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X ENS Mathématiques B MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Loi zêta, produits infinis, fonction Gamma et valeurs de la fonction bêta de Dirichlet
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Le sujet relie probabilités et arithmétique à travers la loi zêta, puis établit par des méthodes d'analyse réelle le développement de sin(πx) en produit infini. Il étudie ensuite la fonction Gamma définie comme produit infini, démontre l'identité entre fonctions bêta et Gamma par log-convexité, et termine par le calcul des valeurs de la fonction bêta de Dirichlet aux entiers impairs à l'aide d'un développement en série entière.

  1. 1Partie I : loi zêta et arithmétiqueIndépendance d'événements de divisibilité, produit eulérien, lois des valuations p-adiques, fonction multiplicative g et convergence dominée pour des fonctions sur les entiers.
  2. 2Partie II : produit infini du sinusFormule de Moivre, factorisation de polynômes et encadrements de produits pour obtenir le développement de sin(πx).
  3. 3Partie III : fonction GammaGamma définie par un produit infini, dérivation de séries de fonctions, log-convexité et identité entre les fonctions bêta et Gamma.
  4. 4Partie IV : valeurs de la fonction bêta de DirichletDéveloppements en série entière, interversions de sommations et lien avec les coefficients de 1/cos.

Difficile. Selon le rapport, peu de candidats ont obtenu des résultats raisonnables en partie III, une question n'a été réussie par personne et la partie IV a très peu été abordée, faute de temps.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,11 / 20 · écart-type 4,25 · 1 398 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,11/ 20
Écart-type
4,25
Présents
1 398
moyenne 10,1105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Indépendance mal établie · Outil hors programme utilisé sans preuve · Convergence dominée pour des fonctions sur les entiers
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Les premières questions de probabilités ont été bien réussies, mais le travail sur la partie I s'est arrêté pour une majorité de candidats à une question technique sur les valuations. Les parties II et III ont donné des résultats modestes, en particulier à cause d'une mauvaise définition de la fonction Gamma, et la partie IV a été très peu traitée. Le jury insiste sur la lecture attentive des questions et sur la mise en avant des arguments clés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Indépendance mal établieQ1b, Q3a

    Vérifier l'indépendance de deux événements ne prouve pas l'indépendance mutuelle ; certains ont aussi traité comme indépendants des événements qui ne l'étaient pas.

  2. 2
    Outil hors programme utilisé sans preuveQ3b

    La formule du crible de Poincaré n'est pas au programme de MP : il fallait la démontrer avant de l'appliquer.

    « Cette question assez technique a donné le coup d'arrêt au travail sur la Partie I d'une majorité de candidats. »
  3. 3
    Convergence dominée pour des fonctions sur les entiersQ5

    Citer le théorème pour des fonctions de variable réelle ne suffisait pas : il fallait l'adapter ou en reprendre la démonstration.

    « Ce type de question fait partie «des bases» d'analyse et de probabilités, qui doivent être largement maîtrisées par les candidats au concours d'admission de l'X. »
  4. 4
    Calcul classique non aboutiQ10a

    Le calcul par la formule de Moivre, pourtant standard, n'a pas été mené à terme dans beaucoup de copies.

    « Il est fort dommage qu'un nombre considérable de candidats n'aient pas su le faire aboutir. »
  5. 5
    Mauvaise définition de la fonction GammaPartie III

    L'énoncé définit Gamma par un produit infini : utiliser sans démonstration la définition intégrale rend la réponse hors sujet.

    « Notons une démarche qui a porté un grand préjudice à un bon nombre de candidats. »
  6. 6
    Questions « à grappiller » plus fines qu'elles ne paraissentQ15a, Q15b

    La périodicité et la convexité demandées exigeaient un raisonnement précis, et beaucoup de solutions étaient approximatives.

    « Beaucoup trop de candidats donnaient des solutions fantasques (ou des explications non-rigoureuses) à un résultat demandé plutôt transparent. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1a, 1b, 2a et 2b sur la loi zêta et le produit eulérien ont été largement réussies.
  • La question 10c, obtenue par un simple changement de variable, a été bien réussie.

Conseils du jury

  • Traiter correctement plusieurs questions consécutives, y compris difficiles, plutôt que survoler le sujet : le barème pénalise le grappillage.
  • Admettre explicitement un résultat sauté avant de l'utiliser, en vérifiant les hypothèses nécessaires.
  • Répondre à toutes les parties d'une question et signaler ce que l'on admet.
  • Utiliser le brouillon pour ne présenter sur la copie que les étapes essentielles, lisiblement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

MARDI 13 AVRIL 2021
08h00-12h00
FILIERE MP - Epreuve n^∘3
MATHEMATI QUES B (X)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Dans tout le sujet, (Ω, 𝒜, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On admet que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On note P(A) la probabilité d'un événement A ⊂ Ω et E(X) l'espérance d'une variable aléatoire Xsur(Ω, 𝒜, P) à valeurs réelles.
On rappelle que si s ∈ ]1, + ∞[, la série ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− s) converge et on note ζ(s) sa limite.
On dit qu'une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ^∗ suit la loi zeta de paramètre s > 1 si, pour tout n ∈ ℕ^∗,
P(X = n) = ζ(s)^(− 1)1/(n^s)
Si n ∈ ℕ^∗ et p est un nombre premier, on note ν_p(n) la valuation de n en p. On note également (p_k)_(k ⩾ 1) la suite croissante des nombres premiers.
Si n ∈ ℕ^∗, on pose, χ_4(2n) = 0 et χ_4(2n − 1) = (− 1)^(n − 1). On pourra utiliser sans justification que, pour m et n dans ℕ^∗, on a χ_4(mn) = χ_4(m)χ_4(n).
Le sujet comporte quatre parties, et les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

Partie I

Soit s > 1 un nombre réel et soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℕ^∗ suivant la loi zeta de paramètre s. Si n ∈ ℕ^∗, on note {n|X} l'évènement « n divise X » et {n∤X} l'évènement complémentaire.
1a. Calculer P(n|X) pour n ∈ ℕ^∗.
1b. Soit (α_i)_(i ∈ ℕ^∗) une suite d'entiers naturels. Montrer que les évènements
{p_1^(α_1)|X}, {p_2^(α_2)|X}, …, {p_k^(α_k)|X}, …
sont mutuellement indépendants.
2a. Soit r ⩾ 1 un entier. Montrer que
P(⋂_(i = 1)^r{p_i∤X}) = ∏_(i = 1)^r(1 − p_i^(− s))
2b. En déduire que
ζ(s)^(− 1) = lim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n(1 − p_k^(− s))
3a. Montrer que pour tout k ∈ ℕ^∗, la variable aléatoire ν_(p_k)(X) + 1 suit la loi géométrique de paramètre (1 − p_k^(− s)).
3b. Montrer que, pour r ∈ ℕ^∗, k_1 < ⋯ < k_r dans ℕ^∗ et (n_1, …, n_r) ∈ ℕ^r, on a
P(ν_(p_(k_1))(X) = n_1, …, ν_(p_(k_r))(X) = n_r) =; ∑_(ℓ = 0)^r(− 1)^ℓ∑_((ε_1, …, ε_r) ∈ {0, 1}^r; ε_1 + ⋯ + ε_r = ℓ)P(ν_(p_(k_1))(X) ⩾ n_1 + ε_1, ν_(p_(k_2))(X) ⩾ n_2 + ε_2, …, ν_(p_(k_r))(X) ⩾ n_r + ε_r).
3c. En déduire que les variables aléatoires ν_(p_1)(X), …, ν_(p_k)(X), … sont mutuellement indépendantes.
Si n ∈ ℕ^∗, on note, pour i ∈ {0, 1, 2, 3},
r_i(n) = Card{d ∈ ℕ : d ≡ i[4] et d|n}.
On pose g(n) = r_1(n) − r_3(n).
4a. Montrer que si m et n sont deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, on a g(mn) = g(m)g(n).
4b. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, et tout nombre premier p, on a
g(p^n) = {1, si p = 2; n + 1, si p ≡ 1[4]; 1/2(1 + (− 1)^n), si p ≡ 3[4]
  1. Soit (f_n)_(n ⩾ 1) une suite de fonctions de ℕ^∗ dans ℝ telle que, pour tout x ∈ ℕ^∗, la suite (f_n(x))_(n ⩾ 1) converge vers un réel f(x) quand n tend vers + ∞. On suppose qu'il existe une fonction h : ℕ^∗ → [0, + ∞[ telle que h(X) est d'espérance finie et telle que |f_n(m)| ⩽ h(m) pour tous m et n dans ℕ^∗. Justifier que E(f(X)) est d'espérance finie et montrer que
lim_(n → + ∞)E(f_n(X)) = E(f(X))
6a. On note r(n) le nombre de diviseurs d ⩾ 1 de n. Montrer que la serie ∑_(n = 1)^(+ ∞)r(n)n^(− s) converge et que sa somme vaut ζ(s)^2.
6b. En déduire que la série ∑_(n = 1)^(+ ∞)g(n)n^(− s) converge.
7a. Montrer que la suite de fonctions (x ↦ ∏_(k = 1)^n p_k^(ν_p(x)))_(n ⩾ 1) de ℕ^∗ dans ℕ^∗ converge simplement vers la fonction identité.
7b. Montrer que E(g(X)) = lim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n E(g(p_k^(ν_(p_k)(X)))).
8a. Montrer que si p est un nombre premier tel que p ≡ 1[4], on a
E(g(p^(ν_p(X)))) = 1/(1 − p^(− s))
8b. Calculer E(g(p^(ν_p(X)))) si p est un nombre premier vérifiant p ≡ 3[4].
8c. En déduire
E(g(X)) = lim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n 1/(1 − χ_4(p_k)p_k^(− s))
9a. Montrer que, si p est un nombre premier,
E(χ_4(p^(ν_p(X)))) = (1 − p^(− s))/(1 − χ_4(p)p^(− s))
9b. Montrer que
E(χ_4(X)) = 1/(ζ(s))lim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n 1/(1 − χ_4(p_k)p_k^(− s))
9c. En déduire que la série
∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((2n + 1)^s)
est convergente et que sa somme vaut E(g(X)).

Partie II

10a. Soit n ∈ ℕ. Expliciter un polynôme P_n ∈ ℝ[X] tel que, pour tout θ ∈ ℝ,
sin((2n + 1)θ) = sin(θ)P_n(sin^2(θ))
Indication : on pourra développer (cos(θ) + isin(θ))^(2n + 1).
10b. Déterminer les racines de P_n et en déduire que, pour tout x ∈ ℝ,
P_n(x) = (2n + 1)∏_(k = 1)^n(1 − x/(sin^2((kπ)/(2n + 1))))
10c. En déduire que, pour tout x ∈ ℝ,
sin(πx) = (2n + 1)sin((πx)/(2n + 1))∏_(k = 1)^n(1 − (sin^2((πx)/(2n + 1)))/(sin^2((kπ)/(2n + 1))))
Soit x ∈ ℝ∖ℤ. Soit m ∈ ℕ tel que m > |x|. On pose, pour n ∈ ℕ tel que n > m :
u_(m, n)(x) = (2n + 1)sin((πx)/(2n + 1))∏_(k = 1)^m(1 − (sin^2((πx)/(2n + 1)))/(sin^2((kπ)/(2n + 1))))
et
v_(m, n)(x) = ∏_(k = m + 1)^n(1 − (sin^2((πx)/(2n + 1)))/(sin^2((kπ)/(2n + 1))))
11a. Montrer que les suites, indexées par n, (u_(m, n)(x))_(n > m) et (v_(m, n)(x))_(n > m) sont convergentes dans ℝ^∗.
On note v_m(x) la limite de (v_(m, n)(x))_(n > m).
11b. Montrer que, pour n ∈ ℕ tel que n > m, on a
1 ⩾ v_(m, n)(x) ⩾ ∏_(k = m + 1)^n(1 − (π^2 x^2)/(4k^2))
et en déduire que lim_(m → + ∞)v_m(x) = 1.
11c. En déduire que, pour tout x ∈ ℝ,
sin(πx) = πxlim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n(1 − (x^2)/(k^2))

Partie III

On rappelle que la suite ((∑_(k = 1)^n k^(− 1)) − ln(n))_(n ⩾ 1) converge. On note γ sa limite. Soit n ∈ ℕ^∗. Pour x ∈ ]0, + ∞[, on pose
Γ_n(x) = 1/xe^(− γx)∏_(k = 1)^n(e^(xk^(− 1)))/(1 + xk^(− 1))
  1. Montrer que la suite de fonctions (Γ_n)_(n ⩾ 1) converge simplement sur ]0, + ∞[ vers une fonction Γ de ]0, + ∞[ vers ]0, + ∞[.
  2. Montrer que, pour tout x ∈ ]0, + ∞[, on a Γ(x + 1) = xΓ(x).
14a. Montrer que la fonction Γ est de classe 𝒞^2 et que, pour tout x ∈ ]0, + ∞[,
(ln(Γ))^(′′)(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((x + k)^2)
14b. Montrer que lim_(x → + ∞)(ln(Γ))^(′′)(x) = 0.
Soit f : ]0, + ∞[ → ]0, + ∞[ une fonction de classe 𝒞^2 telle que la fonction ln(f) est convexe et vérifie f(1) = 1 et f(x + 1) = xf(x) pour tout x > 0.
15a. Montrer que la fonction
S : ]0, + ∞[, ⟶, ℝ; x, ⟼, ln((f(x))/(Γ(x)))
est 1 -périodique et convexe.
15b. En déduire que f = Γ.
16. Montrer que pour tous a ∈ ]0, + ∞[ et x ∈ ]0, + ∞[ :
∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/((1 + t)^(x + a))dt = (Γ(x)Γ(a))/(Γ(x + a))
Indication : on pourra poser, pour x ∈ ]0, + ∞[, f(x) = (Γ(x + a))/(Γ(a))∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/((1 + t)^(x + a))dt.
17. Montrer que pour tout x ∈ ]0, 1[ :
∫_0^(+ ∞)(t^(x − 1))/(1 + t)dt = π/(sin(πx))

Partie IV

18a. Montrer que pour tout x ∈ ]0, 1[ :
π/(sin(πx)) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n + x) + ∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/(n + 1 − x)
18b. En déduire que, pour x ∈ ] − 1/2, 1/2[ :
π/(cos(πx)) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((2n + 1)^(2k + 1)))2^(2k + 2)x^(2k)
18c. En déduire que la fonction :
v : ] − π/2, π/2[, ⟶; x, ⟼, ℝ; cos(x)
est développable en série entière et que, pour tout k ∈ ℕ,
∑_(n = 0)^(+ ∞)((− 1)^n)/((2n + 1)^(2k + 1)) = (π^(2k + 1))/(2^(2k + 2)(2k)!)E_(2k)
où, pour tout k ∈ ℕ, E_(2k) = v^((2k))(0).
19a. Montrer que, pour n ∈ ℕ^∗,
∑_(k = 0)^n(− 1)^k((2n)/(2k))E_(2k) = 0
et en déduire les valeurs de E_0, E_2 et E_4.
19b. Calculer E(g(X)) lorsque X est une variable aléatoire suivant la loi zeta de paramètre 3 puis de paramètre 5 .

Questions fréquentes

4 questions
Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B MP X 2021 ?
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Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths B MP X 2021 ?

Le rapport indique une moyenne de 10,11/20 avec un écart-type de 4,25, pour 1398 candidats.

Sur quels chapitres porte le sujet de maths B Polytechnique MP 2021 ?

Sur les probabilités discrètes appliquées à l'arithmétique (loi zêta), les produits infinis, les séries de fonctions, la fonction Gamma, les intégrales généralisées et les séries entières.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths B X-ENS MP 2021 ?

Des indépendances mal justifiées, l'usage sans preuve d'une formule hors programme, une convergence dominée mal adaptée, et surtout l'utilisation de la définition intégrale de Gamma alors que l'énoncé la définissait par un produit infini.

Faut-il traiter tout le sujet X maths B 2021 pour réussir ?

Non. Le jury conseille de traiter à fond plusieurs questions consécutives, même difficiles, plutôt que de grappiller. La partie IV a été très peu abordée, faute de temps.

Pas de description pour le moment