Le sujet étudie le principe physique d'un radar océanographique permettant de mesurer les courants marins de surface, avant de traiter une méthode de protection électrochimique du littoral. La partie A modélise la réflexion d'une onde électromagnétique HF sur la mer et l'effet Doppler qui en résulte. La partie B porte sur le traitement analogique du signal reçu par détection synchrone, puis sur son échantillonnage en vue d'une analyse par transformée de Fourier discrète. La partie C, indépendante des deux premières, mobilise un large éventail de notions de chimie.

1Partie A : Principes physiques d'un radar océanographiqueModélise, par la loi de Bragg puis par le modèle du conducteur parfait, la réflexion d'une onde électromagnétique HF sur les vagues, et établit l'effet Doppler qui permet de mesurer la vitesse des courants de surface.
2Partie B : Traitement des signaux radarÉtudie le traitement analogique du signal reçu par détection synchrone pour mesurer une différence de fréquence et une distance, puis les conditions pratiques de l'échantillonnage en vue d'une analyse spectrale par transformée de Fourier discrète.
3Partie C : Protection du littoral par dépôt électrolytiqueprogramme de chimie des deux années de CPGEDécrit, indépendamment des deux parties précédentes, une méthode de protection du littoral fondée sur le dépôt électrochimique de carbonate de calcium et d'hydroxyde de magnésium sur une cathode immergée en eau de mer.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet bien calibré en longueur et en progressivité, mais relève des lacunes de travaux pratiques sur la deuxième partie et des résultats hétérogènes en chimie du fait de la difficulté variable du questionnement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,33 / 20 · écart-type 4 · 4 539 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,33/ 20
Écart-type: 4
Présents: 4 539
Coefficient: 12
Durée: 4 h
1er quartile: 6,4
Médiane: 9,2
3e quartile: 12,1

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 29 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Épaisseur de peau du conducteur non reconnue · Incertitudes-types absentes de l'exploitation des graphes · Dimensionnement du filtre peu justifié

Le sujet, bien calibré en longueur et en progressivité, a été abordé au moins partiellement par la plupart des candidats sur ses trois parties, dont les poids au barème étaient proches. Les candidats maîtrisant bien leur cours et faisant preuve de rigueur et de bonnes pratiques expérimentales obtiennent des résultats satisfaisants. La deuxième partie, pourtant amorcée par des questions simples de détection synchrone, révèle des lacunes chez de nombreux candidats, et la partie de chimie donne des résultats hétérogènes en raison de la difficulté variable du questionnement.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Épaisseur de peau du conducteur non reconnueQ4
Le calcul numérique de la longueur caractéristique est le plus souvent correct, mais peu de candidats identifient qu'il s'agit de l'épaisseur de peau du conducteur, ce qui rend leur discussion sur la validité du modèle peu pertinente.
« Le jury a néanmoins été étonné par la faible proportion de candidats parvenant à reconnaître cette grandeur comme étant l’épaisseur de peau du conducteur »
2
Incertitudes-types absentes de l'exploitation des graphesQ16
Alors que l'énoncé invitait explicitement à évaluer un écart normalisé, la plupart des copies ne discutent pas les incertitudes-types associées aux valeurs expérimentales lues sur les graphes.
« Le jury déplore dans la plupart des cas l’absence de considérations sur les incertitudes-types associées aux valeurs expérimentales extraites des graphes »
3
Dimensionnement du filtre peu justifiéQ18 à Q21
Le choix numérique des composants du filtre de détection synchrone, laissé à l'initiative des candidats, s'inscrit dans un cadre aux contraintes connues mais n'est presque jamais discuté.
« les valeurs choisies pour les paramètres caractéristiques du filtre ne sont quasiment pas discutées »
4
Résultats non traduits en représentation graphiqueQ22 à Q24
Même quand les calculs sont corrects, beaucoup de candidats ne parviennent pas à représenter graphiquement les résultats attendus sur la fréquence instantanée et l'échantillonnage.
« le jury a été fortement étonné de constater que beaucoup de candidats ne sont pas parvenus à traduire leurs résultats par les représentations graphiques demandées »
5
Constante d'équilibre non exprimée à partir des données fourniesQ32
Peu de candidats parviennent à combiner les constantes fournies dans l'énoncé pour retrouver la constante d'équilibre de la réaction de précipitation étudiée.
« Peu nombreux sont ceux qui ont réussi à exprimer la constante d’équilibre attendue à partir des constantes fournies »
6
Interprétation de la courbe intensité-potentiel difficileQ37 à Q39
Après des questions classiques sur les potentiels standard, l'exploitation de la courbe courant-potentiel pour identifier les réactions aux électrodes pose de réelles difficultés à de nombreux candidats.
« L’interprétation de la courbe intensité-potentiel constitue souvent un réel point de blocage dans cette avant-dernière sous-partie du sujet »

Ce qui a été bien réussi

La première partie, sur laquelle les candidats concentrent le plus leurs efforts, donne lieu à des prestations correctes dans l'ensemble.
Les questions proches du cours (Q1, Q2, Q35, Q36) sont plutôt bien traitées.
Les développements calculatoires de la détection synchrone (Q18 à Q24) sont satisfaisants quand ils sont abordés.
Le critère de Shannon et le repliement du spectre sont connus de la plupart des candidats.
Le schéma de Lewis de l'ion carbonate et les considérations de cristallographie sont corrects dans la plupart des copies.

Conseils du jury

Maîtriser parfaitement son cours, condition indispensable à la réussite de l'épreuve.
Lire attentivement l'énoncé, qui fournit le cadre du problème et des indices pour orienter les raisonnements et valider les résultats.
Rédiger avec clarté et concision les idées physiques sous-jacentes aux calculs, sans se précipiter sur les questions qualitatives ou proches du cours.
Prendre le temps de commenter les valeurs numériques obtenues et faire preuve d'esprit critique face à un résultat aberrant.
S'entraîner pendant l'année aux questions non guidées, pour ne pas les laisser de côté le jour de l'épreuve.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

45 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

45 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 37 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Observation et protection côtières

Lorsqu'ils circulent au voisinage des côtes, les courants marins de surface exercent une influence sur les activités humaines se déroulant en mer, près du rivage. Ils jouent également un rôle déterminant dans l'érosion du littoral et dans la dégradation d'infrastructures côtières, phénomènes en cours d'aggravation sous l'effet de l'évolution du climat. Les deux premières parties de ce problème analysent une technique de télédétection permettant l'observation de ces courants jusqu'à des distances de l'ordre de 100 km . La troisième, qui peut être abordée indépendamment des deux précédentes, décrit une solution novatrice de protection et de construction d'ouvrages maritimes.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Elles sont repérées par un soulignement de leur numéro. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.
Des données numériques sont fournies en fin d'énoncé. On note

ȷ

l'unité imaginaire telle que

ȷ^2 = - 1

Partie A - Principes physiques d'un radar océanographique

En 1955, D.D. Crombie découvre que la réflexion d'une onde radio sur la mer produit un écho caractéristique, qu'il interprète par l'interaction du champ électromagnétique avec les vagues agitant la surface de l'eau. À partir de là, divers instituts ont développé des techniques d'observation à distance de l'état de la mer. Elles utilisent un radar côtier émettant une onde de la bande HF (haute fréquence, entre 3 et 30 MHz ) et recevant l'onde rétrodiffusée (ou réfléchie) par l'interface entre l'air et l'eau (figure 1). Le développement de ces instruments se poursuit aujourd'hui et cette partie aborde les principes physiques sur lesquels leur fonctionnement repose.

Figure 1 - Radar côtier émettant une onde HF vers la surface de la mer et recevant l'onde rétrodiffusée

I - Modèle optique et loi de Bragg

La rétrodiffusion d'une onde électromagnétique par la mer obéit à la loi de Bragg. Pour l'expliquer, on peut en première analyse ignorer la forme précise des vagues pour ne tenir compte que de leur aspect périodique. On assimile la surface de l'eau à un réseau de diffraction inclus dans le plan (

0, u_x^(\to-), u_z^(\to-)

), formé d'éléments réflecteurs identiques, invariants par translation selon

u_z^(\to-)

et se répétant selon

u_x^(\to-)

avec une période

L

égale à la longueur d'onde des vagues (figure 2). L'onde radar incidente, plane, monochromatique de longueur d'onde

λ

, rencontre cette surface avec un angle d'incidente

i

. On considère l'onde réfléchie vers l'infini dans la direction repérée par l'angle

θ

Figure 2 - Modélisation de la surface de la mer par un réseau. Les éléments réfléchissants sont hachurés.

Q1. Établir l'expression de la différence de marche

δ

entre les ondes réfléchies par deux motifs successifs du réseau.
Q2. Justifier sans calcul que l'onde rétrodiffusée sera particulièrement intense dans les directions telles que

\existsp \in ℤ, L(sinθ + sini) = pλ

Par analogie avec la cristallographie, et selon l'usage adopté en océanographie, cette relation sera dans la suite appelée loi de Bragg.

II - Modèle du conducteur parfait

Pour établir un lien entre l'amplitude du signal rétrodiffusé et la hauteur des vagues, il convient de décrire plus précisément la surface de la mer et le champ électromagnétique. On repère un point de l'interface air-eau par sa hauteur

h(x)

par rapport au plan de référence d'équation

y = 0

. Dans l'air, au point

M

et à l'instant

t

, l'onde incidente émise par le radar, de fréquence

f

et de pulsation

ω

, possède en notation complexe le champ électrique

E_i^(\to-)(M, t) = Ae^(ȷ(K⃗_i \cdot OM^(\to-) - ωt))u_z^(\to-) avec K⃗_i = k_i u_x^(\to-) - q_i u_y^(\to-)

où

A, k_i > 0

q_i > 0

sont des constantes.
Q3. L'air étant assimilé au vide, démontrer l'équation de propagation à laquelle

E_i^(\to-)

obéit et en déduire la relation entre

k_i, q_i

ω

En pénétrant dans l'eau de mer de conductivité électrique

σ = 4 S \cdot m^(- 1)

, l'onde électromagnétique HF s'atténue sur une épaisseur caractéristique

ℓ_a = \sqrt(1/(πμ_0 σf))

, un peu comme elle le ferait dans un métal de perméabilité magnétique

μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)

. Pour simplifier, on convient de traiter cette eau comme un conducteur parfait.

Q4. En comparant les ordres de grandeur de plusieurs grandeurs pertinentes, analyser l'acceptabilité de cette simplification pour les ondes de la bande HF.

Dans le modèle du conducteur parfait, et compte tenu de la polarisation choisie ici, le champ électrique est nul au voisinage immédiat de l'interface. Dans un premier temps, on considère la situation définie par

h(x) = 0

(mer parfaitement plate) et on cherche l'onde réfléchie sous la forme

E⃗_r = E_r u_z^(\to-)

avec

E⃗_r(M, t) = r_0 Ae^(ȷ(K⃗_0 \cdot OM^(\to-) - ωt))u_z^(\to-) et K⃗_0 = k_0 u_x^(\to-) + q_0 u_y^(\to-), q_0 > 0

Q5. Trouver le coefficient de réflexion

r_0

et exprimer

k_0

en fonction de

k_i

. Justifier enfin l'égalité

q_0 = q_i

.
On tient dorénavant compte de l'agitation de la mer et, pour déterminer le champ électrique réfléchi, on s'appuie sur une méthode perturbative fondée sur l'hypothèse que la hauteur

h

, quoique non nulle, reste assez faible. Plus précisément, en désignant par

q

la composante verticale d'un vecteur d'onde électromagnétique, on pose

ε = qh

et on suppose

|ε|≪1

. On limite tous les calculs à l'ordre 1 en

ε

et on cherche le champ électrique réfléchi sous la forme

E⃗_r = E_r u_z^(\to-)

avec

E_r(M, t) = - Ae^(ȷ(k_i x + q_i y - ωt)) + r_1 Ae^(ȷ(k_r x + q_r y - ωt)) + \dots\dots

Dans cette écriture, le facteur inconnu

r_1

est d'ordre

ε^1

et les points de suspension désignent des termes négligeables d'ordre plus élevé.

Q6. Détailler l'expression du vecteur

OM^(\to-)

pour un point de l'interface air-eau. Montrer que la présence de cette frontière se traduit par la relation

- 2ȷq_i h(x)e^(ȷk_i x) + r_1 e^(ȷk_r x) = 0

Pour des vagues sinusoïdales de longueur d'onde

L

, on pose

h(x) = h_0 cos(k_v x) = (h_0)/2e^(ȷk_v x) + (h_0)/2e^(- ȷk_v x) avec k_v = (2π)/L.

On poursuit les calculs en ne prenant en compte que le terme

e^(- ȷk_v x)

(l'autre conduit à une onde diffusée selon

+ u⃗_x

, inutilisable par le radar).

Q7. Exprimer

r_1

en fonction de

q_i

h_0

, et

k_r

en fonction de

k_i

k_v

. Indiquer quel intérêt la mesure de

r_1

présente en ce qui concerne l'étude de l'état de la mer.

Q8. À partir du résultat de la question précédente, retrouver la loi de Bragg (1) rencontrée dans la question Q2, pour un ordre

p

à préciser.

Un radar océanographique est installé sur la côte, à quelques mètres au dessus du niveau de la mer, et l'irradie à des distances de l'ordre de plusieurs dizaines de kilomètres. L'onde rétrodiffusée est détectée au même point où l'onde incidente est émise. Dans ce contexte, on utilise la loi de Bragg sous la forme simplifiée

L = λ/2.

Q9. Expliquer sous quelles hypothèses et/ou approximations cette égalité se déduit de la relation (1).
Sous l'effet du vent, des vagues de toutes les longueurs d'onde se développent à la surface de la mer dont l'état instantané peut être décrit par une superposition de déformations harmoniques, chacune relevant de l'étude conduite dans les questions précédentes. La fréquence d'émission du radar étant donnée, seuls les termes de cette décomposition qui vérifient la loi de Bragg produisent un écho significatif.

Q10. Pour un radar émettant à

12, 3MHz

, trouver numériquement la longueur d'onde des vagues sélectionnées.

III - Effet Doppler

Dans les questions précédentes, on a implicitement supposé l'interface air-eau immobile, comme si la mer s'était brusquement figée. En réalité, les vagues ne sont pas statiques et la hauteur

h

dépend non seulement de

x

, mais aussi de l'intant

t

. Une onde de vague harmonique, de période

L

et de pulsation spatiale

k_v

, possède aussi une pulsation temporelle

ω_v

et voyage à la vitesse

U

dans la direction de

u_x^(\to-)

, sous forme d'onde progressive dans le sens de

u_x^(\to-)

ou bien en sens inverse. L'amplitude est comme plus haut notée

h_0

Q11. Proposer en notation réelle deux expressions de

h(x, t)

correspondant aux deux sens de propagation des vagues et donner la relation entre

U, ω_v

k_v

L'onde radar incidente se réfléchit sur l'interface air-eau mobile à la vitesse

\pm Uu_x^(\to-)

, ce qui entraîne un décalage de la fréquence

f_r

de l'onde réfléchie par rapport à celle

f

de l'onde incidente. Ce phénomène nommé effet Doppler est régi par la relation ci-dessous, valable dans la limite où

U

est très inférieure à la célérité

c

de la lumière dans le vide :

f_r - f \approx \pm (2U)/λ.

La relation (6) est à la base de la vélocimétrie radar, par exemple pour le contrôle routier. Cependant, dans le contexte d'étude, ce n'est pas l'eau qui se déplace, mais uniquement la forme de son interface avec l'air. Les questions qui suivent permettent de justifier que la relation (6) s'applique encore dans ce cas. Le symbole

\pm

(plus ou moins) regroupe des situations où les vagues s'éloignent ou s'approchent de la côte et on va aussi voir quel signe il convient de choisir dans chaque cas.
En lieu et place de la relation (4), la présence de l'interface se traduit désormais par la relation suivante (qu'on ne demande pas d'établir) faisant intervenir la pulsation

ω_r

de l'onde réfléchie :

- 2ȷq_i h(x, t)e^(ȷ(k_i x - ωt)) + r_1 e^(ȷ(k_r x - ω_r t)) = 0.

Dans le cas d'une onde s'éloignant du rivage, la méthode de décomposition complexe présentée dans le cas statique (section II) conduit à considérer que

h(x, t) = (h_0)/2e^(- ȷ(k_v x - ω_v t)).

Q12. Trouver, d'une part, l'expression de

ω_r

en fonction de

ω

ω_v

et, d'autre part, celle de

k_r

en fonction de

k_i

k_v

.
La rétrodiffusion vers le radar correspond à la valeur négative

k_r = - ω_r/c

.
Q13. En utilisant les deux relations établies dans la question précédente, montrer que

f_r

est donnée par l'un des deux cas de la relation (6). Fournir ensuite l'expression de

f_r

pour une onde s'approchant du rivage.

IV - Mesure de courants de surface

La vitesse

U

de progression des vagues dépend de leur longueur d'onde

L

selon la relation

U = \sqrt(gL/(2π))

où

g

est l'accélération de la pesanteur.

Q14. En utilisant la loi de Bragg, montrer que

f_r - f = \pm f_B

et exprimer la fréquence de Bragg

f_B

en fonction de

g

λ

En plus des vagues, la surface de la mer est soumise à un courant de surface : sur une épaisseur variant de quelques mètres à plusieurs centaines de mètres, l'eau s'écoule à la vitesse constante et uniforme

v⃗ = v_x u_x^(\to-)

. Dans ce cas, la relation (7) ne s'applique plus dans le référentiel terrestre

R

(où le radar est fixe), mais dans le référentiel

R^'

en translation à la vitesse

v_x u_x^(\to-)

par rapport à

R

Q15. Dans le référentiel

R

, exprimer d'une part la vitesse des vagues s'approchant du rivage et d'autre part celle des vagues qui s'en éloignent (on distinguera sans ambiguïté les deux cas). Montrer qu'en présence de courants de surface,

f_r - f = \pm f_B + f_D

et donner l'expression du décalage Doppler

f_D

en fonction de

v_x

et de

c

.
La figure 3 montre les spectres des signaux reçus par deux radars situés au sud-ouest de la Grande-Bretagne (à Pendenn et à Perranporth) et qui utilisent la fréquence de

12, 3MHz

. L'abscisse est

f_r - f

(en hertz) et l'ordonnée est la densité spectrale de puissance (en décibels) qui représente la puissance du signal reçu à chaque fréquence. En plus du bruit et de maximums secondaires, on voit nettement apparaître deux pics correspondant aux fréquences identifiées dans la question précédente. Les segments tracés en pointillés indiquent les abscisses

\pm f_B

Figure 3 - Spectres Doppler enregistrés par les radars de Pendeen (à gauche) et de Perranporth (à droite).

Q16. À l'aide de ces deux graphiques, proposer une valeur expérimentale pour

f_B

. Discuter, à l'aide d'un critère quantitatif, la compatibilité de la valeur obtenue avec l'expression établie en Q14. Dans chacun des deux cas, trouver la vitesse

v_x

du courant. Préciser si les courants circulent en s'approchant ou en s'éloignant de la côte.

Dans le cas général, le vecteur vitesse du courant de surface s'écrit sous la forme

v⃗ = v_x u_x^(\to-) + v_z u_z^(\to-)

; il n'est pas colinéaire à la direction

u_x^(\to-)

du faisceau radar comme supposé précédemment. L'expression de

f_D

établie dans la question Q15 s'applique toujours, mais elle donne seulement accès à

v_x

.
Pour connaître le vecteur vitesse, on utilise deux radars émettant dans des directions

u_(x1)^(\to-)

u_(x2)^(\to-)

définies par leurs azimuts

θ_1

θ_2

. Le premier fournit

v_(x1) = v⃗ \cdot u_(x1)^(\to-)

et le second

v_(x2) = v⃗ \cdot u_(x2)^(\to-)

. On en déduit les projections de

v⃗

sur les vecteurs unitaires

u_E^(\to-)

(pointant vers l'est) est

u_N^(\to-)

(pointant vers le nord) par les relations

v_E = (v_(x1)sinθ_2 - v_(x2)sinθ_1)/(sin(θ_2 - θ_1)) et v_N = (v_(x2)cosθ_1 - v_(x1)cosθ_2)/(sin(θ_2 - θ_1)).

La carte de la figure 4 renseigne sur les courants de surface mesurés par les radars de Pendeen et de Perranporth situés aux points

R_1

R_2

. Les spectres représentés sur la figure 3 concernent à un même instant le point

M

signalé sur cette carte, pour lequel

θ_1 = (u_E^(\to-), u_(x1)^(\to-)) = 64^\circ, θ_2 = (u_E^(\to-), u_(x2)^(\to-)) = 189^\circ

Q17. Calculer numériquement

v_E

v_N

. Analyser la cohérence des valeurs obtenues avec les informations fournies par la carte de la figure 4 sur la norme et l'orientation du vecteur vitesse.

Figure 4 - Carte des courants en Mer Celtique fournie par les radars de Pendeen et Perranporth repérés par les points

R_1

R_2[1]

. Les spectres de la figure 3 concernent le point

M

signalé par un carré au bord blanc.

Partie B - Traitement des signaux radar

Le décalage Doppler

f_D

proportionnel à la vitesse à mesurer est souvent inférieur à 1 Hz et il concerne une onde dont la fréquence initiale est de l'ordre de 10 MHz . La mesure précise de cette minuscule variation est réalisée par détection synchrone, technique dont la section I introduit le principe. Parallèlement, l'antenne réceptrice capte une multitude d'échos provenant de chaque petit élément de la mer sur une surface de plusieurs centaines de kilomètres carrés. Pour établir une carte de courant du type de celle visible sur la figure 4, il faut analyser simultanément tous ces échos et déterminer d'où chacun provient, en calculant notamment la distance à l'antenne de chaque petit élément réflecteur. Cette résolution en distance fait elle aussi appel à la détection synchrone (section II) et, dans les installations modernes, on la conduit conjointement à la détermination des décalages Doppler. Par souci de simplicité, on dissocie l'étude de ces deux aspects.

I - Mesure d'une différence de fréquence par détection synchrone

On considère deux signaux sinusoïdaux

v_1(t) = Acos(2πf_1 t)

v_2 = Bcos(2πf_2 t + φ_0)

, où

A, B

φ_0

sont des constantes, dont on souhaite mesurer l'écart de fréquence

f_2 - f_1

, supposé très inférieur aux fréquences

f_1

f_2

. Le montage de détection synchrone qui permet d'y parvenir est représenté schématiquement sur la figure 5 : il est formé d'un multiplieur analogique

M

(qui donne une tension de sortie proportionnelle au produit de ses deux tensions d'entrée) et d'un filtre

F

dont la nature sera étudiée plus loin.

Figure 5 - Principe d'un montage de détection synchrone.
Jusqu'à la question Q20 incluse, la partie inférieure sur fond gris n'a pas à être considérée.

Q18. Exprimer à un facteur près le signal intermédiaire

v_i

, puis justifier que son spectre fait apparaître les fréquences

f_2 + f_1

|f_2 - f_1|

. Indiquer le type de filtrage qui permet d'obtenir, à la sortie du filtre, un signal

v_d

de fréquence

|f_2 - f_1|

Le traitement des signaux radars fait intervenir des composants spécifiques aux hautes fréquences. Pour des ultrasons au contraire, avec des fréquences de l'ordre de

10^4 Hz

, des composants usuels disponibles dans un lycée (résistances, condensateurs et bobines d'auto-induction) fonctionneraient.

Q19. Proposer pour

F

un schéma électrique de filtre passif convenable, sans préciser pour l'instant les valeurs des composants. Un filtre d'ordre 1 est acceptable mais le jury valorisera davantage un filtre d'ordre 2, plus efficace.

Q20. Exprimer la fonction de transfert du montage de la question précédente. Pour

f_1 \approx f_2 \approx 40kHz

, proposer des valeurs réalistes pour les composants du filtre

F

À l'issue du filtrage,

v_d

est pratiquement sinusoïdal et mesurer sa fréquence revient à mesurer

|f_2 - f_1|

, ce qui était le but à atteindre. Cependant, dans le cas de l'effet Doppler (où

f_1 = f

f_2 = f_r

), il est important de connaître le signe de

f_2 - f_1

(Partie A section III). Pour cela, on complète le montage de la figure 5 par une seconde voie (représentée sur fond gris) dans laquelle on applique des opérations analogues après avoir déphasé

v_1

+ π/2

(démodulation en quadrature).

Q21. Dans l'hypothèse d'un filtrage idéal, exprimer le signal

v_(dQ)

et expliquer comment son observation conjointe à celle de

v_d

permet d'obtenir le signe de

f_2 - f_1

II - Mesure de distance par modulation de fréquence

La mesure de la distance des éléments réflecteurs fonctionne elle aussi par détection synchrone grâce à une modulation de la fréquence de l'onde émise. Alors qu'un signal de fréquence

f_0

constante varie selon

cos(2πf_0 t)

, le champ électrique émis par l'antenne est proportionnel à la tension

v_e(t), T_m

-périodique et définie sur une période par

\forallt \in [0, T_m[, v_e(t) = AcosΦ(t) avec Φ(t) = 2π(f_0 + (Bt)/(2T_m))t

La grandeur positive

B

, homogène à une fréquence et très inférieure à

f_0

, est appelée largeur de bande. La période de répétition

T_m

est de l'ordre de quelques dixièmes de secondes et

f_0

de l'ordre de 10 MHz .
On définit la fréquence instantanée

f(t)

v_e

par

f(t) = 1/(2π)(dΦ)/(dt)(t)

.
Q22. Exprimer

f(t)

et tracer schématiquement le graphe de ses variations sur deux périodes.
La cible qui réfléchit l'onde, supposée ici immobile, se trouve à la distance

d

de l'antenne émettrice. À l'instant

t

, la station radar dispose du signal d'émission

v_e(t)

et du signal d'écho

v_r(t)

. Ce dernier provient de la réflexion par la cible du signal émis un peu plus tôt, de sorte que sa fréquence

f_r(t)

à l'instant

t

est celle que possédait

v_e

à l'instant

t - τ

Q23. Donner l'expression de

τ

. Pour

d = 10 km

, vérifier qu'il est très inférieur à

T_m

, puis représenter sur un même graphique les variations de

f(t)

f_r(t)

. Les deux courbes seront légendées et tracées en deux couleurs distinctes. Pour ce graphique seulement, on prendra

τ = T_m/10

Les signaux

v_e(t)

v_r(t)

sont appliqués à l'entrée du montage de détection synchrone (représenté figure 5 et étudié dans la section I).

Q24. Exprimer la fréquence

f_d

du signal démodulé

v_d

. Montrer que sa mesure permet d'accéder à la distance

d

de la cible, qu'on exprimera en fonction de

c, B

T_m

III - Questions liées à l'échantillonnage

En pratique, l'écho reçu par un radar océanographique n'est pas parfaitement harmonique et la tension

v_d

issue de la détection synchrone présente de petites variations aléatoires. Elles se superposent au signal sinusoïdal idéal attendu et en compliquent l'exploitation. Pour mesurer la fréquence

f_d

, le signal bruité est échantillonné et numérisé, puis on procède à son analyse spectrale par transformée de Fourier discrète (TFD).

III. 1 - Analyse spectrale par TFD

L'analyse spectrale par TFD est une technique couramment mise en œuvre dans les oscilloscopes numériques et les logiciels accompagnant les cartes d'acquisition. Son calcul est généralement conduit par l'algorithme de transformée de Fourier rapide (de sigle fréquemment rencontré FFT).
On considère un signal analogique

v(t)

dont on a prélevé

N_e

échantillons

v_n = v(t_n)

aux instants

t_n = nT_e

avec

n ∈ {0, 1, 2, …, N_e − 1}

. La TFD permet d'afficher

N_e

valeurs

|S(f_k)|

associées aux fréquences

f_k = k/(N_e T_e)

avec

k ∈ {0, 1, 2, …, N_e − 1}

. Selon les paramètres

N_e

T_e

choisis pour l'échantillonnage, ces nombres

|S(f_k)|

constituent une représentation plus ou moins fidèle du spectre de

v

Q25. Expliquer en quoi consiste le phénomène de «repliement du spectre» et comment s'en prémunir.
L'échantillonnage sur une durée finie limite la capacité à distinguer, dans le spectre de

v

, des composantes harmoniques possédant des fréquences

f_1

f_2

très proches. On appelle résolution spectrale la valeur de

|f_2 - f_1|

en dessous de laquelle cette distinction est impossible ; elle s'identifie ici à la précision

δf

sur l'échelle des fréquences. À titre d'exemple, on a représenté sur la figure 6 la TFD de la fonction

v(t)

suivante, qui comporte un léger bruit aléatoire

ε(t)

superposé :

v(t) = Acos(2πf_1 t) + Acos(2πf_2 t) + ε(t) avec A = 2 V, f_1 = 150 Hz, f_2 = 160 Hz, |ε(t)| < 0, 1 V.

Sur le spectre de gauche,

N_e = 100, T_e = 2 ms

; sur celui de droite

N_e = 100, T_e = 0, 5 ms

. Ces valeurs numériques ont été choisies dans un but illustratif et n'ont aucun lien avec celles mises en jeu dans le traitement des signaux radars. Pour plus de lisibilité, le graphique a été restreint aux fréquences inférieures à 250 Hz .

Figure 6 - Exemples de spectres obtenus par TFD du signal donné par l'expression (10) pour deux choix des paramètres d'échantillonnage.

Q26. Commenter ces deux spectres et analyser leur capacité à révéler les composantes spectrales de

v(t)

. Exprimer en fonction de

N_e

T_e

la précision en fréquence

δf

(identique à la résolution spectrale), et donner sa valeur numérique dans chacun des deux cas.

Dans les radars océanographiques, une double TFD permet d'obtenir simultanément les informations relatives à la vitesse

v_x

de la cible (

f_r - f = \pm f_B + f_D

, question Q15) et celles relatives à sa distance (

f_r - f

est lié à

d

, question Q24). Comme annoncé au début de la partie, on traite séparément ces deux phénomènes dans les sous-sections III. 2 et III. 3 respectivement, comme si chacun existait indépendamment de l'autre.

III. 2 - Limite et résolution en vitesse

Sur chaque rampe de modulation, de durée

T_m

, un échantillon de

v_d

est acquis et on répète cette opération

N

fois pour une durée d'acquisition

T_a = NT_m

. Les données sont ici

f = 29, 85MHz, f_B = 0, 56 Hz, T_m = 0, 262 s

B = 125kHz

(radar WERA de la société Helzel Messtechnik).

Q27. Indiquer jusqu'à quelle fréquence maximale on peut obtenir le spectre pour en déduire

f_r - f

. En déduire la valeur maximale de

f_D

atteignable et la vitesse

v_x

maximale associée. On rappelle que ces grandeurs ont été reliées l'une à l'autre dans la question Q15.

Q28. Pour

N = 4096

, fournir la résolution spectrale de la mesure de

f - f_r

. En déduire la résolution

Δv_x

sur la vitesse

v_x

III. 3 - Limite et résolution en distance

Au sein d'une unique rampe de modulation de durée

T_m = 0, 262 s, M

échantillons équidistants de

v_d

sont acquis en vue du calcul de la TFD.

Q29. Exprimer la valeur maximale

f_(d max)

f_d

que l'on peut déduire de l'analyse de ce spectre. Pour une portée de radar

d_(max)

égale à 50 km , proposer une valeur de

M

compatible. On rappelle que

d

f_d

ont été reliées l'une à l'autre dans la question Q24.

Q30. Indiquer quelle est la résolution spectrale sur la mesure de

f_d

. En déduire la résolution en distance

Δd

. Pour information, la société Helzel Messtechnik indique que l'utilisateur peut paramétrer le radar et choisir des résolutions de

0, 3 km, 0, 6 km

1, 2 km

Partie C - Protection du littoral par dépôt électrolytique

La formation de dépôts de carbonate de calcium et d'hydroxyde de magnésium sur une cathode métallique plongée dans l'eau de mer est un phénomène bien connu que Sir Humphry Davy a décrit dès les années 1840. Depuis quelques décennies, de nombreuses équipes ont cherché à le provoquer de manière contrôlée en réalisant des électrolyses sur des armatures immergées en milieu marin. En effet, le solide ainsi formé peut jouer le rôle de ciment et conduire, en agglomérant des sédiments présents au voisinage du métal, à la constitution de structures minérales capables de protéger des infrastructures portuaires de l'érosion, de favoriser l'installation d'organismes marins et de piéger des polluants présents dans l'eau de mer.

I - Composition de l'eau de mer

La composition de l'eau de mer présente des variations géographiques et en fonction de la profondeur. Le tableau 1 donne un exemple de composition d'une eau de mer artificielle commercialisée pour réaliser des expériences scientifiques.

Sel introduit	Formule	M ( $g \cdot mol^(- 1)$ )	Concentration ( $g \cdot L^(- 1)$ )
Chlorure de sodium	NaCl	58,4	26,5
Chlorure de magnésium	$MgCl_2$	95,2	2,4
Sulfate de magnésium heptahydraté	$MgSO_4, 7H_2 O$	246,5	6,75
Chlorure de calcium dihydraté	$CaCl_2, 2H_2 O$	147,0	1,46
Chlorure de potassium	KCl	74,6	0,73
Hydrogénocarbonate de sodium	$NaHCO_3$	84,0	0,20
Bromure de sodium	NaBr	102,9	0,30
$pH = 8, 1$

Tableau 1 - Composition d'une eau de mer artificielle (BS2011).

La formation de carbonate de calcium dans l'eau de mer est modélisée par la réaction d'équation :

Ca^(2 +)(aq) + HCO_3^-(aq) + HO^-(aq) = CaCO_3(s) + H_2 O(liq).

Q31. Établir le diagramme de prédominance des différentes formes acidobasiques du dioxyde de carbone dissout en fonction du pH . En déduire l'espèce prédominante au pH de l'eau de mer (

pH = 8, 1

Q32. Calculer la constante thermodynamique d'équilibre de la réaction (11).
L'eau de mer est souvent sursaturée en carbonate de calcium, c'est-à-dire que la formation du sel

CaCO_3(s)

est thermodynamiquement spontanée, mais cinétiquement bloquée.

Q33. Déterminer si c'est le cas de l'eau de mer dont la composition est décrite dans le tableau 1.
Q34. Calculer le pH d'apparition du précipité

Mg(OH)_2(s)

lorsqu'on ajoute des ions hydroxyde

HO^-

à l'eau de mer étudiée.

II - Électrolyse de l'eau de mer et réactions cathodiques

En vue de réaliser l'électrolyse de l'eau de mer, on commence par étudier les réactions possibles à la cathode en traçant des courbes courant/potentiel dans l'eau de mer pour une cathode en acier. L'eau de mer est à l'équilibre avec l'air (pression partielle de dioxygène

P(O_2) = 0, 20

bar) et contient donc du dioxygène dissout. Un exemple de courbe courant/potentiel obtenue est donné dans la figure 7. L'électrode de référence est une électrode au calomel saturée (ECS) de potentiel

E_(ref) = 0, 22 V

Figure 7 - Courbe courant/potentiel cathodique pour une électrode d'acier.

Q35. Calculer le potentiel d'oxydoréduction à

T = 298 K

du couple

O_2(g)/H_2 O(liq)

au pH de l'eau de mer (

pH = 8, 1

) à l'équilibre avec l'air.

Q36. Calculer de même le potentiel d'oxydoréduction du couple

H^+(aq)/H_2(g)

au pH de l'eau de mer à l'équilibre pour une pression partielle de dihydrogène de 1 bar.

Dans les deux questions suivantes, on ne prend en compte que les réactions électrochimiques impliquant les couples de l'eau sans intervention des autres ions présents dans l'eau de mer.

Q37. Pour chacun des domaines de potentiel ci-dessous, écrire la (les) réaction(s) électrochimique(s) observée(s) et expliquer l'allure de la courbe dans le domaine correspondant :
(a)

- 1, 00 V < U < - 0, 45 V

;
(b)

U < - 1, 00 V

Q38. Indiquer sur un graphique comment serait modifiée la courbe si elle était tracée avec une eau de mer contenant une plus faible concentration de dioxygène dissout.

On constate que, lorsqu'on applique à une cathode en acier plongée dans de l'eau de mer un potentiel de

- 0, 80 V

par rapport à l'électrode au calomel saturée, il se forme à sa surface un dépôt dense de carbonate de calcium

CaCO_3

, tandis que, pour un potentiel appliqué inférieur à

- 1, 10 V

par rapport à l'ECS, le dépôt contient à la fois du carbonate de calcium

CaCO_3

et de l'hydroxyde de magnésium

Mg(OH)_2

Q39. Expliquer ces observations.

On étudie à présent l'ensemble de la cellule d'électrolyse. Le métal de l'anode est supposé inoxydable, et la cathode est une plaque d'acier utilisée dans le domaine de potentiel

- 1, 00 V < U < - 0, 45 V

par rapport à l'électrode au calomel saturée. L'électrolyte est de l'eau de mer.

Q40. Montrer que deux réactions sont envisageables à l'anode.
Q41. Faire un schéma de la cellule d'électrolyse en fonctionnement en indiquant le sens de circulation du courant et la ou les réaction(s) aux électrodes.

III - Structure cristalline du dépôt de carbonate de calcium

La structure cristalline du carbonate de calcium dans le dépôt observé est l'aragonite. La maille correspondante est de type rhomboédrique, c'est-à-dire que tous les angles entre les arêtes de la maille sont égaux à

90^\circ

. Les arêtes de la maille sont

a = 496pm, b = 797pm

c = 574pm

. L'aragonite est une variété allotropique stable à pression élevée, mais métastable à pression atmosphérique; la forme la plus stable à pression atmosphérique est la calcite, de masse volumique

ρ = 2, 7 g \cdot cm^(- 3)

. On admettra qu'une élévation de pression favorise thermodynamiquement la structure la plus dense.

Figure 8 - Représentation de la maille de l'aragonite.

Q42. Donner un schéma de Lewis de l'ion carbonate

CO_3^(2 -)

. On rappelle que le carbone et l'oxygène sont situés respectivement dans la quatrième et la sixième colonne de la deuxième période du tableau périodique des éléments.

Q43. Justifier qualitativement la géométrie plane de l'ion carbonate.
Q44. Préciser la nature des interactions à l'origine de la cohésion de l'aragonite.
Q45. Vérifier, en déterminant la masse volumique de l'aragonite, qu'elle est moins stable que la calcite à basse pression.

Données numériques

Constante de Faraday : $F = 9, 65 \times 10^4 C \cdot mol^(- 1)$
Constante d'Avogadro: $N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)$
Constante des gaz parfaits : $R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
Constante de Nernst à $25^\circC : (RT)/Fln(10) \approx 0, 06 V$
Constantes de solubilité à $25^\circC$ :

$CaCO_3$	$Mg(OH)_2$
$pK_(S1) = 8, 4$	$pK_(S2) = 10, 9$

Constantes d'acidité à $25^\circC$ :

$CO_2(aq)/HCO_3^-(aq)$	$HCO_3^-(aq)/CO_3^(2 -)(aq)$
$pK_(A1) = 6, 1$	$pK_(A2) = 10, 2$

Constante d'équilibre de la réaction d'autoprotolyse de l'eau à $25^\circC : K_E = 10^(- 14)$
Potentiels standard à $25^\circC$ :

$O_2(g)/H_2 O(liq)$	$Cl_2(g)/Cl^-(aq)$	$H^+(aq)/H_2(g)$
$E_1^\circ = 1, 23 V$	$E_2^\circ = 1, 36 V$	$E_3^\circ = 0 V$

Masses molaires :

$CaCO_3$	$O_2$
$100, 1 g \cdot mol^(- 1)$	$32, 0 g \cdot mol^(- 1)$

Références

[1] Seaview Sensing Ltd et Université de Plymouth. Seaview Data Viewer. https://phillips.shef.ac.uk/ pub/svdv/whc/spatial (page consultée le 11 mars 25).
[2] D.D. Crombie. «Doppler Spectrum of Sea Echo at 13.56 Mc./s. » In : Nature 175.4459 (avr. 1955), p. 681-682.
[3] Jeffrey D. Paduan et Libe Washburn. «High-Frequency Radar Observations of Ocean Surface Currents ». In : Annual review of marine science 15 (2013), p. 115-136.
[4] Donald E. Barrick. FM/CW Radar Signals and Digital Processing. NOAA Technical Report ERL 283- WPL. Boulder, Colorado : National Oceanic et Atmospheric Administration.
[5] Charlotte Carré et al. «Electrochemical calcareous deposition in seawater. A review ». In : Environmental Chemistry Letters 18 (avr. 2020), p. 193-1208.

⋄

Fin

⋄

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique-chimie 1 MP Centrale 2025 ?

Le sujet porte sur la réflexion des ondes électromagnétiques et l'effet Doppler appliqués à un radar océanographique, sur le traitement du signal par détection synchrone et transformée de Fourier discrète, puis sur la chimie de l'eau de mer, l'électrolyse et la cristallographie.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale physique-chimie 1 MP 2025 ?

Le jury pointe surtout un manque de rigueur dans la justification des grandeurs physiques (comme l'épaisseur de peau du conducteur), une absence de discussion sur les incertitudes et sur le dimensionnement des filtres, ainsi que des difficultés à interpréter la courbe intensité-potentiel en chimie.

Le sujet de physique-chimie 1 MP Centrale 2025 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme bien calibré en longueur et en progressivité, avec une première partie plutôt bien réussie, mais la deuxième partie révèle des lacunes en travaux pratiques et la partie de chimie donne des résultats hétérogènes.

Faut-il réviser tout le programme de chimie des deux années pour ce sujet Centrale MP 2025 ?

Oui, la partie C mobilise un large éventail de notions de chimie du programme des deux années de CPGE, avec un questionnement de difficulté variée.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique Chimie 1 MP 2025

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...