Ce sujet en trois parties étudie d'abord la vibration et la rotation quantifiées de la molécule HCl sondées par spectroscopie infrarouge à transformée de Fourier, en s'appuyant sur l'oscillateur harmonique quantique et le rotateur rigide. Il analyse ensuite les modes propres d'une cavité laser linéaire, sans puis avec pertes, et enfin le milieu amplificateur d'un laser à travers l'inversion de population et un bilan de puissance électromagnétique, illustré par un laser à colorant compact.

1Partie A, I - Vibration de HClModélise la vibration de la molécule par un oscillateur harmonique quantique, établit l'inégalité de Heisenberg sur l'énergie mécanique moyenne et détermine les niveaux d'énergie de vibration par résolution de l'équation de Schrödinger.
2Partie A, II - Rovibration de HClIntroduit les niveaux d'énergie de rotation d'un rotateur rigide et exploite un spectre de transmittance expérimental pour identifier les transitions rovibrationnelles et en déduire la longueur de liaison et la pulsation de vibration de HCl.
3Partie B - Cavité d'un laserDétermine les modes propres d'une cavité laser linéaire à miroirs parfaits, puis étudie une cavité avec pertes où un miroir partiellement transparent laisse échapper le rayonnement, en introduisant l'intervalle spectral libre et la finesse de la cavité.
4Partie C - Milieu amplificateur d'un laserModélise par des réactions d'ordre un les échanges de population entre niveaux d'énergie du milieu amplificateur, établit la condition d'inversion de population, puis relie ce résultat à un bilan de puissance électromagnétique illustré par un laser à colorant compact.

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Physique-chimie 1

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Spectroscopie rovibrationnelle et laser

Ce sujet se décompose en trois parties relativement indépendantes :

-la première partie s'intéresse à la dynamique vibrationnelle, puis rovibrationnelle, de la molécule HCl, sondée à l'aide d'un rayonnement infrarouge. Cette partie comprend des aspects théoriques et expérimentaux en relation avec la spectroscopie rovibrationnelle;
-les deuxième et troisième parties sont dédiées à l'étude de deux éléments clés dans la compréhension du fonctionnement du laser (dispositif d'amplification de la lumière par émission stimulée de radiation) : sa cavité et son milieu amplificateur (figure 1).

Figure 1 - Schéma simplifié d'un milieu amplificateur à l'intérieur d'une cavité linéaire délimitée par deux miroirs

M_1

M_2

Des données et un formulaire sont regroupés en fin d'énoncé.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Elles sont repérées par un soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Partie A - Spectroscopie rovibrationnelle

Le rayonnement infrarouge, produit par un laser ou une autre source comme une lampe, peut être utilisé pour sonder la matière à l'échelle atomique ou moléculaire et ceci à très haute résolution.
Dans cette partie, on s'intéresse à l'analyse de la structure microscopique de la molécule HCl par spectroscopie infrarouge rovibrationnelle : elle fait intervenir un mouvement combiné de vibration interne et de rotation globale de la molécule (rotation-vibration).

I - Vibration de HCl

Cette sous-partie concerne uniquement l'étude théorique de la vibration interne de la molécule HCl.
HCl est une molécule diatomique constituée d'un atome d'hydrogène et d'un atome de chlore associés par une liaison covalente. La longueur de cette liaison est de l'ordre de

10^(- 10) m

, mais elle peut osciller au cours du temps : on parle de vibration moléculaire.

Q1. Écrire l'équation différentielle satisfaite par

x(t)

, position par rapport à l'équilibre, pour un oscillateur harmonique classique de pulsation propre

ω_0

, puis rappeler l'expression générale de ses solutions.

On choisit la référence pour l'énergie potentielle de l'oscillateur harmonique classique à la position

x = 0

.
Q2. Préciser, avec justification, les valeurs minimales possibles des énergies cinétique, potentielle et mécanique moyennes dans le cas d'un oscillateur harmonique classique.

On adopte un modèle quantique unidimensionnel pour étudier la vibration d'élongation de la molécule HCl : un oscillateur harmonique quantique constitué d'une particule quantique non relativiste de masse

μ

astreinte à se déplacer le long de l'axe

(Ox)

avec une énergie potentielle

E_p(x) = 1/2μω_0^2 x^2

où

ω_0

est une constante strictement positive. L'origine

O

de l'axe est confondue avec la position d'équilibre de l'oscillateur.
On note respectivement

Δx

Δp_x

les écarts-types sur la position

x

et la quantité de mouvement

p_x

de la particule selon l'axe

(Ox)

Q3. Montrer que les énergies potentielle et cinétique moyennes, notées

⟨E_p⟩

⟨E_c⟩

, peuvent s'écrire :

⟨E_p⟩ = K_1 Δx^2 et ⟨E_c⟩ = K_2 Δp_x^2

avec

K_1

K_2

deux constantes à expliciter en fonction des données du problème.
Q4. Montrer que l'inégalité spatiale d'Heisenberg impose à l'énergie mécanique moyenne de l'oscillateur harmonique quantique de ne pas être inférieure à une énergie particulière, notée

⟨E_m⟩_(min)

, à expliciter en fonction de

ℏ

ω_0

. Commenter le résultat relativement au cas de l'oscillateur harmonique classique précédent.

On suppose que l'amplitude

a_0

des oscillations s'écrit comme d'une loi de puissance de la forme suivante :

a_0 = ℏ^α ω_0^β μ^δ

avec

α, β

δ

des constantes réelles.

Q5. Déterminer les exposants

α, β

δ

, puis évaluer un ordre de grandeur de

a_0

. On supposera que la masse

μ

est quasiment égale à celle de l'atome d'hydrogène et on prendra

ω_0 \approx 10^(15)rad/s

La détermination des énergies de vibration s'effectue en résolvant l'équation de Schrödinger indépendante du temps et en faisant le double changement de variables

u = x/a_0

ε = E/(ℏω_0)

où

E

est l'énergie de vibration de la molécule. On note

Ψ(x, t) = φ(u)χ(t)

la fonction d'onde de la particule de masse

μ

Q6. Rappeler la forme de

χ(t)

. Obtenir la relation vérifiée par

φ(u)

, sa dérivée seconde

φ^('')(u), u

ε

.
On cherche

φ(u)

sous la forme

φ(u) = H(u)e^(- (u^2)/2)

, avec

H(u)

un polynôme de degré

n

H(u) = c_n u^n + c_(n - 1)u^(n - 1) + \dots + c_0.

Q7. Montrer que

H

vérifie l'équation différentielle :

H^('')(u) - 2uH^'(u) + (2ε - 1)H(u) = 0.

Q8. En raisonnant sur le monôme de degré

n

de cette équation, montrer qu'il existe une relation simple entre

ε

n

. En déduire l'expression des énergies de vibration de la molécule.

II - Rovibration de HCl

La molécule HCl possède non seulement un degré de liberté en élongation, mais également deux degrés de liberté en rotation. Afin d'étudier cette rotation, on suppose que HCl est dans un état de vibration donné et que la vibration n'affecte pas la rotation de la molécule. Dans ce sens, on met de côté la vibration interne de la molécule que l'on assimile à un rotateur rigide dans lequel les deux atomes sont distants d'une longueur

d_0

fixe. La résolution quantique d'un tel modèle indique que les énergies associées aux états de rotation sont données par la formule

E_J = BJ(J + 1)

avec

B = (ℏ^2)/(2μd_0^2)

la constante rotationnelle et

J

le nombre quantique de rotation (

J

est un entier naturel).
Q9. Déterminer la différence d'énergie

ΔE_J = E_(J + 1) - E_J

entre deux niveaux rotationnels voisins en fonction de

B

J

La spectroscopie FTIR (transformée de Fourier dans l'infrarouge) utilise une source lumineuse infrarouge, typiquement une lampe à filament, qui émet dans le domaine infrarouge pour irradier des molécules. Une partie du rayonnement est absorbée par la molécule qui passe alors d'un niveau fondamental à un niveau plus excité (figure 2). Suite à cette absorption, la lumière est appauvrie en composantes spectrales. Cette lumière est analysée par transformée de Fourier pour produire un spectre de transmittance comme celui représenté à la figure 3.
Sur le spectre de la figure 3, les rayonnements absorbés correspondent à des transitions entre des niveaux rotationnels de l'état vibrationnel fondamental de HCl et des niveaux rotationnels de son premier état vibrationnel excité (figure 2).

Figure 2 - Schéma énergétique de quelques niveaux rotationnels des deux premiers niveaux vibrationnels de HCl et quelques transitions rovibrationnelles entre eux (flèches rouges). L'axe vertical est coupé puisque la différence en énergie entre les niveaux vibrationnels est très supérieure à l'écart entre deux niveaux rotationnels consécutifs

(B≪ℏω_0)

Figure 3 - Spectre de transmittance de HCl produit par FTIR [1]. Les nombres d'onde de certaines transitions sont indiqués (le nombre d'onde, noté ici

ν~

, est l'inverse de la longueur d'onde). Leurs incertitudes-types associées sont de

1 cm^(- 1)

. Aucune raie d'absorption n'est observée en dehors de l'intervalle de mesure présenté.

Les états rotationnels du niveau fondamental et du premier niveau excité sont respectivement identifiés par leurs nombres quantiques

J^('')

J^'

. On suppose qu'ils ont la même constante rotationnelle.
Des règles de sélection, issues d'un calcul quantique, indiquent que les seules transitions possibles sont pour

ΔJ = J^' - J^('') = + 1(branche R) ou ΔJ = J^' - J^('') = - 1 (branche P).

Q10. En s'appuyant sur la figure 3, identifier les intervalles en nombre d'onde qui correspondent aux branches R et P.
Q11. Identifier les valeurs des nombres quantiques

J^('')

J^'

pour les transitions associées aux raies d'absorption à

2926 cm^(- 1), 2906 cm^(- 1), 2865 cm^(- 1)

2844 cm^(- 1)

sur la figure 3.

Q12. Expliquer pourquoi on n'observe pas de raie d'absorption en dehors de l'intervalle

[2600; 3100]cm^(- 1)

.
Q13. Déduire, à partir de la figure 3, des valeurs expérimentales avec incertitudes-types pour la distance

d_0

et de la pulsation propre

ω_0

de vibration de la molécule HCl.

On observe que les raies sur la figure 3 sont en fait dédoublées.
Q14. Proposer une explication de cette observation de raies doubles et non simples.

Partie B - Cavité d'un laser

Cette partie s'intéresse au rôle d'une cavité laser linéaire de longueur

L

, délimitée par deux miroirs plans

M_1

M_2

supposés infinis et placés respectivement en

x = 0

x = L

. On suppose dans cette partie que la cavité est totalement vide (figure 1, sans milieu amplificateur) et que les ondes électromagnétiques qui s'y propagent sont planes, progressives, harmoniques de pulsation

ω

et de vecteurs d'onde de norme

k

I - Cavité sans pertes

On suppose pour commencer que les miroirs

M_1

M_2

sont des conducteurs parfaits d'épaisseur nulle.
Q15. Donner les équations de Maxwell dans le vide.
Q16. Montrer que, dans le vide, le champ électrique

E⃗

obéit à une équation d'onde de d'Alembert dont on précisera la célérité.

Les champs électriques associés aux ondes progressives qui se propagent respectivement vers la droite et vers la gauche dans la cavité s'écrivent respectivement

E_-\to_+(x, t) = E_-_-_(0 +)e^(j(ωt - kx))u_y^(\to-) et E_-_-_-(x, t) = E_-_(0 -)e^(j(ωt + kx))u_y^(\to-)

en notation complexe; les facteurs

E_-_(0 +)

E_-_(0 -)

sont appelés amplitudes complexes de ces deux ondes (sous-entendu en champ électrique, comme dans toute la suite).
On suppose par ailleurs que le champ électromagnétique est nul en dehors de la cavité.
Q17. Établir la relation de dispersion des ondes électromagnétiques dans le vide.
Q18. En exploitant les conditions aux limites imposées au champ électrique au niveau des miroirs

M_1(x = 0)

M_2

(x = L)

, déterminer deux relations entre

E_-_(0 +), E_-_(0 -), k

L

. Les relations de passage du champ électrique sont rappelées dans le formulaire en fin d'énoncé.

Les rayonnements vérifiant les équations de Maxwell et les conditions aux limites précédentes constituent les modes de la cavité.

Q19. Montrer que les fréquences des modes de la cavité s'écrivent sous la forme

ν_m = m \times FSR_ν

où

m

est un entier naturel non nul et

FSR_ν = c/(2L)

L'acronyme FSR, pour « Free Spectral Range » en anglais, est appelé « Intervalle Spectral Libre » en français; la grandeur

FSR_ν

est l'Intervalle Spectral Libre en fréquence de la cavité. L'entier

m

est le « numéro de mode ».

II - Cavité avec pertes

Le modèle de la sous-partie précédente ne permet pas d'obtenir un rayonnement sortant de la cavité. On le modifie en remplaçant le miroir

M_1

par un miroir très partiellement transparent pour permettre à une partie du rayonnement de sortir effectivement de la cavité; le miroir

M_2

est inchangé (figure 4).

Figure 4 - Schéma d'une cavité laser avec pertes. Les flèches sous les amplitudes complexes des champs électriques indiquent la direction et le sens de propagation des ondes associées.

Le miroir

M_1

est maintenant caractérisé par des coefficients de réflexion et de transmission en intensité

R

T

tels que

R = (I_r)/(I_i)

T = (I_t)/(I_i)

, où

I_i

I_r

I_t

sont respectivement les intensités des ondes incidente, réfléchie et transmise. On admet sans démonstration que

R + T = 1

.
Pour caractériser la réflexion et la transmission du miroir

M_1

, on peut aussi introduire les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude relatifs à des ondes planes progressives harmoniques :

r_- = (E_-_r)/(E_-_i)

τ_- = (E_-_t)/(E_-_i)

, avec

E_-_i, E_-_r

E_-_t

les amplitudes complexes des ondes incidente, réfléchie et transmise au niveau du miroir

M_1

.
Le rayonnement d'amplitude complexe

E_-_i

est issu d'un autre laser, appelé laser de pompe (le processus de pompage est explicité dans la dernière partie du sujet). Pour cette partie, il suffit de savoir que ce rayonnement est à l'origine de l'effet laser qui a lieu dans le milieu amplificateur.
On admet que

r_-

τ_-

sont ici réels et tels que

r_- = - \sqrtR

τ_- = \sqrtT

. Ces coefficients ne dépendent pas du sens de traversée du miroir.

Les ondes électromagnétiques considérées sont supposées planes progressives harmoniques à l'intérieur et à l'extérieur de la cavité :

-dans la cavité, on note $E_-_D$ et $E_-_G$ les amplitudes complexes des ondes qui se propagent respectivement vers la droite et vers la gauche;
-à l'extérieur de la cavité, on note $E_-_p$ et $E_-_r$ les amplitudes complexes respectives des ondes incidente et réfléchie sur le miroir $M_1$ .

On a vu dans la sous-partie précédente sur la cavité sans pertes que seulement certains rayonnements (modes de la cavité) peuvent s'y propager. Il s'agit à présent de déterminer s'il en est de même pour une cavité avec pertes.
Afin d'y parvenir, on va comparer l'intensité lumineuse

I_D

se propageant vers la droite dans la cavité à l'intensité lumineuse

I_p

du laser de pompe. L'idée est que plus le rapport

(I_D)/(I_p)

est grand, meilleure est la pénétration du laser pompe dans la cavité, ce qui permet d'optimiser l'effet laser une fois que l'on introduit le milieu amplificateur à l'intérieur de la cavité (voir partie C).

Q20. Proposer une interprétation physique pour la relation

R + T = 1

.
On peut montrer que le champ électrique

E_-_D

s'écrit :

E_-_D = τ_-E_-_P + r_-E_-_G.

Q21. Expliquer l'origine physique de cette relation.
Q22. Exprimer

E_-_G

en fonction de

E_-_D, k

L

.
Q23. En déduire une expression du rapport

(E_D)/(E_-_p)

en fonction de

R, k

L

Q24.Montrer que le rapport des intensités pour les ondes correspondantes en indiçage s'écrit alors :
$(I_D)/(I_p) = g/(1 + (4\sqrtR)/((1 - \sqrtR)^2)sin^2 kL)$
avec $g$ une constante à exprimer en fonction de $R$ .

On considère pour la suite que

R = 96, 0%

(cas à fort coefficient de réflexion en intensité avec

R≫T

Q25.Montrer que le rapport $(I_D)/(I_p)$ est toujours quasiment nul, sauf pour certaines valeurs de $k$ à expliciter.
Q26.Représenter graphiquement $(I_D)/(I_p)$ en fonction du produit $kL$ .
Q27.Identifier alors les modes de la cavité et les fréquences correspondantes, c'est-à-dire celles qui maximisent le rapport $(I_D)/(I_p)$ . En déduire l'Intervalle Spectral Libre en fréquence $FSR_ν^'$ de cette cavité avec pertes en identifiant les modes de la cavité. Comparer au cas sans pertes (question Q19).

Les modes de la cavité avec pertes apparaissent comme des pics de résonance. On note

Δν_c

la largeur totale à mihauteur d'un pic de résonance de la cavité que l'on suppose négligeable devant l'Intervalle Spectral Libre. On définit la finesse

F

de la cavité par la relation

F = (FSR_ν^')/(Δν_c)

Q28.Déterminer $F$ en fonction de $R$ . Faire l'application numérique.
Q29.Préciser un avantage à avoir un laser possédant une très grande finesse vis-à-vis des applications en interférométrie.

Partie C - Milieu amplificateur d'un laser

I - Évolution de populations

On peut modéliser l'ensemble des processus d'interaction lumière-matière qui se déroulent dans le milieu amplificateur de la cavité laser (figure 1) par un réseau de réactions photochimiques d'ordre 1 (figure 5).

Figure 5 - Gauche : Diagramme des états d'énergie de l'espèce

M

présente dans le milieu amplificateur et transitions possibles.
Droite : réseau de « réactions chimiques d'ordre 1 » modélisant les processus d'interaction dans le milieu amplificateur avec mention des « constantes de vitesse »

A, β, Γ

k_(nr)

associées.

On suppose le milieu amplificateur constitué d'une espèce chimique notée

M

dans son niveau fondamental d'énergie

E_1

. Cette espèce peut également se trouver dans un état excité, noté

M^*

d'énergie

E_2

, ou même doublement excité, noté

M^(**)

d'énergie

E_3

.
On note

n_1, n_2

n_3

les concentrations de l'espèce

M

respectivement dans les états fondamental, simplement excité et doublement excité; ces concentrations sont appelées « populations » des différents états.
Les différents processus d'interaction ayant lieu dans le milieu amplificateur sont les suivants (figure 5) :

1.Pompage : des espèces sont amenées de l'état fondamental dans l'état doublement excité $(M \to M^(**))$ par une source d'énergie extérieure (lumineuse, électrique, chimique, etc.). On modélise ce processus par une réaction chimique d'ordre 1 de vitesse $v_(pomp)$ et de constante de vitesse $Γ$ .
2.Désexcitation non radiative : les espèces doublement excitées accèdent à l'état simplement excité $(M^(**) \to M^*)$ par un processus non radiatif (sans émission de photon), typiquement grâce à des collisions. Ce processus, très rapide, est modélisé par une réaction chimique d'ordre 1 de vitesse $v_(nr)$ de constante de vitesse $k_(nr)$ .
3.Absorption : les espèces dans l'état fondamental gagnent le premier état excité $(M \to M^*)$ en absorbant un photon d'énergie $ℏω = E_2 - E_1$ . L'absorption est modélisée par une réaction chimique d'ordre 1 de vitesse $v_(abs)$ et de constante de vitesse $β$ .
4.Émission stimulée : les espèces simplement excitées regagnent l'état fondamental ( $M^* \to M$ ) par une émission stimulée de photon. Lorsqu'un photon incident d'énergie $ℏω = E_2 - E_1$ passe dans le milieu amplificateur (ce qui arrive souvent puisque la lumière fait un grand nombre d'allers-retours dans la cavité), la désexcitation $(M^* \to M)$ émet un photon cohérent, c'est-à-dire ayant les mêmes caractéristiques (direction, énergie, phase. . .) que le photon incident. Ce processus explique comment le faisceau laser est amplifié tout en restant cohérent après avoir subi de nombreux passages. On le modélise par une réaction chimique d'ordre 1 de vitesse $v_(stim)$ et de constante de vitesse $β$ , identique à celle d'absorption.
5.Émission spontanée : les espèces simplement excitées regagnent l'état fondamental ( $M^* \to M$ ) par une émission spontanée de photon d'énergie $ℏω = E_2 - E_1$ . Cette émission est aléatoire et isotrope et entre en compétition avec l'émission stimulée car les photons émis sont non cohérents avec ceux du faisceau laser. On modélise ce processus par une réaction chimique d'ordre 1 de vitesse $v_(spont)$ et de constante de vitesse $A$ .

Q30. Exprimer les lois de vitesse relatives aux diverses « réactions chimiques » (i.e. les processus d'interaction modélisés ci-dessus) ayant lieu dans le milieu amplificateur.

Q31. Proposer une justification de la relation suivante :

(dn_1)/(dt) = - Γn_1 + An_2 + βn_2 - βn_1.

Q32. Obtenir des relations similaires pour

(dn_2)/(dt)

(dn_3)/(dt)

en fonction des populations

n_1, n_2

n_3

et faisant intervenir les constantes de vitesse

A, β, Γ

k_(nr)

Q33. Vérifier que

n_1 + n_2 + n_3

est une constante. Interpréter ce résultat.
On note

Δn = n_2 - n_1

. On suppose désormais, et jusqu'à la fin de cette sous-partie, que le laser fonctionne en régime stationnaire.

Q34. Exprimer

Δn

en fonction de

n_3

et des constantes de vitesse.
On parle d'inversion de population lorsque

Δn > 0

.
Q35. Écrire la condition requise sur les constantes de vitesse pour avoir une inversion de population. En donner une interprétation physique.

II - Bilan de puissance électromagnétique dans le milieu amplificateur

On s'intéresse à une approche énergétique simplifiée dans le milieu amplificateur.
Il s'avère que la constante de vitesse

β

introduite dans le modèle précédent peut être décrite par une loi de proportionnalité avec la densité volumique d'énergie électromagnétique

é u_(ém)(x, t)

de l'onde : on note

é β = bu_(ém)(x, t)

où

b

est une constante.

On suppose que le milieu amplificateur est traversé par une onde électromagnétique plane harmonique, polarisée rectilignement selon

u_y^(\to-)

et se propageant à la célérité

c

selon

+ u_x^(\to-)

. De plus, la seule composante du vecteur de Poynting instantané, notée

Π(x, t)

et selon

u_x^(\to-)

, vérifie

é Π(x, t) = cu_(ém)(x, t)

On se propose de faire un bilan d'énergie électromagnétique sur un système de section

S

compris entre les abscisses

x

x + dx

dans le milieu amplificateur. On rappelle que l'énergie d'un photon de pulsation

ω

s'écrit

ℏω

Q36. Préciser si tous les processus décrits dans la sous-partie précédente contribuent au bilan. Identifier ceux qui résultent respectivement en un gain ou une perte d'énergie pour l'onde laser.

Q37. Montrer alors que le bilan d'énergie conduit à la relation

(\partialΠ(x, t))/(\partialx) + 1/c(\partialΠ(x, t))/(\partialt) = γ(ω)Π(x, t) - p(ω)

où

γ(ω)

p(ω)

sont à expliciter en fonction de

A, b, n_1, n_2, c

ℏω

.
On considère la condition

p(ω)≪γ(ω)Π(x, t)

réalisée.
Q38. Commenter cette condition au regard de la nature de la lumière que l'on souhaite obtenir avec un laser.
On se place à présent en régime stationnaire.
Q39. Déterminer la solution

Π(x)

de l'équation différentielle vérifiée par la composante du vecteur de Poynting en posant

Π_0 = Π(x = 0)

Q40. Interpréter physiquement le terme

γ(ω)

et discuter son signe en fonction de celui de

Δn

. Faire le lien avec la condition donnée à la question Q35.

III - Considérations expérimentales pour un laser à colorant compact

Cette sous-partie concerne un type de laser appelé laser à colorant. Dans un tel laser, le milieu amplificateur est un colorant qui présente des bandes d'absorption dans son spectre d'absorption : elles s'interprètent en s'appuyant sur un schéma analogue à celui de la figure 5 dans lequel chaque niveau est plutôt un grand nombre de niveaux très proches ; cette complexification provient de la structure vibrationnelle des niveaux d'énergie des grosses molécules de colorant.
Lahoz et al. [2] ont enregistré un spectre d'émission laser (figure 6) issu d'un laser à colorant très particulier car très compact : sa cavité optique est linéaire de longueur

L

infra-millimétrique et est totalement remplie d'un colorant qui est une solution d'éthanol contenant du « Bleu de Nil A ». Cette solution a une bande d'absorption entre 550 et 620 nm environ et un indice optique pratiquement égal à celui du solvant éthanol pur à

20^\circC : n = 1, 3587

Figure 6 - Spectre d'émission laser expérimental de Lahoz et al. [2] en longueur d'onde.
L'intensité est en unité arbitraire. Les différents modes du rayonnement sont précisés par les numéros de mode portés au-dessus des pics correspondants. L'insert représente l'Intervalle Spectral Libre en longueur d'onde

(FSR_λ)

en fonction du numéro de mode.

Q41. Justifier le terme « Bleu » présent dans le nom du colorant. Préciser la couleur de l'émission laser.

L'article de Lahoz et al. définit un Intervalle Spectral Libre exprimé en longueur d'onde, noté

FSR_λ

, et donne la relation

FSR_λ = (λ^2)/(2nL)

Q42. En raisonnant par analogie avec l'Intervalle Spectral Libre en fréquence

FSR_ν

introduit à la question Q19, justifier la formule proposée par l'article.

Q43. Estimer la longueur de cavité

L

.
La largeur des pics de la figure 6 est d'environ

Δλ_c = 0, 1 nm

. La finesse est toujours définie par rapport à la fréquence, de façon analogue au texte du paragraphe qui précède la question

Q28 : F = (FSR_ν)/(Δν_c)

Q44. Montrer que la finesse peut également s'écrire :

F = (FSR_λ)/(Δλ_c).

En déduire, un ordre de grandeur de la finesse de la cavité utilisée dans l'article de Lahoz et al.
Le titre de l'article fait référence à une sonde chimique et de température (« temperature and chemical sensor »).
Q45. Préciser le paramètre de l'expérience qui est sensible à la température et à la composition chimique.
Un laser à colorant plus traditionnel en laboratoire que celui de Lahoz et al. comporte une cavité dont la longueur est de l'ordre du mètre.

Q46. Représenter, justifications à l'appui, l'allure d'un spectre d'émission laser pour un tel laser à colorant traditionnel en supposant les autres paramètres du système (miroirs, colorant, etc.) inchangés. Commenter.

Données et formulaire

Notations

j

représente l'unité imaginaire telle que

j^2 = - 1

.
On note

u_x^(\to-), u_y^(\to-)

u_z^(\to-)

les vecteurs unitaires pour une base cartésienne (système de coordonnées

x, y

z

Données numériques
Constante de Planck

h = 6, 626 \times 10^(- 34) J \cdot s

Constante de Planck réduite

ℏ = h/(2π)

Célérité de la lumière dans le vide

c = 2, 998 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)

« Conversion » de

cm^(- 1)

à J
Il est d'usage en spectroscopie d'utiliser le

cm^(- 1)

comme unité d'énergie. En réalité, l'unité fait référence au nombre d'onde

σ

associé au rayonnement, mais qui est lié à l'énergie

E

des photons du rayonnement en question par la formule

E = hcσ

(combinaison de la formule

ν = cσ

de la fréquence du rayonnement et de la formule de Planck

E = hν

). On en déduit que

1 cm^(- 1)

correspond à

100hc \approx 1, 9863 \times 10^(- 23) J

Quelques propriétés atomiques

Elément	Masse	Abondance naturelle
$^1 H$	$m_H \approx 1, 66 \times 10^(- 27) kg$	99,985 %
$^(35)Cl$	$m_(35Cl) \approx 35m_H$	76 %
$^(37)Cl$	$m^(37)Cl \approx 37m_H$	24 %

Formulaire

-Pour un champ vectoriel $v⃗$ :
$rot^(\to-)(rot^(\to-)v⃗) = grad^(\to-)(divv⃗) - Δv⃗.$
-Relation de passage pour le champ électrique entre un milieu 1 et un milieu 2 :
$E⃗(M_2, t) - E⃗(M_1, t) = (σ(M, t))/(ε_0)n⃗_(12)$
Le point $M_1$ (respectivement $M_2$ ) est dans le milieu 1 (respectivement 2) et est infiniment proche du point $M$ sur l'interface de séparation des milieux; $σ(M, t)$ est la densité surfacique de charge en ce point et le vecteur $n⃗_(12)$ est unitaire et normal à l'interface au même point (orienté du milieu 1 vers le milieu 2).

Références

[1] Duke, chem.libretexts.org. URL : https://chem.libretexts.org/Courses/Duke_University/CHEM_310L% 3A_Physical_Chemistry_I_Laboratory/CHEM310L_-Physical_Chemistry_I_Lab_Manual/09%3A_Under Construction/9.11%3A_Rotation-Vibration_Spectrum_of_HCl_AND_DCl__Vibrational_Spectrum_of_SO2/ $9.11.04%3$ A_Part_I_-_FTIR_spectrum_of_a_mixture_of_HCl_and_DCl_gas.
[2] F. Lahoz et al. « Portable IR dye laser optofluidic microresonator as a temperature and chemical sensor ». In : Opt. Express 24.13 (juin 2016), p. 14383-14392. DOI : 10.1364/OE.24.014383. URL : https://opg.optica.org/ oe/abstract.cfm?URI=oe-24-13-14383.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de physique-chimie Centrale MP 2026 sur le laser et la spectroscopie ?

Il porte sur la mécanique quantique de l'oscillateur harmonique et du rotateur rigide, la propagation des ondes électromagnétiques dans une cavité résonante, et la cinétique des échanges de population dans le milieu amplificateur d'un laser.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé précise que les trois parties, sur la spectroscopie de HCl, la cavité du laser et son milieu amplificateur, sont relativement indépendantes.

Ce sujet demande-t-il de résoudre l'équation de Schrödinger ?

Oui, la partie sur la vibration de HCl demande de résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour un oscillateur harmonique quantique et d'en déduire les niveaux d'énergie.

Faut-il des connaissances préalables sur le fonctionnement d'un laser pour ce sujet ?

Non, le sujet introduit progressivement les notions de cavité résonante, d'inversion de population et d'émission stimulée nécessaires à la compréhension du laser.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique Chimie 1 MP 2026

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