Au temps des Mayas : couleur de la Lune éclipsée et écho de la pyramide de Chichén Itzá
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Le sujet comporte deux parties indépendantes. La première explique la visibilité et la couleur de la Lune lors d'une éclipse totale à l'aide de la diffraction, du modèle de l'atmosphère isotherme, de la propagation et de l'atténuation d'une onde électromagnétique, puis de la réfraction atmosphérique. La seconde analyse le sonogramme du cri d'un quetzal et l'écho d'un claquement de mains réfléchi par les marches d'une pyramide maya, interprété par le déphasage entre ondes réfléchies.
1Partie I : couleur de la Lune totalement éclipséeSources de lumière et diffraction, atmosphère isotherme, onde plane et vecteur de Poynting, atténuation du rayonnement, réfraction et spectre reçu par la Lune (Q1 à Q15).
2Partie II : écho de la grande pyramide de Chichén ItzáSpectre de signaux périodiques, critère de Shannon et sonogramme, diffraction du son par les marches et condition d'interférences constructives (Q16 à Q29).
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Ordre de grandeur de la hauteur d'échelle · Validité du modèle isotherme mal jugée · Notation complexe et unités en électromagnétisme
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Le jury salue le niveau globalement très correct des copies, dans l'ensemble agréables à lire. L'électromagnétisme (Q5, Q6) est souvent très bien traité, alors que les estimations numériques, les justifications et certaines questions graphiques posent davantage de difficultés. Les remarques générales du rapport de physique insistent sur le soin, l'orthographe et les unités.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Ordre de grandeur de la hauteur d'échelleQ3
L'estimation de la hauteur caractéristique de l'atmosphère isotherme est souvent fausse d'un facteur mille.
« a régulièrement été erronée d'un facteur mille »
2
Validité du modèle isotherme mal jugéeQ4
Après un calcul correct des masses volumiques, beaucoup rejettent le modèle au seul motif d'un écart de température entre 20 °C et −20 °C.
« concluent que le modèle de l'atmosphère isotherme est irréaliste »
3
Notation complexe et unités en électromagnétismeQ5, Q6
La notation complexe ne permet pas de calculer le vecteur de Poynting, et la mention « USI » n'est pas acceptée comme unité.
« Les unités du champ électrique sont incorrectes dans la moitié des copies. »
4
Expressions non homogènes et erreurs de signeQ7, Q9, Q11
Une combinaison non homogène est souvent proposée à la Q7 ; en Q9 et Q11, signes et facteurs 1/Hc oubliés rendent les résultats incohérents.
« sur le signe lors de la dérivation de l'exponentielle »
5
Couleur de la Lune éclipséeQ15
La moitié des copies conclut à une Lune bleue, en contradiction avec l'analyse du spectre reçu.
« Une moitié des copies indique que la Lune totalement occultée est bleue. »
6
Critère de Shannon et condition sur τdQ17 à Q19
Des valeurs fausses de fréquence d'échantillonnage sont fréquentes, et la condition sur τd doit comparer des ordres de grandeur au lieu d'affirmer que τd est « très grand ».
« par mauvaise connaissance de la formule de Shannon »
Ce qui a été bien réussi
La direction de polarisation est attribuée au bon champ et rarement confondue avec la direction de propagation (Q5).
La Q6 sur le vecteur de Poynting est souvent très bien traitée.
La fréquence du fondamental (Q16) et la durée Ta (Q17) sont presque toujours bien estimées.
La condition d'interférences constructives (Q24) est bien énoncée par une majorité de candidats.
Conseils du jury
Noter les vecteurs avec une flèche dans la copie, même si l'énoncé les écrit en gras.
Donner toute application numérique avec son unité et légender les axes des courbes.
Accompagner un raisonnement géométrique d'un schéma correct des angles : le jury l'a valorisé à la Q14.
Lire précisément la question posée et justifier chaque résultat par une phrase complète.
Soigner l'écriture, l'encre et l'orthographe, et numéroter les copies de façon cohérente.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
29 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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29 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet comporte deux parties indépendantes. La première explique la visibilité et la couleur de la Lune lors d'une éclipse totale à l'aide de la diffraction, du modèle de l'atmosphère isotherme, de la propagation et de l'atténuation d'une onde électromagnétique, puis de la réfraction atmosphérique. La seconde analyse le sonogramme du cri d'un quetzal et l'écho d'un claquement de mains réfléchi par les marches d'une pyramide maya, interprété par le déphasage entre ondes réfléchies.
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - MP
L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte et 1 document réponse.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Au temps des Mayas
Les phénomènes naturels terrestres ou célestes ont nourri, au fil des âges, les cultures des civilisations anciennes et contribué à forger leur vision du monde. Les exemples astronomiques sont nombreux. Il n'est pas rare de trouver, par exemple, des bâtiments orientés selon les directions astronomiques des levers et couchers du Soleil ou de Vénus, astres qui furent souvent associés à des divinités importantes. Dans ce problème, on se propose d'étudier quelques phénomènes physiques auxquels les Mayas, civilisation précolombienne d'Amérique centrale, ont été confrontés ou pour lesquels ils ont manifesté de l'intérêt :
i) La couleur de la Lune totalement éclipsée,
ii) L'écho de la grande pyramide de Chichén Itzá.
Notations et valeurs numériques:
Notations : les notations adoptées sont les notations internationales (norme ISO 80000-2).
Vecteurs : conformément aux notations internationales, les vecteurs sont représentés en caractères gras. Par exemple, le champ vectoriel de pesanteur terrestre, supposé uniforme, est noté g. Les vecteurs de base, unitaires, sont désignés par un e.
Valeurs numériques : lorsqu'une valeur numérique non nulle est demandée, l'écart relatif de la réponse par rapport à la valeur exacte ne doit pas excéder 20%.
Données astronomiques : les données numériques astronomiques sont regroupées à la fin de l'énoncé. Les deux parties du problème sont indépendantes.
I. - Couleur de la Lune totalement éclipsée
Lorsqu'une éclipse de Lune se produit, cet astre, majeur pour les Mayas, change d'aspect durant plusieurs heures. Dans une société où le mécanisme précis d'une éclipse est méconnu, l'interprétation et la signification du phénomène se réfère souvent, sinon toujours, à une origine mythologique ou religieuse. C'est en particulier le cas de la couleur évocatrice prise par la Lune lorsqu'elle se trouve totalement immergée dans l'ombre de la Terre, couleur dont l'analyse fait l'objet de cette dernière partie.
Figure 1 - Chronologie d'une éclipse de Lune : a) Phénomène général ; b) Vision depuis la Terre de l'évolution dans une section droite du cône d'ombre terrestre au niveau de l'orbite lunaire. Les disques blancs contenant un chiffre représentent le disque lunaire dans l'étape repérée par ce chiffre
Une éclipse se produit lorsque la Lune entre dans le cône d'ombre de la Terre (Fig. 1a). On note N le point situé sur l'axe ST de symétrie de révolution du cône d'ombre terrestre ( S centre du Soleil et T centre de la Terre) à la distance r_L = TL de T ( L centre de la Lune) à l'opposé du Soleil (Fig. 1a) . Dans un plan frontal 𝒫_e orthogonal à ST, et placé en N, l'éclipse suit la chronologie indiquée sur la figure 1b. On note respectivement R_S, R_T et R_L les rayons solaire, terrestre et lunaire.
Des considérations de géométrie élémentaire montrent que dans le plan 𝒫_e, la Lune tient plus de deux fois dans le cône d'ombre de la Terre. Pourtant, durant la totalité (entre le premier contact intérieur et le dernier contact intérieur), c'est-à-dire lorsque la Lune est entièrement plongée dans l'ombre de la Terre, elle est nettement visible dans le ciel!
I.A. - Sources de lumière éclairant la Lune
La photographie reproduite sur la figure 2 a été prise, depuis Toulouse, lors de l'éclipse totale de Lune du 28 septembre 2015. La direction du zénith (sens de la verticale ascendante) est indiquée sur la figure.
1 - Situer la photographie de la figure 2 dans la chronologie de la figure 1b.
On suppose désormais que la Lune est totalement immergée dans l'ombre de la Terre (éclipse totale) et que son centre L occupe le point N de son orbite.
Eclipse de Lune du 28 septembre 2015
Figure 2 - Éclipse de Lune Figure 2-E
d'atmosphère.
Imaginons, pour commencer l'analyse, que la Terre soit dépourvue d'atmosphère. ◻2 - Proposer un ordre de grandeur de l'angle θ_d caractéristique de la diffraction de la lumière solaire par la Terre, en admettant que cet angle est identique au phénomène de diffraction produit par une ouverture de même taille caractéristique que le diamètre de la Terre, éclairé par une onde plane de direction ST. En déduire la taille caractéristique a_d de la figure de diffraction dans le plan d'observation 𝒫_e. La diffraction peut-elle éclairer le disque lunaire durant la phase de totalité? Citer, dans le contexte de l'hypothèse envisagée, d'autres sources possibles d'éclairage du disque lunaire.
On tiendra désormais compte de la présence de l'atmosphère terrestre, toutes les autres sources de lumière envisageables étant insuffisantes pour expliquer l'éclairement de la Lune durant la phase de totalité.
I.B. - Modèle d'atmosphère isotherme
On suppose que l'atmosphère terrestre est en équilibre mécanique à une température T ≈ 20^∘C uniforme et stationnaire. On cherche le profil altimétrique de masse volumique : c'est-à-dire l'expression de la masse volumique ρ_a en fonction de l'altitude Z mesurée depuis un point G de la surface terrestre (Fig. 3). Le vecteur unitaire e_Z sera dirigé dans le sens de la verticale ascendante, et on note g ≈ 9, 80 m ⋅ s^(− 2), l'intensité du champ de pesanteur terrestre. L'air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_a ≈ 29 g ⋅ mol^(− 1). On note R ≈ 8, 31 J ⋅ mol^(− 1) ⋅ K^(− 1) la constante des gaz parfaits.
Sol Terrestre
Figure 3 - Un point dans l'atmosphère terrestre. ◻3 - Déterminer le profil altimétrique de masse volumique ρ_a(Z) en fonction de ρ_a(0) et d'une hauteur caractéristique H_c que l'on exprimera et dont on calculera la valeur numérique.
4 - Évaluer numériquement la masse volumique de l'air au niveau de la mer (pression d'environ 1 bar) puis en déduire celle de l'air au sommet du mont Everest ( 8848 m d'altitude) : on indique que exp(− 1) ≈ 1/3. Les valeurs moyennes annuelles de pression et de température au sommet de l'Everest sont respectivement 321 hPa et − 23^∘C. Le modèle isotherme est-il réaliste?
I.C. - Onde électromagnétique incidente
Une onde électromagnétique plane, progressive et monochromatique, se propage dans le vide illimité le long et dans le sens d'un axe ( O, e_x ), l'espace étant rapporté à un repère orthonormé ( O, e_x, e_y, e_z ) dans lequel on note x, y et z les coordonnées spatiales d'un point de l'espace et t, le temps.
Le champ électrique de l'onde est polarisé rectilignement selon e_y. On note μ_0 ≈ 10^(− 6)H ⋅ m^(− 1) la perméabilité magnétique du vide, c la constante d'Einstein (célérité dans le vide des ondes électromagnétiques), E_m > 0 l'amplitude du champ électrique, B_m > 0 celle du champ magnétique, ω la pulsation de l'onde, E(x, t) la composante du champ électrique et B(x, t), celle du champ magnétique. La phase du champ électrique, à l'origine spatio-temporelle, est nulle. ◻5 - Donner les expressions réelles des champs de vecteur électrique E et magnétique B puis exprimer B_m en fonction notamment de E_m. Représenter sur un même graphique, à une date t donnée, l'évolution spatiale du champ électrique ainsi que celle du champ magnétique. ◻6 - Exprimer le vecteur de Poynting R(x, t) en fonction notamment de E_m. Calculer l'ordre de grandeur de E_m pour une onde électromagnétique véhiculant une intensité I_0 = 1 kW ⋅ m^(− 2).
I.D. - Transfert du rayonnement solaire à travers l'atmosphère terrestre
L'onde électromagnétique précédente se propage désormais dans l'atmosphère terrestre et rencontre sur son trajet, des molécules du gaz atmosphérique, mais aussi, dans la stratosphère (entre 15 et 20 km d'altitude), de fines poussières en suspension (aérosols).
Le gaz atmosphérique a pour effet de diffuser sélectivement l'onde incidente (dépendance fréquentielle), réduisant ainsi la puissance transportée par l'onde. On modélise la diffusion atmosphérique en supposant que chaque molécule rencontrée diffuse, en moyenne temporelle, la puissance 𝒫_a donnée par :
𝒫_a = k_a(ω/(ω_0))^4 I
où k_a et ω_0 sont des constantes qui caractérisent la composition chimique du gaz atmosphérique et I l'intensité de l'onde électromagnétique. On note η_a(x) le nombre de molécules par unité de volume du gaz atmosphérique, x désignant toujours l'abscisse mesurée le long de la direction de propagation.
Les poussières ont pour effet d'absorber non sélectivement (indépendance fréquentielle) l'onde incidente, réduisant aussi la puissance transportée. On modélise l'effet des poussières sur le rayonnement en supposant que chaque poussière rencontrée absorbe, en moyenne temporelle, la puissance 𝒫_p donnée par :
𝒫_p = k_p I
où k_p est une constante qui caractérise la composition chimique des poussières. On note η_p(x) le nombre de poussières par unité de volume. ◻7 - Exprimer η_a(x) en fonction notamment de la masse volumique du gaz atmosphérique ρ_a(x) au point d'abscisse x.
8 - Effectuer un bilan unidimensionnel de puissance électromagnétique moyenne pour une tranche d'air limitée par les plans d'abscisse x et x + dx; en déduire la relation liant l'intensité I(x + dx) de l'onde en x + dx en fonction notamment de l'intensité I(x) en x : il faudra prendre en compte les deux phénomènes, de diffusion et d'absorption.
9 - Montrer qu'il est possible d'écrire I(x) sous la forme suivante :
I(x) = I(0)exp[ − d_o(x)]
où d_o(x) est un facteur, appelé ≪ densité optique ≫, que l'on exprimera en fonction des quantités intégrales :
∫_0^x η_a(ξ)dξ et ∫_0^x η_p(ξ)dξ
Figure 4 - Déviation d'un rayon lumineux par l'atmosphère terrestre.
I.E. - Réfraction atmosphérique
Lorsqu'un rayon lumineux solaire traverse l'atmosphère terrestre, il subit une réfraction (Fig. 4). On note M un point quelconque sur la trajectoire du rayon, et Z, son altitude. On note M_0 le point de la trajectoire le plus proche du sol, et Z_0 son altitude. On pose :
r = TM = R_T + Z et r_0 = TM_0 = R_T + Z_0
Pour une longueur d'onde donnée, l'indice de l'air n(Z) dépend de l'altitude, selon la loi de variation suivante :
n(Z) = 1 + ε_λ(ρ_a(Z))/(ρ_a(0)) où ε_λ = a + ((λ_r)/λ)^2, a = 2, 8 × 10^(− 4) et λ_r = 0, 42 nm, on note n_0 = n(Z_0).
L'angle θ_d, de déviation totale du rayon après traversée de l'atmosphère (Fig. 4), est donné par :
10- Pourquoi l'atmosphère terrestre réfracte-t-elle les rayons lumineux qui la traversent? ◻11 - En tenant compte des ordres de grandeur du problème, précisément Z≪R_T et Z_0≪R_T, exprimer √((r^2)/(r_0^2) − 1) en fonction de u = Z − Z_0. Exprimer dn en fonction de dρ_a puis dρ_a en fonction de H_c, ρ_a(Z_0), u et du.
On donne la valeur de l'intégrale suivante, qui se ramène aisément à l'intégrale de Gauss :
∫_0^∞(e^(− v))/(√v) dv = √π
12 - Déduire des expressions obtenues à la question précédente que l'angle de déviation totale, d'un rayon monochromatique passant en M_0, s'écrit :
θ_d(Z_0, λ) ≈ Θ(Z_0)ε_λ
où Θ(Z_0) est une fonction de Z_0 que l'on exprimera en fonction de R_T et H_c et Z_0. Pour quelle valeur particulière de Z_0, notée Z_m, la déviation d'un rayon lumineux est-elle maximale?
13- Exprimer l'écart de déviation δθ_d correspondant à deux rayons incidents passant au même point M_0 (et donc caractérisés par le même Z_0 ) mais possédant des longueurs d'ondes qui diffèrent de δλ.
La minute d'arc ( 1^′ ), soit le soixantième de degré, vaut environ : 1^′ ≈ 3 × 10^(− 4)rad.
En adoptant la valeur numérique réaliste H_c ≈ 7, 3 km du profil atmosphérique de masse volumique, et pour la longueur d'onde λ_m = 504 nm du maximum d'émission spectrale solaire : θ_d(Z_m, λ_m) ≈ 70^′. Avec les valeurs δλ ≈ 350 nm, Z_0 = Z_m et λ = λ_m, sur l'étendue du domaine visible, l'application numérique donne |δθ_d| ≈ 0, 25^′. La dépendance chromatique de la déviation étant négligeable devant l'angle de déviation, on supposera que les rayons sont identiquement déviés, indépendamment de leur longueur d'onde, avec un angle pouvant varier entre 0^′ et θ_(d, M) = 70^′.
14 - L'angle sous lequel le rayon terrestre est vu depuis N est d'environ θ_T ≈ 57^′ tandis que celui sous lequel le rayon solaire est vu depuis la Terre vaut environ θ_S ≈ 16^′. L'atmosphère terrestre est-elle capable de dévier la lumière solaire pour éclairer le point N ? On justifiera quantitativement la réponse en s'appuyant sur un schéma.
I.F. - Prévision du spectre de la lumière reçue par la Lune
Le spectre de la lumière solaire hors de l'atmosphère terrestre est donné sur la partie gauche de la figure 5 (spectre de référence E-490-00). Le calcul numérique basé sur le modèle qui vient d'être développé permet de tracer, sur la partie droite de la figure 5 , l'atténuation exp(− d_o) en N en fonction de la longueur d'onde λ de l'onde incidente.
Figure 5 - A gauche : Spectre solaire hors de l'atmosphère terrestre. À droite : facteur d'atténuation spectrale exp(− d_o)
15 - À l'aide des deux schémas de la figure 5 , déterminer quelques points du spectre de la lumière reçue par la Lune en N permettant de représenter la courbe correspondante sur la feuille réponse. Conclure sur la couleur de la Lune totalement occultée.
FIN DE LA PARTIE I
II. - Écho de la grande pyramide de Chichén Itzá
Sur le site archéologique de Chichén Itzá, situé dans le Yucatán à 200 km à l'ouest de Cancún, se trouve le temple Maya Cuculcán, en forme de pyramide à base carrée (Fig. 6). Sur chaque face de la pyramide, se trouve un grand escalier central comportant 91 marches qui culmine à H = 24 m au-dessus du sol (Fig. 7).
Ce monument, érigé autour du X^e siècle de notre ère, est classé au patrimoine mondial de l'UNESCO. Une de ses particularités a fait l'objet d'études archéoacoustiques : un clap produit en frappant dans ses mains face à l'escalier retourne un écho qui imite, de manière stupéfiante, le chant de l'oiseau sacré endémique quetzal (pharomachrus mocinno).
La question se pose alors de savoir si ce monument a été érigé en respectant les contraintes acoustiques de reproduction du gazouillement de l'oiseau, ou bien s'il s'agit d'une simple coïncidence.
Figure 6 - Vue d'une arête de la grande pyramide Maya de Chichén Itzá (Cuculcán).
Figure 7 - Vue d'une face de la grande pyramide Maya de Chichén Itzá (Cuculcán). Au centre de la photographie, se trouve le grand escalier.
Si la question reste ouverte, l'analyse physique apporte à l'archéologie quelques éléments notamment en permettant de comprendre l'origine de ce phénomène. Cette partie s'appuie sur les fondamentaux des phénomènes ondulatoires. Aucune connaissance spécifique d'acoustique n'est requise.
II.A. - Sonogramme
On enregistre, à l'aide d'un microphone, le son d'une note de musique tenue produite en sifflant avec la bouche.
On note s_a(t) le signal obtenu. Le spectre d'amplitude du signal en sortie du microphone est donné sur la figure 8, l'échelle verticale étant graduée en décibels. L'amplitude du pic 1 vaut a_1 = 100mV. ◻16 - Déterminer la fréquence f_1 du fondamental (pic 1) de cette note ainsi que l'amplitude a_2 du pic 2 . On donne 10^(0, 5) ≈ 3, 16.
Figure 8 - Spectre d'amplitude d'un son sifflé tenu.
Les pics 1 et 2 sont assimilés à des composantes harmoniques et on néglige tout autre contenu spectral. On note T_a la durée totale de l'enregistrement et f_e la fréquence d'échantillonnage. La méthode d'analyse spectrale employée génère un spectre dont la résolution spectrale, notée δf, est l'inverse de la durée d'acquisition du signal. ◻17 - Calculer numériquement la plus petite valeur de f_e respectant la condition de NyquistShannon, et la durée d'acquisition T_a donnant une résolution spectrale de 100 Hz .
Un sonogramme est une représentation graphique permettant de visualiser l'évolution des composantes harmoniques d'un son au cours du temps. Dans sa version simplifiée, c'est un diagramme à deux dimensions ayant en abscisse le temps et en ordonnée les fréquences. À un instant t donné, une composante harmonique de fréquence f est représentée par un point de coordonnées (t, f).
Le sonogramme simplifié de s_a(t) est représenté sur la figure 9a. Dans un sonogramme complet, on ajoute l'information sur l'amplitude des composantes harmoniques en grisant les points du diagramme à l'aide d'une échelle allant du blanc pour les faibles amplitudes ( < − 50 dB ), au noir pour les fortes (> 0 dB). Le sonogramme complet de s_a(t) est donné sur la figure 9 b .
Pour construire un sonogramme, on calcule les spectres successifs du signal entre les dates nT_a et (n + 1)T_a, n étant un entier positif ou nul et T_a, la durée des intervalles temporels d'acquisition.
18 - On note τ la durée totale de l'enregistrement sonore. La résolution spectrale δf du sonogramme dépend-elle de T_a ou de τ ? Combien de pixels (rectangles élémentaires composant le sonogramme) comporte un sonogramme de fréquence maximale f_M et de durée τ ? Effectuer l'application numérique lorsque f_M = 3, 5kHz et τ = 500 ms.
On produit un nouveau son sifflé, s_b(t), mais cette fois, de hauteur décroissante (donc vers les sons graves). Ce son possède encore deux composantes harmoniques, mais la fréquence f_1^′ du fondamental décroît au cours du temps de manière affine : f_1^′(t) = f_1 × (1 − t/τ_d), τ_d > 0 étant une constante temporelle.
19 - Quelle condition doit vérifier τ_d afin que l'on puisse suivre l'évolution temporelle de la fréquence du fondamental sur le sonogramme? Construire le sonogramme simplifié de s_b(t) dans l'intervalle temporel [0; 0, 5τ_d]. On prendra soin de mentionner sur le graphique toutes les informations connues.
Figure 10 - Sonogramme du quetzal
Le chant d'un oiseau est plus riche en harmoniques que le sifflement précédent.
Le sonogramme d'un quetzal jeune est représenté sur la figure 10 extraite de Lubman, D., J. Acoust. Soc. Am. 112 (5), 2008. ◻20 - Déterminer la durée approximative τ_q du chant du quetzal puis mesurer, à la date t = 140 ms, la fréquence f_(q, 1) du fondamental du chant ainsi que celles f_(q, i)(i entier ) des autres harmoniques visibles sur le sonogramme.
II.B. - Diffraction du son par une marche de l'escalier
Lorsque l'on frappe dans ses mains en face de l'escalier, depuis une position S que l'on supposera voisine du sol (Fig. 11), le clap produit se propage dans l'air en direction des marches. Ces dernières sont modélisées par des obstacles de petite dimension, qu'on localise arbitrairement en S_n (les arêtes des marches), n allant de 0 à N = 91. On note a = 20 m la distance entre S et le bas S_0 des marches de la pyramide. La hauteur b = 26, 3 cm des marches est égale à leur profondeur de sorte que les arêtes S_n soient contenues dans un plan formant un angle de 45^∘ par rapport au plan horizontal.
Figure 11 - Les marches de la pyramide
L'hypothèse testée est que l'écho entendu par l'auteur du clap, ressemblant à s'y méprendre au chant du quetzal, résulte de la diffraction du son sur les marches de l'escalier.
Le clap émis en S, à un instant pris comme origine temporelle, est un signal bref, noté s(t) au point d'émission S. La distance entre S et l'arête de la n-ième marche est appelée d_n = SS_n. Pour modéliser la propagation du son, on note Ψ(M, t) la fonction qui décrit l'onde sonore en un point M de l'espace à l'instant t : par exemple ici Ψ(S, t) = s(t). On note c_s ≈ 340 m ⋅ s^(− 1) la célérité du son dans l'air. On assimilera la propagation de l'onde le long de l'axe SS_n à une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive; ainsi, on ignore toute variation d'amplitude au cours de la propagation. Lorsque l'onde atteint une arête S_n, elle est ≪ renvoyée ≫ dans toutes les directions (par diffraction), et en particulier, dans la direction S_n S. On suppose qu'après diffraction, la fonction décrivant l'onde retour, notée Ψ^′(M, t), dont la propagation est encore supposée unidimensionnelle (modélisation identique à celle de l'onde incidente), s'écrit en S_n : Ψ^′(S_n, t) = κΨ(S_n, t) où κ est un facteur (nombre sans dimension) indépendant de n. ◻21 - Exprimer Ψ(S_n, t) puis Ψ^′(S, t) en fonction notamment de la fonction s.
Le spectre du clap s(t) dans le domaine audible est continu : toutes les fréquences y sont présentes. On supposera par ailleurs qu'elles ont toutes la même amplitude. On considère une composante harmonique s_ω(t) du clap, de pulsation ω, dont on suppose la phase φ(t) nulle à l'origine temporelle soit s_ω(t) = s_m cos[φ(t)]. On prendra φ(t) = ωt et on considère que s_m ne varie pas dans le temps.
22 - Exprimer la phase φ_n^′(t) à l'instant t de la composante harmonique de pulsation ω de l'onde retour en S diffractée en S_n, en fonction notamment de d_n.
II.C. - Superposition constructive en S
Le clap étant bref, on suppose seules deux marches consécutives diffractent le son incident. On note la différence de phase en S entre les deux ondes retour diffractées Δφ_n^′ = φ_n^′(t) − φ_(n + 1)^′(t). ◻23 - Exprimer Δφ_n^′ en fonction notamment des distances d_n et d_(n + 1).
On fait l'hypothèse que les seules fréquences audibles sont celles pour lesquelles les ondes diffractées se superposent constructivement.
24 - Déduire de cette hypothèse l'ensemble des fréquences {ν_m, m ∈ ℕ} entendues lors du retour du son diffracté par les marches S_n et S_(n + 1), en fonction notamment des distances d_n et d_(n + 1). ◻25 - Exprimer d_n en fonction de a, b et n. Calculer l'expression exacte de d_(n + 1)^2 − d_n^2. On admet que la condition de l'expérience a≫b permet d'écrire d_n + d_(n + 1) ≃ 2d_n : en déduire l'expression approchée suivante ν_1 ≃ (c_s)/(2ab)g(n)d_n où g(n) est une fonction que l'on explicitera.
La figure 12 donne la représentation graphique de g(n)d_n en fonction de d_n pour les 91 valeurs de n. Elle permet d'éviter des calculs fastidieux à la main... ◻26 - En exploitant la figure 12 déterminer la distance d_N entre le sommet de l'escalier et S. On fixe l'origine temporelle à l'instant du clap. Calculer numériquement la date t_1 d'arrivée du début de l'écho en S, puis celle t_N de fin de l'écho. Combien de temps l'écho dure-t-il? ◻27 - Calculer numériquement les fréquences ν_1(t_1) et ν_1(t_N).
28 - Sur la feuille réponse, tracer l'allure du sono-
Figure 12 − g(n)d_n en fonction de d_n
29 - Comparer le sonogramme construit à la question précédente, au sonogramme du quetzal (Fig. 10). L'écart fréquentiel est-il négligeable? L'écart se réduirait-il si l'enregistrement du quetzal était celui d'un oiseau adulte?
FIN DE LA PARTIE II
Données astronomiques
Constante d'Einstein : c ≈ 3 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Distance Terre-Lune (centre à centre) : r_L = TL ≈ 3, 84 × 10^8 m
Rayon du Soleil : R_S ≈ 6, 96 × 10^8 m
Rayon de la Terre : R_T ≈ 6, 37 × 10^6 m
Rayon de la Lune : R_L ≈ 1, 74 × 10^6 m
FIN DE L'ÉPREUVE
◻
Signature
Concours commun
Mines－Ponts
Prénom（s）
Feuille réponse－Physique MP－épreuve 1
Les feuilles dont l＇entête d＇identification n＇est pas entièrement renseigné ne seront pas prises en compte pour la correction．
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Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines physique 1 MP 2020 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines physique 1 MP 2020 ?
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Sur deux thèmes indépendants liés aux Mayas : la couleur de la Lune pendant une éclipse totale (atmosphère isotherme, ondes électromagnétiques, réfraction) et l'écho d'une pyramide (analyse spectrale, sonogramme, interférences).
Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique 1 Mines MP 2020 ?
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Une hauteur d'échelle fausse d'un facteur mille, des unités du champ électrique incorrectes, la notation complexe utilisée pour le vecteur de Poynting, une Lune éclipsée annoncée bleue et une mauvaise connaissance du critère de Shannon.
Comment le jury a-t-il jugé les copies de physique 1 Mines MP 2020 ?
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Il salue un niveau globalement très correct et des copies agréables à lire, en soulignant les bonnes réponses sur la polarisation, le vecteur de Poynting et les interférences constructives.
Quels chapitres réviser pour le sujet Mines MP 2020 physique 1 ?
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La statique des fluides, les ondes électromagnétiques dans le vide et le vecteur de Poynting, la réfraction, l'analyse spectrale avec le critère de Shannon et les interférences.
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Commentaires• Mines Physique 1 MP 2020
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