Centrale Physique Chimie 2 MP 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Description de la structure de la matière au XXe siècle

Pas encore noté

Faisable en Sup

Faisable en sup ?

Faisable en partie en MPSI : 22 questions sur 49, partie I en entier. Autres questions faisables en MPSI

Autres premières années : PTSI 20 · TSI1 23 · BCPST1 10 questions.

Détail par partie

Partie I : Le modèle « plum pudding » de J. J. Thomson9/9Faisable
Partie II : Découverte du noyau (Rutherford)6/7En partie
Partie III : Instabilité d'un modèle d'atome « classique »1/8En partie
- Question 20
Partie IV : Relations d'Heisenberg2/11En partie
- Question 29
- Question 30
Partie V : L'atome quantique : onde ou particule ?4/7En partie
Partie VI : Présentation de l'expérience de Brillouin et Perrin0/72e année

Explorer les annales

BanqueCentrale Année2024 FilièreMP MatièrePhysique-Chimie

Annales Centrale MP Physique-Chimie Centrale MP 2024 MP Physique-Chimie Physique-Chimie 2024

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé détaillé en ligne

Corrigé sur Discord

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficile

Structure de la matière : modèles de Thomson et Rutherford, atome quantique et mouvement brownien (Perrin, Brillouin)

Le sujet retrace la construction de la description atomique de la matière. Il étudie d'abord les modèles classiques de Thomson et Rutherford et l'instabilité de l'atome planétaire qui rayonne, puis l'atome d'hydrogène à l'aide de l'inégalité de Heisenberg et une expérience d'interférences moléculaires. Il se termine par la diffusion de grains colloïdaux, traitée numériquement, pour estimer la constante de Boltzmann et le nombre d'Avogadro.

1Partie I : le modèle « plum pudding » de ThomsonChamp d'une boule uniformément chargée par le théorème de Gauss, puis mouvement de l'électron dans ce champ.
2Partie II : découverte du noyau (Rutherford)Déviation de particules alpha par une ou plusieurs collisions et estimation de la taille du noyau par rétrodiffusion.
3Partie III : instabilité de l'atome classiquePuissance rayonnée par une charge accélérée (vecteur de Poynting) et durée de vie de l'atome planétaire.
4Partie IV : relations de HeisenbergDispersions en position et en quantité de mouvement, puis estimation de la taille de l'atome d'hydrogène.
5Partie V : onde ou particule ?Longueur d'onde de de Broglie et interférences de molécules de phtalocyanine, avec exploitation de données expérimentales.
6Partie VI : expérience de Brillouin et PerrinÉquation de diffusion, résolution numérique par marche aléatoire et exploitation de courbes expérimentales.

Difficile. Selon le rapport, la première partie a rapporté un peu plus de la moitié des points prévus, mais le taux de réussite sur le reste du sujet est voisin d'un quart.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,33 / 20 · écart-type 3,96 · 4 430 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,33/ 20
Écart-type: 3,96
Présents: 4 430
Coefficient: 12
Durée: 4 h
1er quartile: 6,5
Médiane: 9,4
3e quartile: 12,2

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confondre symétries des sources et du champ · Angle de déviation mal défini · Vecteur de Poynting interprété de façon vague

La première partie, riche en questions élémentaires, a été largement traitée. Le reste du sujet a été beaucoup moins réussi, en particulier la dernière partie, faute de temps. L'exploitation des résultats expérimentaux donnés sous forme de graphiques, en fin de parties V et VI, a déçu le jury.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confondre symétries des sources et du champQ1, Q2
On raisonne sur les invariances de la distribution de charges pour en déduire celles du champ, et non l'inverse.
« ils confondent les propriétés d'invariance des sources du champ (sur lesquelles on s'appuie) et celles du champ lui-même »
2
Angle de déviation mal définiQ10, Q13, Q14
L'angle se lit sur la direction du vecteur vitesse en sortie, pas sur le vecteur position. Les unités d'angle ont aussi donné lieu à de nombreuses confusions.
3
Vecteur de Poynting interprété de façon vagueQ17 à Q19
Ces questions proches du cours ont perdu des points faute de parler de flux d'énergie ; la direction de l'accélération transverse a souvent été choisie au hasard.
« l'interprétation du vecteur de Poynting est souvent exprimée de manière imprécise, sans mention de la notion de flux »
4
Inégalité de Heisenberg absenteQ29
L'énoncé demande de s'appuyer sur l'inégalité : elle doit figurer dans la réponse, pas seulement une égalité d'ordres de grandeur.
5
Bilan d'énergie ajusté au résultatQ23
Une erreur de signe initiale qui mène malgré tout à l'équation différentielle attendue est repérée et pénalisée.
« ce manque d'honnêteté intellectuelle est sanctionné »
6
Diffusion confondue avec propagationQ40, Q43
Le jury demande de bien distinguer équation de diffusion et équation de d'Alembert ; en optique, une différence de marche justifiée par un schéma était attendue.
« le jury invite les préparationnaires à bien saisir la distinction entre une équation de diffusion et l'équation de d'Alembert »

Ce qui a été bien réussi

Les questions de symétrie sur le champ électrique (Q1, Q2) sont généralement bien traitées.
La question peu guidée sur l'expérience de Rutherford (Q10) a été abordée avec succès, partiel ou complet, par plus de la moitié des candidats.
Ceux qui ont atteint la partie VI ont souvent bien traité l'approche probabiliste et numérique de l'équation de diffusion.

Conseils du jury

Aborder les questions peu guidées avec un schéma et une démarche simple : elles ne demandent ni modélisation délicate ni longs calculs.
Respecter l'écriture des symboles mathématiques (vecteurs, notations) : leur non-respect a fait baisser des notes.
S'entraîner à extraire des valeurs de graphiques expérimentaux et à les exploiter jusqu'à une conclusion chiffrée.
Gérer son temps pour atteindre les dernières parties, qui ont été les moins traitées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

49 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

49 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 41 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Ce problème aborde quelques aspects historiques de la description de la structure de la matière telle qu'elle a été élaborée au XXème siècle.
Il comprend trois parties largement indépendantes entre elles. La première partie porte sur le modèle classique de l'atome et analyse quelques étapes de sa construction, ainsi qu'une de ses faiblesses principales. La deuxième partie porte sur une analyse quantique élémentaire de l'atome d'hydrogène et présente une expérience illustrant la dualité onde-corpuscule. La troisième partie, enfin, présente une preuve macroscopique de l'«hypothèse atomique » au travers de l'étude du mouvement Brownien.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Partie A - L'atome classique : réussites et difficultés

I Le modèle «plum pudding» de J. J. Thomson

Dans la foulée de sa «découverte» de l'électron, J.J Thomson proposa en 1904 un modèle d'atome appelé communément modèle du plum-pudding. Dans ce modèle, l'atome est assimilé à une sphère de rayon

a_0

contenant les électrons, particules ponctuelles de charge

- q_e

et de masse

m

. Ceux-ci se déplacent au sein d'une répartition volumique de charge positive

ρ

supposée uniforme dans le volume de l'atome et dont la présence assure l'électroneutralité de l'atome.
Dans la suite nous nous limiterons à un modèle d'atome d'hydrogène pour simplifier.

I.A - Champ électrique de la distribution de charge positive.

Commençons par déterminer le champ électrique engendré par la distribution volumique de charge positive.
Q 1. Justifier par des considérations de symétrie que ce champ électrique est radial (on se placera en coordonnées sphériques).
Q 2. Utiliser les invariances pour montrer que la distance radiale

r

est le seul paramètre pertinent pour caractériser le champ électrique.
Q 3. Rappeler tout d'abord le théorème de Gauss en vous appuyant sur un schéma permettant d'illustrer les notations. Appliquer ce théorème en exploitant les considérations de symétrie et d'invariance au cas de la distribution de charges considérée, dont la charge totale est notée

Q = + q_e

. En déduire que le champ électrique à l'intérieur de l'atome s'écrit

E⃗ = Q/(4πε_0 a_0^3)r⃗

où

r⃗ = ru⃗_r

est le vecteur radial et

u⃗_r

le vecteur radial unitaire.

I.B - Étude mécanique.

On cherche à présent à décrire le mouvement d'un électron par rapport à un référentiel relativement auquel la distribution de charge positive étudiée précédemment est au repos. On supposera ce référentiel galiléen.
À un instant pris comme origine, l'électron est placé dans l'atome à une distance initiale

r_0 < a_0

avec une vitesse

v⃗_0

telle qu'il reste toujours à l'intérieur de l'atome. On prend comme valeur numérique pour le rayon atomique

a_0 = 1, 0 \cdot 10^(- 10) m

.
Q 4. Justifier que le poids de l'électron est négligeable par rapport à la force électrique qu'il subit.
Q 5. Montrer que le mouvement est plan.
Q 6. En prenant un repère cartésien

Oxy

de ce plan dont l'origine coïncide avec le centre de l'atome, montrer que les coordonnées de l'électron obéissent au système d'équations suivant :

{x¨ + ω_0^2 x, = 0; y¨ + ω_0^2 y, = 0

où

ω_0

est une pulsation que l'on exprimera en fonction de la charge élémentaire

q_e

, de la masse de l'électron

m

, du rayon atomique

a_0

et de la constante diélectrique du vide

ε_0

.
Q 7. Si on suppose la vitesse initiale dirigée perpendiculairement au rayon vecteur, caractériser la trajectoire de l'électron dans l'atome.

Q 8. Exprimer l'énergie mécanique de l'électron et montrer que si le module de la vitesse initiale

v_0

est inférieure à la valeur

ω_0\sqrt(a_0^2 - r_0^2)

alors l'électron reste bien dans l'atome tout au long de sa trajectoire.
Q 9. On montre en électromagnétisme classique (c'est-à-dire à partir des équations de Maxwell) qu'une charge animée d'un mouvement périodique de fréquence

f

rayonne une onde électromagnétique de même fréquence. Calculer la fréquence de l'onde électromagnétique associée, en déduire la longueur d'onde correspondante. À quel domaine spectral cela correspond-il ?

II Découverte du noyau (Rutherford)

Après avoir identifié que le rayonnement

α

issu des diverses sources radioactives était en fait constitué d'atomes d'hélium de charge

2q_e

privés de leurs électrons, le physicien

^1

E. Rutherford eut l'idée d'exploiter ce rayonnement pour sonder la matière et ainsi tester le modèle de J . J. Thomson étudié à la section précédente.

II.A - Déviation par un feuille de mica

Rutherford observa tout d'abord qu'un faisceau de particules

α

monocinétiques traversant une feuille de mica d'épaisseur

L = 0, 003 cm

était dévié d'un angle maximal

θ_d

d'environ

2^\circ

. Il en déduisit qu'il devait exister au sein de la matière un champ électrique transverse

E_⊥

d'environ 100 millions de volts par centimètre. L'énergie cinétique des particules

α

avait pour valeur

E_c = 5MeV

où

1eV = 1, 6 \cdot 10^(- 19) J

.
Q 10. Justifier quantitativement l'ordre de grandeur du champ électrique transverse déduit par Rutherford à partir des résultats expérimentaux. On détaillera les notations utilisées en s'aidant d'un schéma.

II.B - Déviation des a dans le modèle de Thomson

On peut tester plus précisément le modèle de Thomson étudié plus haut (où la charge positive est supposée diluée dans l'atome) en envoyant un faisceau de particules

α

sur une feuille d'or. L'expérience, réalisée par H . Geiger, consiste tout d'abord à vérifier que le faisceau dans le vide et en l'absence de cible vient frapper en ligne droite un scintillateur, puis qu'en interposant la feuille d'or le faisceau s'élargit à cause des interactions des particules

α

avec la distribution de charges positives dans les atomes.

II.B.1) Déviation par une collision unique

Les atomes étant globalement neutres, on peut considérer qu'il n'y a interaction entre la particule

α

de charge

q = + 2q_e

et la charge positive

Q = + Zq_e

(où

Z = 79

pour l'or) que lorsque la particule rentre dans l'atome proprement dit. La déviation étant très faible, comme nous allons le vérifier plus loin, on peut calculer l'effet de l'interaction entre la particule

α

supposée ponctuelle et la distribution de charge positive en considérant que sa trajectoire est rectiligne (cf. figure 1). On note

v⃗_0

la vitesse de la particule

α

Figure 1 Trajectoire rectiligne de la particule

α

traversant l'atome rempli d'une densité volumique de charge uniforme

Q 11. En utilisant le champ électrique obtenu à la question Q 3 montrer que la force suivant la direction transverse (axe

Oy

) vaut

F_y = (2Ze^2)/(a_0^3)b

où

e^2 = (q_e^2)/(4πε_0)

b

est la distance de la trajectoire avec la droite parallèle passant par le centre diffuseur (paramètre d'impact).
Q 12. Montrer alors que la variation maximale de la quantité de mouvement de la particule

α

dans la direction transverse vaut

Δp_m = (2Ze^2)/(a_0 v_0)

.
Q 13. En déduire que la déviation angulaire

δθ

correspondante vaut

δθ = (Ze^2)/(a_0 E_c)

où

E_c

est l'énergie cinétique de la particule

α

. Effectuer l'application numérique. On prendra

a_0 = 1, 0 \cdot 10^(- 10) m, E_c = 5MeV

II.B.2) Collisions multiples

Q 14. La cible constituée d'une feuille d'or d'épaisseur

L = 1μ m

contient

N

atomes sur la trajectoire de la particule

α

. Celle-ci effectue donc

N

collisions dont en moyenne la moitié vont donner une déviation positive

+ δθ

et l'autre moitié une déviation négative

- δθ

. on peut alors montrer que la déviation totale est une variable

aléatoire dont l'écart type s'écrit

Δθ = δθ\sqrtN

. Calculer l'ordre de grandeur de cette déviation et conclure quant à la possibilité d'avoir des déviations angulaires importantes (plusieurs dizaines de degrés)

II. $C$ - Rétrodiffusion des $α$ dans le modèle de Rutherford

L'expérience de Geiger montre qu'on observe des angles de déviation importants, pouvant aller jusqu'à la rétrodiffusion (angles voisins de

180^\circ

), ce que Rutherford interprète comme l'existence d'une zone de très petite taille contenant la totalité de la charge positive et appelée depuis noyau de l'atome. On considère dans le modèle de Rutherford que la particule alpha ne pénètre jamais dans la distribution de charge positive.
Q 15. On considère le cas extrême d'une collision frontale et on supposera pour simplifier que l'atome est immobile compte tenu de sa masse importante par rapport aux particules

α

. Montrer en utilisant la conservation de l'énergie mécanique que le noyau possède un rayon maximal

r_0

vérifiant

r_0 = (2Ze^2)/(E_c)

où

E_c

est l'énergie cinétique initiale des particules

α

.
Q 16. Application numérique : on obtient une rétrodiffusion élastique jusqu’à des énergies incidentes

E_c = 40MeV

des

α

. Déterminer alors les dimensions du noyau. Commenter.

III Instabilité d'un modèle d'atome «classique»

Le modèle d'atome de Rutherford avec une charge positive concentrée dans une région très petite de l'espace ayant été établi par les expériences de Geiger, on se propose dans cette partie d'étudier l'instabilité d'un atome dont les électrons seraient en orbite autour du noyau de façon analogue aux mouvement des planètes autour du Soleil. On se limitera ici au cas d'un atome d'hydrogène avec une charge positive

+ q_e

et un électron de charge

- q_e

en orbite circulaire.

III.A - Puissance électromagnétique rayonnée par une charge accélérée

On peut montrer dans le cadre de l'électromagnétisme de Maxwell qu'une charge

q

animée d'un mouvement accéléré de vecteur d'accélération

(a⃗)

rayonne au point

M

situé à grande distance un champ électrique

E⃗(M) = q/(4πε_0 c^2)(a⃗_⊥)/r

où

a⃗_⊥

est la projection du vecteur accélération sur un plan perpendiculaire à la droite reliant la charge à l'observateur.

Figure 2 Système de coordonnées pour le calcul de la puissance électromagnétique rayonnée par une charge accélérée

On introduit la base locale des coordonnées sphériques

(u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_φ)

.
Q 17. Exprimer le champ magnétique

B⃗(M)

associé en admettant que localement l'onde rayonnée a une structure d'onde plane se propageant dans la direction de

OM^(\to-)

.
Q 18. Donner l'expression du vecteur de Poynting, en fonction des champs

E⃗(M)

B⃗(M)

, et rappeler son interprétation physique.
Q 19. En déduire alors que la puissance rayonnée à grande distance dans tout l'espace a pour expression

P = 1/(6π)(q^2)/(ε_0 c^3)a^2

où

a

est le module du vecteur accélération. On donne l'intégrale

\int_0^π sin^3 θdθ = 4/3

III.B - Etude énergétique de l'atome «planétaire»

Q 20. Dans un modèle d'atome d'hydrogène «planétaire» où l'électron a un mouvement circulaire uniforme autour du noyau, montrer que l'énergie mécanique s'écrit

E = - 1/2(e^2)/R

où

R

désigne la distance électron-noyau, et où on a posé comme précédemment

e^2 = (q_e^2)/(4πε_0)

.
Q 21. On tient compte à présent de la puissance électromagnétique rayonnée par l'électron. Par conservation de l'énergie totale du système, l'émission d'une énergie de rayonnement doit s'accompagner d'une diminution
de l'énergie mécanique de l'électron. En supposant la trajectoire quasi-circulaire de rayon

R

, montrer que la puissance rayonnée par l'électron s'écrit

P = 2/3(e^6)/(m^2 c^3)1/(R^4)

.
Q 22. En déduire que la rayon moyen

R

obéit à l'équation différentielle

R^2(dR)/(dt) = - 4/3(e^4)/(m^2 c^3)

.
Q 23. Estimer alors le temps de vie

τ

de cet atome.
Q 24. Effectuer l'application numérique en prenant pour rayon initial

a_0 = 1, 0 \cdot 10^(- 10) m

. Commentaires ?

Partie B - L'atome quantique

IV Relations d'Heisenberg

On cherche à déterminer ici l'ordre de grandeur de l'énergie d'un système atomique dans son état de plus basse énergie (état fondamental) en tenant compte des contraintes quantiques.
On considère un modèle d'atome d'hydrogène où l'électron en interaction avec le proton comme noyau est décrit par la fonction d'onde suivante:

{ψ(r⃗) = A, pour r < r_0; ψ(r⃗) = 0, pour r > r_0

où

r = ‖r⃗‖

est le module du vecteur position de l'électron et

A

est une constante. Le noyau, quant à lui, est supposé localisé en

r = 0

.
Q 25. Rappeler l'interprétation physique de la fonction d'onde

ψ(r)

et en déduire que la valeur de la constante

A

(à une phase près) vaut

A = \sqrt(3/(4πr_0^3))

.
Q 26. Calculer la valeur moyenne de la position

⟨r⃗⟩

et du carré de la distance

⟨‖r⃗‖^2⟩

. Montrer alors que la «dispersion en position» définie par la relation

Δr = \sqrt(⟨‖r⃗‖^2⟩ - ‖⟨r⃗⟩‖^2)

vaut

Δr = \sqrt(3/5)r_0

.
Q 27. Par analogie avec la fonction d'onde spatiale

ψ(r⃗)

, on introduit la fonction d'onde en quantité de mouvement,

χ(p⃗)

pour décrire la densité de probabilité dans l'espace des quantités de mouvement. On admet que la fonction d'onde en quantité de mouvement,

χ(p⃗)

vérifie:

{χ(p⃗) = B, pour p < p_0; χ(p⃗) = 0, pour p > p_0

où

p

désigne le module de

p⃗, B

est une constante et

p_0

un paramètre ajustable que nous déterminerons un peu plus loin. Par analogie avec la notion de fonction d'onde spatiale, proposer une interprétation du carré du module de la fonction d'onde

χ(p⃗)

.
Q 28. Comme précédemment, calculer la constante

B

et la «dispersion en quantité de mouvement»

Δp

.
Q 29. En vous appuyant sur les inégalités spatiales d'Heisenberg, justifier que si l'électron est dans son état fondamental (c'est-à-dire de plus basse énergie) on doit avoir la relation

3/5p_0 r_0 \sim ℏ

où

ℏ = h/(2π)

est la constante de Planck réduite et le signe

\sim

signifie « de l'ordre de grandeur de».
Remarque : on a gardé le facteur

3/5

par cohérence avec les calculs précédents mais celui-ci ne signifie rien d'un point de vue quantitatif sur le résultat final.
Q 30. On cherche l'expression de l'énergie de l'électron en fonction de

r_0

. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle d'un électron dans le champ électrique créé par le noyau. On notera

e^2 = (q_e^2)/(4πε_0)

où

q_e

est la charge élémentaire.
On cherche l'expression de la valeur

a_0

du paramètre

r_0

qui minimise l'énergie moyenne de l'électron (état fondamental).
Q 31. Montrer que l'énergie potentielle moyenne

⟨E_p⟩

de l'électron décrit par la fonction d'onde

ψ(r⃗)

s'écrit

⟨E_p⟩ = - 3/2(e^2)/(r_0)

où

e^2 = (q_e^2)/(4πε_0)

avec

q_e

est la charge élémentaire.
Q 32. Montrer de même que l'énergie cinétique moyenne

⟨E_c⟩

de l'électron décrit par la fonction d'onde

χ(p⃗)

s'écrit

⟨E_c⟩ = 3/(10)(p_0^2)/m

.
Q 33. En éliminant

p_0

grâce à la relation obtenue à la question Q 29 (on remplacera le signe

\sim

par une égalité pour effectuer ce calcul), établir l'expression de

⟨E_m⟩

en fonction uniquement de

r_0

.
Q 34. En déduire que la «taille» de la l'atome d'hydrogène a pour expression

a_0 \sim (ℏ^2)/(me^2)

.
Q 35. Effectuer l'application numérique. Commenter.

V L'atome quantique : onde ou particule?

L'observation d'interférences liées aux ondes de «particules» associées aux molécules reste un moyen spectaculaire de mettre en évidence le comportement quantique de la matière. En 2012 une collaboration d'équipe de physiciens et chimistes a réalisé une expérience

^2

de type «fentes d'Young » avec des molécules de phtalocyanine (

C_(32)H_(18) N_8

noté par la suite

PcH_2

Figure 3 Expérience d'interférence de molécules de phtalocyanine. À gauche : le dispositif. À droite : résultats expérimentaux, les positions horizontales sont mesurées en micromètres.

Le dispositif (cf. figure 3 gauche) est constitué d'un laser bleu qui vient évaporer des molécules de phtalocyanine déposées sur la fenêtre d'entrée

W_1

. Le faisceau moléculaire ainsi produit est ensuite collimaté à l'aide de la fente

S

puis diffracté par le réseau

G

placé à une distance

L_1

S

et constitué de fentes séparées de 100 nm les unes des autres. Les molécules sont enfin déposées sur un «écran» placé à la distance

L_2 = 564 mm

G

(fenêtre de sortie

W_2

) et détectées par fluorescence à l'aide d'un laser rouge et d'une caméra CCD haute résolution. La répartition spatiale des molécules sur l'écran (cf. figure 3 droite) montre clairement des franges qu'on se propose d'interpréter par un phénomène d'interférence. L'histogramme dans la fenêtre inférieure correspond à l'intégration des événements reçus dans l'intervalle de déflexion compris entre les lignes pointillées.
Q 36. À partir de la formule de la molécule de phtalocyanine, calculer la masse d'une molécule de

PcH_2

.
Q 37. On note un élargissement des franges «vers le bas» que l'on attribue à l'action de la pesanteur sur la trajectoire initialement horizontale des molécules. Montrer par un calcul simple de mécanique classique que la trajectoire d'une particule de masse

m

soumise à l'action de la pesanteur

g

et de vitesse initiale horizontale

v_0

, présente à une distance

D

de son point de lancement une déviation verticale

h

donnée par la relation

h = - 1/2g(D/(v_0))^2

.
On suppose un axe vertical orienté en sens opposé à la direction de

g⃗

conformément à la convention adoptée dans l'article de façon à avoir des déflexions négatives comme indiquées sur la figure 3 droite.
Q 38. Comme indiqué sur la figure 3 droite, on sélectionne des molécules dont la déflexion se situe dans l'intervalle

[ - 240, - 160]μm

. En déduire la vitesse moyenne

v_0

et la dispersion (indétermination)

Δv

correspondante. On prendra

D = 0, 96 m

.
Q 39. Définir puis calculer la longueur d'onde de de Broglie

λ_B

des molécules de phtalocyanine.
Q 40. En interprétant le phénomène observé comme résultant d'interférences entre des ondes de longueur d'onde

λ_B

, établir simplement que l'on observe des interférences constructives (et donc des densités de probabilités de présence maximales des molécules) dans les directions

θ_k

données par la relation

asinθ_k = kλ_B

où

a

est la distance entre deux fentes consécutives et

k

est un nombre entier.
Q 41. Montrer alors que l'interfrange

i

que l'on définira vaut

i = (λ_B L_2)/a

où

L_2

est la distance entre le réseau et l'écran. Effectuer l'application numérique, puis estimer la dispersion

Δi

compte tenu de la dispersion en vitesse obtenue plus haut. On négligera les incertitudes sur les mesures de

L_2

et de

a

.
Q 42. Comparer avec la valeur obtenue expérimentalement. Conclure.

Partie C - Préhistoire du concept d'atome: le mouvement brownien

On appelle mouvement brownien l'agitation spontanée de particules de tailles micrométriques plongées dans un fluide sous l'action des fluctuations thermiques. Ce phénomène n'a été correctement décrit qu'à partir des travaux d'Einstein en 1905. Ce dernier montra tout d'abord qu'il existe une relation entre la diffusion des particules browniennes, la température et la viscosité du fluide dans lequel ces particules sont plongées. Quelques années plus tard, en 1908, Jean Perrin réalisera avec Léon Brillouin une célèbre série d'expériences qui confirmera la validité de l'interprétation einsteinienne du mouvement brownien et confortera définitivement la réalité de l'hypothèse atomique.

VI Présentation de l'expérience de Brillouin et Perrin

Cette expérience

^3

consiste tout d'abord à préparer une solution de grains colloïdaux (appelés par la suite simplement grains) de rayon

r = 0, 52μ m

dans un mélange eau-glycérol de viscosité

η = 0, 165 Pa \cdot s

. On place alors cette solution colloïdale, pour laquelle le nombre de grains par unité de volume est initialement uniforme et vaut

n_0 = 7, 9 \cdot 10^(14) m^(- 3)

, entre deux lames de microscope séparées d'un millimètre (cf. figure 4 gauche). Cette distance entre les deux lames est suffisante pour considérer que l'évolution de la densité de grains au voisinage des parois se fait dans un milieu semi-infini (cf. figure 4 droite). Le tout est placé dans un thermostat de température

θ = 38, 7^\circC

.
Perrin remarqua que les particules qui viennent en contact avec les parois du récipient y restent collées, ce qui entraîne une déplétion en particules des régions proches des parois. Il comprit alors qu'on pouvait déterminer le coefficient de diffusion de ces particules en enregistrant au cours du temps, le nombre de particules par unité de surface qui se déposent sur le couvre-objet.
On admet que, dans le système de coordonnées de la figure 4 (à droite), le nombre

n(x, t)

de grains colloïdaux par unité de volume obéit à l'équation de diffusion :

(\partialn)/(\partialt) = D(\partial^2 n)/(\partialx^2)

où

D

représente le coefficient de diffusion des grains au sein du milieu.

Figure 4 Dispositif expérimental. À gauche : schéma de la cuve contenant les grains colloïdaux plongés dans une solution d'eau glycérinée, extrait de la publication de L . Brillouin. À droite: représentation du système de coordonnées

Ox

permettant de repérer les grains par rapport à leur position en référence à la paroi couvre-objet située à l'origine.

Q 43. Citer deux autres phénomènes de la physique dont l'évolution est modélisée par une équation de ce type.

VI.A - Résolution numérique

La résolution analytique de l'équation equation VI. 1 avec les conditions spécifiques de l'expérience (adhésion des grains sur la paroi couvre-objet) n'étant pas élémentaire, nous nous proposons de modéliser la situation par une analyse numérique basée sur un modèle probabiliste.
Pour cela, on étudie la densité de grains dans une boîte de longueur

L

telle que la paroi absorbante soit localisée en

x = 0

et l'autre extrémité en

x = L

suffisamment loin pour que la densité reste à sa valeur initiale

n_0

au cours de l'évolution temporelle considérée.

On discrétise alors l'espace dans la direction $Ox$ en $N_e$ intervalles de longueur a suffisamment petits pour que la densité de grains ne varie pas de façon significative sur cette distance ; et de même, pour étudier

l'évolution temporelle de cette densité sur une durée

T

, on discrétise l'intervalle [

0, T

] en

N_t

intervalles de durée

τ

telle que

T = N_t τ

Soit $M(x, t) = n(x, t) \times a$ la densité surfacique de particules dans une tranche d'épaisseur $a$ . Introduisons la densité surfacique normalisée $u(x, t) = (M(x, t))/(n_0 a)$ , on notera alors $u_(k, m) \equiv u(x = ka, t = mτ)$ la densité surfacique entre les abscisses $x_k = ka$ et $x_(k + 1) = (k + 1)a$ prise à l'instant $t_m = mτ$ .
Enfin, on notera $p$ la probabilité qu'une particule dans la tranche numéro $k$ passe dans une tranche voisine ( $k + 1$ ) pendant l'intervalle de temps $τ$ et de même la probabilité $p$ identique pour qu'elle passe dans la tranche voisine ( $k - 1$ ) pendant ce même intervalle de temps. Remarque: la couche en $k = 0$ correspondra donc ici à la paroi «adhésive» du couvre objet.
Q 44. Montrer que pour tout $m$ et pour $k ⩾ 2$ , on a la relation $u_(k, m + 1) = u_(k, m) + p(u_(k + 1, m) + u_(k - 1, m) - 2u_(k, m))$
Q 45. Montrer que par passage à la limite continue ( $τ \to 0$ et $a \to 0$ ) on retrouve bien l'équation equation VI. 1 à condition de poser $D = (pa^2)/τ$ .
Q 46. Justifier que compte tenu des conditions aux limites dues au comportement des particules sur la paroi, on a pour tout $m ⩾ 0$ en $k = 0$ et $k = 1$ les relations:

u_(0, m + 1) = u_(0, m) + pu_(1, m); u_(1, m + 1) = pu_(2, m) + (1 - 2p)u_(1, m)

L'ensemble des valeurs numériques

u_(k, m)

est déterminé à l'aide d'un programme Python non demandé.

Figure 5 Résultats de la simulation numérique de l'équation de diffusion en prenant :

a = 1, τ = 1

p = 0, 1

. Tracé du carré de la densité surfacique normalisée de particules sur la paroi en fonction du temps (en unité de

τ

), dans le cas

p = 0, 1

Q 47. L'évolution du carré de la densité surfacique normalisée en surface en fonction du temps (valeurs de

u_(0, m)^2

) est représenté sur la figure 5 , pour la valeur

p = 0, 1

, du paramètre de probabilité de saut. On note

M_0(t)

la densité surfacique sur la paroi (pour rappel, on a

M_0(t) = n_0 \times a \times u(0, t)

). Vérifier à l'aide de ce graphe que, passés les premiers instants, la densité surfacique

M_0(t)

suit la relation

M_0^2(t) ≃ αDn_0^2 t

où

α

est est un coefficient numérique voisin de 1 à déterminer à partir du graphe.

VI.B - Comparaison avec les résultats de Brillouin/Perrin

Les résultats expérimentaux obtenus par Léon Brillouin sont représentés sur la figure 6) dans laquelle le carré du nombre de grains

N_p^2

comptés sur une surface d'aire

S = 2, 1.10^(- 4) cm^2

est représenté en fonction de la durée de ses expériences exprimées en heures.
Q 48. En utilisant les données numériques précisées plus haut dans la description de l'expérience et en vous appuyant sur le résultat de la question précédente, extraire de la figure 6 la valeur du coefficient de diffusion

D

des grains colloïdaux dans cette solution. On indiquera la procédure mise en œuvre et on prendra soin d'exprimer ce résultat en unité du système international (SI).
Une relation, due à Einstein, établit un lien très général entre le coefficient de diffusion des grains colloïdaux de rayon

r, D

, et la viscosité du fluide

η

, à la température

T

6πηrD = k_B T.

Figure 6 Courbe représentant le carré du nombre de grains déposés sur une aire

S = 2, 1 \cdot 10^(- 4) cm^2

de la paroi couvre-objet en fonction du temps exprimé en heures.

Q 49. En exploitant le résultat précédent et la relation d'Einstein (eq equation VI.2) déduire une estimation de la constante de Boltzmann

k_B

, puis de la constante d'Avogadro. On indiquera précisément les différentes valeurs numériques et leurs unités utilisées dans ce calcul. On donne la constante des gaz parfait

R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)

. Commenter le résultat.

Données et formulaire

vitesse de la lumière dans le vide : $c = 3, 0 \cdot 10^8 m \cdot s^(- 1)$
champ de gravitation à la surface de la Terre: $g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)$
charge élémentaire : $q_e = 1, 6 \cdot 10^(- 19)C$
masse de l'électron : $m = 9, 1 \cdot 10^(- 31) kg$
permittivité du vide : $ε_0 = 8, 85 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
constante de Planck réduite $ℏ = h/(2π) = 1, 05 \cdot 10^(- 34) J \cdot s$
constante d'Avogadro : $N_A = 6, 02 \cdot 10^(23) mol^(- 1)$ .
masses molaires: du carbone $M(C) = 12 g \cdot mol^(- 1)$ , de l'azote $M(N) = 14 g \cdot mol^(- 1)$ et de l'hydrogène $M(H) = 1 g \cdot mol^(- 1)$
électron-volt : $1eV = 1, 6 \cdot 10^(- 19) J$
on notera $e^2 = (q_e^2)/(4πε_0)$ dont la valeur numérique vaut $e^2 = 2, 3 \cdot 10^(- 28) J \cdot m$ en unité du système international ou en unité atomiques $e^2 = 1, 4eV \cdot nm$

$^1$ et pourtant prix Nobel de chimie !
$^2$ «Real-time single-molecule imaging of quantum interference» Th. Juffmann et al, Nature nanotechnology 7 (2012) p. 297
$^3$ en réalité conduite par Léon Brillouin alors jeune normalien sous la supervision de Jean Perrin.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale physique-chimie 2 MP 2024 ?

Il mobilise la mécanique du point, l'électromagnétisme (théorème de Gauss, vecteur de Poynting), la mécanique quantique (inégalité de Heisenberg, dualité onde-particule), l'optique ondulatoire et l'équation de diffusion.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique-chimie 2 MP Centrale 2024 ?

Des confusions entre symétries des sources et du champ, des angles mal définis ou sans bonne unité, une inégalité de Heisenberg non citée et une confusion entre équation de diffusion et équation de d'Alembert.

Le sujet de physique-chimie 2 Centrale MP 2024 était-il difficile ?

La première partie a été bien réussie, avec un peu plus de la moitié des points en moyenne. Sur le reste du sujet, le taux de réussite est voisin d'un quart selon le rapport.

Comment réussir la question peu guidée du Centrale MP 2024 physique-chimie 2 ?

Le rapport indique qu'elle ne demandait ni modélisation délicate ni longs calculs. Un schéma de la situation et une analyse autonome et rationnelle ont été récompensés.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique Chimie 2 MP 2024

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

L'épreuve en chiffres

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Corrigé détaillé

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

Partie A - L'atome classique : réussites et difficultés

I Le modèle «plum pudding» de J. J. Thomson

I.A - Champ électrique de la distribution de charge positive.

I.B - Étude mécanique.

II Découverte du noyau (Rutherford)

II.A - Déviation par un feuille de mica

II.B - Déviation des a dans le modèle de Thomson

II.B.1) Déviation par une collision unique

II.B.2) Collisions multiples

II. C - Rétrodiffusion des α dans le modèle de Rutherford

III Instabilité d'un modèle d'atome «classique»

III.A - Puissance électromagnétique rayonnée par une charge accélérée

III.B - Etude énergétique de l'atome «planétaire»

Partie B - L'atome quantique

IV Relations d'Heisenberg

V L'atome quantique : onde ou particule?

Partie C - Préhistoire du concept d'atome: le mouvement brownien

VI Présentation de l'expérience de Brillouin et Perrin

VI.A - Résolution numérique

VI.B - Comparaison avec les résultats de Brillouin/Perrin

Données et formulaire

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale physique-chimie 2 MP 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique-chimie 2 MP Centrale 2024 ?

Le sujet de physique-chimie 2 Centrale MP 2024 était-il difficile ?

Comment réussir la question peu guidée du Centrale MP 2024 physique-chimie 2 ?

Commentaires• Centrale Physique Chimie 2 MP 2024

Commentaires• Centrale Physique Chimie 2 MP 2024

II. $C$ - Rétrodiffusion des $α$ dans le modèle de Rutherford