Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2025

Considérons deux motifs réflecteurs successifs du réseau, situés en M_1 et M_2 sur l'axe (Ox), distants de M_1 M_2 = L.

• Sur le trajet incident : le plan d'onde incident atteint d'abord le motif M_1. Le motif M_2 est atteint avec un retard géométrique correspondant au trajet supplémentaire H_1 M_2, où H_1 est le projeté orthogonal de M_1 sur le rayon incident passant par M_2. Dans le triangle rectangle M_1 H_1 M_2, l'angle en M_1 vaut i, d'où :

  \delta_{\mathrm{inc}} = M_1 M_2 \sin i = L \sin i.

• Sur le trajet réfléchi (rétrodiffusé) : l'onde diffusée par M_2 repartant vers l'infini dans la direction repérée par l'angle \theta (vers l'arrière, du même côté de la normale que le rayon incident), le front d'onde réfléchi associé à M_2 doit encore parcourir une distance supplémentaire H_2 M_2 par rapport à celui issu de M_1, où H_2 est le projeté orthogonal de M_1 sur le rayon réfléchi passant par M_2. Dans le triangle rectangle M_1 H_2 M_2, l'angle en M_1 vaut \theta, d'où :

  \delta_{\mathrm{r\acute{e}fl}} = M_1 M_2 \sin \theta = L \sin \theta.

La différence de marche totale \delta entre les ondes diffusées par deux motifs successifs s'écrit donc :

La surface de l'eau est modélisée par un grand nombre d'éléments réflecteurs identiques, régulièrement espacés avec un pas spatial L.

D'après la question Q1, le retard de marche entre les ondes diffusées par deux motifs consécutifs s'écrit :

Lorsque cette différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde :

le déphasage entre deux motifs successifs vaut \Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta = 2p\pi. Toutes les ondes issues des différents réflecteurs arrivent alors en phase : les interférences sont totalement constructives.

Le grand nombre de motifs éclairés par le faisceau radar confère à ces maxima d'interférence une finesse et une intensité considérables (pics principaux du réseau), tandis que l'intensité résultante est quasi nulle dans les autres directions par interférence destructive. L'onde diffusée est donc particulièrement intense dans ces directions privilégiées.

Dans l'air assimilé au vide, en l'absence de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

où c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle \vec{\mathrm{rot}}(\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_{\mathrm{i}}) = \vec{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\,\vec{E}_{\mathrm{i}}) - \Delta \vec{E}_{\mathrm{i}} ainsi que l'équation de Maxwell-Gauss (\mathrm{div}\,\vec{E}_{\mathrm{i}} = 0) :

On obtient ainsi l'équation de d'Alembert vérifiée par le champ électrique :

L'onde plane incidente est décrite en notation complexe par :

Calculons les dérivées spatiales et temporelle :

En injectant ces expressions dans l'équation de propagation, il vient :

Comme cette relation est vérifiée pour tout point M et à tout instant t, on en déduit la relation de dispersion :

Dans la bande HF, la fréquence est comprise entre f_{\min} = 3\text{ MHz} et f_{\max} = 30\text{ MHz}.

1. Épaisseur caractéristique d'atténuation \ell_a : Avec \sigma = 4\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} et \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} :

• Pour f = 3\text{ MHz} :

  \ell_a = \sqrt{\frac{1}{\pi \times (4\pi \times 10^{-7}) \times 4 \times 3\cdot 10^6}} = \frac{1}{4\pi\sqrt{0,3}} \approx 0,145\text{ m} \approx 15\text{ cm}

• Pour f = 30\text{ MHz} :

  \ell_a = \frac{0,145}{\sqrt{10}} \approx 0,046\text{ m} \approx 4,6\text{ cm}

Ainsi, sur toute la bande HF, l'épaisseur de peau vérifie :

2. Comparaison aux échelles spatiales du problème :

• Longueur d'onde radar dans l'air : \lambda = \frac{c}{f} varie de 10\text{ m} (à 30\text{ MHz}) à 100\text{ m} (à 3\text{ MHz}). On constate que :

  \frac{\ell_a}{\lambda} \sim 10^{-3} \ll 1.

• Échelle des vagues et profondeur marine : la longueur d'onde des vagues L sélectionnées par la loi de Bragg (Q2) est de l'ordre de quelques mètres à plusieurs dizaines de mètres, et la profondeur de la mer H est de plusieurs mètres à centaines de mètres. On a donc :

  \ell_a \ll L \quad \text{et} \quad \ell_a \ll H.

3. Caractère conducteur de l'eau de mer : Pour l'eau de mer (permittivité relative \varepsilon_r \approx 80), le rapport entre densité de courant de déplacement et de conduction vaut, à 30\text{ MHz} :

Le comportement ohmique est donc largement prépondérant.

Conclusion : Traiter l'eau de mer comme un conducteur parfait (\sigma \to \infty, soit \ell_a \to 0) constitue une excellente approximation pour décrire la réflexion macroscopique de l'onde, car l'épaisseur de pénétration est négligeable devant la longueur d'onde de l'onde incidente et les dimensions des vagues. La principale conséquence négligée par cette simplification est une très faible absorption d'énergie dans la couche de peau, le coefficient de réflexion réel étant très proche de 1 en module mais non strictement égal à 1.

À l'interface air-eau plane y = 0, le plan tangent est engendré par (\vec{u}_x, \vec{u}_z). Le champ électrique total dans l'air \vec{E} = \vec{E}_{\mathrm{i}} + \vec{E}_r est polarisé selon \vec{u}_z, il est donc purement tangentiel à l'interface.

Le modèle du conducteur parfait impose la continuité de la composante tangentielle du champ électrique, et le champ étant nul dans le conducteur, le champ total doit s'annuler en y = 0 pour tout x et pour tout instant t :

Pour un point M(x, y=0, z), les produits scalaires intervenant dans les phases s'écrivent :

La condition aux limites s'écrit donc, après projection sur \vec{u}_z :

Cette égalité devant être vérifiée pour tout x :

• en x = 0, on obtient directement :

  \boxed{r_0 = -1}

• il reste alors e^{\jmath(k_0 - k_{\mathrm{i}})x} = 1 pour tout x, ce qui impose :

  \boxed{k_0 = k_{\mathrm{i}}}

L'onde réfléchie se propage dans le même milieu (l'air assimilé au vide) à la même pulsation \omega. D'après la relation de dispersion établie à la question Q3, son vecteur d'onde vérifie :

Comme k_0 = k_{\mathrm{i}} et que l'onde incidente vérifie k_{\mathrm{i}}^2 + q_{\mathrm{i}}^2 = \frac{\omega^2}{c^2}, on en déduit :

L'énoncé précisant que q_0 > 0 et q_{\mathrm{i}} > 0 (l'onde incidente descend vers la mer et l'onde réfléchie remonte vers l'espace libre selon +\vec{u}_y), il vient nécessairement :

Un point M situé à la surface de l'eau est repéré par son abscisse x, son altitude y = h(x) et sa cote z. Le vecteur position s'écrit donc :

La surface étant invariante selon \vec{u}_z, le vecteur normal unitaire \vec{n} en tout point de l'interface appartient au plan (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y). Les champs électriques incident et réfléchi étant dirigés selon \vec{u}_z, le champ électrique total \vec{E} = \vec{E}_{\mathrm{i}} + \vec{E}_r est purement tangentiel à l'interface :

L'eau de mer étant assimilée à un conducteur parfait dans lequel le champ électromagnétique est nul, la continuité de la composante tangentielle du champ électrique impose :

En projetant sur \vec{u}_z avec \vec{K}_{\mathrm{i}} \cdot \overrightarrow{OM} = k_{\mathrm{i}} x - q_{\mathrm{i}} h(x) :

En simplifiant par le facteur commun A e^{-\jmath\omega t} non nul, il vient :

Or, sous l'hypothèse de faible déformation |\epsilon| = |qh| \ll 1, effectuons un développement limité à l'ordre 1 :

Comme r_1 est d'ordre \epsilon^1, le produit r_1 e^{\jmath q_r h(x)} s'écrit à l'ordre 1 :

En ne retenant que les termes du premier ordre en \epsilon, on obtient bien :

En ne retenant que la composante h(x) = \dfrac{h_0}{2} \mathrm{e}^{-\jmath k_v x}, l'équation d'interface issue de la question Q6 s'écrit :

soit :

Cette relation étant vérifiée en tout point x de la surface, l'identification de la phase spatiale et des amplitudes donne :

Intérêt pour l'étude de l'état de la mer : L'amplitude du signal diffusé est directement proportionnelle au module du coefficient de réflexion d'ordre 1, |r_1| = q_{\mathrm{i}} h_0. La composante q_{\mathrm{i}} étant parfaitement connue à partir des paramètres d'émission du radar (fréquence et angle d'incidence), la mesure de l'intensité (ou amplitude) de l'écho rétrodiffusé permet de remonter directement à la hauteur des vagues h_0, grandeur essentielle pour caractériser l'agitation et l'état de la mer.

L'onde incidente et l'onde diffusée se propagent dans l'air (assimilé au vide) à la même pulsation \omega. La norme de leur vecteur d'onde vaut donc :

D'après la géométrie définie sur la figure 2 :

• L'onde incidente arrive sur la surface avec un angle d'incidence i par rapport à la normale \vec{u}_y et se propage vers les x > 0. Sa composante horizontale est donc :

  k_{\mathrm{i}} = K \sin i = \frac{2\pi}{\lambda}\sin i

• L'onde diffusée (rétrodiffusée) repart dans le demi-espace y > 0 en se propageant vers les x < 0 sous un angle \theta par rapport à la normale \vec{u}_y. Sa composante horizontale est donc négative :

  k_r = - K \sin \theta = -\frac{2\pi}{\lambda}\sin \theta

D'après la question Q7, la composante horizontale de l'onde diffusée vérifie :

En substituant les expressions de k_{\mathrm{i}}, k_r et k_v, il vient :

soit, en simplifiant par 2\pi et en réorganisant :

On retrouve bien la relation (1) de la question Q2 :

La relation de Bragg (1) s'écrit :

Trois hypothèses et approximations permettent d'en déduire l'égalité (5) :

1. Configuration radar monostatique (rétrodiffusion) : L'onde est détectée au point d'émission, l'onde analysée se propage donc exactement en sens inverse de l'onde incidente. Les angles étant comptés positivement de part et d'autre de la normale selon la convention de la figure 2, la rétrodiffusion impose :

   \theta = i.

2. Incidence quasi-rasante : Le radar est placé à une altitude H de quelques mètres au-dessus du niveau de la mer et porte à des distances D de l'ordre de plusieurs dizaines de kilomètres. L'angle d'élévation par rapport à l'horizontale \alpha \approx \frac{H}{D} \sim 10^{-4}\text{ rad} est extrêmement faible. L'angle d'incidence i par rapport à la normale à la surface est donc très proche de \frac{\pi}{2} :

   i \approx \frac{\pi}{2} \implies \sin i \approx 1 \quad \text{et} \quad \sin\theta \approx 1.

3. Sélection du premier ordre de diffraction (p = 1) : Comme montré à la question Q8 dans le cadre de la théorie des perturbations pour des vagues de faible amplitude, l'écho rétrodiffusé dominant correspond au premier ordre de diffraction :

   p = 1.

En injectant ces résultats dans la relation (1), on obtient :

soit :

Dans l'air assimilé au vide, la longueur d'onde de l'onde électromagnétique émise par le radar s'écrit :

D'après la relation (5), la condition de Bragg en incidence quasi-rasante sélectionne les vagues de longueur d'onde :

Application numérique avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 12{,}3\text{ MHz} = 12{,}3 \times 10^6\text{ Hz} :

d'où :

Une onde plane progressive harmonique d'amplitude h_0, de pulsation spatiale k_v et de pulsation temporelle \omega_v s'écrit sous forme réelle :

• Pour une propagation dans le sens de +\vec{u}_x (onde progressive dans le sens des x croissants, s'éloignant de l'origine) :

  \boxed{h_+(x,t) = h_0 \cos(k_v x - \omega_v t + \varphi_+)}

  (en choisissant l'origine des phases telle que \varphi_+ = 0 pour retrouver l'expression de la section II à t=0, on écrit simplement h(x,t) = h_0 \cos(k_v x - \omega_v t)) ;

• Pour une propagation en sens inverse, selon -\vec{u}_x (vers les x décroissants, se rapprochant de l'origine) :

  \boxed{h_-(x,t) = h_0 \cos(k_v x + \omega_v t + \varphi_-)}

  (ou de même h(x,t) = h_0 \cos(k_v x + \omega_v t) en fixant \varphi_- = 0).

La vitesse de propagation U (vitesse de phase de l'onde de gravité à la surface de l'eau) est reliée aux pulsations spatiale et temporelle par :

En substituant l'expression complexe de la déformation de surface h(x,t) = \dfrac{h_0}{2} e^{-\jmath(k_v x - \omega_v t)} dans la relation de frontière fournie, on obtient :

soit encore :

Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point x de la surface et à tout instant t, les phases spatiales et temporelles des deux membres doivent être rigoureusement identiques :

Par identification des termes dépendant de t et de x, on en déduit immédiatement :

et

(on retrouve également r_1 = \jmath q_{\mathrm{i}} h_0, en accord avec le résultat de la question Q7).

D'après la question Q12, pour une vague s'éloignant du rivage :

La rétrodiffusion vers le radar s'effectuant en incidence rasante (q_{\mathrm{i}} \ll k_{\mathrm{i}}), on a k_{\mathrm{i}} \approx \dfrac{\omega}{c} = \dfrac{2\pi}{\lambda}. De même, l'onde rétrodiffusée vers le radar vérifie k_r = -\dfrac{\omega_r}{c}.

L'écart Doppler étant extrêmement faible devant la fréquence radio (\omega_v \ll \omega), on a \omega_r \approx \omega, soit :

En reportant dans la relation sur les composantes horizontales :

Comme U = \dfrac{\omega_v}{k_v} d'après la question Q11, la pulsation des vagues s'écrit :

En divisant \omega_r = \omega - \omega_v par 2\pi, on obtient la fréquence de l'onde réfléchie pour des vagues s'éloignant du rivage :

soit :

Ce résultat correspond au signe « - » de la relation (6).

Pour une vague s'approchant du rivage, la forme d'onde se propage selon -\vec{u}_x. Sa décomposition harmonique fait intervenir le terme en e^{-\jmath(k_v x + \omega_v t)} (qui conserve la composante spatiale e^{-\jmath k_v x} nécessaire à la rétrodiffusion).

Par analogie avec la question Q12, cela conduit au remplacement de -\omega_v par +\omega_v, d'où \omega_r = \omega + \omega_v et :

ce qui correspond au signe « + » de la relation (6).

D'après la question Q13, l'onde rétrodiffusée par les vagues subit un décalage en fréquence régi par la relation (6) :

où le signe + correspond à des vagues se propageant vers le rivage et le signe - à des vagues s'en éloignant.

La vitesse de propagation U des vagues dépend de leur longueur d'onde L selon la relation (7) :

Dans le cadre de la rétrodiffusion monostatique en incidence rasante, la loi de Bragg sélectionne préférentiellement la longueur d'onde des vagues donnée par la relation (5) établie en Q9 :

En injectant cette condition dans l'expression de la célérité des vagues, on obtient :

Le décalage en fréquence s'écrit alors :

On en déduit bien la relation demandée :

avec la fréquence de Bragg définie par :

Dans le référentiel \mathcal{R}' lié au courant d'eau en translation à la vitesse \vec{v} = v_x \vec{u}_x par rapport au référentiel terrestre \mathcal{R} :

• les vagues s'éloignant du rivage (sens de +\vec{u}_x) se propagent à la vitesse \vec{U}'_{\text{éloigne}} = U\vec{u}_x ;
• les vagues s'approchant du rivage (sens de -\vec{u}_x) se propagent à la vitesse \vec{U}'_{\text{approche}} = -U\vec{u}_x.

Par composition galiléenne des vitesses (\vec{v}_{\mathcal{R}} = \vec{v}_{\mathcal{R}'} + \vec{v}), la vitesse des vagues dans le référentiel terrestre \mathcal{R} vaut :

D'après la relation Doppler (6) justifiée en Q13, le décalage en fréquence induit par une cible animée d'une vitesse algébrique V_x selon \vec{u}_x s'écrit de manière générale :

(le signe négatif traduisant une diminution de fréquence lorsque la surface s'éloigne du radar).

En appliquant ce résultat aux deux types de vagues :

• Pour les vagues s'éloignant du rivage (V_x = U + v_x) :

  f_r - f = -\frac{2(U + v_x)}{\lambda} = -\frac{2U}{\lambda} - \frac{2v_x}{\lambda} = -f_B + f_D

• Pour les vagues s'approchant du rivage (V_x = -U + v_x) :

  f_r - f = -\frac{2(-U + v_x)}{\lambda} = +\frac{2U}{\lambda} - \frac{2v_x}{\lambda} = +f_B + f_D

On en déduit bien la relation globale demandée :

où le signe + correspond aux vagues s'approchant de la côte et le signe - aux vagues s'en éloignant.

Avec \lambda = c/f, le décalage Doppler f_D lié au courant de surface s'exprime en fonction de v_x, c et de la fréquence d'émission f par :

1. Détermination expérimentale de la fréquence de Bragg f_B

D'après la relation (8) établie en Q15, les deux pics principaux correspondent aux fréquences :

La demi-différence entre les abscisses de ces deux pics s'affranchit du courant marin :

Sur les deux spectres de la figure 3 :

• Pour le radar de Pendeen : le pic négatif est situé à f_- \approx -0{,}43\text{ Hz} et le pic positif à f_+ \approx +0{,}29\text{ Hz}, soit un écart \Delta f = 0{,}72\text{ Hz}, d'où f_B \approx 0{,}36\text{ Hz}.
• Pour le radar de Perranporth : le pic négatif est à f_- \approx -0{,}31\text{ Hz} et le pic positif à f_+ \approx +0{,}41\text{ Hz}, soit \Delta f = 0{,}72\text{ Hz}, d'où f_B \approx 0{,}36\text{ Hz}.

Ces valeurs coïncident parfaitement avec la position des lignes en pointillés tracées à \pm f_B. On retient :

2. Comparaison avec la valeur théorique

D'après la question Q14, la fréquence de Bragg théorique s'écrit :

Pour f = 12{,}3\text{ MHz}, la longueur d'onde radar vaut :

Avec g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on obtient :

L'écart relatif entre théorie et expérience vaut :

L'accord quantitatif est excellent, ce qui valide la modélisation.

3. Vitesse et sens du courant de surface

Le décalage Doppler moyen f_D correspond au milieu des deux pics :

D'après la question Q15, f_D = -\frac{2v_x}{\lambda}, d'où :

• Radar de Pendeen (R_1) :

  \begin{aligned} f_{D1} &\approx \frac{-0{,}43 + 0{,}29}{2} = -0{,}07\text{ Hz} \\ v_{x1} &\approx -\frac{24{,}39}{2} \times (-0{,}07) \approx +0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

  Puisque v_{x1} > 0 (décalage vers les fréquences plus faibles, f_{D1} < 0), le courant circule dans le sens de \vec{u}_{x1} : le courant s'éloigne de la côte (du radar de Pendeen).

  \boxed{v_{x1} \approx +0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \quad \text{(courant s'éloignant de la côte)}}

• Radar de Perranporth (R_2) :

  \begin{aligned} f_{D2} &\approx \frac{-0{,}31 + 0{,}41}{2} = +0{,}05\text{ Hz} \\ v_{x2} &\approx -\frac{24{,}39}{2} \times (+0{,}05) \approx -0{,}61\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

  Puisque v_{x2} < 0 (décalage vers les fréquences plus élevées, f_{D2} > 0), le courant circule en sens inverse de \vec{u}_{x2} : le courant s'approche de la côte (du radar de Perranporth).

  \boxed{v_{x2} \approx -0{,}61\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \quad \text{(courant s'approchant de la côte)}}

D'après la question Q15, le décalage Doppler lié au courant de surface vaut f_D = -\frac{2v_x}{\lambda}. Les spectres de la figure 3 donnent :

• Pour le radar de Pendeen (R_1) : le décalage moyen des pics est positif (f_{D1} > 0), ce qui correspond à un courant se dirigeant vers le radar (-\vec{u}_{x1}) :

  v_{x1} \approx -0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

• Pour le radar de Perranporth (R_2) : le décalage moyen est négatif (f_{D2} < 0), ce qui correspond à un courant s'éloignant du radar (+\vec{u}_{x2}) :

  v_{x2} \approx +0{,}61\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Les angles d'azimut au point M sont \theta_1 = 64^\circ et \theta_2 = 189^\circ, soit un écart angulaire \theta_2 - \theta_1 = 125^\circ. Les fonctions trigonométriques associées valent :

En injectant ces valeurs dans les relations de projection :

Analyse de la cohérence avec la figure 4 :

• Norme du courant :

  v = \sqrt{v_E^2 + v_N^2} = \sqrt{(-0{,}51)^2 + (-0{,}70)^2} \approx 0{,}87\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  Sur la carte de la figure 4, le point M se situe dans une zone de teinte orangée comprise entre 0{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et 0{,}9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui est en excellent accord quantitatif.

• Orientation du courant : Les deux composantes étant négatives (v_E < 0 et v_N < 0), le courant porte vers le sud-ouest, sous un azimut par rapport à l'est de :

  \alpha = 180^\circ + \arctan\left(\frac{v_N}{v_E}\right) \approx 180^\circ + \arctan(1{,}37) \approx 234^\circ

  Cela concorde parfaitement avec la flèche vectorielle visible au point M, orientée vers le bas et la gauche (vers le sud-ouest).

Le multiplieur analogique \mathcal{M} fournit une tension proportionnelle au produit des deux tensions d'entrée v_1(t) et v_2(t) :

En utilisant l'identité trigonométrique \cos a \cos b = \frac{1}{2}\big(\cos(a+b) + \cos(a-b)\big), il vient :

La parité de la fonction cosinus permet d'écrire le second terme sous la forme \cos\big(2\pi |f_2-f_1|t \pm \varphi_0\big). Le spectre de v_i(t) est donc constitué de deux raies distinctes aux fréquences positives :

Comme l'écart de fréquence |f_2-f_1| est, d'après l'énoncé, très inférieur aux fréquences d'origine (|f_2-f_1| \ll f_1 \approx f_2), ces deux fréquences sont très largement séparées :

Pour ne conserver que la composante basse fréquence |f_2-f_1| tout en éliminant la composante haute fréquence f_2+f_1, le filtre \mathcal{F} doit être un filtre passe-bas, dont la fréquence de coupure f_c vérifie :

D'après la question précédente, le signal intermédiaire v_i(t) comporte une composante basse fréquence de pulsation \omega_d = 2\pi|f_2 - f_1| et une composante haute fréquence de pulsation \omega_s = 2\pi(f_1 + f_2). Pour isoler la composante basse fréquence, le filtre \mathcal{F} doit être un filtre passe-bas.

Pour satisfaire l'incitation de l'énoncé à privilégier un filtre d'ordre 2 (qui présente une atténuation asymptotique de -40\text{ dB/décade} à haute fréquence, bien plus efficace que les -20\text{ dB/décade} d'un filtre RC d'ordre 1), on propose un circuit RLC série, la tension de sortie v_d(t) étant mesurée aux bornes du condensateur C.

La sortie fonctionne à vide (ou connectée à un étage à très haute impédance d'entrée).

Pour le filtre passe-bas RLC série alimenté par v_i(t) avec prélèvement de la tension v_d(t) aux bornes du condensateur, le pont diviseur de tension en sortie ouverte donne en notation complexe :

Sous forme canonique usuelle :

avec la pulsation propre \omega_0 = 2\pi f_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} et le facteur de qualité Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.

Choix des composants pour f_1 \approx f_2 \approx 40\text{ kHz} :

• La composante haute fréquence à éliminer est à f_1 + f_2 \approx 80\text{ kHz}.
• L'écart Doppler à conserver pour des ultrasons se situe généralement entre quelques hertz et quelques centaines de hertz (|f_2 - f_1| \lesssim 1\text{ kHz}).
• On choisit donc une fréquence propre de coupure f_0 \approx 1{,}6\text{ kHz}, ce qui assure f_0 \ll f_1 + f_2 et garantit une forte atténuation à 80\text{ kHz} (pente de -40\text{ dB/décade}, soit une atténuation supérieure à 60\text{ dB}).

Prenons des valeurs de composants standard disponibles en laboratoire :

La fréquence propre vaut alors :

Pour éviter une résonance marquée tout en gardant une coupure franche, on vise un facteur de qualité sans surtension prononcée (Q \approx 1/\sqrt{2} ou Q \approx 1) :

On peut donc retenir :

Le signal d'entrée v_1(t) = A\cos(2\pi f_1 t) subit un déphasage de +\pi/2 :

Le multiplicateur analogique \mathcal{M} (de constante de proportionnalité k) fournit le signal intermédiaire :

En utilisant l'identité trigonométrique -2\sin a \cos b = \sin(b - a) - \sin(a + b), il vient :

Dans l'hypothèse d'un filtrage passe-bas idéal (gain unité et phase nulle dans la bande passante, annulation totale de la composante à haute fréquence f_1 + f_2), on obtient en sortie en posant V_0 = \frac{k AB}{2} :

D'après la question Q18, la voie directe (en phase) fournit :

Posons \Delta f = f_2 - f_1. Deux situations se présentent :

• Si f_2 - f_1 > 0 : avec \Omega = 2\pi|f_2 - f_1|,

  v_d(t) = V_0 \cos(\Omega t + \varphi_0) \quad \text{et} \quad v_{dQ}(t) = V_0 \cos\left(\Omega t + \varphi_0 - \frac{\pi}{2}\right)

  Le signal v_d(t) est en avance de phase de \pi/2 par rapport à v_{dQ}(t) (soit v_{dQ} en retard de phase de \pi/2 sur v_d).

• Si f_2 - f_1 < 0 : en tenant compte de la parité de \cos et de l'imparité de \sin,

  v_d(t) = V_0 \cos(\Omega t - \varphi_0) \quad \text{et} \quad v_{dQ}(t) = -V_0 \sin(\Omega t - \varphi_0) = V_0 \cos\left(\Omega t - \varphi_0 + \frac{\pi}{2}\right)

  Le signal v_d(t) est cette fois en retard de phase de \pi/2 par rapport à v_{dQ}(t) (soit v_{dQ} en avance de phase de \pi/2 sur v_d).

L'observation conjointe à l'oscilloscope (en mode temporel ou en mode XY, où la trajectoire de Lissajous est un cercle parcouru dans le sens horaire ou trigonométrique) permet donc de déterminer sans ambiguïté le signe de f_2 - f_1.

Sur l'intervalle [0, T_m[, la phase instantanée s'écrit :

Par définition de la fréquence instantanée :

Le signal v_e(t) étant T_m-périodique, la fréquence instantanée f(t) est également T_m-périodique. Pour tout k \in \mathbb{Z} et tout t \in [k T_m, (k+1)T_m[ :

La fréquence varie linéairement entre f_0 et f_0 + B au cours de chaque période de répétition : il s'agit d'une onde entretenue modulée en fréquence par des rampes linéaires (technique radar FMCW).

L'onde électromagnétique effectue un trajet aller-retour à la célérité c entre l'antenne radar et la cible située à la distance d, parcourant ainsi une distance totale 2d. Le retard de propagation s'écrit :

Pour d = 10\text{ km} = 1{,}0 \times 10^4\text{ m} et c \approx 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

L'énoncé indiquant que T_m est de l'ordre de quelques dixièmes de seconde (T_m \sim 0{,}1\text{ s} à 0{,}3\text{ s}), on constate que :

Le signal d'écho v_r(t) possède la fréquence instantanée f_r(t) = f(t - \tau). La courbe de f_r(t) se déduit donc de celle de f(t) par une translation vers la droite d'une durée \tau = T_m/10.

D'après l'étude menée dans la section I (questions Q18 et Q20), le multiplieur suivi du filtre passe-bas réalise une détection synchrone qui isole la fréquence différentielle entre les deux signaux d'entrée v_e(t) et v_r(t). La fréquence instantanée du signal démodulé v_d(t) s'écrit donc :

Sur la quasi-totalité de la période de répétition, c'est-à-dire pour t \in [\tau, T_m[, les fréquences instantanées s'expriment à l'aide de la question Q22 par :

La différence de fréquence entre le signal émis et le signal réfléchi est donc rigoureusement constante sur cet intervalle :

En substituant l'expression du temps de vol aller-retour \tau = \dfrac{2d}{c} établie à la question Q23, on obtient :

Puisque \tau \ll T_m, cette fréquence de battement f_d est stationnaire sur plus de 99 % de chaque période T_m. Sa mesure par analyse spectrale permet donc d'accéder directement à la distance d de la cible par :

1. Phénomène de repliement de spectre (ou aliasing) : L'échantillonnage temporel régulier d'un signal analogique à la période T_e (fréquence d'échantillonnage f_e = 1/T_e) entraîne la périodisation de son spectre fréquentiel avec une période f_e. Si le signal initial comporte des composantes fréquentielles supérieures à la fréquence de Nyquist :

les répliques spectrales se chevauchent. Des composantes de fréquence f > f_e/2 viennent alors se superposer dans la bande de base [0, \, f_e/2] et apparaissent faussement sous la forme de composantes de fréquence apparente |f - k f_e| (notamment f_e - f). Cette altération irréversible de l'information spectrale constitue le phénomène de repliement du spectre.

2. Moyens de s'en prémunir : Pour s'en prémunir, deux actions complémentaires sont nécessaires :

1. Respecter le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist : la fréquence d'échantillonnage doit être strictement supérieure au double de la fréquence maximale f_{\max} contenue dans le signal :

   \boxed{f_e > 2 f_{\max}}

2. En pratique, le signal étant souvent bruité ou de largeur spectrale non strictement bornée, intercaler en amont de l'échantillonneur un filtre passe-bas analogique, dit filtre anti-repliement, coupant les composantes fréquentielles au-delà de la fréquence de Nyquist :

   \boxed{f_c \le \frac{f_e}{2}}

D'après le préambule de la section III.1, les fréquences discrètes analysées par la TFD sont définies par :

L'écart entre deux fréquences consécutives du spectre discret, qui correspond au pas d'échantillonnage en fréquence et définit la précision (ou résolution) spectrale, s'écrit :

où N_e T_e représente la durée totale d'acquisition du signal.

Calculons la valeur numérique de la résolution spectrale dans les deux cas :

• Spectre de gauche (N_e = 100 et T_e = 2\text{ ms} = 2 \times 10^{-3}\text{ s}) :

  \delta f_{\text{gauche}} = \frac{1}{100 \times 2 \times 10^{-3}\text{ s}} = 5\text{ Hz}
  \boxed{\delta f_{\text{gauche}} = 5\text{ Hz}}

• Spectre de droite (N_e = 100 et T_e = 0{,}5\text{ ms} = 0{,}5 \times 10^{-3}\text{ s}) :

  \delta f_{\text{droite}} = \frac{1}{100 \times 0{,}5 \times 10^{-3}\text{ s}} = 20\text{ Hz}
  \boxed{\delta f_{\text{droite}} = 20\text{ Hz}}

Commentaire et analyse des spectres : Le signal v(t) comporte deux composantes monochromatiques distantes de :

• Spectre de gauche : La résolution spectrale vérifie \delta f_{\text{gauche}} = 5\text{ Hz} < |f_2 - f_1|. Le pas en fréquence est suffisamment fin pour séparer les deux composantes : on observe bien deux pics distincts centrés à 150\text{ Hz} et 160\text{ Hz}. Ce paramétrage est pleinement capable de révéler le contenu spectral de v(t).
• Spectre de droite : La résolution spectrale vaut \delta f_{\text{droite}} = 20\text{ Hz} > |f_2 - f_1|. Les deux fréquences étant distantes de seulement 10\text{ Hz}, elles tombent dans une même bande de largeur \delta f : elles ne peuvent être résolues et fusionnent en un pic large unique autour de 150\text{--}160\text{ Hz}, accompagné de fuites spectrales dues au fenêtrage temporel. Ce choix d'échantillonnage ne permet pas de discerner les deux fréquences du signal.

Un échantillon du signal v_d est prélevé à chaque rampe de modulation, soit avec une période d'échantillonnage :

La fréquence d'échantillonnage correspondante est :

D'après le théorème de Shannon-Nyquist (question Q25), pour éviter tout phénomène de repliement de spectre, la fréquence maximale mesurable dans le spectre de |f_r - f| est la demi-fréquence d'échantillonnage (fréquence de Nyquist) :

Application numérique :

D'après la relation (8) établie en Q15, les deux composantes principales du signal réfléchi se situent aux fréquences f_r - f = \pm f_B + f_D. Pour que ces deux pics soient détectés sans repliement de spectre, il faut que la fréquence la plus élevée en valeur absolue reste inférieure à f_{\max} :

Application numérique : avec f_B = 0{,}56\text{ Hz},

D'après la question Q15, le décalage Doppler s'écrit en valeur absolue :

On en déduit la vitesse maximale mesurable :

Application numérique : avec c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et f = 29{,}85\text{ MHz} = 29{,}85 \times 10^6\text{ Hz} :

D'après l'étude menée à la question Q26, la résolution spectrale associée à un échantillonnage sur une durée totale d'acquisition T_a est égale au pas fréquentiel de la transformée de Fourier discrète :

Avec N = 4096 et T_m = 0{,}262\text{ s}, la durée d'acquisition vaut :

ce qui donne une résolution spectrale de :

D'après le résultat de la question Q15, la composante Doppler liée au courant marin de surface vérifie :

La variation de vitesse \Delta v_x discernable par le radar correspond donc à la résolution spectrale \delta f sur le décalage fréquentiel :

En effectuant l'application numérique avec f = 29{,}85\text{ MHz} et c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Pendant la durée d'une rampe de modulation T_m, on prélève M échantillons équidistants. La période d'échantillonnage associée s'écrit :

d'où une fréquence d'échantillonnage :

D'après le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, pour éviter tout phénomène de repliement de spectre, la fréquence maximale f_{d\,\max} que l'on peut extraire de l'analyse spectrale est la fréquence de Nyquist :

D'après le résultat de la question Q24, la fréquence de battement correspondant à une cible située à la distance d vaut :

Pour pouvoir mesurer la distance d'une cible jusqu'à la portée maximale d_{\max} = 50\text{ km}, il est nécessaire que la fréquence f_d(d_{\max}) n'excède pas f_{d\,\max} :

La durée T_m se simplifie, ce qui conduit à la condition :

Avec les valeurs numériques fournies :

• B = 125\text{ kHz} = 1{,}25 \times 10^5\text{ Hz},
• d_{\max} = 50\text{ km} = 5{,}0 \times 10^4\text{ m},
• c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

le calcul donne :

Il faut donc M \ge 84. Pour optimiser la mise en œuvre de la transformée de Fourier discrète par un algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT), on choisit une puissance de 2 :

Les M échantillons de la tension démodulée v_d sont acquis sur la durée d'une unique rampe de modulation, soit une durée d'observation T_{\text{obs}} = T_m = M T_e. D'après le résultat général de la transformée de Fourier discrète rappelé en Q26, la résolution spectrale (pas entre deux raies consécutives) s'écrit :

Avec T_m = 0{,}262\text{ s}, on obtient :

D'après la relation liant la distance de la cible à la fréquence démodulée établie à la question Q24 :

la résolution en distance \Delta d correspondant au plus petit écart résoluble en fréquence \delta f_d est donnée par :

soit :

Avec la célérité de la lumière c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et la largeur de bande B = 125\text{ kHz} = 1{,}25 \times 10^5\text{ Hz} :

Le dioxyde de carbone dissous participe à deux équilibres acidobasiques successifs :

La relation d'Henderson-Hasselbalch appliquée à chaque couple s'écrit :

Une espèce est dite prédominante devant sa forme conjuguée lorsque sa concentration lui est strictement supérieure :

• pour \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_{\mathrm{A}1} = 6{,}1 : [\mathrm{CO_2(aq)}] > [\mathrm{HCO_3^-(aq)}] ;
• pour 6{,}1 < \mathrm{pH} < 10{,}2 : [\mathrm{HCO_3^-(aq)}] > [\mathrm{CO_2(aq)}] et [\mathrm{HCO_3^-(aq)}] > [\mathrm{CO_3^{2-}(aq)}] ;
• pour \mathrm{pH} > \mathrm{p}K_{\mathrm{A}2} = 10{,}2 : [\mathrm{CO_3^{2-}(aq)}] > [\mathrm{HCO_3^-(aq)}].

On en déduit le diagramme de prédominance suivant :

Au \mathrm{pH} naturel de l'eau de mer (\mathrm{pH} = 8{,}1), on a :

L'espèce prédominante du carbone inorganique dissous est donc l'ion hydrogénocarbonate :

La réaction (11) de formation du carbonate de calcium s'écrit :

Les activités des phases condensées pures (solide \mathrm{CaCO_3(s)} et solvant \mathrm{H_2O(liq)}) étant égales à l'unité, la constante thermodynamique d'équilibre associée s'exprime par :

avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

Cette réaction s'obtient comme combinaison linéaire des trois équilibres suivants :

En sommant ces trois équations-bilans, on retrouve l'équation (11). La constante d'équilibre est donc le produit des constantes associées :

En prenant le logarithme décimal :

Avec les valeurs numériques fournies : \mathrm{p}K_{\mathrm{S}1} = 8,4, \mathrm{p}K_{\mathrm{A}2} = 10,2 et K_E = 10^{-14} (\mathrm{p}K_E = 14,0) :

D'après le tableau 1, les concentrations molaires en ions calcium et hydrogénocarbonate s'obtiennent à partir des concentrations massiques et des masses molaires des sels introduits :

Au \mathrm{pH} = 8{,}1, d'après le diagramme de prédominance établi en Q31, \mathrm{HCO_3^-} est très largement prédominant devant \mathrm{CO_2(aq)} et \mathrm{CO_3^{2-}}, de sorte que :

La concentration en ions hydroxyde \mathrm{HO^-} au \mathrm{pH} = 8{,}1 vaut :

Pour la réaction modélisant la formation de \mathrm{CaCO_3(s)} (équation 11) :

le quotient de réaction initial dans l'eau de mer s'écrit (avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) :

En comparant avec la constante d'équilibre déterminée à la question Q32 (K^\circ \approx 1{,}6 \times 10^{12}) :

Le critère d'évolution spontanée impose une évolution dans le sens direct : la formation de \mathrm{CaCO_3(s)} est donc thermodynamiquement favorisée.

D'après le tableau 1, les ions magnésium proviennent de la dissolution totale de deux sels : le chlorure de magnésium \mathrm{MgCl_2} et le sulfate de magnésium heptahydraté \mathrm{MgSO_4,\,7H_2O}. La concentration molaire totale en ions \mathrm{Mg^{2+}} est :

Application numérique :

L'équilibre de dissolution de l'hydroxyde de magnésium s'écrit :

Le précipité apparaît dès que le quotient réactionnel atteint la constante de solubilité :

À la limite d'apparition du premier grain de solide :

On en déduit le \mathrm{pOH} puis le \mathrm{pH} à l'aide de K_E = 10^{-14} :

La demi-équation rédox pour le couple \mathrm{O_2(g)/H_2O(liq)} s'écrit :

D'après la formule de Nernst à T = 298\text{ K} avec \frac{RT}{F}\ln(10) \approx 0{,}06\text{ V} :

Avec les données de l'énoncé :

• E_1^\circ = 1{,}23\text{ V},
• \mathrm{pH} = 8{,}1,
• P(\mathrm{O_2}) = 0{,}20\text{ bar} et P^\circ = 1\text{ bar}.

On calcule :

Par rapport à l'électrode de référence au calomel saturée (E_{\text{ref}} = 0{,}22\text{ V}) :

La demi-réaction d'oxydoréduction associée au couple \mathrm{H^+(aq)/H_2(g)} s'écrit :

D'après la loi de Nernst à T = 298\text{ K}, le potentiel d'équilibre s'exprime par :

En prenant pour les solutés a(\mathrm{H^+}) = [\mathrm{H^+}]/c^\circ = 10^{-\mathrm{pH}} et pour le gaz a(\mathrm{H_2}) = P(\mathrm{H_2})/P^\circ, il vient :

Avec E^\circ_3 = 0\text{ V}, \mathrm{pH} = 8{,}1 et P(\mathrm{H_2}) = 1\text{ bar} = P^\circ, on obtient :

Exprimé par rapport à l'électrode au calomel saturée (E_{\mathrm{ref}} = 0{,}22\text{ V}), ce potentiel vaut :

On note U = E - E_{\text{ref}} le potentiel mesuré par rapport à l'électrode au calomel saturée (E_{\text{ref}} = 0{,}22\text{ V}). À \mathrm{pH} = 8{,}1, les potentiels d'équilibre calculés aux questions Q35 et Q36 valent respectivement :

(a) Domaine \mathbf{-1{,}00\text{ V} < U < -0{,}45\text{ V}} :

• Réaction électrochimique observée : il s'agit de la réduction du dioxygène dissous. Au pH de l'eau de mer (\mathrm{pH} = 8{,}1), l'équation de la réaction cathodique s'écrit de préférence avec les ions hydroxyde :

  \boxed{\mathrm{O_2(aq) + 2\,H_2O(liq) + 4\,e^- \longrightarrow 4\,HO^-(aq)}}

• Allure de la courbe :

  • Pour U < -0{,}45\text{ V}, la réduction s'amorce avec une surtension cathodique |\eta_c| \approx 0{,}51 - (-0{,}45) = 0{,}96\text{ V} sur l'acier, traduisant la lenteur cinétique du transfert de charge.
  • Entre -0{,}6\text{ V} et -1{,}0\text{ V}, la densité de courant atteint un palier de diffusion quasi-horizontal (j_{\text{lim}} \approx -0{,}7\text{ mA}\cdot\text{cm}^{-2}). En effet, le dioxygène est une espèce dissoute présente en faible concentration à saturation : la vitesse de la réaction est alors limitée par le transport de matière par diffusion de \mathrm{O_2} depuis le cœur de la solution jusqu'à la surface de l'électrode.

(b) Domaine \mathbf{U < -1{,}00\text{ V}} :

• Réactions électrochimiques observées : la réduction du dioxygène dissous se poursuit à son courant limite de diffusion, mais la réaction prépondérante devient la réduction de l'eau (le solvant) avec dégagement de dihydrogène gazeux :

  \boxed{\mathrm{2\,H_2O(liq) + 2\,e^- \longrightarrow H_2(g) + 2\,HO^-(aq)}}

• Allure de la courbe :

  • La réaction démarre à un potentiel U \approx -1{,}00\text{ V / ECS} inférieur au potentiel thermodynamique d'équilibre (-0{,}71\text{ V / ECS}), en raison de la surtension cathodique de dégagement de \mathrm{H_2} sur l'acier (\eta_c \approx -0{,}29\text{ V}).
  • Lorsque U devient plus négatif, la densité de courant cathodique croît très fortement en valeur absolue (forte pente négative sans saturation), marquant le début du mur du solvant : l'eau étant le solvant, elle est présente en très large excès et sa réduction n'est pas limitée par le transport de matière.

D'après la loi de Fick relative au transport par diffusion stationnaire dans la couche limite d'épaisseur \delta, la densité de courant limite de diffusion cathodique associée à la réduction du dioxygène dissous s'écrit :

Elle est directement proportionnelle à la concentration [\mathrm{O_2}] en dioxygène dissous.

Par conséquent, si la teneur en dioxygène dissous diminue :

• Dans le domaine du palier (-1{,}00\text{ V} < U < -0{,}45\text{ V}) : la valeur absolue |j_{\text{lim}}| diminue, ce qui signifie que le palier se déplace vers le haut, en se rapprochant de j = 0 ;
• Dans le domaine de réduction de l'eau (U < -1{,}00\text{ V}) : la réduction du solvant n'est pas limitée par la diffusion car l'eau est présente en très large excès. Le courant total s'écrit j \approx j_{\text{lim}}(\mathrm{O_2}) + j(\mathrm{H_2O}). La branche descendante conserve donc la même pente exponentielle, simplement translatée verticalement de la différence \Delta j_{\text{lim}}, différence qui devient négligeable à fort courant cathodique.