X ENS Mathématiques A MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Valeurs propres des matrices symétriques à coefficients rationnels et nombres totalement réels

Le sujet cherche quels nombres peuvent être valeurs propres d'une matrice symétrique à coefficients rationnels. Après des exemples (√2 oui, √3 non en taille 2, racine cubique de 2 jamais), il établit des résultats d'arithmétique des polynômes par les sommes de Newton. Il montre ensuite que les nombres totalement réels forment un corps, puis que tout nombre totalement réel est bien valeur propre d'une telle matrice, via une forme quadratique et une matrice compagnon.

1Première partiepremière et deuxième annéeExemples et contre-exemples en taille 2, congruences modulo 3, construction de matrices symétriques rationnelles commutantes de carré scalaire, irréductibilité de X³ - 2 et valeur propre cos(2π/n).
2Deuxième partiepremière et deuxième annéePolynôme réciproque, développement en série entière de Q'/Q, caractérisation des polynômes rationnels par les sommes des puissances des racines, stabilité par somme et produit.
3Troisième partiepremière et deuxième annéeLes valeurs propres d'une matrice symétrique rationnelle sont totalement réelles ; les nombres totalement réels forment un sous-corps de R et x est totalement réel si et seulement si x² est totalement positif.
4Quatrième partiedeuxième annéeConstruction d'un produit scalaire à partir d'une forme linéaire admise, orthogonalisation rationnelle, matrice compagnon et construction par blocs d'une matrice symétrique rationnelle admettant z pour valeur propre.

Difficile. La note moyenne des candidats français est de 8,46 sur 20, près de la moitié des copies se situent entre 4 et 8, et très peu de copies ont dépassé la question 14.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,46 / 20 · écart-type 3,74 · 1 595 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,46/ 20
Écart-type: 3,74
Présents: 1 595

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Justifications trop longues ou mal orientées · Récurrences mal posées · Confusions d'arithmétique élémentaire

Le jury juge le sujet très bien équilibré et bien posé, avec peu de questions purement calculatoires : une argumentation claire et une rédaction concise étaient nécessaires. Les trois premières questions ont été bien traitées dans l'ensemble, mais beaucoup de candidats ont ensuite grappillé des points dans la deuxième partie au lieu d'avancer. Une vingtaine de copies étaient excellentes, certaines traitant tout le sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Justifications trop longues ou mal orientées2a, 3a, 6, 7, 11a, 12
Des candidats s'épuisent dans des justifications compliquées, par exemple en introduisant l'autre valeur propre en 2a au lieu de conclure directement. Il faut savoir passer de l'écriture d'un polynôme par ses coefficients à celle par ses racines.
2
Récurrences mal posées3b, 8b
L'hypothèse de récurrence n'est pas écrite explicitement, par exemple en 3b, et la commutativité des matrices construites est vérifiée superficiellement.
« trop souvent, les hypothèses des raisonnements par récurrence n’ont pas été écrites explicitement »
3
Confusions d'arithmétique élémentaire2b, 2c, 2d
Certains raisonnent sur la parité pour un problème modulo 3. D'autres oublient en 2d que les coefficients sont rationnels et non entiers.
« Beaucoup de candidats ont confondu “premiers entre eux dans leur ensemble” et “premiers entre eux deux à deux”. »
4
Grappillage de points2c, 14
Passer directement à la deuxième partie dès la question 2c s'est rarement révélé payant. Selon le jury, traiter parfaitement les trois premières parties aurait valu 17.
« Cette stratégie s’est rarement révélée payante. »
5
Perdre de vue le passage des rationnels aux réels13b, 14, 15a
En 13b, partir d'une valeur propre de S mène à une impasse. En 14, la positivité établie sur les vecteurs rationnels demande un argument de continuité, et le caractère défini le théorème spectral.
« une partie des candidats est passée à côté du problème, qui était l’interaction entre réels et rationnels. »
6
Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon16
Cette question classique, abordée par presque toutes les copies, a souvent été ratée à cause de manipulations de lignes qui ne fonctionnent pas.
« Il s’agit d’une question qui est quasiment du cours où le jury ne peut pas se contenter d’approximations. »

Ce qui a été bien réussi

Les trois premières questions ont été, dans l'ensemble, bien traitées.
La question 6 a été l'une des plus traitées, et bien ; la question 7 a été globalement bien traitée.
La question 9 a été traitée par la moitié des copies, généralement très bien.
La question 10 a permis à des candidats de reprendre le fil du sujet et a été généralement bien traitée.
D'assez nombreux candidats ont su relier en 13a la stricte positivité de B(X,X) à la minimalité du polynôme Z.

Conseils du jury

Avancer linéairement dans le sujet : les premières questions, assez simples, rapportent un nombre de points non négligeable.
Viser la concision : une bonne rédaction est aussi une rédaction courte.
Écrire explicitement les hypothèses de récurrence, en quantifiant les variables.
Rédiger correctement même les résultats élémentaires et structurer la copie (numérotation, mise en valeur des résultats).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ECOLE POLYTECHNIQUE ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

LUNDI 20 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE MP - Epreuve $n^\circ1$

MATHEMATIQUES A
(XLCR)

Le but de ce problème est d'étudier certains aspects de la diagonalisabilité des matrices symétriques à coefficients rationnels. Ces matrices sont diagonalisables dans

ℝ

, mais il se trouve que leurs valeurs propres ne peuvent pas prendre n'importe quelle valeur réelle. Le principal objectif de ce problème est de caractériser les nombres réels qui apparaissent comme valeurs propres de matrices symétriques à coefficients rationnels.

Notations

Dans tout le problème, si

n

m

sont des entiers naturels non nuls et

K

est un corps,

on note $M_(m, n)(K)$ l'ensemble des matrices à $m$ lignes et $n$ colonnes à coefficients dans $K$ ainsi que $M_n(K) = M_(n, n)(K)$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $K$ ;
on identifie l'espace vectoriel $K^n$ à l'espace vectoriel des vecteurs colonnes $M_(n, 1)(K)$ ;
on note $S_n(K)$ l'ensemble des matrices symétriques carrées de taille $n$ à coefficients dans $K$ ;
si $A \in M_(m, n)(K)$ , on note $A^T$ la matrice transposée de $A$ et, si $m = n$ ,

χ_A(X) = det(XI_n - A)

son polynôme caractéristique, qui est donc un polynôme unitaire;

si $q_1, \dots, q_n$ sont des éléments de $K$ , on note $Diag(q_1, \dots, q_n)$ la matrice diagonale de taille $n$ de coefficients diagonaux $q_1, \dots, q_n$ .

Première partie

Exhiber une matrice $M \in S_2(ℚ)$ dont $\sqrt2$ est valeur propre.
Le but de cette question est de montrer que $\sqrt3$ n'est pas valeur propre d'une matrice de $S_2(ℚ)$ . On suppose qu'il existe $M \in S_2(ℚ)$ telle que $\sqrt3$ est valeur propre de $M$ .

2a. En utilisant l'irrationnalité de

\sqrt3

, montrer que le polynôme caractéristique de

M

est

X^2 - 3

2b. Montrer que si

n \in ℤ

, alors

n^2

est congru à 0 ou 1 modulo 3 .

2c. Montrer qu'il n'existe pas de triplet d'entiers (

x, y, z

) premiers entre eux dans leur ensemble tel que

x^2 + y^2 = 3z^2

2d. Conclure.

3a. On se donne

q \in ℚ, n \in ℕ^⋆

et une matrice

A \in S_n(ℚ)

telle que

A^2 = qI_n

. Construire une matrice

B \in S_(2n)(ℚ)

commutant à la matrice

(A, 0; 0, A)

et telle que

B^2 = (q + 1)I_(2n)

3b. Montrer que pour tout

d ⩾ 1

, il existe

n \in ℕ^⋆

et des matrices

M_1, \dots, M_d \in S_n(ℚ)

qui commutent deux à deux et telles que

M_k^2 = kI_n

pour tout entier

1 ⩽ k ⩽ d

3c. Soit

d ⩾ 1

un entier. En déduire que si

q_1, \dots, q_d \in ℚ, q_i > 0

, alors il existe

n \in ℕ^⋆

et des matrices

M_1, \dots, M_d \in S_n(ℚ)

qui commutent deux à deux et telles que

M_i^2 = q_i I_n

pour tout

1 ⩽ i ⩽ d

.
4. Le but de cette question est de montrer que

3\sqrt2

n'est pas valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans

ℚ

. On raisonne par l'absurde, supposant l'existence d'une matrice

M \in S_n(ℚ)

(pour un certain entier

n

) dont

3\sqrt2

est valeur propre.

4a. Montrer que

X^3 - 2

divise le polynôme caractéristique de

M

. (On pourra commencer par prouver que

3\sqrt2 \notin ℚ

4b. Conclure.

Pour $n \in ℕ^⋆$ , construire une matrice $M \in S_n(ℚ)$ dont $cos((2π)/n)$ est valeur propre. (On pourra commencer par construire une matrice orthogonale à coefficients dans $ℚ$ qui admet $e^(2iπ/n)$ pour valeur propre.)

Deuxième partie

Soit

P(X)

un polynôme unitaire de degré

d ⩾ 1

à coefficients complexes que l'on écrit sous la forme :

P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_(d - 1)X^(d - 1) + X^d

On suppose que

a_0 \neq 0

. On note

λ_1, \dots, λ_d \in ℂ

les racines de

P(X)

(avec multiplicité). Pour tout entier

n ⩾ 1

, on définit :

N_n = λ_1^n + λ_2^n + \dots + λ_d^n

Soit $Q(X)$ le polynôme réciproque de $P(X)$ défini par $Q(X) = X^d P(1/X)$ . Montrer que :

Q(X), = 1 + a_(d - 1)X + \dots + a_1 X^(d - 1) + a_0 X^d; = (1 - λ_1 X)(1 - λ_2 X)\dots(1 - λ_d X)

On définit la fonction $f : ℝ∖(ℝ ∩ {1/(λ_1), …, 1/(λ_d)}) → ℂ$ par $f(x) = (Q^'(x))/(Q(x))$ .

Montrer qu'il existe

r > 0

tel que

f

est développable en série entière sur

] - r, r[

, et que le développement en série entière de

f

en 0 s'écrit :

\forallx \in ] - r, r[, f(x) = - \sum_(n = 0)^\inftyN_(n + 1)x^n

8a. Montrer que si

a_0, \dots, a_(d - 1)

sont des éléments de

ℚ

, alors

N_n \in ℚ

pour tout

n ⩾ 1

.
8b. Réciproquement montrer que si

N_n \in ℚ

pour tout

n ⩾ 1

, alors

a_0, \dots, a_(d - 1)

sont des éléments de

ℚ

8c. En déduire que si

μ_1, \dots, μ_d

sont des nombres complexes et si

P(X) = \prod_(i = 1)^d(X - μ_i)

, alors

P(X) \in ℚ[X]

si et seulement si

\foralln ⩾ 1, \sum_(i = 1)^d μ_i^n \in ℚ

Soient $n ⩾ 1$ et $m ⩾ 1$ deux entiers et $α_1, \dots, α_n, β_1, \dots, β_m$ des nombres complexes. On définit :

A(X) = (X - α_1)(X - α_2)\dots(X - α_n); B(X) = (X - β_1)(X - β_2)\dots(X - β_m).

Montrer que si

A(X)

B(X)

sont à coefficients rationnels, alors les polynômes

\prod_(i = 1)^n\prod_(j = 1)^m(X - α_i β_j) et \prod_(i = 1)^n\prod_(j = 1)^m(X - α_i - β_j)

sont aussi à coefficients rationnels.

Troisième partie

On dit qu'un nombre complexe

z

est totalement réel (resp. totalement positif) s'il existe un polynôme

P(X)

non nul à coefficients rationnels tel que :
(i)

z

est une racine de

P

, et
(ii) toutes les racines de

P

sont dans

ℝ

(resp. dans

ℝ_+

).
10. Soit

M

une matrice symétrique à coefficients dans

ℚ

. Montrer que les valeurs propres de

M

sont totalement réelles.

11a. Montrer que l'ensemble des nombres totalement réels est un sous-corps de

ℝ

. (On pourra utiliser le résultat de la question 9 .)

11b. Montrer que l'ensemble des nombres totalement positifs est inclus dans

ℝ_+

, est stable par addition, multiplication et que l'inverse d'un nombre totalement positif non nul est totalement positif.
12. Soit

x

un nombre complexe. Montrer que

x

est totalement réel si et seulement si

x^2

est totalement positif.

Quatrième partie

Le but de cette partie est de montrer que, réciproquement, tout nombre totalement réel est valeur propre d'une matrice symétrique à coefficients dans

ℚ

.
On note

ℛ

l'ensemble des nombres totalement réels et on admet qu'il existe une fonction

t : ℛ \to ℚ

vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) pour

x, y \in ℛ

λ, μ \in ℚ

, on a

t(λx + μy) = λt(x) + μt(y)

(ii) pour

x

totalement positif, on a

t(x) ⩾ 0

et l'égalité est stricte si

x \neq 0

On considère un nombre

z

totalement réel non nul. Par définition, il existe un polynôme unitaire

Z(X) \in ℚ[X]

qui annule

z

. On écrit

Z(X)

sous la forme :

Z(X) = X^d - (a_(d - 1)X^(d - 1) + \dots + a_1 X + a_0)

avec

d \in ℕ^⋆

a_i \in ℚ

pour tout

i \in {0, \dots, d - 1}

. On suppose en outre que

Z(X)

est choisi de façon à ce que

d

soit minimal parmi les degrés des polynômes unitaires

P(X) \in ℚ[X]

tels que

P(z) = 0

.
On considère la matrice

S

de taille

d \times d

dont le coefficient

(i, j), 1 ⩽ i, j ⩽ d

, vaut

t(z^(i + j))

. Pour

X, Y \in ℝ^d

, on pose

B(X, Y) = X^T SY

13a. Montrer que

B(X, X) > 0

pour

X \in ℚ^d, X \neq 0

13b. En déduire que la matrice

S

est inversible.
14. Montrer que

B

est un produit scalaire sur

ℝ^d

15a. Montrer qu'il existe une base

(e_1, \dots, e_d)

ℝ^d

avec

e_i \in ℚ^d

pour tout

i

B(e_i, e_j) =

0 pour

i \neq j

15b. En déduire qu'il existe

P \in GL_d(ℚ)

q_1, \dots, q_d \in ℚ, q_i > 0

, tels que :

S = P^T \cdot Diag(q_1, \dots, q_d) \cdot P

On pose :

M = (0, 0, \dots, 0, a_0; 1, 0, ⋱, 0, a_1; 0, ⋱, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, a_(d - 2); 0, \dots, 0, 1, a_(d - 1))

Calculer le polynôme caractéristique de $M$ .

17a. Vérifier que la matrice

SM

est symétrique.
17b. En déduire que la matrice

RMR^(- 1)

est symétrique où

R = Diag(\sqrt(q_1), \dots, \sqrt(q_d)) \cdot P

.
18. Construire une matrice symétrique à coefficients rationnels dont

z

est valeur propre.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS Maths A MP 2020 ?

Il mobilise l'arithmétique des entiers et des polynômes, les relations entre coefficients et racines, le théorème spectral, les formes bilinéaires symétriques et les séries entières. Le fil conducteur est l'étude des valeurs propres des matrices symétriques rationnelles.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths A MP 2020 ?

Pour les 1595 candidats français, la note moyenne est de 8,46 avec un écart-type de 3,74. Seules 57 copies ont obtenu 16 ou plus.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X-ENS Maths A MP 2020 ?

Des justifications inutilement longues, des récurrences mal posées, la confusion entre premiers entre eux dans leur ensemble et deux à deux, et l'oubli de l'enjeu du passage des rationnels aux réels dans la dernière partie.

Faut-il finir le sujet X-ENS Maths A MP 2020 pour avoir une bonne note ?

Non : selon le jury, un candidat ayant parfaitement traité les trois premières parties aurait obtenu 17. Il déconseille le grappillage de points.

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MATHEMATIQUES A (XLCR)

Notations

Première partie

4b. Conclure.

Deuxième partie

Troisième partie

Quatrième partie

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS Maths A MP 2020 ?

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths A MP 2020 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en X-ENS Maths A MP 2020 ?

Faut-il finir le sujet X-ENS Maths A MP 2020 pour avoir une bonne note ?

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