Le sujet explore plusieurs aspects du transport ferroviaire en trois parties indépendantes. La première traite la motorisation (cycle Diesel, pile à combustible PEMFC, stockage de l'hydrogène dans un alliage FeTi), la deuxième la mécanique des trains (démarrage, passage en courbe, effet de la force de Coriolis sur l'usure des rails), la troisième la transmission d'informations par la lumière (LiFi) par modulation d'amplitude et filtrage.

1Partie I : la motorisation des trainsCycle Diesel dans le diagramme de Watt, rendement d'une pile à hydrogène, puis cristallographie de l'alliage FeTi pour le stockage de l'hydrogène.
2Partie II : mécanique du transport ferroviaireDémarrage du train de Trevithick avec frottement solide, passage en courbe d'un TGV et dévers des rails, puis usure des rails due au caractère non galiléen du référentiel terrestre.
3Partie III : connexion à Internet par LiFiÉmission par une diode électroluminescente, modulation d'amplitude, démodulation par multiplieur et filtre passe-haut, puis estimation du débit binaire.

Difficulté moyenne. Le jury juge les questions de cours plutôt bien traitées, mais les questions d'initiative ou appuyées sur des documents ont été très clivantes et la partie III a donné des résultats assez décevants.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,36 / 20 · écart-type 3,87 · 4 456 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,36/ 20
Écart-type: 3,87
Présents: 4 456
Coefficient: 12
Durée: 4 h
1er quartile: 6,4
Médiane: 9,3
3e quartile: 12,1

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Rendement du cycle Diesel · Signe du travail électrique de la pile · Rôle du frottement au démarrage

La plupart des candidats ont suivi l'ordre des questions et abordé au moins les deux premières parties. Les questions de cours ou d'application directe sont relativement bien traitées, alors que les questions demandant de l'initiative ou l'exploitation de documents ont nettement séparé les copies. Environ un quart des candidats a laissé de côté la troisième partie, qui comportait pourtant des questions accessibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Rendement du cycle DieselQ1 à Q5
La définition générale du rendement est connue, mais beaucoup de candidats n'identifient pas les étapes du cycle où ont lieu les échanges d'énergie.
2
Signe du travail électrique de la pileQ9 à Q14
Le signe de We est souvent faux et sert à justifier à tort le signe moins du rendement. La démonstration du rendement maximal révèle des confusions entre grandeurs extensives et grandeurs molaires.
« Cette justification repose alors sur un contresens physique »
3
Rôle du frottement au démarrageQ19 à Q22
L'action tangentielle des rails sur la locomotive a déstabilisé beaucoup de candidats, et les points d'application des forces sont souvent placés au hasard.
« dans cette situation, les frottements permettent au train d’avancer ! »
4
Question non guidée sur le déversQ26
Peu de candidats ont appliqué la démarche classique (référentiel, bilan exhaustif des forces, paramétrage) pour exploiter les documents et estimer le dévers des rails.
5
Force de Coriolis non écriteQ27 à Q31
Mouvement circulaire et mouvement de rotation sont souvent confondus. Par analogie hâtive avec la déviation vers l'Est, beaucoup n'ont pas exprimé la force de Coriolis pour en trouver la direction et le sens.
« la confusion fréquente entre mouvement circulaire et mouvement de rotation »
6
Filtre passe-haut du premier ordreQ38
La reconnaissance et la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du premier ordre n'ont pas été réussies par tous ceux qui ont abordé la question, ce qui a étonné le jury.

Ce qui a été bien réussi

Le tracé du cycle Diesel dans le diagramme de Watt et l'usage des lois de la thermodynamique pour trouver les grandeurs d'état (Q1 à Q5).
Les questions Q6 à Q8, proches du cours, plutôt bien réussies.
Les notions classiques de cristallographie, maîtrisées par la plupart des candidats (Q15 à Q18).
Le mouvement circulaire uniforme (Q23 à Q26) et la modulation d'amplitude (Q34 à Q36).

Conseils du jury

Mener des raisonnements concis sur des systèmes clairement définis, en citant les lois utilisées et leurs hypothèses.
Argumenter les réponses qualitatives dans une langue correcte, sans abréviations inutiles, et mettre les résultats en valeur.
Ne pas se précipiter sur les questions proches du cours au risque d'oublier des éléments clés de la démonstration.
Commenter les valeurs numériques et signaler honnêtement un résultat aberrant.
S'entraîner aux questions non guidées pendant l'année pour ne pas les laisser de côté le jour de l'épreuve.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

42 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

42 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Quelques aspects du transport ferroviaire

La première locomotive à vapeur date de 1804, elle a été conçue par un ingénieur des mines anglais Richard Trevithick, comme une application de la machine à vapeur. Depuis, le transport ferroviaire a connu une évolution rapide ; il apparait aujourd'hui comme une solution écologique au désir et au besoin de mobilité d'une population mondiale qui ne cesse de croitre.

Figure 1 Gauche : La locomotive de Trevithick. Droite : train fonctionnant avec une pile à hydrogène

I La motorisation des trains

Le Coradia iLint est le premier train à hydrogène au monde, propulsé par une pile à combustible. Il est basé sur le Coradia Lint 54, un modèle de locomotive diesel produit par Alstom. Ce type de machines thermiques, dédié aux voies non électrifiées, est très largement répandu sur les lignes régionales en Allemagne mais aussi en France.
L'objectif de cette partie est d'étudier un moteur diesel puis une pile à combustible à hydrogène utilisée à bord du Coradia iLint.

I.A - Le moteur Diesel

Le moteur des locomotives diesel fut inventé en 1892 par l'ingénieur allemand Rudolf Diesel. Les premières locomotives «Diesel-mécanique» où la puissance est transmise par l'intermédiaire d'une boite de vitesse à pignons furent rapidement remplacées par des locomotives «Diesel-électrique » où le moteur diesel, en tournant, entraîne un alternateur. Ce dernier fournit de l'énergie à plusieurs moteurs électriques de traction.
On modélise le fonctionnement d'un moteur Diesel en considérant un système fermé, constitué de

n

moles de gaz parfait diatomique, décrivant le cycle réversible dont les caractéristiques sont décrites ci-dessous.

Admission $A_0 A$ : la soupape d'arrivée de l'air est ouverte, celles d'arrivée de gasoil et celle d'échappement des gaz sont fermées. La pression est $P_(atm) = 1, 00 \times 10^5 Pa$ et la température $T_(atm) = 300 K$ . Le volume passe de $V_(min)$ à $V_(max)$ de façon isobare.
Compression $AB$ : les soupapes sont fermées. Le volume de l'air admis passe de $V_(max)$ à $V_(min)$ de manière adiabatique et réversible.
Injection et combustion $BC$ : les soupapes sont fermées, sauf celle d'injection du gasoil. Une petite quantité de gasoil est injectée et la combustion se produit. Le volume augmente jusqu'à $V_C$ . On modélise cette phase par une évolution isobare.
Détente $CD$ : les soupapes sont toutes fermées. L'injection cesse en $C$ et le mélange subit une détente adiabatique et réversible jusqu'à atteindre un volume $V_(max)$ .
Refroidissement $DA$ : la soupape d'échappement est ouverte. La pression diminue brutalement jusqu'à $P_(atm)$ , le volume restant constant.
Ejection $AA_0$ : la soupape d'échappement est ouverte, les autres fermées. Le volume passe de $V_(max)$ à $V_(min)$ de façon isobare.
Q 1. Représenter le cycle Diesel $A_0 - A - B - C - D - A - A_0$ dans le diagramme de Watt $(P, V)$ .
Q 2. On définit le rapport volumétrique de compression $x = V_(max)/V_(min)$ , ainsi que le rapport volumétrique de détente $y = V_(max)/V_C$ . Exprimer les pressions $P_B$ et $P_D$ en fonction de $P_(atm), x, y$ et du rapport $γ = C_(pm)/C_(vm)$ , des capacités thermiques molaires à pression et à volume constant du gaz considéré.

Q 3. Définir le rendement thermodynamique, noté

η_D

, pour ce moteur et l'exprimer en fonction des températures

T_A, T_B, T_C, T_D

et du rapport

γ

.
Q 4. Exprimer

η_D

en fonction de

x, y

, et

γ

puis faire l'application numérique en utilisant les données en fin de sujet. En réalité, le rendement observé est de l'ordre de 0,45 . Commenter.
Q 5. Une locomotive à moteur Diesel roule à la vitesse constante

v = 140 km \cdot h^(- 1)

. Le moteur tourne à la vitesse angulaire, elle aussi constante, de

2000tr \cdot min^(- 1)

, un tour correspondant à un cycle du moteur. Calculer la puissance mécanique moyenne du moteur de la locomotive (en utilisant la valeur du rendement observé) ainsi que sa consommation en gasoil pour 100 km . On utilisera les données en fin de sujet.

I.B - La pile à hydrogène PEMFC (Polymère Exchange Membrane Fuel Cell)

La pile à hydrogène représentée figure 2 est constituée de deux électrodes de platine poreuses, séparées par une membrane polymère permettant le passage des protons

H^+

, mais pas celui des électrons. Elle fonctionne avec du dihydrogène et du dioxygène gazeux et produit de l'eau sous forme liquide.

Figure 2 Schéma d'une pile à combustible

Le bilan réactionnel global de la pile à hydrogène, qui met en jeu les couples redox

H^+/H_(2(g))

O_(2(g))/H_2 O_((l))

s'écrit :

H_(2(g)) + 1/2O_(2(g)) = H_2 O_((l)).

I.B.1)

Q 6. Définir les termes «anode» et «cathode». Écrire les demi-équations électroniques mises en jeu au niveau de chacune des deux électrodes de cette pile.
Q 7. Reproduire le schéma de la pile et y faire apparaitre le nom des électrodes, le sens du courant, le sens de déplacement des protons responsables du passage du courant au sein de l'électrolyte, et celui de déplacement des électrons. Indiquer également le pôle positif et le pôle négatif de la pile.
Q 8. Calculer, à 298 K , l'enthalpie standard

Δ_r H^\circ

et l'entropie standard

Δ_r S^\circ

de la réaction. En déduire la valeur de l'enthalpie libre standard de la réaction à 298 K , puis la force électromotrice standard

e^\circ

de la pile.
I.B.2) Le rendement

η

d'une pile est relié à l'énergie électrique fournie à l'extérieur,

W_e

et à la variation d'enthalpie

ΔH

du système électrochimique selon

η = - (W_e)/(ΔH)

Q 9. Justifier la présence du signe «-» dans l'expression ci-dessus.
Q 10. À pression et température constantes, établir l'inégalité liant la variation d'enthalpie libre

ΔG

du système et le travail électrique fourni

W_e

.
Le rendement maximal est obtenu en considérant un fonctionnement isotherme, isobare et réversible de la pile, avec une tension correspondant à la force électromotrice standard

e^\circ

(les activités de toutes les espèces physico-chimiques en jeu sont donc prises égales à 1).

Q 11. Montrer que le rendement théorique maximal dans les conditions standard peut s'écrire

η_(max) = 1 - T(Δ_r S^\circ)/(Δ_r H^\circ).

Q 12. Évaluer le rendement théorique maximal de la pile PEMFC à la température de

60^\circC

.
Dans les conditions réelles d'utilisation, la force électromotrice de la pile à hydrogène est inférieure à la valeur théorique en raison de différents phénomènes dissipant de l'énergie : surtension d'activation due au transfert électronique (caractère plus ou moins lent des réactions électrochimiques), surtension due au transport de matière (apport des réactifs jusqu'aux électrodes et départ des produits de réaction) et enfin chute ohmique dans l'électrolyte et dans les divers matériaux conducteurs électroniques.
La figure 3 présente la caractéristique tension - courant (

U, j

), appelée encore «courbe de polarisation », d'une pile à hydrogène élémentaire. Le point de fonctionnement nominal de cette cellule est tel que

U_n = 0, 7 V

j_n = 0, 45 A \cdot cm^(- 2)

Figure 3 Courbe de polarisation

Pour le train à hydrogène Coradia iLint, son constructeur annonce une autonomie de 1000 km à une vitesse moyenne de

100 km \cdot h^(- 1)

. La pile utilisée est un ensemble de piles élémentaires montées en série développant une puissance de 200 kW sous une tension

U = 300 V

.
Q 13. Combien de cellules doivent-elles être branchées en série ? Quelle doit être la surface des électrodes d'une cellule?
Q 14. Évaluer le débit molaire en dihydrogène nécessaire au fonctionnement de la pile ainsi que la masse d'hydrogène assurant l'autonomie annoncée par le constructeur.
I.B.3) À ce jour, trois types de stockage d'hydrogène peuvent être envisagés :

le stockage sous forme de gaz comprimé, sous une pression égale à 700 bar et à une température de 298 K , dans des réservoirs composites capables de résister à de fortes pressions;
le stockage sous forme liquide, à $- 253^\circC$ sous une pression de 10 bar, ce qui nécessite des réservoirs à l'isolation thermique poussée afin de minimiser l'évaporation;
le stockage dans des substrats, sous forme absorbée: l'hydrogène est stocké dans les sites interstitiels du réseau métallique d'un alliage pour former des hydrures non stœchiométriques.
Pour le cas du stockage par adsorption, un substrat possible est l'alliage fer-titane. La réaction d'absorption s'écrit :

FeTi_((s)) + n/2H_(2(g)) = FeTiH_(n(s)).

L'alliage FeTi a une structure cubique, de paramètre de maille

a

, comportant un atome de titane à chaque sommet et un atome de fer au centre du cube.
Q 15. Représenter la maille de FeTi et déterminer le paramètre de maille

a

, à partir des données.
Seuls les sites octaédriques formés par deux atomes de fer et quatre atomes de titane peuvent être occupés par un atome d'hydrogène.
Q 16. Identifier la position de ces sites interstitiels. En déduire la formule stœchiométrique de l'hydrure contenant le maximum théorique d'atomes d'hydrogène.
Q 17. En réalité, l'absorption maximale d'hydrogène correspond à l'hydrure

FeTiH_(1, 9)

. Exprimer puis calculer la capacité volumique d'absorption définie comme la masse d'hydrogène qui peut être insérée dans un mètre cube d'alliage FeTi.

Q 18. Déterminer le volume d'alliage nécessaire pour stocker les 108 kg de dihydrogène permettant d'assurer l'autonomie du Coradia iLint. Comparer ce volume aux deux autres possibilités de stockage et conclure.

II Mécanique du transport ferroviaire

II.A - Démarrage du train de Trevithick

Le premier train qui sera étudié est celui de Trevithick. L'idée de Trevithick a été d'associer la roue pour le transport, à la machine à vapeur pour la force motrice. Au cours d'un essai, la locomotive de Trevithick de masse

M_ℓ = 1t

, dont la figure 1 montre une reproduction, a été capable de tracter un ensemble de dix wagons portant un chargement d'acier de masse totale

M_c = 10t

sur une distance

D = 15 km

. Lors de cet essai en ligne droite, conduit sur des rails en fonte horizontaux parallèles à l'axe

Ox

, le train parvint à atteindre la vitesse

v_0 = 8 km \cdot h^(- 1)

, supposée constante après la phase de démarrage.
On étudie ici la phase de démarrage de la locomotive tractant les dix wagons. L'étude est conduite dans le référentiel terrestre supposée galiléen. On envisage un démarrage à accélération constante, et on note

a_0^(\to-)

cette accélération. On définit deux systèmes:

le système $Σ_1$ , de masse totale $M_c$ , est constitué de l'ensemble des 10 wagons et de leur charge.
le système $Σ_2$ correspond à la locomotive de Trevithick, de masse totale $M_ℓ$ , et qui compte également quatre roues en acier.
On note $F⃗_(Σ_2/Σ_1)$ la force qu'exerce $Σ_2$ sur $Σ_1$ ; cette force est supposée horizontale.
On adopte un modèle très simpliste de contact ponctuel entre les roues et les rails et on suppose qu'aucune roue ne glisse sur les rails. On donne pour le contact acier-fonte le coefficient d'adhérence (également appelé coefficient de frottement statique) $f_a$ . Les lois de Coulomb du frottement solide sont rappelées en annexe.
On admet qu'une étude dynamique permet d'établir, qu'en considérant les roue de masse négligeable, la force $F⃗_(r/1)$ exercée par les rails sur une roue du système $Σ_1$ est normale au rail. Par la suite, on fera cette approximation pour toutes les roues du système $Σ_1$ . On note également $F⃗_(r/2)$ la force qu'exerce le rail sur une des quatre roues de la locomotive, avec $F⃗_(r/2) = N⃗_(r/2) + T⃗_(r/2)$ , où $N⃗_(r/2)$ et $T⃗_(r/2)$ désignent respectivement les composantes normale et tangentielle de l'action d'un rail sur une roue de la locomotive.
Q 19. Faire un schéma de la situation et représenter les forces qui s'exercent sur $Σ_1$ . Exprimer la force $F⃗_(Σ_2/Σ_1)$ en fonction, entre autres, de l'accélération $a_0^(\to-)$ .
Q 20. Faire un autre schéma où figurent les forces qui s'exercent sur $Σ_2$ . On négligera toute force de frottement fluide due à l'air.
Q 21. Montrer que $T⃗_(r/2)$ est nécessairement non nulle. On admettra que cette force est identique sur les quatre roues de la locomotive. Exprimer $T⃗_(r/2)$ en fonction notamment de l'accélération $a_0^(\to-)$ et des diverses masses introduites dans l'énoncé.
Q 22. Calculer le temps qu'a mis le train de Trevhitick à atteindre sa vitesse de croisière, en supposant que $‖T⃗_(r/2)‖ = 0, 1f_a‖N⃗_(r/2)‖$ , de sorte que l'absence de glissement est assurée.

II.B - Circulation des trains à grande vitesse (TGV)

On s'intéresse maintenant aux voies des trains à grande vitesse, dont le tracé est déterminé par diverses contraintes. Une des contraintes essentielles est que le trajet doit être le plus horizontal possible. La morphologie des territoires traversés impose de ce fait des tracés courbes pour les trajets des trains.

II.B.1) Passage en courbe

On envisage ici le problème de la jonction entre deux tronçons rectilignes

A_0 A

BB_0

formant un angle de

120^\circ

(figure 4). On considère pour simplifier que le tracé de la voie entre les points

A

B

suit une portion du cercle

C

tangent aux deux segments de droites en

A

B

. On note

d_(AB)

la distance en ligne droite entre ces deux points. Le référentiel terrestre est toujours supposé galiléen.

Figure 4 Raccordement circulaire entre deux tronçons rectilignes

Q 23. Déterminer le rayon

R_C

du cercle

C

en fonction des données.
Q 24. En supposant la vitesse du train constante en norme, de valeur notée notée

V_0

(soit

‖v⃗_1‖ = ‖v⃗_2‖ = V_0

), tracer l'évolution de la norme de l'accélération du train, assimilé à un point matériel, entre l'instant

t = 0

où il se trouve en

A_0

et l'instant

t_f

où il se trouve en

B_0

.
Q 25. Calculer la valeur numérique de l'accélération

a_C

entre les points

A

B

dans le cas où

d_(AB) = 2 km

V_0 = 300 km \cdot h^(- 1)

.
Au niveau d'un tel virage, la voie présente un dévers, c'est-à-dire une différence de hauteur entre les rails intérieur et extérieur qui permet d'incliner le train. Ce dévers est conçu de sorte qu'un passager ne soit pas trop fortement déporté sur le bord de son siège au cours du virage. L'écartement entre les deux rails au niveau des roues est quant à lui fixé à

E_r = 1400 mm

.
Lors d'un voyage en TGV, un passager curieux d'étudier ce dévers a placé un pendule simple, constitué d'une masse

m_p

reliée à un fil inextensible, au dos du siège situé devant lui, vers l'avant du train. Ainsi fixé, ce pendule peut se déplacer librement dans un plan vertical perpendiculaire à la vitesse du train. La figure 5 montre la position d'équilibre du pendule dans le virage indiqué sur la carte, alors que le train roule à

287 km \cdot h^(- 1)

Figure 5 La carte permet d'estimer que le rayon de courbure du virage lors de la réalisation de l'expérience est

R_c = 4 km

. Sur la photo à droite, le segment noir matérialise la verticale lorsque le train est à l'horizontale.

Q 26. Estimer la valeur du dévers lors de la réalisation de cette expérience. Préciser à l'aide d'un schéma clair lequel des deux rails, intérieur ou extérieur au virage, est surélevé.

II.B.2) Usure abrasive des rails sur la ligne de TGV Paris-Lyon

Pour cette sous-partie, et pour celle-ci seulement, on considère que le référentiel terrestre

R_t

est non galiléen et que le référentiel géocentrique

R_g

est galiléen.
Q 27. Décrire le mouvement du référentiel terrestre

R_t

par rapport au référentiel

R_g

.
On considère la ligne de TGV Paris-Lyon, dont la longueur est approximativement de 500 km , et sur laquelle les trains (figure 6) roulent à la vitesse

V_0 = 300 km \cdot h^(- 1)

par rapport au référentiel terrestre. La ligne est composée de deux voies : une servant pour le trajet de Paris vers Lyon, l'autre pour le trajet Lyon vers Paris.

Figure 6 Un train de dernière génération circulant sur la ligne Paris-Lyon.

On étudie par la suite un TGV allant de Paris à Lyon, sur un tronçon rectiligne horizontal, localement confondu avec une ligne méridienne nord-sud. La figure 7 schématise le contact entre les rails et les roues de ce train.

Figure 7 Schéma - en coupe - du contact entre les rails et les roues du TGV (les échelles de distance ne sont pas respectées).

Q 28. La prise en compte du caractère non galiléen du référentiel terrestre implique l'existence d'une force normale horizontale exercée par l'intérieur d'un des deux rails sur les roues avec lesquelles il est en contact. Identifier, en le justifiant, le rail concerné dans le cas d'un TGV circulant de Paris vers Lyon. Sur un schéma inspiré de celui de la figure 7 faire figurer les forces de contact exercées par les rails sur les roues.
De nos jours, les rails sont réalisés en acier trempé très dur, afin d'en limiter l'usure. Il existe différents types d'usure des rails; nous n'envisagerons ici que l'usure abrasive, qui a lieu à l'interface entre les roues et le rail. On note que, lorsqu'on étudie l'usure, on prend en compte le fait que le contact roue-rail n'est pas ponctuel: cela implique qu'il y a nécessairement une zone de contact glissant, même en cas d'adhérence. Diverses lois permettent de quantifier cette usure ; nous nous limiterons à la loi d'usure de Preston-Archard selon laquelle le volume de matière usée peut être calculé par la formule

V = k(F_n)/Hd

où

H

est la dureté du matériau dont l'unité est

kg \cdot m^(- 2), d

la distance sur laquelle a eu lieu le glissement,

F_n

la force normale au glissement et

k

un coefficient, appelé coefficient d'Archard, qui dépend des conditions expérimentales, matériaux, température, géométrie, etc.
Q 29. Discuter qualitativement la loi de Preston-Achard.
Q 30. Déterminer la dimension du coefficient d'Archard

k

.
Q 31. Pour le rail identifié dans la question Q 28, comparer le degré d'usure des faces supérieure et intérieure du rail. Préciser les approximations réalisées.

III Connexion à Internet par LiFi

Parmi les nombreux avantages du transport ferroviaire, on peut citer la possibilité d'utiliser le temps du transport comme un temps de travail ou de loisir grâce, notamment, à une connexion Internet individualisée. Dans cette partie est étudiée la technologie LiFi (Light Fidelity), ainsi nommée par analogie avec le WiFi (Wireless Fidelity), une solution innovante pour les connexions Internet individualisées dans des espaces restreints tels que la cabine d'un avion ou un wagon de train. Le LiFi exploite la lumière visible pour transmettre l'information. Son apparition coïncide avec le développement de l'éclairage par les diodes électroluminescentes.

Document

Comme pour les diodes «simples», les diodes électroluminescentes mettent en jeu une jonction entre deux matériaux semi-conducteurs (jonction PN). Les photons sont émis lorsque le courant direct qui traverse la jonction provoque la recombinaison d'une paire électron-trou. La caractéristique d'une diode électroluminescente varie selon la couleur émise. Dans le cas d'une diode émettrice de lumière bleue, la caractéristique courant-tension a l'allure suivante :

Pour

i_D > 0

, la diode considérée émet une lumière bleue de longueur d'onde dans le vide

λ_b = 470 nm

; la tension à ses bornes est alors égale à

V_(sb) = 2, 90 V

. Le rendement en puissance de la diode électroluminescente, défini comme le rapport de la puissance lumineuse

Φ_e

émise sur la puissance électrique reçue, est égal à

η_(led) = 33%

. En première approximation, on peut considérer que la puissance lumineuse

Φ_e

est rayonnée de façon isotrope dans le demi-espace qui se situe au-dessus du composant.

Dans ce problème, nous ne considérerons que le flux de données descendant vers l'utilisateur. Le schéma de la figure 8 représente le principe de la transmission d'une information par la lumière. La tension

u_e

contient le signal informatif. Elle alimente la diode électroluminescente

D_1

émettrice de lumière bleue, de sorte que l'amplitude de l'onde lumineuse émise soit modulée par le signal

u_e

. La diode

D_2

, polarisée en sens indirect grâce au potentiel

V_0

qui est positif, est photoréceptrice. L'intensité

i_2

du courant qui parcourt

D_2

est proportionnelle au flux lumineux qu'elle reçoit, de sorte que la tension

u_r

contient l'information utile.

Figure 8 Principe de la transmission d'information par la lumière.

III.A - Émission du signal lumineux

Dans le circuit émetteur, la résistance

r_e = 10Ω

a pour fonction de commander le passage du courant dans la diode par la tension

u_e

, en même temps qu'elle la protège. La diode émet de la lumière lorsque l'intensité du courant

i_1

qui la traverse en sens direct est positif; on notera la puissance lumineuse moyenne émise

Φ_e

. Dans le modèle adopté, la puissance moyenne émise est proportionnelle au courant

i_1

avec un coefficient de proportionnalité

K_e

, soit

Φ_e = K_e i_1

Q 32. Déterminer la valeur constante minimale

U_(min)

u_e

qui permet d'obtenir une émission lumineuse par la diode.
Q 33. Calculer la valeur constante

U_0

u_e

qui permet d'obtenir un courant

i_1

constant égal à

i_0 = 0, 73 A

à travers la diode. Calculer la puissance lumineuse moyenne correspondante, notée

Φ_(e0)

, émise par la diode.
Pour transmettre une information par la lumière, la technologie LiFi utilise le principe de la modulation d'amplitude. Le signal porteur correspond au signal lumineux de longueur d'onde

λ_b

émis par la diode, dont on module l'amplitude à l'aide d'un signal sous-porteur

p(t)

. Par la suite, on considère que le signal sous-porteur est sinusoïdal, d'amplitude

p_m

, de fréquence

f_p = ω_p/2π

et de phase à l'origine

α_p : p(t) = p_m cos(ω_p t + α_p)

. On note

a(t)

la tension correspondant au signal contenant l'information; les fréquences contenues dans le spectre de

a(t)

, notées

f_a

sont très inférieures à la fréquence

f_p

. On génère la tension

u_e(t)

du circuit émetteur grâce au circuit de la figure 9 , qui contient un bloc multiplieur

M_1

et un bloc additionneur

A_1

. Le bloc multiplieur

M_1

réalise le produit des deux tensions d'entrée, soit dans le cas du circuit considéré

m_1(t) = k_m \times p(t) \times a(t)

, avec

k > 0

. Les impédances d'entrée des blocs

A_1

M_1

sont infinies.

Figure 9 Schéma du circuit de réalisation de

u_e(t)

Q 34. Exprimer la tension

u_e(t)

dans le cas où

a(t)

est un signal sinusoïdal d'amplitude

a_m

, de fréquence

f_a = ω_a/2π

telle que

f_a≪f_p

. Quelle est la valeur maximale du produit

k \times p_m \times a_m

qui permet de s'assurer que la diode électroluminescente émet toujours de la lumière ?
Q 35. Représenter l'allure du signal

u_e(t)

, ainsi que l'allure de son spectre, dans le cas où le signal

a(t)

est sinusoïdal de fréquence

f_a = f_p/10

.
Q 36. Représenter l'allure du signal

u_e(t)

, ainsi que l'allure de son spectre, dans le cas où le signal

a(t)

est un signal créneau variant entre 0 et

a_m

, de fréquence

f_a = f_p/10

. L'allure d'un spectre d'un tel signal créneau est donné en annexe.

III.B - Réception du signal lumineux et extraction de l'information

La photodiode réceptrice est située à la distance

d

de la diode émettrice et capte le flux lumineux

Φ_r

qui arrive sur sa surface, d'aire

s_r

. Lorsqu'elle est polarisée en inverse comme sur le schéma de la figure 8 , le courant

i_2

qui la traverse en sens indirect est proportionnel au flux

Φ_r

et on note

i_2 = K_r Φ_r

, où

K_r

est une constante positive.
Q 37. Exprimer la tension

u_r(t)

en fonction de

u_e(t), V_(sb), d, r, r_e, s_r, K_e

K_r

.
Pour extraire le signal informatif du signal

u_r

, on réalise le montage de la figure 10 dans lequel

A_2

est un amplificateur de tension, tel que

u_(r1) = Ku_r

, et

M_2

est un multiplieur identique à

M_1

. Dans le montage figure également le bloc

F

constitué d'une résistance

r_2

et d'un condensateur de capacité

C_2

Figure 10 Schéma du circuit d'extraction de l'information à partir de la tension

u_r(t)

Q 38. Quelle est la fonction du bloc

F

? Exprimer sa fonction de transfert et préciser sa pulsation de coupure

ω_c

en fonction de

r_2

C_2

.
On considère un signal informatif de la forme

a(t) = a_m cos(ω_a t)

, tel que

ω_c≪ω_a≪ω_p

.
Q 39. Montrer que la tension

u_(r3)

peut s'écrire sous la forme

u_(r3) = U_(3m)cos^2(ω_p t + α_p)cos(ω_a t)

; exprimer l'amplitude

U_(3m)

en fonction des données du problème, puis représenter le spectre du signal

u_3

Q 40. On souhaite que la tension

u_(r4)

soit proportionnelle au signal informatif. Proposer un montage pour le bloc inconnu, noté «? » sur la figure 10.

III.C - Débit binaire du LiFi

En pratique, le signal informatif est un signal binaire, dont l'allure qualitative est présentée figure 11 où

T_(ck)

est la période d'horloge. Pour que la modulation décrite dans la sous-partie III.A soit correcte, il faut s'assurer que la fréquence d'horloge

f_(ck)

vérifie la condition

f_(ck) < f_p/100

Figure 11 Allure d'un signal informatif pour une transmission binaire

Q 41. Les liaisons WiFi actuelles procurent un débit descendant de l'ordre de

10Mbit \cdot s^(- 1)

, obtenu avec des porteuses dont la fréquence est de l'ordre de quelques GHz. Vérifier que la condition d'une bonne modulation est satisfaite.
On considère désormais le cas d'une installation LiFi utilisant des diodes électroluminescentes émettant une lumière bleue de longueur d'onde

λ_b = 470 nm

dans le vide.
Q 42. Calculer la fréquence de la porteuse lumineuse. En déduire l'ordre de grandeur de la fréquence de la sous-porteuse qui peut être utilisée pour la technologie LiFi, puis estimer l'ordre de grandeur du débit binaire maximal que l'on peut obtenir avec le LiFi . Commenter.

Données

Données pour la partie I

Volume maximal du gaz dans le cycle diesel
Rapports des volumes dans le cycle diesel
Rapport des capacités thermiques
Rappel des expressions des capacités thermiques molaires à respectivement volume et pression constants :
Constante des gaz parfaits
Constante de Faraday
Constante d'Avogadro
Masse volumique de l'alliage FeTi
Masse volumique du dihydrogène liquide à 10,0 bar
Enthalpie de combustion massique du gasoil

V_(max) = 57 L; x = V_(max)/V_(min) = 20; et y = V_(max)/V_C = 7; γ = C_(pm)/C_(vm) = 1, 4

C_(vm) = R/(γ - 1)

C_(pm) = Rγ/(γ - 1)

R = 8, 314 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)

1 F = 9, 65 \times 10^4 C \cdot mol^(- 1)

N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)

ρ_(FeTi) = 6, 35 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

ρ_(H_2(l)) = 70, 8 kg \cdot m^(- 3)

Δ_(comb)h = 46, 8MJ \cdot kg^(- 1)

Enthalpies molaires standard de formation et entropies molaires standard à 298 K

	$H_2 O_((1))$	$H_(2(g))$	$O_(2(g))$
$Δ_f H^\circ(kJ \cdot mol^(- 1))$	-286	0	0
$S_m^\circ(kJ \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1))$	0,070	0,131	0,205

Masses molaires et rayons atomiques

	H	Fe	Ti
Masse molaire $(g \cdot mol^(- 1))$	1,00	55,8	47,9
Rayon atomique $(pm)$	25,0	132	126

Accélération de la pesanteur	$g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)$
Coefficient d'adhérence fonte-acier	$f_a = 0, 12$
Latitudes des villes citées	Lyon $= 45, 8^\circ$ Nord ; Paris $= 48, 9^\circ$ Nord

Lois de Coulomb du frottement solide, coefficient d'adhérence

Soient deux solides

S_1

S_2

en mouvement par rapport au référentiel d'étude

R_0

, en contact au point

I

.
Sans glissement,

v_(I \in S_1/R_0) = v_(I \in S_2/R_0)

, il y a adhérence. La force

R⃗

qu'exerce

S_1

sur

S_2

a une composante normale

N⃗

et une composante tangentielle

T⃗(R⃗ = T⃗ + N⃗)

telles que

‖T⃗‖ < f_a‖N⃗‖

où

f_a

est le coefficient d'adhérence entre les deux solides.

Figure 12 Frottement entre deux solides dans le cas d'un contact ponctuel adhérent

Données pour la partie III

Vitesse de propagation de la lumière dans le vide

c = 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)

Spectre en amplitude d'un signal créneau de fréquence $f$ (premières harmoniques)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 ?

Il mobilise la thermodynamique des machines, l'électrochimie d'une pile à combustible, la cristallographie, la mécanique avec frottement solide et en référentiel non galiléen, puis la modulation d'amplitude et le filtrage. Le fil conducteur est le transport ferroviaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 ?

Des rendements mal calculés (cycle Diesel et pile), un signe du travail électrique faux, une mauvaise compréhension du rôle du frottement au démarrage et une force de Coriolis non exprimée. La question non guidée sur le dévers a été peu réussie.

La partie LiFi du sujet Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 a-t-elle été traitée ?

Environ un quart des candidats l'a délaissée d'emblée. Le jury note des prestations assez décevantes, liées au nombre d'informations et de notations nouvelles, et dit en avoir tenu compte dans l'évaluation.

Comment le barème de Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 récompensait-il les candidats ?

Il valorisait séparément la connaissance du cours, les raisonnements classiques, l'initiative, l'analyse et la qualité de la rédaction. Selon le jury, il a permis de bien différencier les candidats.

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Quelques aspects du transport ferroviaire

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I.B.1)

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II.A - Démarrage du train de Trevithick

II.B - Circulation des trains à grande vitesse (TGV)

II.B.1) Passage en courbe

II.B.2) Usure abrasive des rails sur la ligne de TGV Paris-Lyon

III Connexion à Internet par LiFi

Document

III.A - Émission du signal lumineux

III.B - Réception du signal lumineux et extraction de l'information

III.C - Débit binaire du LiFi

Données

Données pour la partie I

Lois de Coulomb du frottement solide, coefficient d'adhérence

Données pour la partie III

Spectre en amplitude d'un signal créneau de fréquence f (premières harmoniques)

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 ?

La partie LiFi du sujet Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 a-t-elle été traitée ?

Comment le barème de Centrale Physique-chimie 1 MP 2024 récompensait-il les candidats ?

Commentaires• Centrale Physique Chimie 1 MP 2024

Commentaires• Centrale Physique Chimie 1 MP 2024

Spectre en amplitude d'un signal créneau de fréquence $f$ (premières harmoniques)