Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2020

Sur la photographie de la figure 2, l'ensemble du disque lunaire est visible et présente une luminosité diffuse et atténuée, sans le contraste extrême (facteur supérieur à 10^4) qu'induirait la présence d'une fraction directement éclairée par le Soleil.

Le disque lunaire est donc entièrement plongé dans le cône d'ombre de la Terre : la photographie a été prise durant la phase d'éclipse totale, c'est-à-dire :

Remarque : Le gradient de luminosité visible sur le disque (la partie supérieure étant plus lumineuse) indique que la Lune ne se trouve pas exactement au centre N du cône d'ombre à cet instant, mais plus proche de sa périphérie supérieure.

1. Ordre de grandeur de l'angle de diffraction \theta_d :

Pour une ouverture circulaire (ou un disque opaque, d'après le théorème de Babinet) de diamètre caractéristique D_T = 2 R_T, l'angle de diffraction caractéristique dans le domaine visible (\lambda \approx 500\text{ nm} = 5 \cdot 10^{-7}\text{ m}) est donné par :

Numériquement, avec R_T \approx 6{,}37 \cdot 10^6\text{ m} :

2. Taille caractéristique a_d dans le plan \mathcal{P}_e :

Le plan d'observation \mathcal{P}_e se trouve à la distance r_L = TL \approx 3{,}84 \cdot 10^8\text{ m} du centre de la Terre. L'étalement spatial de la figure de diffraction (zone de pénétration de la lumière dans l'ombre géométrique) est :

Numériquement :

3. La diffraction peut-elle éclairer le disque lunaire ?

Le rayon de la Lune vaut R_L \approx 1{,}74 \cdot 10^6\text{ m} et le rayon de l'ombre terrestre au niveau de l'orbite lunaire est de l'ordre de R_{\text{ombre}} \approx 4{,}6 \cdot 10^6\text{ m}. L'empiètement de la lumière diffractée dans le cône d'ombre (a_d \sim 10\,\mu\text{m}) est extraordinairement négligeable devant ces dimensions kilométriques :

Par conséquent, la diffraction ne peut en aucun cas éclairer le disque lunaire durant la phase de totalité.

4. Autres sources possibles d'éclairage :

Dans l'hypothèse d'une Terre sans atmosphère, les sources envisageables pouvant éclairer la face visible de la Lune sont :

• la lumière des étoiles (fond stellaire, Voie lactée) ;
• la lumière réfléchie par les autres planètes du système solaire (notamment Vénus et Jupiter) ;
• la couronne solaire externe (qui s'étend au-delà du disque solaire géométrique) ;
• la lumière zodiacale (diffusion par les poussières interplanétaires).

L'atmosphère étant en équilibre mécanique dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la condition de la statique des fluides s'écrit, en projection sur l'axe vertical ascendant défini par \boldsymbol{e}_Z :

L'air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_a à température T uniforme. L'équation d'état P V = n R T = \frac{m}{M_a} R T donne le lien entre la pression P et la masse volumique \rho_a = \frac{m}{V} :

La température T étant constante dans ce modèle isotherme, la dérivation par rapport à l'altitude Z conduit à :

On en déduit l'équation différentielle vérifiée par \rho_a(Z) :

L'intégration de cette équation différentielle linéaire du premier ordre donne directement :

avec la hauteur d'échelle :

Application numérique : Avec T \approx 20^\circ\mathrm{C} = 293\,\mathrm{K}, M_a \approx 29\times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{mol}^{-1}, g \approx 9,80\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2} et R \approx 8,31\,\mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} :

1. Masse volumique de l'air au niveau de la mer :

L'air étant modélisé par un gaz parfait, son équation d'état s'écrit :

Avec P_0 = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa}, M_a = 29\times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, T = 20\,^{\circ}\text{C} = 293\text{ K} et R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

2. Masse volumique au sommet du mont Everest selon le modèle isotherme :

D'après le profil altimétrique déterminé en Q3, avec H_c \approx 8{,}6\text{ km} = 8\,600\text{ m} :

En utilisant l'indication \exp(-1) \approx 1/3 :

3. Discussion du modèle isotherme :

Calculons la masse volumique réelle au sommet de l'Everest à partir des données fournies (P_E = 321\text{ hPa} = 3{,}21\times 10^4\text{ Pa} et T_E = -23\,^{\circ}\text{C} = 250\text{ K}) :

De même, la pression prédite par le modèle isotherme est :

On constate que :

• Les ordres de grandeur de la pression et de la masse volumique sont bien reproduits (écart relatif de l'ordre de 4\% sur la pression et d'environ 11\% sur la masse volumique).
• En revanche, l'hypothèse de température uniforme n'est pas réaliste : la température chute de 20\,^{\circ}\text{C} au niveau de la mer à -23\,^{\circ}\text{C} à 8{,}8\text{ km}, soit un gradient thermique moyen d'environ -5\text{ K}\cdot\text{km}^{-1}, caractéristique de la troposphère (modèle polytropique ou atmosphère standard).

Le modèle isotherme fournit ainsi une bonne approximation globale des profils de pression et de densité, mais échoue à décrire le gradient thermique vertical.

L'onde est plane, progressive, monochromatique, se propage dans le vide selon +\boldsymbol{e}_x et son champ électrique est polarisé rectilignement selon \boldsymbol{e}_y. Avec une phase à l'origine spatio-temporelle nulle, le champ électrique s'écrit sous forme réelle :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday dans le vide :

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la direction du vecteur d'onde \boldsymbol{k} = \frac{\omega}{c}\boldsymbol{e}_x, cette relation se traduit par la structure caractéristique de l'onde transverse électromagnétique :

Le trièdre (\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z) étant orthonormé direct, on a \boldsymbol{e}_x \wedge \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z. Il vient alors :

avec la relation entre amplitudes :

À une date t fixée (par exemple t = 0), les deux champs varient sinusoïdalement selon x avec la longueur d'onde spatiale \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}. Ils oscillent en phase, dans des plans orthogonaux : \boldsymbol{E} selon \boldsymbol{e}_y et \boldsymbol{B} selon \boldsymbol{e}_z.

Par définition, le vecteur de Poynting \boldsymbol{R}(x, t) s'écrit :

En utilisant les expressions des champs électrique et magnétique obtenues à la question Q5 :

et sachant que \boldsymbol{e}_y \wedge \boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{e}_x, il vient :

L'intensité I_0 de l'onde correspond à la moyenne temporelle du flux surfacique d'énergie (norme du vecteur de Poynting) :

On en déduit l'amplitude E_m du champ électrique :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• \mu_0 \approx 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
• c \approx 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• I_0 = 1\text{ kW}\cdot\text{m}^{-2} = 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}

L'ordre de grandeur de l'amplitude du champ électrique est donc :

Considérons un volume mésoscopique V d'air situé au point d'abscisse x. La masse de gaz contenue dans ce volume s'écrit :

La quantité de matière correspondante est n = \frac{m}{M_a}, où M_a est la masse molaire de l'air. Le nombre total de molécules présentes dans ce volume vaut donc :

où \mathcal{N}_A désigne la constante d'Avogadro.

La densité volumique moléculaire \eta_a(x) = \frac{N}{V} s'exprime ainsi selon :

On peut également l'écrire sous la forme \eta_a(x) = \frac{\rho_a(x)}{m_a}, où m_a = \frac{M_a}{\mathcal{N}_A} représente la masse moyenne d'une molécule d'air.

Considérons une tranche d'air comprise entre les plans d'abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite d'aire S. Le volume de cette tranche s'écrit :

En moyenne temporelle, la puissance électromagnétique transportée par l'onde qui entre dans la tranche à l'abscisse x vaut :

La puissance électromagnétique qui en ressort à l'abscisse x+\mathrm{d}x vaut :

Durant la traversée de cette tranche, deux phénomènes atténuent la puissance de l'onde :

• La diffusion atmosphérique : la tranche contient \mathrm{d}N_a = \eta_a(x)\,\mathrm{d}V = \eta_a(x)\,S\,\mathrm{d}x molécules de gaz, chacune diffusant une puissance moyenne \mathscr{P}_a = k_a \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4 I(x). La puissance totale diffusée s'écrit :

  \mathrm{d}\mathcal{P}_{\text{diff}} = \mathscr{P}_a\,\mathrm{d}N_a = k_a \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4 \eta_a(x)\,I(x)\,S\,\mathrm{d}x

• L'absorption par les poussières : la tranche contient \mathrm{d}N_p = \eta_p(x)\,\mathrm{d}V = \eta_p(x)\,S\,\mathrm{d}x particules de poussière, chacune absorbant une puissance moyenne \mathscr{P}_p = k_p I(x). La puissance totale absorbée s'écrit :

  \mathrm{d}\mathcal{P}_{\text{abs}} = \mathscr{P}_p\,\mathrm{d}N_p = k_p \eta_p(x)\,I(x)\,S\,\mathrm{d}x

En régime stationnaire, la conservation de l'énergie moyenne s'écrit :

soit :

En simplifiant par la section S, on obtient la relation liant I(x+\mathrm{d}x) à I(x) :

D'après la question 8, le bilan de puissance conduit à l'équation différentielle :

En séparant les variables pour une intensité I(x) > 0 :

L'intégration entre la position incidente \xi = 0 d'intensité I(0) et l'abscisse \xi = x d'intensité I(x) donne :

En prenant l'exponentielle, on obtient la forme requise :

avec :

L'atmosphère terrestre constitue un milieu d'indice optique continûment variable (milieu inhomogène) :

• sous l'effet de la pesanteur, la masse volumique de l'air \rho_a(Z) diminue avec l'altitude Z, comme modélisé dans la partie I.B (\rho_a(Z) = \rho_a(0)\,\mathrm{e}^{-Z/H_c}) ;

• d'après la relation fournie par l'énoncé (loi de Gladstone-Dale), l'indice optique n(Z) dépend linéairement de la masse volumique du gaz :

  n(Z) = 1 + \varepsilon_\lambda\,\frac{\rho_a(Z)}{\rho_a(0)}

  L'indice optique décroît donc avec l'altitude, ce qui crée un gradient d'indice non nul dirigé vers le bas :

  \boldsymbol{\nabla}n = \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}Z}\,\boldsymbol{e}_Z \quad \text{avec} \quad \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}Z} < 0

D'après le principe de Fermat ou les lois de Snell-Descartes appliquées à un empilement continu de couches d'air, les rayons lumineux s'incurvent vers les zones de plus fort indice de réfraction : les rayons traversant l'atmosphère subissent donc une réfraction continue qui courbe leur trajectoire vers la Terre.

1. Expression approchée du terme géométrique

Par définition, r = R_T + Z et r_0 = R_T + Z_0. En introduisant la variable u = Z - Z_0, il vient :

Comme l'atmosphère utile a une épaisseur de l'ordre de quelques dizaines de kilomètres, on a u \ll r_0. De plus, Z_0 \ll R_T, si bien que r_0 = R_T + Z_0 \simeq R_T. On peut ainsi effectuer un développement limité au premier ordre en u/r_0 :

On en déduit :

2. Expression de \mathrm{d}n en fonction de \mathrm{d}\rho_a

À longueur d'onde \lambda fixée, la loi reliant l'indice à la masse volumique est :

Par différentiation immédiate :

3. Expression de \mathrm{d}\rho_a en fonction de H_c, \rho_a(Z_0), u et \mathrm{d}u

D'après le profil isotherme établi à la question Q3, la masse volumique s'écrit \rho_a(Z) = \rho_a(0)\exp(-Z/H_c). Avec Z = Z_0 + u, on a :

En différentiant cette relation par rapport à la variable u, on obtient :

D'après les résultats de la question 11, au voisinage de la Terre (Z, Z_0 \ll R_T) et avec u = Z - Z_0 :

Sachant que d'après le modèle isotherme (question 3), \frac{\rho_a(Z_0)}{\rho_a(0)} = \mathrm{e}^{-Z_0/H_c}, il vient :

Lorsque l'indice varie de 1 (hors de l'atmosphère, u \to +\infty) à n_0 (au point M_0, u = 0), la formule de la déviation totale s'écrit :

En effectuant le changement de variable v = u/H_c, on a u = H_c v, \mathrm{d}u = H_c \mathrm{d}v et \sqrt{u} = \sqrt{H_c}\sqrt{v} :

En reportant cette valeur dans l'expression de \theta_d(Z_0, \lambda) :

On identifie ainsi l'expression demandée \theta_d(Z_0,\lambda) \approx \Theta(Z_0)\varepsilon_\lambda avec :

La fonction \Theta(Z_0) est une fonction exponentielle strictement décroissante de l'altitude Z_0. Un rayon lumineux ne pouvant traverser le sol terrestre, l'altitude minimale accessible pour le point M_0 est le sol, soit Z_0 \ge 0. La déviation maximale est donc atteinte pour un rayon rasant la surface terrestre :

D'après le résultat de la question Q12, l'angle de déviation totale d'un rayon monochromatique de longueur d'onde \lambda passant au point de plus basse altitude Z_0 s'écrit :

où l'expression de \varepsilon_\lambda est donnée par :

Les deux rayons considérés passant au même point M_0, l'altitude Z_0 est identique, de sorte que le facteur géométrique \Theta(Z_0) demeure constant. Par différentiation au premier ordre par rapport à \lambda :

En calculant la dérivée de \varepsilon_\lambda :

on obtient directement l'expression de l'écart de déviation :

En introduisant l'expression de \Theta(Z_0) établie à la question Q12 ou sous forme relative, on peut également écrire :

Considérons un rayon lumineux issu du Soleil qui traverse l'atmosphère terrestre au voisinage du limbe (altitude minimale Z_0 \ll R_T, soit une distance à l'axe ST pratiquement égale à R_T) :

1. Direction des rayons incidents :
Le Soleil ayant un demi-diamètre angulaire apparent \theta_S \approx 16', les rayons solaires incidents atteignant le sommet de l'atmosphère font avec l'axe ST un angle \alpha compris entre -\theta_S (bord inférieur du Soleil, fuyant l'axe) et +\theta_S (bord supérieur du Soleil, déjà incliné vers l'axe) :

2. Condition pour atteindre le point N :
Pour qu'un rayon rasant la Terre à la distance R_T de l'axe ST atteigne le point N situé sur cet axe à la distance r_L = TL, sa direction finale après traversée de l'atmosphère doit faire avec l'axe ST un angle égal à l'angle sous lequel le rayon terrestre est vu depuis N :

La déviation totale \theta_d imprimée par l'atmosphère rabat le rayon vers l'axe ST. L'angle de déviation nécessaire pour atteindre N s'écrit donc :

Ainsi, la déviation nécessaire pour qu'un rayon solaire atteigne le centre de l'ombre en N est comprise dans l'intervalle :

3. Application numérique et conclusion :
Avec \theta_T \approx 57' et \theta_S \approx 16' :

D'après l'énoncé, la déviation maximale permise par l'atmosphère terrestre (obtenue pour des rayons rasant le sol, Z_0 = 0) vaut :

La déviation décroissant continûment de \theta_{d,M} à 0' lorsque l'altitude minimale de survol Z_0 augmente, l'atmosphère peut réaliser n'importe quelle déviation dans l'intervalle [0', 70'].

Cet intervalle recouvre la quasi-totalité de la plage nécessaire [41', 73'] (notamment tous les rayons issus de la majeure partie du disque solaire pour lesquels \theta_d \in [41', 70'], correspondant à des altitudes de passage Z_0 comprises entre 0 et environ 4\text{ km}).

D'après la question Q9, l'intensité spectrale transmise à travers l'atmosphère s'écrit :

Par lecture graphique sur la figure 5 :

• À \lambda = 400\text{ nm} (bleu-violet) :

  I_\lambda \approx 1{,}5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1} \quad \text{et} \quad \exp(-d_o) \approx 0{,}00 \implies I_{\lambda,\text{Lune}}(400\text{ nm}) \approx 0{,}00\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1}

• À \lambda = 500\text{ nm} (vert) :

  I_\lambda \approx 2{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1} \quad \text{et} \quad \exp(-d_o) \approx 0{,}01 \implies I_{\lambda,\text{Lune}}(500\text{ nm}) \approx 0{,}02\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1}

• À \lambda = 600\text{ nm} (orange) :

  I_\lambda \approx 1{,}8\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1} \quad \text{et} \quad \exp(-d_o) \approx 0{,}05 \implies I_{\lambda,\text{Lune}}(600\text{ nm}) \approx 0{,}09\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1}

• À \lambda = 700\text{ nm} (rouge) :

  I_\lambda \approx 1{,}4\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1} \quad \text{et} \quad \exp(-d_o) \approx 0{,}15 \implies I_{\lambda,\text{Lune}}(700\text{ nm}) \approx 0{,}21\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{nm}^{-1}

Ces valeurs permettent de tracer sur la feuille réponse une courbe d'intensité spectrale quasi nulle dans le bleu et le vert, qui croît fortement à partir de 550\text{ nm} pour atteindre un maximum dans le rouge (\ge 700\text{ nm}).

1. Fréquence du fondamental f_1

Sur la figure 8, le spectre d'amplitude présente un premier pic très marqué (pic 1) dont l'abscisse se situe entre 1\text{ kHz} et 2\text{ kHz}, légèrement au-delà du milieu de l'intervalle :

Cette valeur est cohérente avec la figure 9a (sonogramme) où la fréquence du pic 1 se situe autour de 1{,}6\text{ kHz} et celle du pic 2 (son premier harmonique) au voisinage de f_2 \approx 2 f_1 \approx 3{,}1\text{ à } 3{,}2\text{ kHz}.

2. Amplitude a_2 du pic 2

Sur la figure 8, l'ordonnée est le spectre d'amplitude gradué en décibels :

• Le pic 1 culmine à L_1 = 0\text{ dB}, ce qui correspond à l'amplitude de référence a_1 = 100\text{ mV} ;
• Le sommet du pic 2 atteint précisément le niveau L_2 = -50\text{ dB}.

S'agissant d'un spectre d'amplitude (grandeur de champ/tension), l'écart en décibels s'écrit :

On en déduit :

Avec la donnée 10^{0{,}5} \approx 3,16 :

D'où l'amplitude a_2 du pic 2 :

D'après l'énoncé, tout contenu spectral autre que les pics 1 et 2 est négligé. Le pic 2 correspond à l'harmonique 2 du fondamental (pic 1), de fréquence :

La fréquence maximale présente dans le signal est donc f_{\max} = f_2.

D'après le théorème de Shannon (ou condition de Nyquist-Shannon), pour éviter le repliement de spectre lors de l'échantillonnage, la fréquence d'échantillonnage f_e doit vérifier :

La plus petite valeur de f_e permettant de respecter cette condition est donc :

Numériquement, avec f_2 \approx 3{,}2\text{ kHz} :

Par ailleurs, l'énoncé précise que la résolution spectrale est l'inverse de la durée d'acquisition du signal, soit :

Pour une résolution spectrale souhaitée \delta f = 100\text{ Hz} :

Le sonogramme est constitué d'une succession de spectres calculés sur des tranches temporelles consécutives d'intervalles [n T_a,\, (n+1)T_a]. Chaque analyse spectrale porte donc sur un signal de durée T_a. D'après l'énoncé, la résolution spectrale associée est \delta f = 1/T_a.

Par conséquent, la résolution spectrale \delta f dépend de la durée d'acquisition élémentaire T_a, et non de la durée totale \tau de l'enregistrement.

Chaque pixel (ou cellule temps-fréquence) correspond à une case de largeur temporelle \Delta t = T_a et de hauteur fréquentielle \Delta f = \delta f. Le sonogramme, d'étendue temporelle \tau et fréquentielle [0,\, f_M], se découpe en :

Le nombre total de pixels N composant le sonogramme s'écrit alors :

soit :

Application numérique : Pour f_M = 3,5\text{ kHz} = 3,5 \times 10^3\text{ Hz} et \tau = 500\text{ ms} = 0,500\text{ s} :

À titre de vérification avec les conditions de la question 17 (T_a = 10\text{ ms} et \delta f = 100\text{ Hz}), on a bien N_t = \frac{500}{10} = 50 tranches et N_f = \frac{3500}{100} = 35 canaux, soit N = 50 \times 35 = 1750 pixels.

1. Condition sur le temps caractéristique \tau_d

Pour construire le sonogramme, le signal est découpé en tranches temporelles de durée T_a. Pour que la fréquence puisse être considérée comme quasi constante au cours d'une fenêtre d'analyse et que l'évolution temporelle soit échantillonnée avec une bonne résolution temporelle, il faut que le temps caractéristique de décroissance \tau_d soit très grand devant la durée d'une fenêtre temporelle :

De manière équivalente, la variation de fréquence |\Delta f'_1| du fondamental pendant la durée d'acquisition élémentaire T_a doit rester inférieure ou de l'ordre de la résolution spectrale \delta f = 1/T_a :

Avec f_1 \approx 1{,}6\text{ kHz} et T_a = 10\text{ ms}, cette condition donne \tau_d \gg 160\text{ ms}, ce qui est tout à fait compatible avec \tau_d \gg T_a = 10\text{ ms}.

2. Fréquences des deux composantes harmoniques

Le son s_b(t) possède deux composantes harmoniques :

• Le fondamental (pic 1) :

  f'_1(t) = f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  Aux bornes de l'intervalle [0\,;\,0{,}5\,\tau_d] :

  \begin{aligned} f'_1(0) &= f_1 \approx 1{,}6\text{ kHz} \\ f'_1(0{,}5\,\tau_d) &= 0{,}5\,f_1 \approx 0{,}8\text{ kHz} \end{aligned}

• Le deuxième harmonique (pic 2) :

  f'_2(t) = 2\,f'_1(t) = 2\,f_1 \left(1 - \frac{t}{\tau_d}\right)

  Aux bornes de l'intervalle [0\,;\,0{,}5\,\tau_d] :

  \begin{aligned} f'_2(0) &= 2\,f_1 \approx 3{,}2\text{ kHz} \\ f'_2(0{,}5\,\tau_d) &= f_1 \approx 1{,}6\text{ kHz} \end{aligned}

3. Tracé du sonogramme simplifié

Les deux composantes décroissent de manière affine dans l'intervalle [0\,;\,0{,}5\,\tau_d] :

1. Durée approximative du chant :

Sur le sonogramme (figure 10), les premières composantes spectrales apparaissent vers t_{\text{début}} \approx 40\text{ à } 50\text{ ms} et le signal s'estompe vers t_{\text{fin}} \approx 220\text{ à } 230\text{ ms}. La durée totale du chant est donc :

Compte tenu de l'incertitude de lecture, on retient une durée de l'ordre de :

2. Fréquences des harmoniques à t = 140\text{ ms} :

En traçant la verticale à t = 140\text{ ms} :

• La première trace sombre (fondamental) se situe en dessous de 1\text{ kHz} :

  \boxed{f_{q,1} \approx 0{,}75\text{ kHz} = 750\text{ Hz} \quad (\text{accepté entre } 0{,}7\text{ et } 0{,}8\text{ kHz})}

• La deuxième trace sombre (harmonique 2, i = 2) se situe à mi-chemin entre 1 et 2\text{ kHz} :

  \boxed{f_{q,2} \approx 1{,}5\text{ kHz} \quad (\text{accepté entre } 1{,}4\text{ et } 1{,}6\text{ kHz})}

• Une troisième trace sombre (harmonique 3, i = 3) est visible au-dessus de 2\text{ kHz} :

  \boxed{f_{q,3} \approx 2{,}2\text{ à } 2{,}3\text{ kHz} \quad (\text{accepté entre } 2{,}1\text{ et } 2{,}4\text{ kHz})}

La propagation le long de l'axe S S_n est modélisée comme une onde unidimensionnelle progressive, non dispersive et sans atténuation d'amplitude.

1. Onde incidente en S_n :
Le signal émis en S à la date t est \Psi(S, t) = s(t). Pour atteindre l'arête S_n située à la distance d_n = S S_n, l'onde met une durée :

L'onde incidente en S_n à l'instant t s'écrit donc :

2. Onde diffractée retour en S :
D'après l'énoncé, l'onde retour engendrée par diffraction au niveau de l'obstacle S_n vérifie :

Cette onde retour se propage selon le même modèle le long du segment S_n S de longueur d_n, subissant à nouveau un retard de propagation \tau_n = d_n/c_s :

On en déduit l'expression de l'onde retour en S :

D'après la question Q21, l'onde retour diffractée par la marche S_n et parvenue en S à l'instant t s'exprime à partir du signal émis selon :

Appliquée à la composante harmonique incidente s_\omega(t) = s_m \cos(\phi(t)) avec \phi(t) = \omega t, la composante harmonique correspondante de l'onde retour en S s'écrit :

Par identification de la phase instantanée, on obtient :

D'après le résultat de la question 22, la phase à l'instant t de l'onde de pulsation \omega diffractée par la marche S_n et parvenue en S est :

De même, pour l'arête consécutive S_{n+1}, située à la distance d_{n+1} de la source S, la phase s'écrit :

La différence de phase en S définie par l'énoncé vaut donc :

On obtient ainsi :

Deux ondes de même pulsation \omega interfèrent de manière purement constructive au point S si et seulement si leur différence de phase est un multiple entier de 2\pi :

Une fréquence étant positive par définition, et la pulsation étant reliée à la fréquence \nu par \omega = 2\pi\nu, on a d'après le résultat de la question Q23 :

L'égalité avec 2m\pi conduit directement à :

On en déduit l'ensemble des fréquences constructives :

Choisissons un repère orthonormé dans le plan vertical contenant l'axe de l'escalier, dont l'origine est la position de la source S au niveau du sol, l'axe horizontal étant dirigé vers la pyramide et l'axe vertical ascendant.

Le point S_0, situé au bas des marches, a pour coordonnées (a, 0). Chaque marche ayant une hauteur et une profondeur égales à b, les coordonnées de l'arête S_n pour n \in \{0, \dots, N\} sont :

La distance d_n = SS_n s'écrit donc :

Soit, en développant :

Calculons l'expression exacte de la différence des carrés :

En utilisant l'identité u^2 - v^2 = (u - v)(u + v) pour chacun des deux termes :

En sommant ces deux contributions, on obtient :

Par identité remarquable :

En utilisant l'approximation d_{n+1} + d_n \simeq 2d_n justifiée par a \gg b, il vient :

D'après la question Q24, la fréquence fondamentale (m=1) entendue lors du retour diffracté par deux marches consécutives s'écrit :

En remplaçant d_{n+1} - d_n par son expression approchée :

On en déduit l'expression approchée souhaitée :

1. Détermination de la distance d_N :

La courbe de la figure 12 représente g(n)d_n en fonction de d_n pour les N = 91 marches de l'escalier. L'extrémité droite de la courbe correspond donc à la dernière marche (n = N), située au sommet de la pyramide.

Sur l'axe des abscisses, chaque petite graduation vaut 2\text{ m}. Le point final de la courbe se situe à mi-chemin entre la graduation 50\text{ m} et la graduation 52\text{ m}, soit :

Remarque : Un calcul direct donne d_N = \sqrt{(a + Nb)^2 + (Nb)^2} \approx \sqrt{44^2 + 24^2} \approx 50{,}1\text{ m}, tout à fait compatible avec la lecture graphique.

2. Date t_1 d'arrivée du début de l'écho :

Le son diffracté par la première marche (n=1) effectue un trajet aller-retour entre S et S_1 à la célérité c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Comme b = 0{,}263\text{ m} \ll a = 20\text{ m}, la distance à la première marche est d_1 \approx a = 20\text{ m} (valeur minimale lue à l'extrémité gauche de la courbe).

La date d'arrivée en S du début de l'écho est donc :

3. Date t_N d'arrivée de la fin de l'écho :

L'écho prend fin lorsque le son diffracté par la marche du sommet S_N atteint à son tour le point S :

4. Durée de l'écho :

L'écho est perçu entre les dates t_1 et t_N. Sa durée totale est :

D'après la question Q25, la fréquence du fondamental s'écrit :

Calculons tout d'abord le facteur multiplicatif avec les données de l'énoncé (c_s \approx 340\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, a = 20\text{ m} et b = 0{,}263\text{ m}) :

Fréquence au début de l'écho \nu_1(t_1) : L'écho débute à la date t_1 avec l'onde diffractée par la première marche (n = 1), pour laquelle d_1 \approx a = 20\text{ m}. Sur la figure 12, à l'abscisse d_1 \approx 20\text{ m}, on lit :

On en déduit la fréquence fondamentale au début de l'écho :

Fréquence en fin d'écho \nu_1(t_N) : L'écho se termine à la date t_N avec l'onde diffractée par la dernière marche (n = N = 91), pour laquelle la distance vaut d_N \approx 51\text{ m} (d'après la question Q26). Sur la figure 12, à l'abscisse d_N \approx 51\text{ m}, on lit :

On en déduit la fréquence fondamentale à la fin de l'écho :

D'après la question Q24, les fréquences constructives vérifient \nu_m(t) = m\,\nu_1(t) avec m \in \mathbb{N}^*. Le sonogramme simplifié de l'écho comporte donc :

• le fondamental (m = 1) ;
• l'harmonique 2 (m = 2) ;
• l'harmonique 3 (m = 3) ;
• l'harmonique 4 (m = 4).

L'écho n'existe que pour t \in [t_1\,;\,t_N], soit de t_1 \approx 120\text{ ms} à t_N \approx 300\text{ ms} (question Q26). En dehors de cet intervalle temporel, le sonogramme ne présente aucun signal.

En exploitant les valeurs obtenues à la question Q27 :

On en déduit les fréquences des harmoniques aux dates extrêmes :

• pour m = 2 : \nu_2(t_1) = 2\nu_1(t_1) \approx 1{,}26\text{ kHz} et \nu_2(t_N) = 2\nu_1(t_N) \approx 0{,}94\text{ kHz} ;
• pour m = 3 : \nu_3(t_1) = 3\nu_1(t_1) \approx 1{,}89\text{ kHz} et \nu_3(t_N) = 3\nu_1(t_N) \approx 1{,}41\text{ kHz} ;
• pour m = 4 : \nu_4(t_1) = 4\nu_1(t_1) \approx 2{,}52\text{ kHz} et \nu_4(t_N) = 4\nu_1(t_N) \approx 1{,}88\text{ kHz}.

Puisque t = 2d_n/c_s, le temps t est proportionnel à la distance d_n. La fréquence \nu_m(t) varie proportionnellement à la fonction g(n)d_n, qui est strictement décroissante et convexe d'après la figure 12 de l'énoncé. Les quatre branches spectrales décroissent donc continûment au cours du temps avec une légère courbure vers le haut.

1. Comparaison des sonogrammes

• Durée : L'écho a une durée \Delta t = t_N - t_1 \approx 180\text{ ms} (d'après la question Q26), remarquablement proche de la durée du cri du quetzal \tau_q \approx 170\text{ ms} (mesurée à la question Q20).
• Modulation temporelle : Dans les deux cas, le fondamental présente une pente négative (fréquence décroissante avec le temps) : il s'agit d'un « chirp » descendant vers les graves.
• Structure spectrale : Les deux spectres présentent une structure harmonique bien visible (multiples entiers du fondamental).

2. Écart fréquentiel

• Pour l'écho de la pyramide, le fondamental décroît de \nu_1(t_1) \approx 630\text{ Hz} à \nu_1(t_N) \approx 470\text{ Hz} (question Q27).
• Pour le jeune quetzal (figure 10 et question Q20), le fondamental se situe autour de f_{q,1} \approx 750\text{ Hz} à t = 140\text{ ms} (et balaie approximativement la plage 900\text{ Hz} \to 650\text{ Hz}).

• À un instant intermédiaire comparable (vers t = 140\text{ ms}), la fréquence de l'écho vaut environ 600\text{ Hz}, ce qui conduit à un écart relatif :

  \frac{|f_{q,1} - \nu_1|}{f_{q,1}} \approx \frac{750 - 600}{750} \approx 20\,\%

  Sur le plan psychoacoustique, l'oreille humaine possédant un pouvoir de discrimination fréquentielle très fin (de l'ordre du pourcent, soit moins d'un demi-ton), un écart de 20\,\% (environ trois demi-tons) est parfaitement perceptible : l'écart fréquentiel n'est donc pas négligeable.

3. Cas d'un oiseau adulte

• Les cavités résonnantes de l'appareil phonatoire (syrinx, conduit vocal) d'un oiseau adulte sont de dimensions géométriques caractéristiques L plus grandes que celles d'un jeune (L_{\text{adulte}} > L_{\text{jeune}}).

• Les fréquences propres de résonance étant inversement proportionnelles à ces dimensions caractéristiques (f \propto c_s / L), un quetzal adulte émet des sons plus graves que le jeune, donc de fréquences plus basses :

  f_{q,\text{adulte}} < f_{q,\text{jeune}}
• La fréquence du jeune quetzal (750\text{ Hz}) étant supérieure à celle de l'écho (\sim 500\text{ à } 600\text{ Hz}), la diminution de fréquence chez l'adulte le rapproche de celle de l'escalier.