X ENS Mathématiques A MP 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMI SSI ON 2021

Sous-groupes finis de GL_n(ℤ)

Notations

• Les lettres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ désignent respectivement l'ensemble des entiers naturels, des entiers relatifs, des nombres rationnels, des nombres réels, des nombres complexes. La notation ℕ^∗ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
• Si x ∈ ℝ, on note ⌊x⌋ la partie entière de x, c'est-à-dire le plus grand entier k tel que k ≤ x.
• Si E est un ensemble fini, on note card(E) son cardinal.
• Si a, b ∈ ℤ, on note b|a si b divise a, et b∤a dans le cas contraire.
• Si a, a^′, b ∈ ℤ, on note a ≡ a^′(modb) si b|(a^′ − a).
• Si q ≥ 2 est un nombre premier et a ∈ ℤ, on note v_q(a) le plus grand entier v tel que q^v|a.
• Pour n ∈ ℕ^∗, 𝔖_n désigne le groupe des permutations de l'ensemble {1, …, n}, et ε : 𝔖_n → { ± 1} désigne le morphisme signature.
• Pour k, n ∈ ℕ, on notera (n/k) = (n!)/(k!(n − k)!) le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments.
• Tous les anneaux considérés dans ce sujet sont unitaires.
• Si R est un anneau commutatif et n ∈ ℕ^∗, on définit M_n(R) comme l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R. On pourra utiliser librement le fait que l'addition coefficient par coefficient et la multiplication matricielle munissent M_n(R) d'une structure d'anneau.
• Si R est un anneau commutatif et A ∈ M_n(R), en notant (a_(ij))_(1 ≤ i, j ≤ n) les coefficients de A, on définit la trace de A par la formule Tr(A) = ∑_(i = 1)^n a_(ii) et le déterminant de A par la formule detA = ∑_(σ ∈ 𝔖_n)ε(σ)∏_(1 ≤ i ≤ n)a_(iσ(i)). On pourra utiliser librement le fait que pour A, B ∈ M_n(R), det(AB) = (detA)(detB).
• Si n ∈ ℕ^∗ et R est un anneau commutatif, pour tout A ∈ M_n(R) on note χ_A = det(XI_n − A) le polynôme caractéristique de A.
• Pour n ∈ ℕ^∗, M_n(ℂ) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans ℂ, et GL_n(ℂ) désigne le groupe multiplicatif des matrices inversibles de taille n à coefficients dans ℂ.
• Pour n ∈ ℕ^∗, M_n(ℤ) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans ℤ, et GL_n(ℤ) désigne le sous-groupe de GL_n(ℂ) constitué des matrices A ∈ M_n(ℤ) inversibles dont l'inverse est dans M_n(ℤ) (on ne demande pas de démontrer que cet ensemble est bien un sous-groupe de GL_n(ℂ) ).
• Si G est un groupe d'élément neutre e, on rappelle qu'un élément g de G est dit d'ordre fini s'il existe un entier d > 0 tel que g^d = e. Dans ce cas, l'ordre de g est le plus petit entier d > 0 tel que g^d = e.
• Si z ∈ ℂ et d ∈ ℕ^∗, on dit que z est une racine d-ième de l'unité si z^d = 1. S'il existe d ∈ ℕ^∗ tel que z ∈ ℂ soit une racine d-ième de l'unité, on dira simplement que z est une racine de l'unité.

Préliminaires

1. Soit z ∈ ℂ une racine de l'unité. Justifier que |z| = 1.
2. Soit g ∈ GL_n(ℂ), et soit d ∈ ℕ^∗. On suppose que g est d'ordre d. Démontrer que g est diagonalisable, et que toutes ses valeurs propres sont des racines d-ièmes de l'unité.
3. Soit m ∈ ℕ, et soit q ∈ ℕ^∗.
   (a) Démontrer que card({1 ≤ k ≤ m tels que q|k}) = ⌊m/q⌋.
   (b) En déduire que si q est premier, v_q(m!) = ∑_(i = 1)^(+ ∞)⌊m/(q^i)⌋.

1 Éléments d'ordre fini de GL_n(ℤ)

1. Démontrer que |Tr(g)| ≤ 2.
2. On suppose que les valeurs propres de g sont réelles, déterminer les valeurs possibles pour d.
3. On suppose maintenant que g n'a pas de valeurs propres réelles. Démontrer que le polynôme caractéristique de g est l'un des polynômes suivants : X^2 + 1, X^2 + X + 1, X^2 − X + 1.
4. En déduire que d ∈ {1, 2, 3, 4, 6}.

2 Sous-groupes finis de GL_n(ℤ)

1. Soit m ≥ 3 un entier. Soit g ∈ GL_n(ℤ). On suppose que g est d'ordre fini et que g − I_n a tous ses coefficients divisibles par m. Soit A = (g − I_n)/m.
   (a) Montrer que A est diagonalisable sur ℂ, et que pour toute valeur propre λ de A, on a |λ| < 1.
   (b) En déduire qu'il existe k ∈ ℕ tel que A^k = 0.
   (c) Conclure que g = I_n.
2. Soit G est un sous-groupe fini de GL_n(ℤ), et soit m ≥ 3 un entier.
   (a) Démontrer que l'application M_n(ℤ) → M_n(ℤ/mℤ) de réduction modulo m des coefficients induit une application injective G → M_n(ℤ/mℤ).
   (b) En déduire que card(G) ≤ 3^(n^2).

3 Traces des éléments d'un p-sous-groupe de GL_n(ℤ)

1. Soit ℓ un nombre premier.
   (a) Démontrer que pour tout 1 ≤ k ≤ ℓ − 1, l'entier (ℓ/k) est multiple de ℓ.
   (b) Soit R un anneau. On note ℓR = {ℓx, x ∈ R}. Démontrer que pour tous x, y ∈ R tels que xy = yx, on a (x + y)^ℓ − (x^ℓ + y^ℓ) ∈ ℓR.
2. Soit R un anneau commutatif, et soit I un idéal de R. Soient n ∈ ℕ^∗ et A, B ∈ M_n(R). On suppose que tous les coefficients de B sont dans l'idéal I. Démontrer que det(A + B) − detA ∈ I.
3. Soit ℓ ∈ ℕ un nombre premier. Démontrer que pour tout polynôme P ∈ ℤ[X], on a :

4. Soit M ∈ M_n(ℤ), et soit ℓ ∈ ℕ un nombre premier.
   (a) Justifier qu'il existe A ∈ M_n(ℤ[X]) telle que (XI_n − M)^ℓ − (X^ℓ I − M^ℓ) = ℓA.
   (b) Démontrer que χ_(M^ℓ)(X^ℓ) − χ_M(X)^ℓ ∈ ℓℤ[X]
   (c) En déduire que Tr(M^ℓ) ≡ Tr(M)(modℓ).
5. Soit g ∈ G. Démontrer que Tr(g) ≡ n(modp).
6. Soit g ∈ G et soit ℓ un nombre premier. On suppose que ℓ > 2n. Démontrer que Tr(g^ℓ) = Tr(g).
7. Soit k ∈ ℕ non divisible par p. On note

9. Soit g ∈ G. On note n_0 la multiplicité de 1 comme racine de χ_g, et n_1 le nombre de racines ζ de χ_g d'ordre p (comptées avec multiplicité). Démontrer que Tr(g) = n_0 − (n_1)/(p − 1).
10. On note a = ⌊n/(p − 1)⌋. Soit g ∈ G, démontrer que Tr(g) ∈ {n − pv|0 ≤ v ≤ a}.

4 Cardinaux des p-sous-groupes de GL_n(ℤ)

1. Soit G ⊂ GL_n(ℂ) un sous-groupe fini. Soit f = 1/(card(G))∑_(g ∈ G)g ∈ M_n(ℂ).
   (a) Démontrer que f est un projecteur sur {x ∈ ℂ^n|∀g ∈ G, g(x) = x}.
   (b) En déduire que ∑_(g ∈ G)Tr(g) est un entier divisible par card(G).
2. Soient k, n ∈ ℕ^∗. Pour g ∈ GL_n(ℂ) et h ∈ GL_k(ℂ), on note g ⊗ h la matrice par blocs, de taille nk × nk, définie par :