Feuille d'entraînement : Équations de Maxwell et ondes électromagnétiques dans le vide

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2026, Q29

   L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit dans le milieu :

   \overrightarrow{\operatorname{rot}}(\underline{\vec{E}}) = -\frac{\partial \underline{\vec{B}}}{\partial t}

   Pour une onde plane progressive harmonique dépendant des variables d'espace et de temps sous la forme e^{\iota(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}, les opérateurs différentiels spatio-temporels se traduisent en notation complexe par :

   \frac{\partial}{\partial t} \longleftrightarrow \iota\omega \quad \text{et} \quad \vec{\nabla} \wedge \longleftrightarrow -\iota \vec{k} \wedge

   L'équation de Maxwell-Faraday devient donc :

   -\iota \vec{k} \wedge \underline{\vec{E}} = -\iota \omega \underline{\vec{B}}

   En simplifiant par -\iota\omega (avec \omega \neq 0), on obtient :

   \boxed{\underline{\vec{B}} = \frac{\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}}{\omega}}

   Avec \vec{k} = k\vec{u}_z et \underline{\vec{E}} = E_0 e^{\iota(\omega t - kz)}\vec{u}_x, on a explicitement :

   \underline{\vec{B}} = \frac{k}{\omega} E_0 e^{\iota(\omega t - kz)} (\vec{u}_z \wedge \vec{u}_x) = \frac{k}{\omega} E_0 e^{\iota(\omega t - kz)} \vec{u}_y

   Une onde est dite transverse pour le champ magnétique si ce dernier est orthogonal à la direction de propagation repérée par \vec{k}.

   D'après l'expression précédente, \underline{\vec{B}} est proportionnel au produit vectoriel \vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}, donc par propriété fondamentale du produit vectoriel :

   \vec{k} \cdot \underline{\vec{B}} = \frac{1}{\omega} \vec{k} \cdot (\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}}) = 0

   (On vérifie également de façon directe : \vec{u}_z \cdot \vec{u}_y = 0).

   Par ailleurs, cela est en parfait accord avec l'équation de Maxwell-Thomson \operatorname{div}(\underline{\vec{B}}) = 0, qui impose -\iota \vec{k} \cdot \underline{\vec{B}} = 0.

   Le champ magnétique \underline{\vec{B}} est donc bien transverse.

   Résultat

   $$\underline{\vec{B}}=\frac{\vec{k}\wedge \underline{\vec{E}}}{\omega }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q15

   Dans le vide, en l'absence de charges électriques (\rho = 0) et de courants électriques (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

   • Équation de Maxwell-Gauss :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

   • Équation de Maxwell-Thomson (flux magnétique) :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

   • Équation de Maxwell-Faraday :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

   • Équation de Maxwell-Ampère :

     \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

   où c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

   Résultat

   $$\mathrm{div}\vec{E}=0$$

   $$\mathrm{div}\vec{B}=0$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

   $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q16

   Appliquons l'identité vectorielle rappelée dans le formulaire au champ électrique \vec{E} :

   \vec{\mathrm{rot}}\bigl(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\bigr) = \vec{\mathrm{grad}}\bigl(\mathrm{div}\,\vec{E}\bigr) - \Delta\vec{E}

   D'après l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (établie à la question Q15), \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

   \vec{\mathrm{rot}}\bigl(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\bigr) = -\Delta\vec{E}

   Par ailleurs, en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday et en permutant les opérateurs différentiels spatial et temporel d'après le théorème de Schwarz :

   \begin{aligned} \vec{\mathrm{rot}}\bigl(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}\bigr) &= \vec{\mathrm{rot}}\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}\bigr) \end{aligned}

   En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide, \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} :

   \begin{aligned} -\Delta\vec{E} &= -\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \\ &= -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \end{aligned}

   On obtient ainsi l'équation de d'Alembert satisfaite par le champ électrique dans le vide :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   La célérité de l'onde correspondante est la vitesse de la lumière dans le vide :

   \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \approx 2{,}998\times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   $$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}\approx 2,998\times 10^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2026, Q17

   Considérons l'onde plane progressive harmonique se propageant selon l'axe (Ox) vers les x croissants, dont le champ électrique s'écrit :

   \underline{\vec{E}}_+(x, t) = \underline{E}_{0+} \mathrm{e}^{j(\omega t - k x)} \vec{u}_y

   Les dérivées partielles spatiales et temporelles de ce champ s'expriment sous la forme :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_+}{\partial x^2} &= (-jk)^2 \, \underline{\vec{E}}_+ = -k^2 \, \underline{\vec{E}}_+ \\ \frac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_+}{\partial t^2} &= (j\omega)^2 \, \underline{\vec{E}}_+ = -\omega^2 \, \underline{\vec{E}}_+ \end{aligned}

   En injectant ces expressions dans l'équation de d'Alembert unidimensionnelle \dfrac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_+}{\partial x^2} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_+}{\partial t^2} = \vec{0} obtenue à la question Q16, on a :

   \left( -k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} \right) \underline{\vec{E}}_+(x, t) = \vec{0}

   Cette équation devant être vérifiée à tout instant t et en tout point x pour un champ non identiquement nul, on en déduit la relation de dispersion dans le vide :

   \boxed{\omega = c k} \quad \text{ou de façon équivalente} \quad \boxed{k = \frac{\omega}{c}}

   Le même résultat est obtenu avec l'onde se propageant vers les x décroissants \underline{\vec{E}}_-(x, t).

   Résultat

   $$\omega =ck$$

   $$k=\frac{\omega }{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MP 2026, Q13

   Dans une région de l'espace vide de charges et de courants (\rho = 0 et \vec{j} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

   \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E} &= 0 \quad \text{(Maxwell-Gauss)} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Faraday)} \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} &= \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \quad \text{(Maxwell-Ampère)} \end{aligned}

   Prenons le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = -\vec{\mathrm{rot}}\!\left(\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})

   En utilisant l'identité vectorielle donnée et le fait que \mathrm{div}\,\vec{E} = 0 :

   \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}) - \Delta\vec{E} = -\Delta\vec{E}

   En injectant l'équation de Maxwell-Ampère et en posant c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}, il vient :

   -\Delta\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\!\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   On obtient l'équation de d'Alembert :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   L'onde lumineuse se propageant selon l'axe x, le champ scalaire E(x, t) = f(x)\sin(\omega t) dépend uniquement de x pour ses variables spatiales (\Delta E = \frac{\partial^2 E}{\partial x^2}). Calculons les dérivées partielles :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 E}{\partial x^2}(x, t) &= \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}(x)\,\sin(\omega t) \\ \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}(x, t) &= -\omega^2 f(x)\,\sin(\omega t) \end{aligned}

   En reportant dans l'équation de d'Alembert :

   \left[ \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{\omega^2}{c^2} f(x) \right] \sin(\omega t) = 0

   Cette égalité étant vérifiée à tout instant t, la fonction f satisfait l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique spatial :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}(x) + \frac{\omega^2}{c^2} f(x) = 0}

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{x}^2}(x)+\frac{{\omega }^2}{c^2}f(x)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q20

   1. Définition de la zone de rayonnement

   Pour une distribution de charges localisée oscillant à la pulsation \omega, les échelles caractéristiques de longueur sont :

   • la dimension de la source, ici l ;
   • la longueur d'onde du rayonnement émis dans le vide, \lambda = \dfrac{2\pi c}{\omega} ;
   • la distance d'observation r = OM.

   Dans le cadre de l'approximation dipolaire (l \ll \lambda), la zone de rayonnement (ou zone d'onde) est la région de l'espace située à grande distance de la source devant la longueur d'onde :

   \boxed{r \gg \lambda}

   Dans ce domaine, les composantes de rayonnement en 1/r prédominent largement devant les termes d'induction (en 1/r^2) et les termes quasi-statiques (en 1/r^3), ce qui permet à l'onde d'emporter de l'énergie à l'infini.

   2. Justification du terme r/c

   Les équations de Maxwell avec termes sources mènent à des équations de propagation (d'Alembert) à la célérité c. L'information électromagnétique émise en O ne se propage pas de façon instantanée, mais à la vitesse de la lumière dans le vide c.

   Le signal observé au point M situé à la distance r à l'instant t a donc été émis par le dipôle à l'instant antérieur, dit instant retardé :

   \boxed{t_{\text{ret}} = t - \frac{r}{c}}

   Le dipôle source vibrant sinusoïdalement à la pulsation \omega selon \cos(\omega t), le champ propagé dépend naturellement de l'argument retardé \omega t_{\text{ret}} = \omega\left(t - \dfrac{r}{c}\right), caractéristique d'une onde sphérique divergente se propageant de la source vers l'infini.

   Résultat

   $$r\gg \lambda$$

   $$t_{\text{ret}}=t-\frac{r}{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q22

   Le vecteur de Poynting \vec{\Pi} représente la densité surfacique de flux d'énergie (ou puissance surfacique) transportée par le champ électromagnétique. Il est défini par :

   \vec{\Pi} = \frac{\vec{E} \wedge \vec{B}}{\mu_0}

   En utilisant les expressions des champs \vec{E} = E_\theta\,\vec{e}_\theta et \vec{B} = B_\varphi\,\vec{e}_\varphi données dans l'énoncé, et sachant que \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_\varphi = \vec{e}_r, on obtient :

   \begin{aligned} \vec{\Pi}(r,\theta,t) &= \frac{1}{\mu_0} \left[-\frac{\mu_0 p_0 \omega^2 \sin\theta}{4\pi r} \cos\left(\omega\left(t - \frac{r}{c}\right)\right)\right]\left[-\frac{\mu_0 p_0 \omega^2 \sin\theta}{4\pi r c} \cos\left(\omega\left(t - \frac{r}{c}\right)\right)\right]\vec{e}_r \\ &= \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4 \sin^2\theta}{16\pi^2 c r^2} \cos^2\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right)\vec{e}_r \end{aligned}

   En utilisant la relation \mu_0 \varepsilon_0 c^2 = 1, ce vecteur s'écrit également :

   \boxed{\vec{\Pi}(r,\theta,t) = \frac{p_0^2 \omega^4 \sin^2\theta}{16\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2} \cos^2\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right)\vec{e}_r}

   En prenant la moyenne temporelle, sachant que \langle\cos^2(\omega(t-r/c))\rangle = \frac{1}{2}, la puissance surfacique moyenne rayonnée s'écrit :

   \langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4 \sin^2\theta}{32\pi^2 c r^2}\,\vec{e}_r = \frac{p_0^2 \omega^4 \sin^2\theta}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2}\,\vec{e}_r

   La dépendance angulaire est régie par le terme \sin^2\theta, qui est maximal pour \sin\theta = 1, soit :

   \boxed{\theta = \frac{\pi}{2}}

   La puissance surfacique émise est donc maximale dans le plan équatorial xOy, perpendiculaire à l'axe d'oscillation du dipôle Oz.

   En utilisant la relation p_0 \omega^2 = e a issue de la question Q19, la norme de la valeur moyenne du vecteur de Poynting dans cette direction vaut :

   \boxed{\|\langle\vec{\Pi}\rangle_{\max}\| = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 c r^2} = \frac{e^2 a^2}{32\pi^2 \varepsilon_0 c^3 r^2}}

   Résultat

   $$\vec{\Pi }(r,\theta ,t)=\frac{p_0^2{\omega }^4{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{r}^2}{\cos }^2\left(\omega \left(t-\frac{r}{c}\right)\right){\vec{e}}_r$$

   $$\theta =\frac{\pi }{2}$$

   $$\Vert ⟨\vec{\Pi }{⟩}_{\max }\Vert =\frac{{\mu }_0{p}_0^2{\omega }^4}{32{\pi }^{2}c{r}^2}=\frac{e^2{a}^2}{32{\pi }^2{\epsilon }_0{c}^3{r}^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2025, Q3

   Dans l'air assimilé au vide, en l'absence de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

   \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{E}_{\mathrm{i}} &= 0 \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_{\mathrm{i}} &= -\frac{\partial \vec{B}_{\mathrm{i}}}{\partial t} \\ \mathrm{div}\,\vec{B}_{\mathrm{i}} &= 0 \\ \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}_{\mathrm{i}} &= \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}_{\mathrm{i}}}{\partial t} \end{aligned}

   où c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

   En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_{\mathrm{i}}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}_{\mathrm{i}}) - \Delta \vec{E}_{\mathrm{i}} ainsi que l'équation de Maxwell-Gauss (\mathrm{div}\,\vec{E}_{\mathrm{i}} = 0) :

   -\Delta \vec{E}_{\mathrm{i}} = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B}_{\mathrm{i}}) = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}_{\mathrm{i}}}{\partial t^2}

   On obtient ainsi l'équation de d'Alembert vérifiée par le champ électrique :

   \boxed{\Delta \vec{E}_{\mathrm{i}} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}_{\mathrm{i}}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   L'onde plane incidente est décrite en notation complexe par :

   \vec{E}_{\mathrm{i}}(M,t) = A\,\mathrm{e}^{\jmath(k_{\mathrm{i}} x - q_{\mathrm{i}} y - \omega t)}\,\vec{u}_z

   Calculons les dérivées spatiales et temporelle :

   \begin{aligned} \Delta \vec{E}_{\mathrm{i}} &= \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\vec{E}_{\mathrm{i}} = \left( (\jmath k_{\mathrm{i}})^2 + (-\jmath q_{\mathrm{i}})^2 \right)\vec{E}_{\mathrm{i}} = -(k_{\mathrm{i}}^2 + q_{\mathrm{i}}^2)\vec{E}_{\mathrm{i}} \\ \frac{\partial^2 \vec{E}_{\mathrm{i}}}{\partial t^2} &= (-\jmath\omega)^2 \vec{E}_{\mathrm{i}} = -\omega^2 \vec{E}_{\mathrm{i}} \end{aligned}

   En injectant ces expressions dans l'équation de propagation, il vient :

   -(k_{\mathrm{i}}^2 + q_{\mathrm{i}}^2)\vec{E}_{\mathrm{i}} + \frac{\omega^2}{c^2}\vec{E}_{\mathrm{i}} = \vec{0}

   Comme cette relation est vérifiée pour tout point M et à tout instant t, on en déduit la relation de dispersion :

   \boxed{k_{\mathrm{i}}^2 + q_{\mathrm{i}}^2 = \frac{\omega^2}{c^2}}

   Résultat

   $$\Delta {\vec{E}}_{\mathrm{i}}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{\vec{E}}_{\mathrm{i}}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   $$k_{\mathrm{i}}^2+q_{\mathrm{i}}^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie MP 2025, Q33

   D'après les équations de Maxwell dans le vide établies à la question Q32 :

   \operatorname{div}\vec{E} = 0, \quad \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad \text{et} \quad \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

   avec c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} la célérité de la lumière dans le vide.

   En appliquant l'identité vectorielle du formulaire \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) = \vec{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\vec{E}) - \Delta\vec{E} :

   \begin{aligned} \vec{\operatorname{rot}}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{E}) &= \vec{\operatorname{rot}}\!\left(-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right) = -\frac{\partial}{\partial t}(\vec{\operatorname{rot}}\vec{B}) = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \end{aligned}

   Comme le vide est dépourvu de charges (\operatorname{div}\vec{E} = 0), on obtient :

   -\Delta\vec{E} = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}

   soit l'équation aux dérivées partielles :

   \boxed{\Delta\vec{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}}

   Il s'agit de l'équation de d'Alembert vectorielle.

   Pour le champ électrique proposé en représentation complexe \vec{E}(x,t) = E_0 \exp(i(\omega t - k x))\vec{u}_z, le champ ne dépend spatialement que de x, d'où \Delta\vec{E} = \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial x^2}\vec{u}_z :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial x^2} &= (-i k)^2 \vec{E} = -k^2 \vec{E} \\ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} &= (i \omega)^2 \vec{E} = -\omega^2 \vec{E} \end{aligned}

   En injectant ces dérivées dans l'équation de d'Alembert :

   \begin{aligned} \left(-k^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\right)\vec{E} = \vec{0} \end{aligned}

   Pour une onde non identiquement nulle, on en déduit la relation de dispersion :

   \boxed{\omega = k c} \quad \text{ou} \quad \boxed{k = \frac{\omega}{c}}

   • Direction et sens de propagation : la phase de l'onde s'écrit \varphi(x,t) = \omega t - k x. Les plans d'onde (surfaces d'égale phase) vérifient \omega t - k x = \text{cste}, d'où x = \frac{\omega}{k}t + \text{cste}. Avec \omega > 0 et k > 0, l'onde se propage selon la direction de l'axe (Ox) dans le sens des x croissants (vecteur d'onde colinéaire à +\vec{u}_x).
   • Polarisation : le champ électrique vibre en permanence selon la direction fixe du vecteur unitaire \vec{u}_z perpendiculaire à la direction de propagation. L'onde présente donc une polarisation rectiligne selon (Oz).

   Résultat

   $$\Delta \vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$$

   $$\omega =kc$$

   $$k=\frac{\omega }{c}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2024, Q32

    Dans le conducteur ohmique modélisant la peau, la densité volumique de courant de conduction est reliée au champ électrique par la loi d'Ohm locale :

    \vec{j} = \gamma \vec{E}

    Les équations de Maxwell s'écrivent sous les hypothèses de l'énoncé :

    • Équation de Maxwell-Gauss : le milieu étant localement neutre (\rho = 0),

      \operatorname{div}\vec{E} = 0

    • Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

      \operatorname{div}\vec{B} = 0

    • Équation de Maxwell-Faraday :

      \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
    • Équation de Maxwell-Ampère : en négligeant le terme de courant de déplacement devant le courant de conduction (\vec{j}_{\text{D}} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \ll \vec{j}), on a \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{j} = \mu_0 \gamma \vec{E}.

    Le système d'équations de Maxwell dans ce milieu s'écrit donc :

    \boxed{ \left\{ \begin{aligned} \operatorname{div}\vec{E} &= 0 \\ \operatorname{div}\vec{B} &= 0 \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} &= -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} &= \mu_0 \gamma \vec{E} \end{aligned} \right. }

    Résultat

    $$\{\begin{array}{rl}\mathrm{div}\vec{E}& =0\\ \mathrm{div}\vec{B}& =0\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{E}& =-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\ \overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{B}& ={\mu }_0\gamma \vec{E}\end{array}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question