étude des fonctions de matrices symétriques.
12▹ On note Σ = {X ∈ M_(n, 1)(R); ^t XX = 1}. Démontrer que si S ∈ S_n(R) on a :
min(Sp(S)) = min{^t XSX; X ∈ Σ} et max(Sp(S)) = max{^t XSX; X ∈ Σ}.
13▹ Montrer finalement que S_n(I) est une partie convexe de S_n(R) et que l'application ρ, de S_n(R) dans R, qui à toute matrice M ∈ S_n(R) associe
max{|λ|; λ ∈ Sp(M)},
est une norme sur S_n(R).

Continuité des fonctions de matrices symétriques

Dans cette partie, à l'aide de la norme précédemment introduite, on démontre quelques résultats relatifs à la continuité des fonctions de matrices symétriques. On suppose désormais S_n(R) muni de la norme ρ et on appelle χ l'application de S_n(R) dans R[X] qui, à tout élément de S_n(R), associe son polynôme caractéristique.
On définit aussi l'application, notée Sp_↑, qui à toute matrice S ∈ S_n(R), associe son spectre croissant (c'est-à-dire le n-uplet croissant des valeurs propres de S dans lequel le nombre d'occurrences de chaque valeur propre coïncide avec son ordre de multiplicité).
14▹ Démontrer que χ est continue.
On souhaite maintenant prouver que Sp_↑ est continue. À cet effet, on introduit un élément M de S_n(R) et une suite (M_k)_(k ∈ N) à valeurs dans S_n(R) qui converge vers M. Si k ∈ N, on note Λ_k = Sp_↑(M_k).
15▹ Démontrer que la suite (Λ_k)_(k ∈ N) admet une valeur d'adhérence croissante.
16▹ Montrer que, si α est une application strictement croissante de N dans N telle que la suite (Λ_(α(k)))_(k ∈ N) converge, alors : Λ_(α(k))→−_(k → + ∞)^S p_↑(M).
17▹ En déduire que Sp_↑ est continue.
18▹ Démontrer que O_n(R) est une partie compacte de M_n(R).
19▹ Démontrer que, si φ ∈ C^0(I, R), alors u(φ) et v(φ) sont continues.

Convexité des fonctions de matrices symétriques

On démontre maintenant quelques résultats relatifs à la convexité des fonctions de matrices symétriques. Dans cette partie, f est une fonction de I dans R.
20▹ On suppose ici que f est convexe sur I et que S ∈ S_n(I). On note
U_S = {^t ΩSΩ; Ω ∈ O_n(R)}.
Justifier que pour tout U ∈ U_S, pour tout k ∈ [ [1, n] ], [U]_(k, k) ∈ I.
Démontrer alors que :
max{∑_(k = 1)^n f([U]_(k, k)); U ∈ U_S} = v(f)(S)
21▹ En déduire que, si f est convexe sur I, pour tout (A, B) ∈ S_n(I)^2, pour tout t ∈ [0, 1], on a :
v(f)((1 − t)A + tB) ≤ (1 − t)v(f)(A) + tv(f)(B)
On dit qu'une fonction ψ de S_n(I) dans R est convexe sur S_n(I) si elle vérifie la relation :
∀(A, B) ∈ S_n(I)^2, ∀t ∈ [0, 1], ψ((1 − t)A + tB) ≤ (1 − t)ψ(A) + tψ(B)
22▹ Démontrer finalement que la fonction v(f) est convexe sur S_n(I) si, et seulement si, f est convexe sur I.

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 MP 2021 ?

Il mobilise le théorème spectral, les matrices orthogonales, l'interpolation de Lagrange, la topologie des espaces vectoriels normés (compacité, Bolzano-Weierstrass) et la convexité. Le fil conducteur est l'image d'une matrice symétrique réelle par une fonction réelle.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 MP 2021 ?

Le théorème spectral cité sans ses hypothèses, la confusion sur la définition de S_n(I), l'idée fausse que les valeurs propres d'une somme sont les sommes des valeurs propres, et des continuités justifiées trop vaguement.

Combien de copies ont été corrigées en Mines Maths 2 MP 2021 ?

Le rapport indique que 6681 copies ont été corrigées pour cette épreuve. Il ne donne pas de moyenne dans l'extrait disponible.

Quelles questions du sujet Mines Maths 2 MP 2021 ont été les plus discriminantes ?

La question 14 sur la continuité du polynôme caractéristique a été mal comprise par l'immense majorité. La compacité de O_n(R) en Q18 et la question 20 ont aussi rarement été réussies.

Pas de description pour le moment