X ENS Physique MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Faisceaux gaussiens et pinces optiques

Pas encore noté

Faisable en sup ?

Faisable en partie en MPSI : 8 questions sur 37. Autres questions faisables en MPSI

Autres premières années : PTSI 7 · TSI1 6 · BCPST1 3 questions.

Détail par partie

Partie I : Propagation et décomposition en ondes planes d'un champ électrique0/52e année
Partie II : Étude de la limitation transversale d'un faisceau lumineux1/5En partie
- Question 6
Partie III : Source laser et faisceau gaussien0/42e année
Partie IV : Moment dipolaire d'un atome et d'une assemblée d'atomes5/10En partie
Partie V : Principe d'une pince optique2/13En partie
- Question 25
- Question 26

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BanqueX-ENS Année2020 FilièreMP MatièrePhysique

Annales X-ENS MP Physique X-ENS MP 2020 MP Physique Physique 2020

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Présentation du sujet

Faisceaux gaussiens et pinces optiques : piéger une bille diélectrique avec un laser

Le sujet examine la possibilité de piéger une sphère diélectrique avec un faisceau laser. La première moitié analyse le faisceau par décomposition de Fourier en ondes planes, sa limitation transversale et le faisceau gaussien. La seconde moitié modélise la réponse de la bille au champ électrique puis les forces optiques qu'elle subit, pour conclure sur l'existence d'un équilibre stable.

1Partie I : propagation et décomposition en ondes planes d'un champ électriqueÉquation de Helmholtz, transformée de Fourier spatiale et distinction entre ondes progressives et ondes évanescentes.
2Partie II : limitation transversale d'un faisceau lumineuxSpectre angulaire d'un faisceau limité, directions des extrema, rôle d'une lentille mince convergente dans son plan focal image.
3Partie III : source laser et faisceau gaussienLargeur du faisceau, distance de Rayleigh, angle de divergence et profil d'intensité.
4Partie IV : moment dipolaire d'un atome et d'une assemblée d'atomesModèle de l'électron élastiquement lié, régime sinusoïdal forcé, indice optique et moment dipolaire d'une sphère diélectrique.
5Partie V : principe d'une pince optiqueForce radiative de diffusion, force de gradient, conditions de piégeage stable et ordres de grandeur pour une bille de silice.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,25 / 20 · écart-type 3,51 · 1 574 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,25/ 20
Écart-type: 3,51
Présents: 1 574

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Fonction sinus cardinal mal maîtrisée · Confusions en optique · Équation inhomogène pour l'électron

Malgré la dépendance entre les parties, beaucoup de candidats ont pu reprendre le problème à la question 15 et la grande majorité l'a traité jusqu'à la fin de la partie IV. Le jury relève un nombre alarmant d'erreurs de calcul, des sous-questions négligées et des justifications insuffisantes lorsque le résultat est donné.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Fonction sinus cardinal mal maîtriséeQ7, Q10
Expressions fausses du sinus avec les exponentielles complexes, tracés peu soignés et valeur nulle attribuée à tort en 0.
« La limite en 0 de sin(x)/x n’est pas 0. »
2
Confusions en optiqueQ6
Approximation de Gauss et optique géométrique sont confondues, de même qu'interférences et diffraction.
3
Équation inhomogène pour l'électronQ19
Plus de la moitié des copies divisent par la masse de l'électron d'un seul côté de l'égalité, et une force est souvent oubliée ; une erreur d'homogénéité propagée coûte beaucoup de points.
4
Comparaisons de grandeurs de dimensions différentesQ16 à Q18
Écrire B ≪ E n'a pas de sens ; il faut aussi remarquer que la force a la même norme pour le noyau et l'électron.
« Il faut comparer des quantités de même dimension »
5
Stabilité jugée par la seule valeur de la forceQ31
Constater que la force est nulle à l'équilibre ne dit rien de sa stabilité ; il faut vérifier que la force ramène la bille ou que l'énergie potentielle est minimale.
« Ce résultat ne permet évidemment pas de conclure sur la stabilité de l’équilibre. »
6
Applications numériques négligéesQ14, Q15
Une majorité n'a traité que la moitié de la question 15 en omettant l'application numérique ; une valeur absurde de pulsation aurait dû alerter.

Ce qui a été bien réussi

La question 1, dont le résultat était donné, a été traitée assez largement avec la rigueur attendue.
Un nombre satisfaisant de copies a identifié une onde évanescente à la question 4.
Les informations du préambule ont été bien utilisées à la question 11.
Les questions 23 et 24 ont été plutôt bien traitées, et les calculs de la question 29 bien justifiés.

Conseils du jury

Traiter toutes les sous-questions d'une question pour ne pas perdre de points.
Justifier soigneusement le raisonnement lorsque le résultat est donné dans l'énoncé.
Vérifier l'homogénéité de chaque résultat avant de poursuivre.
Signaler au correcteur l'usage d'un résultat de cours qui contredit un calcul de la copie.
Soigner la copie, encadrer les résultats et numéroter chaque question.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

37 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

37 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MERCREDI 22 AVRIL 2020-08h00-12h00 FILIÈRE MP - Épreuve $n^\circ5$

PHYSIQUE
(XULCR)

Durée : 4 heures

Abstract

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. Les résultats numériques seront donnés avec un chiffre significatif.

Notations, formulaire et données numériques.

La grandeur complexe $X_-(t)$ , associée à la grandeur réelle $X(t) = ℜ𝔢(X_-(t))$ , harmonique de pulsation $ω$ , est notée :

X_-(t) = X_-exp(- iωt),

où

X_-

pourra dépendre de la pulsation.
On notera la fonction exponentielle indifféremment :

exp(x)

e^x

.
Pour un champ

X⃗(r⃗, t)

de l'espace et du temps, la représentation complexe est notée :

X⃗_-(r⃗, t) = X⃗_-(r⃗)exp(- iωt),

où

X⃗_-(r⃗)

pourra dépendre de la pulsation. Nous ne ferons pas de distinction dans l'appellation d'une fonction entre

X⃗_-(r⃗, t)

X⃗_-(r⃗)

pour alléger les notations. Les arguments de la représentation complexe d'un champ permettront de préciser les dépendances dans les variables en fonction de la situation considérée.
Pour une onde plane progressive monochromatique, on écrira

X⃗_-(r⃗, t) = X⃗_-_0 exp[i(k⃗ \cdot r⃗ - ωt)]

, où

k⃗

est le vecteur de l'onde et

r⃗

le vecteur position.

Définition : Dans le contexte du problème, on admettra qu'une fonction $F(x, z)$ pourra toujours se décomposer de la manière suivante :

F(x, z) = \int_(- \infty)^(+ \infty)F˜(α, z)exp(iαx)(dα)/(2π) et F˜(α, z) = \int_(- \infty)^(+ \infty)F(x, z)exp(- iαx)dx, α \in ℝ

Remarque 1 : les fonctions

F(x, z)

F˜(α, z)

seront toujours définies dans des conditions qui permettent la convergence de l'intégrale. On ne se préoccupera aucunement de la convergence des intégrales dans le problème.
Remarque 2 : Il sera toujours permis de permuter les opérations de dérivée par rapport à

x

z

et les opérations d'intégration. Par exemple, on pourra écrire :

\partial/(\partialz)F(x, z) = \int_(- \infty)^(+ \infty)\partial/(\partialz)F˜(α, z)exp(iαx)(dα)/(2π)

Propriété 1 : On a la propriété suivante :

\forallx, \int_(- \infty)^(+ \infty)F˜(α, z)exp(iαx)(dα)/(2π) = 0 \Leftrightarrow \forallα, F~(α, z) = 0

Propriété 2 : Pour une fonction gaussienne $F(x) = F_0 exp[(- x^2)/(W_0^2)]$ , on a :

F˜(α) = F_0 W_0\sqrtπexp((- W_0^2 α^2)/4)

Constante de Planck : $h = 6, 6 \times 10^(- 34) J \cdot s = 4, 1 \times 10^(- 15)eV \cdot s$
Constante de Boltzmann : $k_B = 1, 4 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$
Célérité de la lumière dans le vide : $c = 3, 0 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
Permittivité diélectrique du vide : $ε_0 = 8, 9 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
Charge élémentaire : $e = 1, 6 \times 10^(- 19)C$
Masse de l'électron : $m_e = 9, 1 \times 10^(- 31) kg$

Faisceaux gaussiens et pinces optiques

Dans ce sujet nous nous intéressons à l'utilisation de la lumière pour piéger de petits objets (une nanobille dans l'exemple développé à la fin du problème). Il s'agit du principe de la pince optique (en anglais optical tweezers), pour lequel Arthur Ashkin a reçu le prix Nobel de Physique en 2018. Le piégeage ne peut se faire que dans des conditions particulières, qui peuvent être réunies en utilisant un faisceau laser. Le sujet propose d'abord une description formelle de la propagation de la lumière, puis la description du mode gaussien fondamental d'un faisceau laser. Dans les parties suivantes, nous nous concentrons sur l'interaction de la lumière avec une nano-bille diélectrique. C'est de cette description que vont apparaître les forces optiques mises en jeu dans le piégeage de la nano-bille par le faisceau laser. Les pinces optiques sont aujourd'hui largement utilisées dans le domaine de la biologie, pour manipuler de manière non-invasive des bactéries ou des virus.

I Propagation et décomposition en ondes planes d'un champ électrique

Dans une zone de l'espace, vide de charges et de courants, on considère un champ électromagnétique quelconque, décrit de manière générale par un champ électrique

E⃗(M, t) = E⃗(r⃗, t)

et un champ magnétique

B⃗(M, t) = B⃗(r⃗, t)

, où

r⃗

désigne le vecteur position du point M par rapport à un référentiel galiléen

R

. À ce référentiel est associé un repère cartésien (

Oxyz

), où

e⃗_x, e⃗_y

e⃗_z

sont les vecteurs unitaires de la base orthonormale du repère.
On rappelle que les champs électrique et magnétique,

E⃗(r⃗, t)

B⃗(r⃗, t)

, sont couplés par les équations de Maxwell dans le vide :

divE⃗ = 0 divB⃗ = 0 rot^(\to-)E⃗ = - (\partialB⃗)/(\partialt) rot^(\to-)B⃗ = 1/(c^2)(\partialE⃗)/(\partialt)

La propagation du champ électrique (et du champ magnétique) est gouvernée par l'équation de d'Alembert :

ΔE⃗ - 1/(c^2)(\partial^2 E⃗)/(\partialt^2) = 0\to

où

c

désigne la célérité de la lumière.
Pour un champ harmonique (ou monochromatique) de pulsation

ω

, on écrit le champ électrique dans sa représentation complexe

E⃗_-(r⃗, t) = E⃗_-(r⃗)exp(- iωt)

. L'équation de D'Alembert pour

E⃗_-(r⃗, t)

se réduit à l'équation dite de Helmholtz portant sur la grandeur

E⃗_-(r⃗)

ΔE⃗_-(r⃗) + (ω^2)/(c^2)E⃗_-(r⃗) = 0\to

Dans la suite et afin de simplifier les calculs, on se limitera à l'étude d'une composante cartésienne du vecteur champ électrique, que l'on représentera par la grandeur scalaire

E(r⃗, t)

selon la direction (

Oy

) du repère cartésien (Oxyz). Lorsque la direction de polarisation du champ électrique sera différente de (

Oy

), il sera fait explicitement mention de ce changement dans l'énoncé.

On considérera également un champ électrique dont la dépendance spatiale est uniquement selon les coordonnées

x

z

, comme indiqué par l'expression suivante :

E⃗_-(r⃗, t) = E_-(x, z, t)e⃗_y = E_-(x, z)exp(- iωt)e⃗_y

En reprenant l'équation de Helmholtz portant sur $E_-(x, z)$ , et en utilisant les formules (3) et (4), montrer que la fonction $E˜_-(α, z)$ vérifie l'équation différentielle suivante :

(\partial^2)/(\partialz^2)^(E˜)(α, z) + γ_-^2 E_-^(E˜)(α, z) = 0

avec

γ_-^2 = (ω^2)/(c^2) - α^2, γ_-

pouvant être complexe.
2. À quelle condition sur

α

γ_-

est-il réel? On écrit alors

γ_- = γ

avec

γ > 0

. Donner l'expression générale de

E˜_-(α, z)

. Dans quel cas,

γ_-

est-il imaginaire pur? On pose alors

γ_- = iδ

avec

δ > 0

. Donner l'expression générale de

E˜_-(α, z)

dans ce cas.

On admet dans toute la suite du problème que les conditions aux limites des différentes situations physiques rencontrées permettront d'écrire :

E˜_-(α, z) = A_-(α)exp(iγ_-z)

. Nous supposerons également que toutes les intégrales de fonctions sont convergentes.
3. On suppose dans cette question que pour

|α| ⩾ ω/c, A_-(α) = 0

. Le champ électrique

E_-(x, z, t)

s'écrit alors sous la forme intégrale suivante :

E_-(x, z, t) = exp(- iωt)\int_(- ω/c)^(+ ω/c)A_-(α)exp[i(αx + γz)](dα)/(2π).

Interpréter physiquement la décomposition du champ électrique

E_-(x, z, t)

. On s'attachera en particulier à donner un sens physique au vecteur

αe⃗_x + γe⃗_z

et à la grandeur

A_-(α)

.
4. Proposer une interprétation dans le cas où

γ_-

est imaginaire pur.
5. Dans le cas où

γ_-

est réel, montrer que :

A_-(α) = \int_(- \infty)^(+ \infty)E_-(x, z = 0)e^(- iαx) dx

Dans la suite du problème, on considérera

γ_-

réel et les bornes de l'intégrale intervenant dans l'expression (10) pourront être prolongées en

- \infty

+ \infty

II Étude de la limitation transversale d'un faisceau lumineux

Le formalisme présenté et étudié dans la partie précédente est parfaitement adapté à l'étude d'un faisceau lumineux ou d'une onde électromagnétique dont l'extension spatiale transversale à la propagation est limitée. Ce formalisme permet également de décrire les modifications de la structure d'un faisceau ou les phénomènes physiques apparaissant lorsqu'une onde électromagnétique rencontre un obstacle au cours de sa propagation.

On considère, dans cette partie, un écran opaque placé dans le plan

z = 0

dans lequel une ouverture rectangulaire (

O

) a été réalisée. Cette ouverture (

O

) est de grande dimension dans la direction (

Oy

), centrée en

x = 0

et de largeur

W_0

dans la direction (

Ox

). On pourra considérer dans la suite que cette ouverture est assimilable à une fente infinie selon

(Oy)

et de largeur

W_0

selon

(Ox)

. L'ouverture

(O)

est éclairée en totalité par une onde incidente plane progressive monochromatique d'amplitude

E_0

, provenant de la région de l'espace située dans le demi-espace

z < 0

(Figure 1) :

E⃗_-(z, t) = E_-(z, t)e⃗_y = E_0 exp[i(k_i z - ωt)]e⃗_y

Figure 1 - Onde incidente sur l'ouverture (

O

aveck⃗_i = (ω/c)e⃗_z = (2π/λ)e⃗_z

le vecteur d'onde de l'onde incidente. La longueur d'onde utilisée pour l'onde incidente est

λ = 600 nm

. La largeur

W_0

de l'ouverture est de quelques micromètres.
6. Rappeler quel critère quantitatif permet de se placer dans le cadre de l'approximation de l'optique géométrique. En raisonnant sur des grandeurs caractéristiques, cette approximation est-elle applicable dans la situation physique énoncée ci-dessus ? Quel phénomène physique pourrait être mis en évidence par le dispositif schématisé sur la Figure 1?

Dans le demi-espace

z > 0

, situé en aval de l'ouverture (

O

), le champ électrique en un point M de coordonnées (

x, 0, z

), noté

E(x, z, t)

, est de même pulsation

ω

que l'onde incidente. La représentation complexe de ce champ

E_-(x, z, t)

peut s'écrire comme une superposition d'ondes planes progressives harmoniques d'amplitude

A_-(α)

, conformément à l'expression (10). On limite notre étude au plan

y = 0

au regard de l'invariance de l'ouverture (

O

) par rapport à l'axe (

Oy

).
7. Déterminer l'expression de

A_-(α)

en fonction de

E_0, α

W_0

. Représenter graphiquement

A_-(α)

en fonction de

α

.
8. À partir de l'expression du vecteur d'onde

k⃗

d'une onde élémentaire dans le repère (Oxyz) et de la représentation graphique de

A_-(α)

, identifier les directions dans lesquelles on observe un extremum de

A_-(α)

et des annulations de

A_-(α)

. On pourra introduire l'angle

θ

défini par

tanθ = α/γ

. Établir la relation entre

sinθ, λ

W_0

pour la première annulation. Par souci de simplicité, on supposera par la suite que

|θ|

est suffisamment petit pour avoir

tanθ \approx sinθ \approx θ

.
9. En considérant des rayons lumineux parallèles à l'axe (

Oz

) et des rayons parallèles entre eux, inclinés d'un angle quelconque par rapport à ce même axe, préciser comment une lentille mince convergente transforme une onde plane incidente dans son plan focal image. En déduire ce que l'on observe avec un capteur optique dans le plan focal image d'une lentille mince convergente

(L)

de distance focale image

f^'

, placée après l'ouverture

(O)

.
10. Dans la configuration de la question précédente, déterminer la distance

Δx

entre l'image correspondant au maximum global et l'image correspondant au premier zéro de

A_-(α)

, dans le plan focal image de la lentille (

L

). Commenter l'évolution de la tache lumineuse de largeur

2Δx

située au voisinage du point focal image de (

L

) lorsqu'on fait varier la largeur

W_0

de l'ouverture (

O

). Déterminer la valeur numérique de

2Δx

de la tache lumineuse pour

W_0 = 10μ m

f^' = 200 mm

III Source laser et faisceau gaussien

Dans cette partie, on étudie la propagation dans le sens des

z

croissants d'un faisceau lumineux issu d'une source laser. Le champ électrique modélisant ce faisceau est noté

E⃗_L(x, z, t) = E_L(x, z, t)e⃗_y

. En
raison du caractère quasi-monochromatique d'une source laser, la dépendance temporelle du champ

E_L(x, z, t)

est harmonique, de pulsation

ω

. On a donc

E_-_L(x, z, t) = E_-_L(x, z)exp(- iωt)

. Le champ électrique décrivant l'onde lumineuse est caractérisé dans le plan

z = 0

par une répartition gaussienne de son amplitude selon l'axe (

Ox

). On a ainsi :

E_L(x, z = 0) = E_0 exp[(- x^2)/(W_0^2)]

Le faisceau lumineux décrit par cette répartition d'amplitude de champ électrique possède une extension latérale caractéristique

W_0

très grande devant la longueur d'onde réduite :

W_0≫λ/2π

. Ce faisceau est invariant par translation selon l'axe (

Oy

), il a donc la forme d'une nappe laser. Dans la suite de cette partie, on se placera dans le plan

y = 0

.
11. À partir des résultats généraux établis dans la partie I, concernant la propagation d'un paquet d'ondes planes progressives et harmoniques, établir l'expression intégrale de

E_-_L(x, z)

dans le demi-espace

z > 0

. En déduire l'expression de

A_-(α)

dans ce cas. On rappelle que les grandeurs

α

γ

sont reliées à la norme du vecteur d'onde

k

de la manière suivante :

k^2 = γ^2 + α^2

L'expression de

A_-(α)

permet d'obtenir, dans l'approximation paraxiale, la dépendance spatiale du champ électrique décrivant le faisceau. On admettra que l'amplitude du champ électrique

E_-_L(x, z)

se met sous la forme suivante :

E_-_L(x, z) = K_-(z)exp((- x^2)/(W(z)^2))exp(ik(x^2)/(2R(z)))

Les fonctions réelles,

W(z)

R(z)

, et la fonction complexe

K_-(z)

ont pour expression :

W(z) = W_0\sqrt(1 + (z^2)/(z_R^2)) R(z) = z(1 + (z_R^2)/(z^2)) K_-(z) = E_0 2\sqrtπe^(ikz)\sqrt(1/(2π(1 + iz/(z_R)))⎷).

La distance

z_R = (πW_0^2)/λ = (kW_0^2)/2

est appelée distance de Rayleigh.
12. Déterminer l'expression approchée de

W(z)

dans les limites

z≪z_R

z≫z_R

et tracer la courbe représentant

W

en fonction de

z

. Définir et exprimer l'angle

θ

de divergence du faisceau laser. À partir de cette expression, justifier que l'évolution spatiale du faisceau laser met en évidence un phénomène physique déjà rencontré précédemment que l'on rappellera.
13. Donner à une constante multiplicative près l'expression de l'intensité

I_L(x, z)

et en déduire que le faisceau a toujours un profil gaussien dans un plan

z =

Cste. Tracer la répartition spatiale d'intensité

I_L(x, z)

z = 0

z = z_R

.
14. Dans le cas où

z

vérifie conjointement les conditions

z≫z_R

z≫|x|

, montrer que le terme

exp(ikz)exp[ikx^2/(2R(z))]

s'identifie au terme de phase caractéristique d'une onde sphérique, dans le plan

y = 0

(en toute rigueur et au regard de l'invariance suivant (

Oy

) de la nappe laser, il s'agit d'une onde cylindrique). Quel est le rayon de courbure des surfaces d'onde pour

z≫z_R

? Que dire de la surface d'onde pour

z≪z_R

? Évaluer numériquement

z_R

pour

W_0 = 100μ m

et pour

W_0 = 1 mm

IV Moment dipolaire d'un atome et d'une assemblée d'atomes

IV.A Modèle d'atome : l'électron élastiquement lié

On s'intéresse dans cette partie à un électron dans un atome. Le modèle utilisé date du tout début du XX

^e

siècle, à une époque où l'électron était identifié comme un corpuscule mais où les noyaux atomiques n'avaient pas encore été mis en évidence. L'électron est supposé être une particule ponctuelle de charge

- e

, situé dans une sphère de rayon

R_0

, uniformément chargée positivement en volume et de charge totale

+ e

. Le système composé de l'électron associé à la sphère constitue un modèle simplifié d'atome, représenté Figure 2 . On considérera que le diamètre

2R_0

de la sphère a pour valeur typique

2R_0 = 0, 1 nm

Bien que ce modèle classique puisse sembler à l'heure actuelle très naïf, les résultats auxquels il mène se retrouvent bien dans un traitement quantique de la matière dans des conditions expérimentales usuelles, que nous supposerons respectées ici.

Figure 2 - Modèle simplifié d'atome. La partie grisée représente la charge

+ e

délocalisée dans toute la sphère de rayon

R_0

. L'électron est représenté par une charge

- e

ponctuelle, de vecteur position

r⃗_e

On appelle

r⃗_e

le vecteur position de l'électron, défini par rapport au centre O de la sphère chargée positivement, dans le repère cartésien (

Oxyz

).
15. Montrer que la force électrique

F⃗_(el)

exercée sur l'électron peut s'écrire comme une force élastique linéaire, c'est-à-dire

F⃗_(el) = - k_(el)r⃗_e

, avec

k_(el)

la constante de raideur associée. Introduire dans l'expression de

k_(el)

une pulsation caractéristique

ω_0

dont on précisera l'expression en fonction des paramètres du modèle et dont on calculera un ordre de grandeur.

IV.B Établissement du moment dipolaire de l'atome

L'atome, décrit par le modèle simplifié présenté précédemment, est éclairé par une onde plane monochromatique, représentée par les champs électrique et magnétique suivants, en un point

M

quelconque de vecteur position

r⃗ : E⃗_-(r⃗, t) = E⃗_-(r⃗)e^(- iωt) = E⃗_0 e^(i(k⃗ \cdot r⃗ - ωt))

B⃗_-(r⃗, t) = B⃗_-(r⃗)e^(- iωt) = B⃗_0 e^(i(k⃗ \cdot r⃗ - ωt))

. La pulsation

ω

de l'onde appartient à la gamme visible du spectre électromagnétique. On considère que les amplitudes

E⃗_-(r⃗)

B⃗_-(r⃗)

de l'onde électromagnétique peuvent être considérées comme uniformes à l'échelle de l'atome. On considère également que le déplacement du noyau soumis à cette onde est négligeable par rapport à celui de l'électron. Enfin, on suppose que l'électron sollicité par l'onde ne peut atteindre des vitesses qui nécessiteraient de prendre en compte des effets relativistes.

Lorsque l'électron est excité par l'onde électromagnétique, celui-ci perd de l'énergie au cours de son déplacement sous forme de rayonnement. Nous modéliserons ces pertes par une force de frottement visqueux

F⃗_v = - m_e Γr⃗˙_e

, où

r⃗˙_e

désigne la dérivée par rapport au temps du vecteur position

r⃗_e

de l'électron. On a de plus

Γ≪ω_0

.
16. Justifier que les amplitudes

E⃗_-(r⃗)

B⃗_-(r⃗)

peuvent être effectivement considérées comme uniformes à l'échelle de l'atome.
17. Donner un argument pour justifier que le mouvement du noyau peut être négligé devant celui de l'électron.
18. L'influence du champ magnétique de l'onde sur l'électron peut-elle être négligée?
19. Établir l'équation différentielle à laquelle obéit le vecteur position

r⃗_e(t)

de l'électron.
20. On cherche la solution de cette équation en régime établi (régime sinusoïdal forcé) sous la forme

r_-\to_e(t) = r⃗_-_(e, 0)exp(- iωt)

. Déterminer l'expression de

r⃗_-_(e, 0)

. En déduire l'expression du moment dipolaire

d⃗_-_(at)(t) = - er⃗_-_e(t)

associé à l'atome soumis à l'influence de l'onde électromagnétique.

IV.C Moment dipolaire d'une sphère diélectrique et indice optique

Le modèle de l'électron élastiquement lié, décrit dans (IV.A), et la modélisation de l'influence d'une onde électromagnétique sur un atome par l'apparition d'un moment dipolaire (IV.B) permettent de décrire le phénomène de polarisation d'une sphère diélectrique. Le terme diélectrique est synonyme ici d'isolant électrique.

On considère maintenant un volume de matière, constitué de

N

atomes par unité de volume. On appelle

P⃗(r⃗, t)

le vecteur polarisation représentant la densité volumique de moment dipolaire. On peut considérer que si l'excitation par un champ électrique est sinusoïdale, c'est-à-dire

E⃗_-(r⃗, t) = E⃗_-(r⃗)e^(- iωt)

, la réponse de la matière diélectrique est linéaire et la polarisation oscille également à la pulsation

ω

, d'où

P⃗_-(r⃗, t) = P⃗_-(r⃗)e^(- iωt)

. L'indice optique

n

du volume de matière considéré intervient alors dans le facteur de proportionnalité entre le champ électrique

E⃗_-(r⃗)

et la polarisation

P⃗_-(r⃗)

selon la formule suivante :

P⃗_-(r⃗) = ε_0(n^2 - 1)E⃗_-(r⃗),

où

E⃗_-(r⃗)

désigne l'amplitude du champ électrique sinusoïdal excitateur et

P⃗_-(r⃗)

l'amplitude de la réponse sinusoïdale en polarisation au point

r⃗

. On précise que l'indice optique

n

peut dépendre de la pulsation et peut être une grandeur complexe.
21. Exprimer

P⃗_-(r⃗, t)

en fonction de

N

d⃗_-_(at)(t)

, et en déduire l'expression de

n^2

.
22. Dans le modèle d'atome adopté initialement, montrer que dans le domaine des fréquences optiques (

ω

comprise entre

2.10^(15)

5.10^(15)

rad.s

^(- 1)

) l'indice dépend peu de la pulsation.

On considère une sphère diélectrique d'indice optique

n

et de rayon

a

dans le vide, placée en O . Cette sphère est éclairée par une onde électromagnétique monochromatique incidente, dont l'amplitude du champ électrique est

E⃗_-_0

. Le rayon

a

de la sphère diélectrique est tel que

a≪λ

, où

λ

désigne la longueur d'onde du champ excitateur

E⃗_-_0

, de sorte que l'on peut considérer le champ électromagnétique uniforme dans la sphère. On peut montrer, sous certaines conditions d'approximation respectées ici, que l'amplitude

E⃗_-

du champ électrique monochromatique effectivement ressenti par les atomes dans la sphère est différent de celle du champ excitateur

E_-_-_0

et obéit à la relation :

E⃗_- = E⃗_-_0 - (P⃗)/(3ε_0).

Quel est le moment dipolaire $d⃗_-_(at)$ de chaque atome de la sphère en fonction de $E⃗_-_0$ et $P⃗_-$ ? Donner alors l'expression de $P⃗_-$ en fonction de l'indice optique $n$ précédemment déterminé et de $E⃗_-_0$ .
En déduire le moment dipolaire $D⃗_-$ de la sphère en fonction de $n, a, ε_0$ et de $E⃗_-_0$ .

V Principe d'une pince optique

Le principe général d'une pince optique repose sur le piégeage d'un système de petite dimension en utilisant un faisceau laser. L'équilibre de ce système dans le faisceau laser est dépendant des différentes interactions du système avec le faisceau lumineux. Cette partie propose de modéliser les différentes actions exercées par la lumière sur le système de petite dimension (V.A) et d'analyser le comportement de ce dernier au sein d'un faisceau lumineux (V.B).

Figure 3 - Principe général d'une pince optique : piégeage d'une bille dans un faisceau lumineux. Les lignes courbes représentent l'extension spatiale du faisceau lumineux.

On considère donc la situation physique décrite par la Figure 3 où une nano-bille diélectrique est placée dans un faisceau laser, dont l'axe optique est

(Oz)

et de géométrie cylindrique. Cette bille est de rayon

a

petit devant la longueur d'onde

λ

du faisceau. Elle est placée en

r⃗_b

dans un liquide dont l'indice optique est

n_s

. Lorsque la bille est éclairée par le faisceau lumineux, elle est assimilable à un moment dipolaire

D⃗_b

(vecteur réel) proportionnel au champ électrique du faisceau,

E⃗(r⃗_b)

(vecteur réel) :

D⃗_b = AE⃗(r⃗_b)

Le comportement diélectrique de la bille dans le faisceau lumineux, c'est-à-dire l'expression du coefficient

A

(constante réelle), sera développé dans la partie V.B.

V.A Forces optiques subies par la bille

Afin de réaliser le piégeage d'une bille dans un faisceau lumineux laser il est nécessaire de modéliser les interactions lumière-matière entre la bille et le faisceau lumineux. La bille, décrite par un dipôle

D⃗_b

, est soumise à deux forces issues de l'interaction avec le faisceau lumineux : la force radiative de diffusion et la force de gradient, décrites dans les sous-parties suivantes. On négligera le poids de la bille, ainsi que la poussée d'Archimède exercée par le solvant sur la bille.

V.A.a Force radiative de diffusion

La puissance lumineuse moyenne émise (diffusée) par le dipôle est donnée par :

P = (4π^3)/3(cn_s)/(ε_0 λ^4)D_(b, 0)^2

où

λ

est la longueur d'onde dans le vide du faisceau lumineux, et

D_(b, 0)

est l'amplitude du moment dipolaire

D⃗_b

.
On rappelle que l'impulsion

p⃗_(ph)

portée par un photon est

ℏk⃗

où

k⃗

est le vecteur d'onde associé au mode électromagnétique décrit par le photon dans le milieu du solvant (

k = n_s ω/c

), et

ℏ = h/(2π)

la constante de Planck réduite. L'énergie d'un photon est

E_(ph) = ℏω

.
25. Sur une durée infinitésimale

dt

, déterminer l'énergie

dE

de la lumière diffusée par la bille. En déduire le nombre de photons

dN

qui ont été diffusés par la bille pendant cette durée.
26. La diffusion par un dipôle est à symétrie centrale (symétrie par rapport au centre du dipôle) : le nombre de photons diffusés dans une direction caractérisée par le vecteur d'onde

k⃗

est donc égal au nombre de photons diffusés dans la direction

- k⃗

. En conséquence, on admettra que l'impulsion globale de la lumière diffusée par la bille est nulle. En écrivant l'impulsion infinitésimale

dp⃗

transmise par les photons de l'onde incidente à la bille pendant

dt

, déduire l'expression de la force

F⃗_d

de diffusion exercée par les photons incidents sur la bille, notamment en fonction de

P

. Quelle est son action sur la bille? On précisera le sens de la force.

V.A.b Force de gradient

Pour modéliser l'influence de la deuxième force exercée par la lumière sur la bille, on va se ramener à une situation simplifiée. Dans un premier temps, on considère un dipôle formellement décrit par une charge positive

+ q

et une charge négative

- q

aux positions respectives

r⃗_+ = r⃗_0

r⃗_- = r⃗_0 - δ⃗

. Le moment dipolaire de la bille s'écrit alors

D⃗_b = q(r⃗_+ - r⃗_-) = qδ⃗

. Afin de simplifier l'étude, on considère que les charges positives ont une inertie beaucoup plus grande que les charges négatives, et on supposera qu'aux échelles de temps considérées

r⃗_0

ne dépend pas du temps (charges positives fixes) et seul

δ⃗

dépend du temps (charges négatives mobiles).
Le déplacement

δ⃗

étant peu important, on pourra utiliser le développement limité au premier ordre en

‖δ⃗‖

des champs suivants :

E⃗(r⃗_-, t) = E⃗(r⃗_0, t) - (δ⃗ \cdot grad^(\to-))E⃗(r⃗_0, t).

Le même développement s'applique au champ magnétique

B⃗(r⃗_-, t)

.
27. Écrire la force de Lorentz instantanée

F⃗_(Lor)

exercée sur l'ensemble des deux charges, et en déduire, à l'aide du développement limité au premier ordre en

‖δ⃗‖

ci-dessus, que la force totale exercée par l'onde électromagnétique incidente sur le dipôle

D⃗_b

représentant la bille se met sous la forme suivante :

F⃗_(Lor) = (D⃗_b \cdot grad^(\to-))E⃗ + (dD⃗_b)/(dt) \land B⃗

En utilisant l'expression (21) et l'identité vectorielle $grad^(\to-)(E⃗^2) = 2(E⃗ \cdot grad^(\to-))E⃗ + 2E⃗ \land (rot^(\to-)E⃗)$ , exprimer la force $F⃗_(Lor)$ comme une combinaison linéaire, dont on précisera les coefficients, des termes $grad^(\to-)(E⃗^2)$ et $\partial(E⃗ \land B⃗)/\partialt$ .
Du fait de son inertie et de la fréquence élevée du champ électromagnétique décrivant l'onde incidente sur la bille, cette dernière ne réagit qu'à la moyenne temporelle de la force de LoRENTZ instantanée $⟨F⃗_(Lor)⟩_T = 1/T\int_0^T F⃗_(Lor)(t)dt$ , où $T = 2π/ω$ est la période d'oscillation du champ électromagnétique. Montrer que $⟨\partial(E⃗ \land B⃗)/\partialt⟩_T = 0\to$ et donner l'expression de la force de gradient $F⃗_g$ , définie comme $F⃗_g = ⟨F⃗_(Lor)⟩_T$ , en fonction de $A$ et du gradient de $⟨E⃗^2⟩_T$ .

V.B Piégeage d'une bille diélectrique

La bille, considérée jusqu'à présent, est une sphère diélectrique de rayon

a

et d'indice optique

n

. Le moment dipolaire de la bille en présence d'un faisceau lumineux obéit à la relation (21). On peut montrer que le coefficient de proportionnalité de l'équation (21) entre le moment dipolaire de la bille

D⃗_b

et le champ électrique caractérisant le faisceau lumineux est :

A = 4πε_0 n_s^2 a^3(m^2 - 1)/(m^2 + 2)

où

m = n/n_s

est le rapport de l'indice optique de la bille

n

sur l'indice optique

n_s

du solvant. L'intensité du faisceau lumineux incident sur la bille, au sein du solvant, est par définition :

I = n_s ε_0 c⟨E⃗^2⟩_T

À partir de l'étude des forces de diffusion et de gradient menée dans les paragraphes (V.A.a) et (V.A.b), donner les expressions des forces $F⃗_d$ et $F⃗_g$ sur la bille au sein du solvant, en fonction de $m, n_s$ et $I$ en particulier. Dans le cas de la force de diffusion, on pourra se servir du fait que $⟨E⃗^2⟩_T = E_0^2/2$ où $E_0$ est l'amplitude du champ électrique $E⃗(t)$ .

On considère que l'intensité du faisceau gaussien utilisé, à géométrie cylindrique, centré en

x = 0

y = 0

, peut s'écrire sous la forme :

I(x, y, z) = I_0(z_R^4)/((z_R^2 + z^2)^2)exp((- 2(x^2 + y^2))/(W_0^2))

Préciser les conditions permettant de piéger la bille de façon stable au centre du faisceau.

Dans une région du faisceau définie par les conditions suivantes :

|x|, |y|≪W_0

|z|≪z_R

, il est possible d'écrire, en première approximation, les dérivées partielles de l'intensité sous la forme suivante :

(\partialI)/(\partialx)(x, y, z) = (- 4I_0)/(W_0^2)x; (\partialI)/(\partialy)(x, y, z) = (- 4I_0)/(W_0^2)y; (\partialI)/(\partialz)(x, y, z) = (- 4I_0)/(W_0^2)(λ^2)/(π^2 W_0^2)z

Compte tenu des résultats de la question $30$ , et sans effectuer de calcul, conclure sur la possibilité de piéger une telle bille. Justifier la nécessité de focaliser le faisceau pour piéger la bille.

En utilisant un objectif de microscope approprié, considéré comme une lentille mince convergente de très courte distance focale, il est possible de focaliser très fortement un faisceau laser, de manière à créer un gradient d'intensité élevé. On montre dans ce cas que l'extension latérale

W_0

du faisceau lumineux est de l'ordre de

λ/π

.
33. Quelle est dans ce cas la distance de Rayleigh

z_R

(autour du point focal) ? En déduire l'échelle de longueur sur laquelle l'intensité est significative le long de l'axe (

Oz

) de propagation du faisceau laser et justifier que les forces de gradient sont du même ordre de grandeur sur les trois axes

(Ox), (Oy)

(Oz)

.
34. On éclaire, dans ces conditions, une bille de silice de rayon

a = 100 nm

, d'indice optique

n = 1, 37

, dans de l'eau d'indice optique

n_s = 1, 33

(On a alors

(m^2 - 1)/(m^2 + 2) \approx 0, 02

), avec un laser de longueur d'onde

λ = 600 nm

, et dont la puissance délivrée est de 40 mW . Calculer l'intensité

I_0

dans le plan focal image de la lentille en

W.cm^(- 2)

. Pour un écart à la position

x = 0, y = 0, z = 0

de l'ordre de 50 nm , on obtient une valeur de la force de gradient de l'ordre de 1 pN . L'ordre de grandeur de la force de diffusion est

0, 2pN

. Conclure sur la possibilité de piéger la bille.
35. Justifier que l'on puisse considérer la force de gradient comme une force élastique et évaluer la constante de raideur associée.
36. A partir des valeurs des forces données dans la question 34, donner un ordre de grandeur des forces de gradient et de diffusion pour des billes de silice de rayon

a = 200 nm

. Donner également un ordre de grandeur des forces de gradient et de diffusion pour des billes en polystyrène de rayon

a = 100 nm

, dont l'indice optique est

n = 1, 63

(on donne alors

(m^2 - 1)/(m^2 + 2) \approx 0, 14

). Comment choisir la longueur d'onde du laser pour mieux piéger une particule?
37. On revient à une particule de silice de rayon

a = 100 nm

piégée dans la pince optique. Le long de l'axe (

Ox

), la position de la bille est en moyenne nulle :

⟨x_b⟩ = 0

. En utilisant le théorème d'équipartition de l'énergie, déterminer quel est l'ordre de grandeur de l'écart-type

σ_x

à température ambiante (

T = 300 K

). On rappelle que

σ_x^2 = ⟨x^2⟩ - ⟨x⟩^2

. Comparer à la taille de la bille et à la distance caractéristique de la zone de confinement du faisceau. Le piège est-il satisfaisant?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2020 ?

Le sujet sur les pinces optiques mobilise la propagation des ondes électromagnétiques et la décomposition en ondes planes, la diffraction, le faisceau gaussien, le modèle de l'électron élastiquement lié et les forces exercées sur un dipôle.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique X-ENS MP 2020 ?

Le rapport indique 1574 copies, une moyenne de 10,25 sur 20 et un écart-type de 3,51.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique X MP 2020 ?

Le jury cite de nombreuses erreurs de calcul, dont une équation du mouvement inhomogène pour l'électron, un sinus cardinal mal tracé, des confusions entre optique géométrique et diffraction et une étude de stabilité réduite à la valeur de la force à l'équilibre.

Peut-on reprendre le sujet de physique X-ENS MP 2020 en cours de route ?

Oui, selon le rapport, beaucoup de candidats qui n'avaient pas terminé les parties I à III ont repris le problème à la question 15.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MERCREDI 22 AVRIL 2020-08h00-12h00 FILIÈRE MP - Épreuve n^∘5

PHYSIQUE (XULCR)

Abstract

Notations, formulaire et données numériques.

Faisceaux gaussiens et pinces optiques

I Propagation et décomposition en ondes planes d'un champ électrique

II Étude de la limitation transversale d'un faisceau lumineux

III Source laser et faisceau gaussien

IV Moment dipolaire d'un atome et d'une assemblée d'atomes

IV.A Modèle d'atome : l'électron élastiquement lié

IV.B Établissement du moment dipolaire de l'atome

IV.C Moment dipolaire d'une sphère diélectrique et indice optique

V Principe d'une pince optique

V.A Forces optiques subies par la bille

V.A.a Force radiative de diffusion

V.A.b Force de gradient

V.B Piégeage d'une bille diélectrique

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de physique X-ENS MP 2020 ?

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique X-ENS MP 2020 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique X MP 2020 ?

Peut-on reprendre le sujet de physique X-ENS MP 2020 en cours de route ?

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MERCREDI 22 AVRIL 2020-08h00-12h00 FILIÈRE MP - Épreuve $n^\circ5$

PHYSIQUE
(XULCR)