Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2026

L'équation différentielle du mouvement régissant l'évolution de la position x(t) d'un oscillateur harmonique à une dimension, de pulsation propre \omega_0 et sans amortissement, s'écrit :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants et sans second membre. L'expression générale de ses solutions réelles peut s'écrire sous forme sinusoïdale d'amplitude et de phase à l'origine :

où l'amplitude X_{\mathrm{m}} \geqslant 0 et la phase à l'origine \varphi \in [-\pi, \pi[ (ou de façon équivalente les deux constantes réelles A et B dans la forme x(t) = A \cos(\omega_0 t) + B \sin(\omega_0 t)) sont déterminées par les conditions initiales en position x(0) et en vitesse \dot{x}(0).

Pour un oscillateur harmonique classique à une dimension, avec l'origine des énergies potentielles choisie en x = 0 telle que E_{\mathrm{p}}(0) = 0, les énergies cinétique et potentielle instantanées s'écrivent :

Par linéarité et positivité de la moyenne temporelle, il vient immédiatement :

En injectant la solution générale établie en Q1, x(t) = X_{\mathrm{m}} \cos(\omega_0 t + \varphi), on a :

Ces trois grandeurs sont proportionnelles à X_{\mathrm{m}}^2 \geqslant 0. La valeur minimale possible est donc obtenue pour une amplitude d'oscillation nulle (X_{\mathrm{m}} = 0), ce qui correspond à l'oscillateur au repos permanent à sa position d'équilibre (x(t) = 0 et \dot{x}(t) = 0 pour tout t).

On en déduit les valeurs minimales :

Par définition de l'écart-type d'une grandeur en mécanique quantique, les variances associées à la position x et à la quantité de mouvement p_x s'écrivent :

L'origine des coordonnées étant fixée à la position d'équilibre de l'oscillateur, la valeur moyenne de la position est nulle : \langle x \rangle = 0. De même, pour un état lié sans translation globale le long de l'axe (Ox), la quantité de mouvement moyenne est nulle : \langle p_x \rangle = 0.

On en déduit :

Énergie potentielle moyenne L'énergie potentielle est donnée par E_{\mathrm{p}}(x) = \frac{1}{2}\mu \omega_0^2 x^2. Par linéarité de l'espérance quantique :

On identifie alors la constante K_1 :

Énergie cinétique moyenne Dans le cadre non relativiste, l'énergie cinétique s'exprime en fonction de la quantité de mouvement par E_{\mathrm{c}} = \frac{p_x^2}{2\mu}. Par linéarité de la moyenne :

On identifie ainsi la constante K_2 :

D'après les résultats de la question Q3, l'énergie mécanique moyenne de l'oscillateur s'écrit :

L'inégalité spatiale de Heisenberg s'énonce :

En substituant cette minoration dans l'expression de l'énergie mécanique moyenne, on obtient :

Pour trouver le minimum de cette borne inférieure en fonction de la variable positive u = \Delta x^2, on utilise l'inégalité arithmético-géométrique (a+b \ge 2\sqrt{ab} pour tous réels a,b > 0) :

Ce minimum est atteint lorsque les deux termes sont égaux, soit pour :

L'énergie mécanique moyenne ne peut donc pas être inférieure à :

Commentaire : Contrairement au cas classique où l'énergie minimale moyenne est nulle (\langle E_{\mathrm{m}} \rangle = 0 pour une particule immobile à la position d'équilibre x=0, d'après Q2), le modèle quantique interdit d'annuler simultanément la position et la quantité de mouvement car cela violerait l'inégalité de Heisenberg (\Delta x = 0 et \Delta p_x = 0 entraînerait \Delta x \, \Delta p_x = 0 < \hbar/2). L'oscillateur possède donc une énergie résiduelle non nulle au repos (ou « énergie de point zéro »), même dans son état fondamental.

L'amplitude a_0 est homogène à une longueur, soit [a_0] = \mathsf{L}.
Exprimons la dimension de chacune des grandeurs intervenant dans la loi de puissance a_0 = \hbar^\alpha \omega_0^\beta \mu^\delta dans le système international (\mathsf{M, L, T}) :

• la constante de Planck réduite \hbar a la dimension d'une action (énergie \times temps) :

  [\hbar] = \mathsf{M \cdot L^2 \cdot T^{-2} \cdot T} = \mathsf{M \cdot L^2 \cdot T^{-1}}

• la pulsation propre \omega_0 est l'inverse d'un temps :

  [\omega_0] = \mathsf{T^{-1}}

• la masse \mu est une masse :

  [\mu] = \mathsf{M}

L'équation aux dimensions s'écrit donc :

Par identification des exposants selon chaque dimension fondamentale :

On obtient ainsi :

ce qui correspond à l'expression de la longueur d'extension caractéristique de l'oscillateur :

Passons à l'évaluation de son ordre de grandeur avec les données :

• \hbar = \frac{h}{2\pi} = \frac{6{,}626 \times 10^{-34}}{2\pi} \approx 1{,}055 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• \mu \approx m_{\mathrm{H}} \approx 1{,}66 \times 10^{-27}\text{ kg}
• \omega_0 \approx 10^{15}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

Le calcul numérique donne :

L'ordre de grandeur de a_0 est donc :

L'équation de Schrödinger dépendante du temps régissant l'état quantique d'une particule unidimensionnelle de masse \mu s'écrit :

Pour un état stationnaire d'énergie E, la fonction d'onde se factorise sous la forme \Psi(x,t) = \psi(x)\chi(t), ce qui conduit classiquement à :

(à une constante multiplicative près, conventionnellement absorbée dans la partie spatiale).

La partie spatiale \psi(x) = \varphi(u) vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

Avec le changement de variable u = \frac{x}{a_0}, les dérivées spatiales s'expriment par :

En injectant ces relations et l'expression de a_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{\mu\omega_0}} établie à la question Q5, on obtient :

L'équation différentielle s'écrit alors :

En divisant par \frac{1}{2}\hbar\omega_0 et en introduisant la variable adimensionnée \varepsilon = \frac{E}{\hbar\omega_0}, il vient :

soit finalement :

La fonction \varphi(u) est recherchée sous la forme :

Dérivons une première fois par rapport à u en appliquant la formule de dérivation d'un produit :

En dérivant une seconde fois, il vient :

D'après la question Q6, la fonction \varphi vérifie :

En remplaçant \varphi(u) et \varphi''(u) par leurs expressions, on obtient :

Les termes en u^2 \mathcal{H}(u) se compensent. Comme \mathrm{e}^{-\frac{u^2}{2}} \neq 0 pour tout u \in \mathbb{R}, le crochet s'annule identiquement :

Le polynôme \mathcal{H}(u) étant de degré n, son coefficient dominant vérifie c_n \neq 0 :

Calculons les dérivées successives et leurs termes dominants en u :

Injectons ces développements dans l'équation différentielle établie à la question Q7 :

Examinons le degré de chaque terme :

• \mathcal{H}''(u) est de degré au plus n-2 ;
• -2u\mathcal{H}'(u) = -2n c_n u^n + \dots est de degré n ;
• (2\varepsilon - 1)\mathcal{H}(u) = (2\varepsilon - 1) c_n u^n + \dots est de degré n.

Le polynôme résultant étant identiquement nul, le coefficient devant la puissance u^n doit s'annuler :

Puisque le polynôme est de degré n, c_n \neq 0, ce qui conduit directement à :

On obtient ainsi la relation cherchée :

D'après l'énoncé, l'énergie adimensionnée est définie par \varepsilon = \frac{E}{\hbar \omega_0}. Les niveaux d'énergie de vibration de la molécule sont donc quantifiés par l'entier naturel n et s'écrivent :

L'énergie associée à l'état de rotation caractérisé par le nombre quantique J \in \mathbb{N} est donnée par :

Pour le niveau immédiatement supérieur J + 1, l'énergie s'écrit :

On en déduit directement la différence d'énergie entre ces deux niveaux consécutifs :

L'énergie de la molécule dans l'état vibrationnel n et rotationnel J s'écrit :

Lors de l'absorption d'un photon de nombre d'onde \tilde{\nu}, la molécule passe de l'état fondamental vibrationnel (n=0, J'') au premier état excité (n=1, J'). L'énergie absorbée vaut :

On pose \tilde{\nu}_0 = \dfrac{\hbar\omega_0}{h c} le nombre d'onde associé à la transition vibrationnelle pure (J'' = J' = 0).

• Branche R (\Delta J = J' - J'' = +1, soit J' = J'' + 1) :

  J'(J'+1) - J''(J''+1) = (J''+1)(J''+2) - J''(J''+1) = 2(J''+1) > 0

  On a donc :

  \tilde{\nu}_{\mathrm{R}} = \tilde{\nu}_0 + \frac{2B}{hc}(J''+1) > \tilde{\nu}_0

  Les raies de la branche R correspondent aux nombres d'onde supérieurs à \tilde{\nu}_0.

• Branche P (\Delta J = J' - J'' = -1, soit J' = J'' - 1 avec J'' \ge 1) :

  J'(J'+1) - J''(J''+1) = (J''-1)J'' - J''(J''+1) = -2J'' < 0

  On a donc :

  \tilde{\nu}_{\mathrm{P}} = \tilde{\nu}_0 - \frac{2B}{hc}J'' < \tilde{\nu}_0

  Les raies de la branche P correspondent aux nombres d'onde inférieurs à \tilde{\nu}_0.

Sur le spectre de transmittance de la figure 3, on observe deux séries de raies séparées par un intervalle central dépourvu de raie entre 2865\text{ cm}^{-1} et 2906\text{ cm}^{-1} (la transition \Delta J = 0, branche Q, étant interdite). Le centre de bande se situe au milieu de cet écart :

On en déduit les intervalles correspondant aux deux branches :

D'après la question Q10, le centre de bande (absence de branche Q pour \Delta J = 0) est situé à :

1. Branche R (\tilde{\nu} > \tilde{\nu}_0, règle de sélection \Delta J = J' - J'' = +1) :

Le nombre d'onde de la transition depuis le niveau J'' s'écrit :

Les raies successives apparaissent par valeurs croissantes de J'' à partir de \tilde{\nu}_0 :

• Pour la première raie de la branche R à \tilde{\nu} = 2906\text{ cm}^{-1} :

  \boxed{J'' = 0 \quad \text{et} \quad J' = 1}

• Pour la deuxième raie de la branche R à \tilde{\nu} = 2926\text{ cm}^{-1} :

  \boxed{J'' = 1 \quad \text{et} \quad J' = 2}

2. Branche P (\tilde{\nu} < \tilde{\nu}_0, règle de sélection \Delta J = J' - J'' = -1) :

Le nombre d'onde de la transition depuis le niveau J'' s'écrit :

Le niveau initial ne peut pas être J'' = 0 car le niveau final vérifierait J' = -1, ce qui est impossible (J' étant un entier naturel). Les raies successives apparaissent par valeurs décroissantes de \tilde{\nu} (c'est-à-dire par valeurs croissantes de J'') en s'éloignant de \tilde{\nu}_0 :

• Pour la première raie de la branche P à \tilde{\nu} = 2865\text{ cm}^{-1} :

  \boxed{J'' = 1 \quad \text{et} \quad J' = 0}

• Pour la deuxième raie de la branche P à \tilde{\nu} = 2844\text{ cm}^{-1} :

  \boxed{J'' = 2 \quad \text{et} \quad J' = 1}

Deux raisons physiques expliquent cette observation :

1. Extinction de la bande rovibrationnelle fondamentale (n = 0 \to 1) pour les grands J'' :

   L'intensité d'une raie d'absorption est proportionnelle à la population N(J'') du niveau rotationnel de départ (n=0, J''). À l'équilibre thermique à température ambiante (T \approx 300\text{ K}), cette population est régie par la distribution de Boltzmann :

   N(J'') \propto (2J'' + 1) \, \exp\left(-\frac{E_{J''}}{k_{\mathrm{B}} T}\right) = (2J'' + 1) \, \exp\left(-\frac{B J''(J'' + 1)}{k_{\mathrm{B}} T}\right)

   où (2J''+1) est la dégénérescence du niveau rotationnel.

   Pour de grandes valeurs du nombre quantique J'' (sur le spectre, J'' \gtrsim 10, ce qui correspond aux bords de l'intervalle à \tilde{\nu} \approx 2600\text{ cm}^{-1} et \tilde{\nu} \approx 3100\text{ cm}^{-1}), le facteur exponentiel d'amortissement domine largement le terme linéaire (2J''+1) : la population N(J'') devient négligeable, et les raies correspondantes ne sont plus détectables.

2. Absence d'autres bandes de vibration :

   • Règle de sélection sur la vibration : Dans le modèle de l'oscillateur harmonique, seules sont autorisées les transitions dipolaires vérifiant \Delta n = +1. Les harmoniques (\Delta n = +2, +3, \dots) sont interdites (ou extrêmement peu intenses compte tenu de la très faible anharmonicité de la liaison) et se situeraient d'ailleurs vers 2\tilde{\nu}_0 \approx 5800\text{ cm}^{-1}.

   • Absence de « bandes chaudes » : L'écart d'énergie vibrationnel vaut \Delta E_{\mathrm{vib}} = h c \tilde{\nu}_0 \approx 1{,}99\times 10^{-23} \times 2886 \approx 5{,}7 \times 10^{-20}\text{ J} \approx 0{,}36\text{ eV}. Comparé à l'énergie thermique à 300\text{ K} (k_{\mathrm{B}} T \approx 4{,}1 \times 10^{-21}\text{ J} \approx 0{,}026\text{ eV}), on a :

     \frac{\Delta E_{\mathrm{vib}}}{k_{\mathrm{B}} T} \approx 14 \gg 1

     Le facteur de Boltzmann \mathrm{e}^{-\Delta E_{\mathrm{vib}}/(k_{\mathrm{B}} T)} \sim 10^{-6} est quasi-nul : à température ambiante, la quasi-totalité des molécules se trouve dans l'état vibrationnel fondamental n=0. Il n'y a donc pas d'absorption mesurable issue d'états vibrationnels excités (n=1 \to n=2).

   • Spectre de rotation pure : Les transitions purement rotationnelles (\Delta n = 0, \Delta J = +1) mettent en jeu des nombres d'onde de l'ordre de 2B/(hc) \sim 20\text{ cm}^{-1}, situés dans l'infrarouge lointain (\tilde{\nu} \lesssim 300\text{ cm}^{-1}), très en dessous de la zone observée.

D'après les questions Q10 et Q11, les nombres d'onde des raies R(0) (J''=0 \to J'=1) et P(1) (J''=1 \to J'=0) s'écrivent :

où \bar{B} = \dfrac{B}{hc} = \dfrac{h}{8\pi^2 c \mu d_0^2} est la constante rotationnelle exprimée en nombre d'onde.

La figure 3 donne les valeurs expérimentales :

1. Détermination de la pulsation propre \omega_0 Le nombre d'onde du centre de bande correspond à la demi-somme :

La transition purement vibrationnelle vérifiant \hbar \omega_0 = hc \tilde{\nu}_0, on en déduit :

En prenant c = 2{,}998 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Les mesures des deux raies étant indépendantes, l'incertitude-type sur \tilde{\nu}_0 vaut :

L'incertitude-type sur \omega_0 est alors :

2. Détermination de la distance interatomique d_0 La constante rotationnelle \bar{B} s'obtient par la demi-différence :

L'incertitude-type associée est :

La molécule la plus abondante est \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} (abondance de 76\,\%, avec m_{^{35}\mathrm{Cl}} \approx 35\,m_{\mathrm{H}}). Sa masse réduite s'écrit :

Comme \bar{B} = \dfrac{h}{8\pi^2 c \mu d_0^2}, on obtient :

Application numérique :

En considérant l'incertitude sur \bar{B} comme prépondérante, la loi de propagation des incertitudes donne :

D'après le tableau des propriétés atomiques fourni dans l'énoncé, le chlore naturel est constitué de deux isotopes stables :

L'échantillon de chlorure d'hydrogène est donc un mélange de deux isotopologues : \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} et \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl}.

La masse réduite de la molécule diatomique s'écrit :

Comme m_{{}^{37}\mathrm{Cl}} > m_{{}^{35}\mathrm{Cl}}, la masse réduite de \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl} est légèrement supérieure à celle de \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} :

Les propriétés électroniques (donc la raideur de liaison k et la distance d'équilibre d_0) étant identiques pour les deux isotopes :

• la pulsation propre de vibration \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{\mu}} est légèrement plus faible pour \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl} que pour \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} ;
• la constante rotationnelle B = \frac{\hbar^2}{2\mu d_0^2} est également légèrement plus faible pour \mathrm{H}^{37}\mathrm{Cl}.

Il en résulte un léger décalage des nombres d'onde de transition pour chaque raie rovibrationnelle :

Dans le vide, en l'absence de charges électriques (\rho = 0) et de courants électriques (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

• Équation de Maxwell-Gauss :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = 0}

• Équation de Maxwell-Thomson (flux magnétique) :

  \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

• Équation de Maxwell-Faraday :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

• Équation de Maxwell-Ampère :

  \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

où c = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

Appliquons l'identité vectorielle rappelée dans le formulaire au champ électrique \vec{E} :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (établie à la question Q15), \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

Par ailleurs, en utilisant l'équation de Maxwell-Faraday et en permutant les opérateurs différentiels spatial et temporel d'après le théorème de Schwarz :

En injectant l'équation de Maxwell-Ampère dans le vide, \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} :

On obtient ainsi l'équation de d'Alembert satisfaite par le champ électrique dans le vide :

La célérité de l'onde correspondante est la vitesse de la lumière dans le vide :

Considérons l'onde plane progressive harmonique se propageant selon l'axe (Ox) vers les x croissants, dont le champ électrique s'écrit :

Les dérivées partielles spatiales et temporelles de ce champ s'expriment sous la forme :

En injectant ces expressions dans l'équation de d'Alembert unidimensionnelle \dfrac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_+}{\partial x^2} - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \underline{\vec{E}}_+}{\partial t^2} = \vec{0} obtenue à la question Q16, on a :

Cette équation devant être vérifiée à tout instant t et en tout point x pour un champ non identiquement nul, on en déduit la relation de dispersion dans le vide :

Le même résultat est obtenu avec l'onde se propageant vers les x décroissants \underline{\vec{E}}_-(x, t).

Dans la cavité (0 \leqslant x \leqslant L), le champ électrique total s'écrit par superposition linéaire :

D'après le formulaire, la relation de passage du champ électrique à l'interface entre deux milieux s'écrit :

où \vec{n}_{12} est un vecteur unitaire normal à la surface (ici selon \pm \vec{u}_x). En projetant cette relation sur le plan tangentiel aux miroirs (porté par \vec{u}_y et \vec{u}_z), il vient la continuité de la composante tangentielle du champ électrique :

Le champ électromagnétique étant nul à l'extérieur de la cavité (x < 0 et x > L), et le champ électrique étant purement transverse (porté par \vec{u}_y, qui est tangent aux plans des miroirs), le champ électrique doit s'annuler en x = 0 et en x = L, pour tout instant t :

• En x = 0 (miroir M_1) :

  \begin{aligned} \vec{\underline{E}}(0, t) = \vec{0} \quad &\implies \quad \left( \underline{E}_{0+} + \underline{E}_{0-} \right) \mathrm{e}^{j \omega t} = 0 \\ &\implies \quad \underline{E}_{0+} + \underline{E}_{0-} = 0 \end{aligned}

• En x = L (miroir M_2) :

  \begin{aligned} \vec{\underline{E}}(L, t) = \vec{0} \quad &\implies \quad \left( \underline{E}_{0+} \mathrm{e}^{-j k L} + \underline{E}_{0-} \mathrm{e}^{j k L} \right) \mathrm{e}^{j \omega t} = 0 \\ &\implies \quad \underline{E}_{0+} \mathrm{e}^{-j k L} + \underline{E}_{0-} \mathrm{e}^{j k L} = 0 \end{aligned}

Les deux relations reliant \underline{E}_{0+}, \underline{E}_{0-}, k et L sont donc :

En combinant ces deux relations (pour une onde non identiquement nulle, c'est-à-dire \underline{E}_{0+} \neq 0), la seconde condition s'écrit de façon équivalente sous la forme :

D'après la question Q18, le champ électrique total dans la cavité s'annule aux deux miroirs plans conducteurs parfaits situés en x=0 et x=L. La condition en x=L s'écrit :

Pour obtenir une solution non triviale (champ non identiquement nul, soit \underline{E}_{0+} \neq 0), la norme du vecteur d'onde doit vérifier :

Comme l'onde se propage et que la pulsation \omega est strictement positive, la norme k est strictement positive, ce qui restreint les valeurs possibles à :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q17, \omega = ck, et en utilisant la relation entre pulsation et fréquence \omega = 2\pi\nu, il vient :

En injectant cette relation dans la condition de quantification, on obtient :

En posant \mathrm{FSR}_{\nu} = \dfrac{c}{2L}, les fréquences permises des modes de la cavité s'écrivent bien sous la forme :

D'après les définitions données pour les coefficients de réflexion et de transmission en intensité R = I_{\mathrm{r}} / I_{\mathrm{i}} et T = I_{\mathrm{t}} / I_{\mathrm{i}}, la relation R + T = 1 équivaut à :

En multipliant par la section S du faisceau lumineux traversant le miroir, cette relation s'exprime en termes de flux d'énergie (ou puissance électromagnétique moyenne véhiculée par l'onde) :

Elle traduit la conservation de l'énergie électromagnétique au niveau du miroir M_1. La totalité de la puissance incidente est partagée entre la puissance réfléchie et la puissance transmise : le miroir M_1 ne présente aucune absorption ni perte dissipative (le facteur d'absorption A est nul).

Au niveau du miroir semi-réfléchissant M_1 situé en x = 0, l'onde se propageant vers la droite dans la cavité, d'amplitude complexe \underline{E}_{\mathrm{D}}, résulte de la superposition linéaire de deux contributions :

• la fraction de l'onde de pompe incidente extérieure \underline{E}_{\mathrm{p}} transmise par le miroir M_1 vers l'intérieur de la cavité, avec le coefficient de transmission en amplitude \underline{\tau}, soit une amplitude \underline{\tau}\,\underline{E}_{\mathrm{p}} ;
• la fraction de l'onde interne se propageant vers la gauche \underline{E}_{\mathrm{G}} qui subit une réflexion sur la face interne du miroir M_1 et repart vers la droite, avec le coefficient de réflexion en amplitude \underline{r}, soit une amplitude \underline{r}\,\underline{E}_{\mathrm{G}}.

En vertu du principe de superposition linéaire régissant l'électromagnétisme dans le vide, l'amplitude résultante de l'onde se propageant vers les x croissants s'écrit donc :

L'onde se propageant vers la droite a pour amplitude complexe \underline{E}_{\mathrm{D}} en x = 0. Son champ électrique s'écrit :

Lorsqu'elle atteint le miroir M_2 en x = L, son amplitude vaut :

Le miroir M_2 étant un conducteur parfait et le champ étant nul à l'extérieur (x > L), la composante tangentielle du champ électrique total s'annule en x = L (d'après la relation de passage établie à la question Q18) :

Le champ de l'onde réfléchie par M_2 en x = L est donc :

Cette onde se propage vers la gauche selon l'axe - \vec{u}_x. Sa forme générale est \vec{\underline{E}}_-(x, t) = \underline{A} \, \mathrm{e}^{j(\omega t + kx)} \, \vec{u}_y. En identifiant en x = L :

Au niveau du miroir M_1 (x = 0), l'amplitude complexe de cette onde revenant vers la gauche est, par définition, notée \underline{E}_{\mathrm{G}} :

D'où l'expression recherchée :

D'après la relation établie à la question Q21, le champ se propageant vers la droite en x = 0^+ vérifie :

En y substituant l'expression de \underline{E}_{\mathrm{G}} obtenue à la question Q22, \underline{E}_{\mathrm{G}} = -\underline{E}_{\mathrm{D}}\,\mathrm{e}^{-2jkL}, il vient :

En regroupant les termes dépendant de \underline{E}_{\mathrm{D}} dans le membre de gauche :

On en déduit l'expression du rapport des amplitudes complexes :

D'après les données de l'énoncé, \underline{r} = -\sqrt{R} et \underline{\tau} = \sqrt{T}. La relation admise R + T = 1 (question Q20) conduit à \underline{\tau} = \sqrt{1 - R}. Il vient ainsi :

Les ondes considérées se propagent dans le vide (de même indice optique n=1). L'intensité lumineuse moyenne transportée par une onde plane harmonique est proportionnelle au carré du module de son amplitude électrique complexe :

avec le même coefficient de proportionnalité \frac{1}{2}\varepsilon_0 c. Le rapport des intensités s'écrit donc :

D'après la question Q23, le rapport des amplitudes complexes est donné par :

Le carré du module du numérateur vaut :

Calculons le carré du module du dénominateur :

En utilisant la relation trigonométrique \cos(2kL) = 1 - 2\sin^2(kL), il vient :

On en déduit l'expression du rapport des intensités :

En remarquant que 1 - R = (1-\sqrt{R})(1+\sqrt{R}), la constante g se simplifie :

On obtient bien la relation cherchée :

D'après l'expression établie à la question précédente (Q24), le rapport des intensités s'écrit :

Pour R = 0{,}960, on a \sqrt{R} \approx 0{,}9798 et 1-\sqrt{R} \approx 0{,}0202, ce qui donne les valeurs numériques suivantes :

La valeur minimale du rapport est atteinte lorsque \sin^2(kL) = 1 :

Comme M \gg 1, dès que le produit kL s'écarte très légèrement d'un multiple de \pi, le terme M\sin^2(kL) l'emporte largement devant 1 :

Le rapport \dfrac{I_{\mathrm{D}}}{I_{\mathrm{p}}} est donc quasiment nul sur la quasi-totalité de chaque période.

En revanche, le dénominateur est minimal (égal à 1) lorsque \sin(kL) = 0, c'est-à-dire pour :

ce qui correspond aux valeurs discrètes de k :

Pour ces valeurs, le rapport atteint un pic de résonance très élevé :

D'après les questions Q24 et Q25, le rapport des intensités s'écrit sous la forme d'une fonction d'Airy :

avec g = \dfrac{1+\sqrt{R}}{1-\sqrt{R}} \approx 98 pour R = 96{,}0\,\%.

Cette fonction présente les caractéristiques graphiques suivantes :

• Périodicité : elle est périodique de période \Delta(kL) = \pi.

• Pics de résonance : elle atteint sa valeur maximale pour kL = m\pi (m \in \mathbb{N}^*), avec une hauteur égale à :

  \left(\frac{I_{\mathrm{D}}}{I_{\mathrm{p}}}\right)_{\max} = g \approx 98

• Minima : pour kL = \left(m + \frac{1}{2}\right)\pi, la fonction atteint son minimum :

  \left(\frac{I_{\mathrm{D}}}{I_{\mathrm{p}}}\right)_{\min} = \frac{1-\sqrt{R}}{1+\sqrt{R}} \approx 1{,}0 \times 10^{-2} \approx 0
• Finesse des pics : le coefficient de contraste M = \dfrac{4\sqrt{R}}{(1-\sqrt{R})^2} \approx 9{,}6 \times 10^3 \gg 1 étant très grand, les pics sont extrêmement étroits, séparés par de larges plages où l'intensité transmise est virtuellement nulle.

Le tracé de \dfrac{I_{\mathrm{D}}}{I_{\mathrm{p}}} en fonction du produit adimensionné kL est représenté ci-dessous :

D'après l'expression établie à la question Q24 :

ce rapport est maximal lorsque le dénominateur est minimal, c'est-à-dire pour :

Les modes de la cavité sont ainsi caractérisés par les vecteurs d'onde discrets :

D'après la relation de dispersion dans le vide établie à la question Q17 (\omega = ck = 2\pi\nu), les fréquences des modes de la cavité s'écrivent :

L'Intervalle Spectral Libre en fréquence de la cavité avec pertes, noté \mathrm{FSR}'_{\nu}, correspond à l'écart en fréquence entre deux modes longitudinaux adjacents :

Comparaison avec le cas sans pertes : On retrouve exactement la même valeur que pour la cavité sans pertes de la question Q19 :

Les fréquences de résonance \nu_m et l'écart intermode sont identiques dans les deux cas : ils ne dépendent que de la géométrie de la cavité (la longueur L) et de la célérité c. L'introduction de pertes par transmission au niveau du miroir M_1 n'a pas d'impact sur la position des résonances, mais élargit spectralement les modes (pics de largeur à mi-hauteur non nulle \Delta\nu_{\mathrm{c}}).

D'après la question Q24, le rapport des intensités s'écrit :

Le maximum de ce rapport vaut \left(\frac{I_{\mathrm{D}}}{I_{\mathrm{p}}}\right)_{\max} = g, atteint pour k_m L = m\pi.

La largeur à mi-hauteur \Delta\nu_{\mathrm{c}} est l'écart en fréquence entre les deux points où le rapport d'intensité est divisé par deux :

Le produit kL s'exprime en fonction de la fréquence \nu et de \mathrm{FSR}'_{\nu} = \dfrac{c}{2L} (question Q27) par :

Au voisinage du mode de fréquence \nu_m = m \times \mathrm{FSR}'_{\nu}, les fréquences à mi-hauteur s'écrivent \nu = \nu_m \pm \dfrac{\Delta\nu_{\mathrm{c}}}{2}, ce qui donne :

Comme la largeur du pic est supposée négligeable devant l'intervalle spectral libre (\Delta\nu_{\mathrm{c}} \ll \mathrm{FSR}'_{\nu}), l'argument du sinus est très petit et on peut effectuer un développement limité à l'ordre 1 :

En identifiant avec la condition à mi-hauteur :

La finesse \mathcal{F} = \dfrac{\mathrm{FSR}'_{\nu}}{\Delta\nu_{\mathrm{c}}} s'en déduit directement :

Application numérique : Pour R = 96{,}0\,\% = 0{,}960, on a :

D'où :

D'après la définition de la finesse, la largeur spectrale à mi-hauteur de chaque mode de résonance s'écrit :

Une cavité de très grande finesse (\mathcal{F} \gg 1) permet donc de sélectionner des modes d'émission présentant une largeur spectrale \Delta\nu_{\mathrm{c}} extrêmement étroite, conférant au laser un rayonnement hautement monochromatique.

En interférométrie, la cohérence temporelle de la source est caractérisée par son temps de cohérence \tau_{\mathrm{c}} \sim \dfrac{1}{\Delta\nu_{\mathrm{c}}} et sa longueur de cohérence spatiale associée :

Une très grande finesse assure ainsi une très grande longueur de cohérence L_{\mathrm{c}} :

L'avantage direct en interférométrie est de pouvoir obtenir des figures d'interférence avec un excellent contraste pour des différences de marche très importantes (\delta \lesssim L_{\mathrm{c}}), ce qui est indispensable pour :

• la métrologie de haute précision et la mesure de grandes distances sans perte de contraste ;
• les détecteurs interférométriques géants d'ondes gravitationnelles (LIGO, Virgo).

D'après les descriptions des cinq processus d'interaction lumière-matière :

1. Pompage (M \to M^{**}) : processus d'ordre 1 consommant l'état fondamental de population n_1 avec la constante \Gamma :

   \boxed{v_{\text{pomp}} = \Gamma \, n_1}

2. Désexcitation non radiative (M^{**} \to M^*) : processus d'ordre 1 consommant l'état doublement excité de population n_3 avec la constante k_{\text{nr}} :

   \boxed{v_{\text{nr}} = k_{\text{nr}} \, n_3}

3. Absorption (M \to M^*) : processus d'ordre 1 consommant l'état fondamental de population n_1 avec la constante \beta :

   \boxed{v_{\text{abs}} = \beta \, n_1}

4. Émission stimulée (M^* \to M) : processus d'ordre 1 consommant l'état simplement excité de population n_2 avec la constante \beta :

   \boxed{v_{\text{stim}} = \beta \, n_2}

5. Émission spontanée (M^* \to M) : processus d'ordre 1 consommant l'état simplement excité de population n_2 avec la constante A :

   \boxed{v_{\text{spont}} = A \, n_2}

La variation temporelle de la population n_1 de l'état fondamental M résulte d'un bilan cinétique tenant compte de tous les processus modélisés comme des réactions chimiques d'ordre 1 (établis à la question Q30) :

• Processus dépeuplant le niveau fondamental (termes de perte, affectés du signe -) :

  • le pompage M \to M^{**} de vitesse v_{\text{pomp}} = \Gamma n_1 ;
  • l'absorption stimulée M \to M^* de vitesse v_{\text{abs}} = \beta n_1.

• Processus peuplant le niveau fondamental (termes de gain, affectés du signe +) :

  • l'émission spontanée M^* \to M de vitesse v_{\text{spont}} = A n_2 ;
  • l'émission stimulée M^* \to M de vitesse v_{\text{stim}} = \beta n_2.

La transition non radiative M^{**} \to M^* n'implique pas le niveau fondamental et n'intervient donc pas dans ce bilan.

En sommant algébriquement ces contributions, on obtient :

soit directement :

1. Bilan de population pour le niveau simplement excité M^* (population n_2) :

• Processus de création (peuplement) :

  • Désexcitation non radiative depuis M^{**} : + v_{\mathrm{nr}} = + k_{\mathrm{nr}} n_3 ;
  • Absorption de photon depuis M : + v_{\mathrm{abs}} = + \beta n_1.

• Processus de disparition (dépeuplement) :

  • Émission stimulée vers M : - v_{\mathrm{stim}} = - \beta n_2 ;
  • Émission spontanée vers M : - v_{\mathrm{spont}} = - A n_2.

On en déduit :

2. Bilan de population pour le niveau doublement excité M^{**} (population n_3) :

• Processus de création :

  • Pompage depuis le niveau fondamental M : + v_{\mathrm{pomp}} = + \Gamma n_1.

• Processus de disparition :

  • Désexcitation non radiative vers M^* : - v_{\mathrm{nr}} = - k_{\mathrm{nr}} n_3.

On en déduit :

Pour vérifier que la somme des populations est constante au cours du temps, calculons la dérivée temporelle de la grandeur n_{\mathrm{tot}} = n_1 + n_2 + n_3. En sommant les trois équations différentielles obtenues aux questions Q31 et Q32 :

Regroupons les termes selon chaque population :

La dérivée temporelle de la somme est identiquement nulle, ce qui prouve que :

Interprétation physique :
Ce résultat traduit la conservation du nombre total de molécules (ou centres actifs) M par unité de volume au sein du milieu amplificateur : le système est fermé et sans destruction chimique. L'ensemble des processus considérés (pompage, émission spontanée, absorption, émission stimulée, désexcitation non radiative) ne correspond qu'à des transferts internes de population entre les différents niveaux d'énergie d'une même espèce, sans création ni perte nette d'atomes ou de molécules.

En régime stationnaire, les populations volumiques n_1, n_2 et n_3 sont indépendantes du temps, de sorte que toutes leurs dérivées temporelles sont nulles.

D'après les relations établies aux questions Q31 et Q32 :

La première équation donne immédiatement la population du niveau fondamental en fonction de n_3 :

La seconde équation permet d'exprimer la population n_2 du niveau excité en fonction de n_1 :

On en déduit l'expression de la différence de population \Delta n = n_2 - n_1 :

En substituant n_1 = \dfrac{k_{\mathrm{nr}}}{\Gamma} n_3, on obtient finalement :

D'après la question Q34, l'inversion de population en régime stationnaire s'exprime par :

Les constantes de vitesse k_{\mathrm{nr}}, \Gamma, A et \beta ainsi que la population n_3 sont des grandeurs strictement positives. L'inversion de population, définie par la condition \Delta n > 0, impose donc directement :

Interprétation physique :

• \Gamma représente le taux de transition par unité de temps associé au pompage (M \to M^{**}), qui alimente le niveau laser supérieur M^* grâce à la transition non radiative très rapide (k_{\mathrm{nr}} \gg \Gamma).
• A est le coefficient d'émission spontanée d'Einstein, qui gouverne le dépeuplement spontané et inévitable du niveau excité M^* vers l'état fondamental M.
• La condition \Gamma > A signifie que le pompage doit être suffisamment intense pour amener les atomes vers l'état excité à une fréquence supérieure à celle à laquelle ils se désexcitent spontanément : le temps caractéristique de pompage \tau_{\mathrm{pomp}} \sim 1/\Gamma doit être plus court que la durée de vie radiative spontanée du niveau haut \tau_{\mathrm{spont}} = 1/A.

Tous les processus décrits précédemment ne contribuent pas au bilan d'énergie de l'onde laser :

• Processus ne contribuant pas au bilan :

  • Le pompage (M \to M^{**}) est assuré par une source d'énergie extérieure (apport énergétique entre E_1 et E_3) et n'échange pas de photons à la pulsation \omega avec l'onde laser ;
  • La désexcitation non radiative (M^{**} \to M^*) s'effectue sans émission de photon (transfert par collisions), sans interaction avec le champ électromagnétique.

• Processus résultant en une perte d'énergie pour l'onde laser :

  • L'absorption (M \to M^*) : un atome dans l'état fondamental absorbe un photon d'énergie \hbar\omega de l'onde incidente, ce qui détruit un photon du faisceau laser. C'est le seul processus de perte d'énergie.

• Processus résultant en un gain d'énergie électromagnétique :

  • L'émission stimulée (M^* \to M) : sous l'action de l'onde incidente, un atome excité se désexcite en créant un photon identique en fréquence, direction, phase et polarisation à ceux de l'onde. Cela constitue un gain d'énergie directement apporté au faisceau laser (effet amplificateur) ;
  • L'émission spontanée (M^* \to M) : la désexcitation radiative aléatoire produit des photons d'énergie \hbar\omega. Il s'agit d'une création de rayonnement électromagnétique, donc d'un terme de gain (terme source), bien que ces photons soient émis de façon isotrope et incohérente.

Considérons le système fermé constitué de l'onde électromagnétique contenue dans une tranche de milieu amplificateur de section droite S comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

L'énergie électromagnétique contenue dans ce volume à l'instant t vaut :

Sa variation au cours de \mathrm{d}t s'écrit :

Cette variation résulte :

• du flux net d'énergie apporté par la propagation du champ électromagnétique selon +\vec{u}_x :

  \delta\mathcal{E}_{\text{flux}} = \Pi(x,t)\,S\,\mathrm{d}t - \Pi(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t = -\frac{\partial \Pi}{\partial x}(x,t)\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

• de la création ou destruction nette d'énergie par interaction avec les espèces du milieu amplificateur. Chaque transition entre les niveaux 1 et 2 met en jeu un quantum d'énergie \hbar\omega :

  • l'émission stimulée fournit de l'énergie au champ avec un taux volumique v_{\text{stim}}\,\hbar\omega = \beta\,n_2\,\hbar\omega ;
  • l'absorption prélève de l'énergie au champ avec un taux volumique -v_{\text{abs}}\,\hbar\omega = -\beta\,n_1\,\hbar\omega ;
  • l'émission spontanée produit également des photons de fréquence \omega, fournissant de l'énergie au champ avec un taux volumique +v_{\text{spont}}\,\hbar\omega = +A\,n_2\,\hbar\omega.

La puissance volumique cédée au champ électromagnétique s'écrit donc :

Le bilan d'énergie s'écrit ainsi :

En divisant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

D'après les données de l'énoncé, \Pi(x,t) = c\,u_{\text{ém}}(x,t) et \beta = b\,u_{\text{ém}}(x,t) = \frac{b}{c}\,\Pi(x,t). On en déduit :

L'équation de transport de l'intensité s'écrit donc :

Par identification avec la relation demandée, \frac{\partial \Pi}{\partial x} + \frac{1}{c} \frac{\partial \Pi}{\partial t} = \gamma(\omega)\,\Pi(x,t) - p(\omega), on identifie :

D'après la modélisation cinétique de la question précédente :

• Le terme proportionnel à la densité de flux \gamma(\omega)\,\Pi(x,t) provient de l'émission stimulée (corrigée de l'absorption). Par définition de l'émission stimulée, les photons émis sont strictement identiques aux photons incidents : ils possèdent la même pulsation \omega, le même vecteur d'onde (propagation rectiligne selon +\vec{u}_x), le même état de polarisation et la même phase. C'est le processus responsable de l'amplification cohérente.
• Le terme p(\omega), proportionnel au taux d'émission spontanée A\,n_2, correspond à une émission de photons aléatoire, décorrélée en phase et isotrope dans tout l'espace (bruit incohérent).

La condition p(\omega) \ll \gamma(\omega)\,\Pi(x,t) signifie que l'émission stimulée domine largement l'émission spontanée.

Au regard de la nature de la lumière produite par un laser, cette condition est essentielle pour obtenir :

• une onde hautement cohérente (temporellement et spatialement) : la cohérence de phase n'est pas brouillée par le rayonnement aléatoire d'émission spontanée ;
• une onde extrêmement directive : le faisceau ne se disperse pas dans les directions transverses et se propage quasi-parfaitement selon l'axe longitudinal de la cavité laser ;
• une onde monochromatique de forte intensité spectrale, caractéristique de l'effet laser.

D'après l'équation établie à la question Q37 et sous l'hypothèse de prépondérance de l'émission stimulée devant l'émission spontanée p(\omega) \ll \gamma(\omega)\,\Pi(x, t) (question Q38), le bilan d'énergie s'écrit :

En régime stationnaire, la composante du vecteur de Poynting est indépendante du temps (\partial \Pi / \partial t = 0), d'où :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants. Sa solution générale est de la forme :

En imposant la condition en x = 0, \Pi(0) = \Pi_0, il vient immédiatement C = \Pi_0. On obtient donc :

D'après la question Q37, le terme \gamma(\omega) s'écrit en fonction de l'inversion de population \Delta n = n_2 - n_1 :

avec b > 0, \hbar\omega > 0 et c > 0, de sorte que \gamma(\omega) est du signe de \Delta n.

1. Interprétation physique de \gamma(\omega) : D'après l'évolution spatiale établie à la question Q39, \Pi(x) = \Pi_0\,\mathrm{e}^{\gamma(\omega)\,x}, le paramètre \gamma(\omega) est homogène à l'inverse d'une longueur (\mathrm{m^{-1}}). Il représente le coefficient de gain linéique (ou coefficient d'amplification linéique) du milieu à la pulsation \omega.

2. Discussion du signe en fonction de \Delta n :

   • Si \Delta n < 0 (n_2 < n_1) : \gamma(\omega) < 0. En posant \alpha(\omega) = -\gamma(\omega) > 0, on a \Pi(x) = \Pi_0\,\mathrm{e}^{-\alpha(\omega)\,x}. Le milieu est atténuateur (loi de Beer-Lambert) car l'absorption prédomine sur l'émission stimulée. C'est la situation naturelle à l'équilibre thermodynamique.
   • Si \Delta n = 0 (n_2 = n_1) : \gamma(\omega) = 0. Le milieu est transparent (saturation).
   • Si \Delta n > 0 (n_2 > n_1) : \gamma(\omega) > 0. L'onde est exponentiellement amplifiée au cours de sa propagation car l'émission stimulée l'emporte sur l'absorption. Le milieu est amplificateur.

3. Lien avec la question Q35 : À la question Q35, il a été montré que l'inversion de population en régime stationnaire est conditionnée par :

   \Delta n > 0 \iff \Gamma > A

   L'amplification optique (\gamma(\omega) > 0) nécessite donc impérativement que le taux de pompage dépasse le taux d'émission spontanée (\Gamma > A).

1. Justification du qualificatif « Bleu » :

   D'après le texte, la solution de colorant possède une bande d'absorption comprise entre 550\text{ nm} et 620\text{ nm}. Ce domaine spectral correspond aux radiations jaune-orangé du spectre visible.

   Lorsqu'elle est éclairée en lumière blanche, la solution absorbe ces longueurs d'onde et transmet les autres. La couleur perçue par l'œil est la couleur complémentaire des radiations absorbées. Sur le cercle chromatique, le complémentaire du jaune-orange est le bleu. La solution présente donc une coloration bleue en transmission ou en diffusion, ce qui justifie son appellation « Bleu de Nil A ».

2. Couleur de l'émission laser :

   La figure 6 montre que les pics d'émission laser sont situés dans le domaine de longueurs d'onde :

   \lambda \in [685\text{ nm}\,;\,705\text{ nm}]

   avec un maximum d'intensité situé autour de \lambda \approx 695\text{ nm}.

   Ces longueurs d'onde se situent dans la partie supérieure du spectre visible (620\text{ nm} \leqslant \lambda \leqslant 750\text{ nm}). L'émission laser est donc de couleur rouge (rouge profond).

À la question Q19, pour une cavité vide (n=1), l'intervalle spectral libre en fréquence était :

Lorsque la cavité de longueur L est entièrement remplie d'un milieu transparent d'indice de réfraction n, la célérité de l'onde lumineuse devient v = c/n (ce qui équivaut à un chemin optique d'aller-retour \delta = 2nL). Par analogie directe, l'écart en fréquence entre deux modes longitudinaux consécutifs s'écrit :

La fréquence \nu et la longueur d'onde dans le vide \lambda sont reliées par :

Pour deux modes voisins, l'écart spectral est très faible devant la longueur d'onde centrale (\mathrm{FSR}_{\lambda} \ll \lambda). En différentiant cette relation :

En identifiant |\Delta \nu| = \mathrm{FSR}_{\nu} et |\Delta \lambda| = \mathrm{FSR}_{\lambda}, il vient :

Soit finalement :

Méthode 1 : à partir de l'intervalle spectral libre \mathrm{FSR}_\lambda

D'après le résultat de la question Q42, la longueur de la cavité s'exprime par :

D'après la figure 6 :

• Le pic d'émission prépondérant (mode m = 657) est centré à \lambda \approx 695\text{ nm}.
• L'insert donne la valeur expérimentale de l'intervalle spectral libre pour les modes considérés : \mathrm{FSR}_\lambda \approx 1{,}05\text{ nm} (valeur moyenne comprise entre 1{,}04 et 1{,}07\text{ nm}).
• L'énoncé précise l'indice optique du milieu amplificateur : n = 1{,}3587.

L'application numérique donne :

Méthode 2 : à partir du numéro de mode m

La quantification des modes dans une cavité d'indice n impose un aller-retour optique égal à un nombre entier de longueurs d'onde dans le vide :

Pour le mode m = 657 émettant à \lambda \approx 695\text{ nm} :

Les deux estimations concordent parfaitement :

La fréquence \nu et la longueur d'onde dans le vide \lambda d'une onde électromagnétique sont reliées par :

Par différentiation, pour une faible variation spectrale autour d'une longueur d'onde \lambda (\Delta \lambda \ll \lambda), on a :

Cette relation s'applique :

• à la largeur spectrale à mi-hauteur d'un mode :

  \Delta\nu_{\mathrm{c}} \approx \frac{c}{\lambda^2}\,\Delta\lambda_{\mathrm{c}}

• à l'écart entre deux modes consécutifs (l'intervalle spectral libre) :

  \mathrm{FSR}_\nu \approx \frac{c}{\lambda^2}\,\mathrm{FSR}_\lambda

En injectant ces deux expressions dans la définition de la finesse, le facteur de conversion \frac{c}{\lambda^2} se simplifie :

On obtient bien :

Ordre de grandeur pour la cavité de Lahoz et al. :

• D'après l'insert de la figure 6, l'intervalle spectral libre en longueur d'onde vaut typiquement :

  \mathrm{FSR}_\lambda \approx 1{,}05\text{ nm}

• L'énoncé indique une largeur de pic :

  \Delta\lambda_{\mathrm{c}} \approx 0{,}1\text{ nm}

On en déduit :