Réflexion, transmission et ondes stationnaires électromagnétiques : 146 questions de concours corrigées

Donner l'équation à laquelle obéit le champ électromagnétique entre les deux parois. En déduire une équation différentielle vérifiée par E₀(x). On note k = ω/c la norme du vecteur d'onde.

Expliquer comment la présence des miroirs fixe les conditions aux limites que doit satisfaire le champ électromagnétique.

Exprimer les vecteurs d'onde k_i, k_r et kₜ à l'aide de ω, c, n_v, n_s et e_z.

Exprimer ρ en fonction de Z₀ et Zₑ. À quelle condition aura-t-on ρ = 0 ? On parle dans ce cas d'adaptation (ou accord) entre le câble et sa charge.

Que peut-on dire du champ électrique dans un conducteur parfait. Pourquoi ?

On admet que les composantes de E parallèles à la surface du métal sont continues de part et d'autre de l'interface z = 0, et on cherche des solutions telles que ces composantes ne soient pas…

En déduire alors que le potentiel vérifie une équation de diffusion, faisant intervenir un coefficient de diffusion, noté D, dont on déterminera l'expression et la dimension.

Une modélisation analogue à celle présentée dans le schéma de la figure 3 permet de décrire un câble coaxial sans pertes : on remplace pour cela la résistance élémentaire dR = R dx par une…

Montrer l'absence de charge surfacique sur le métal et expliciter complètement le champ électrique de l'onde réfléchie.

Déterminer l'expression de l'onde électromagnétique, E_vide et B_vide, dans le demi-espace x<0.

En précisant les conditions aux limites en x = 0 et x = L sur E₀ et en expliquant leur origine, déterminer l'expression de E₀(x). Montrer que les conditions aux limites conduisent à une…

En déduire l'expression de B(r) pour r < a, a < r < b puis r > b.

Nous allons d'abord étudier la cavité optique la plus simple qu'on puisse imaginer : cette cavité est formée de deux miroirs plans parallèles, et parfaitement réfléchissants, séparés par du vide…

En utilisant la relation de passage fournie, déterminer l'expression du champ électrique réfléchi par le miroir situé en x = L.

En déduire l'expression du champ électrique résultant E et du champ magnétique résultant B dans la cavité. Commenter le résultat obtenu en terme d'amplitude, de phase et de tout autre caractère…

Justifier que la forme du champ électromagnétique ne permet pas d'utiliser la cavité pour obtenir n'importe quelle fréquence laser. Déterminer l'expression des fréquences possibles en fonction…

En exploitant les relations de continuité du champ électrique à la surface d'un dioptre, déterminer une relation reliant les coefficients complexes de transmission t = E_0,c/E_0,i et de réflexion r…

Déterminer l'expression des champs magnétiques incident B_i(z, t), réfléchi B_r(z, t) et transmis B_c(z, t).

Le champ électrique de l'onde décrite par l'équation (I.1) vérifie-t-il la relation de passage (I.2) ? Dans le demi-espace x < 0, règne aussi une onde de la forme E_r(M, t) = E_0r cos (ω' t + k' x)…

Dans le milieu x < 0, établir l'expression des champs électrique E(M, t) et magnétique B(M, t) résultants. Comment qualifier l'onde correspondante ?

Montrer que les conditions limites aux centres des deux miroirs (points A et A') imposent à la fréquence de la lumière des valeurs discrètes ω_p/2π, où p est un entier. Donner l'expression de ω_p…

Exprimer les champs magnétiques des trois ondes, en notation complexe, en précisant leurs amplitudes B_0i, B_0r et B₀ₜ en fonction de E_0i, E_0r, E₀ₜ, n_v, n_s, c et e_z (vecteur unitaire de l'axe…

En traduisant les conditions aux limites, exprimer le coefficient de réflexion pour l'amplitude du champ électrique en fonction de r_vs.

Déterminer l'équation aux dérivées partielles (équation de propagation) vérifiée par la seule fonction u(z,t), puis l'équation de dispersion associée reliant la pulsation ω au vecteur d'onde k.

Représenter le schéma équivalent à une longueur infinitésimale dz du câble. Établir les équations de propagation des ondes de courant et de tension.

On admet que la relation de continuité du champ électrique sur (P') s'écrit, pour tout t ≥ 0 : E'_i(x=Vt, t) + E'_r(x=Vt, t) = 0. a) En déduire le rapport des fréquences f₂/f₁. b) Exprimer l'écart…

Exprimer le nombre de modes N(ω) pour lesquels la pulsation est inférieure à ω fixée.

Calculer le vecteur de Poynting et la densité volumique d'énergie instantanée dans la partie a < r < b. En déduire la vitesse de propagation de l'énergie.

Calculer F₂ dans le cas d'une onde plane de fréquence ω₀/2π. Montrer que la force est proportionnelle au vecteur d'onde k du champ. A quoi correspond cette force ? Montrer que l'on peut retrouver…

Pour les cavités utilisées dans le laser à électrons libres européen ω₁ = 2π × 1,3· 10⁹ rad⁻¹. En déduire la valeur numérique de R.

La voile donne naissance à une onde réfléchie de même pulsation ω que celle de l'onde incidente. On cherche cette onde réfléchie sous la forme d'une OPPH se propageant en sens inverse de l'onde…

Déterminer l'expression de la pression de radiation.

Rappeler le qualificatif donné à l'onde associée à l'expression II.3.

Montrer que cette solution vérifie la relation de passage pour le champ électrique en x = 0 à tout instant t.

Calculer la vitesse de phase v_φ. Y a-t-il dispersion ?

Calculer numériquement la pression de radiation pour la lumière venant du soleil (I₁ = 1 kW⁻²) et pour celle d'un laser de haute intensité (I₂ = 1 GW⁻²).

Proposer une expression du champ électrique réfléchi d'amplitude complexe E_0,r.

Rappeler la définition d'un conducteur parfait. Que peut-on alors dire du champ E(M, t) dans un tel milieu ?

Déduire de l'enregistrement de la figure 3 la fréquence f des ondes utilisées.

À quel dispositif rencontré en travaux pratiques cette grille fait-elle penser ?

Déterminer les unités usuelles des grandeurs R₀, χ₀ et ℓ₀.

Définir, exprimer, calculer et commenter la célérité de propagation des ondes électriques dans le câble Belden 8213. Comparer au « délai » de la fiche technique.

Définir et exprimer l'impédance caractéristique Z₀ du câble. Les données de la fiche technique ci-dessus sont-elles compatibles avec ce modèle ?

On cherche un champ sous la forme E(x,t) = g(x) cos (2π ft) u_y. A quel type d'onde cela correspond-il ?

On admet la continuité du champ tangent aux interfaces conducteur/vide. Quelles sont alors les conditions aux limites vérifiées par le champ dans la cavité ?

Ces relations sont-elles vérifiées dans le cas d'une onde optique se propageant vers une interface entre un milieu d'indice n₁ et un milieu d'indice n₂ ?

En utilisant le résultat de la question 22, montrer qu'on obtient la même expression du rapport k_z2/k_z1 si on suppose que B_y est continu en z = 0.

Établir une relation entre les potentiels V(x,t) et V(x+dx,t), et avec le courant I(x,t).

En cherchant une solution des équation obtenues aux questions 13 et 14 sous la forme V(x,t) = V₀ ei⁽ω t ⁻ kx⁾, déterminer les relations de dispersion associées à ces équations.

Exprimer les trois plus petites pulsations ω₁, ω₂ et ω₃ que peut prendre le champ électrique dans cette cavité résonante en fonction de R, x₀₁, x₀₂, x₀₃ et c ; où x₀₁, x₀₂ et x₀₃ sont les trois…

On veut E₀ = 50 MV⁻¹ pour la pulsation ω₁. En déduire l'amplitude du champ magnétique en r = R. On pourra se servir de la courbe de la fonction J₁, disponible dans le formulaire, pour estimer la…

En utilisant les applications numériques des questions Q4 et Q10, indiquer le matériau qui vous semble le plus adapté pour les parois de la cavité supraconductrice.

Déterminer la valeur numérique de H.

Trouver le coefficient de réflexion r₀ et exprimer k₀ en fonction de k_i. Justifier enfin l'égalité q₀ = q_i.

Exprimer r₁ en fonction de q_i et h₀, et k_r en fonction de k_i et k_v. Indiquer quel intérêt la mesure de r₁ présente en ce qui concerne l'étude de l'état de la mer.

À partir du résultat de la question précédente, retrouver la loi de Bragg (1) rencontrée dans la question Q2, pour un ordre p à préciser.

En utilisant les deux relations établies dans la question précédente, montrer que f_r est donnée par l'un des deux cas de la relation (6). Fournir ensuite l'expression de f_r pour une onde…

Exprimer la force électromagnétique δ F_L due au champ électromagnétique sur cette portion rectiligne en fonction de a, dy, j_s(t) et du champ magnétique incident à la surface de la voile B_i(x = 0…

Évaluer l'ordre de grandeur de la surface S nécessaire pour donner à un vaisseau de masse m = 2 000 kg une accélération environ égale au millième de l'intensité de la pesanteur g régnant à la…

Justifier la relation entre la pression de radiation et la moyenne temporelle de la densité d'énergie électromagnétique de l'onde dans le vide proposée par Maxwell.

Pour un champ électrique dont l'expression serait E(M, t) = E₀(x)eiω te_z, montrer que la condition obtenue précédemment est la même. En déduire que pour une pulsation ωₙ donnée respectant cette…

Déterminer l'expression du nombre de modes D(ω) par unité de pulsation ω. En déduire l'expression du nombre de modes D(ν) par unité de fréquence ν D(ν) = (8π V)/c³ν², où V est le volume de la cavité.

Déterminer l'expression du champ électrique réfléchi E_r(M, t) en un point M à l'instant de date t. On supposera que l'onde électrique réfléchie conserve la même polarisation que l'onde incidente.

Déterminer l'expression du champ magnétique réfléchi B_r(M, t) en un point M à l'instant de date t.

Que vaut le champ magnétique total en z = 0⁻ (dans le vide au voisinage du conducteur) ? En déduire l'expression du vecteur densité de courant de surface j_s(t) sur la surface du conducteur, à la…

Calculer la valeur moyenne de cette force sur une période temporelle T de l'onde. En déduire que l'on peut lui associer une pression p, dite pression de radiation, dont l'expression est p = ε₀ E₀².

En déduire la force exercée par les photons sur l'aire S pendant une durée dt et retrouver l'expression de la pression de radiation.

Les deux miroirs de la cavité sont nécessairement limités transversalement. Cette cavité est-elle stable latéralement (si l'onde se propage selon un axe qui fait un angle non nul avec Oz) ? Si non…

Comment est qualitativement modifiée la position d'équilibre du nuage de flyers par la pression de radiation ? Décrire qualitativement l'influence du coefficient de réflexion R sur le déplacement de…

Donner une interprétation physique de l'asymptote commune aux courbes paramétrées par R.

Que deviennent les expressions de t et r dans le cas où l'aluminium est considéré comme un conducteur parfait ? Que dire de l'efficacité de la protection de données avec un conducteur parfait ?

En déduire l'expression du champ électrique résultant Eₜₒₜ. Comment qualifie-t-on ce type d'onde ?

Quelle est la valeur typique de L - z associée à ce retard ?

Déterminer la densité de courant surfacique _s(M, t) sur le conducteur dans le cas représenté figure 1. Quelle est la source physique du champ réfléchi E_r(M, t) ?

Proposer une réalisation pratique du miroir d'un radiotélescope de très grande dimension (de l'ordre de la centaine de mètres) fonctionnant dans le domaine des ondes centimétriques.

En déduire l'expression des fréquences f_mnℓ des modes propres possibles dans la cavité.

Calculer la valeur de Q pour un four à micro-ondes, avec a = 36 cm.

Montrer que l'énergie totale W(t) décroît avec un temps caractéristique τ que l'on exprimera en fonction de ω et Q.

Proposer une méthode pour mieux confiner les atomes dans la direction z.

On choisit les paramètres de la cavité de sorte que l'un de ses modes, noté p₀, ait une fréquence très proche de la fréquence de résonance de l'atome (ω_p_0 ≈ ω₀). Justifier qualitativement que l'on…

Exprimer le coefficient de réflexion énergétique. Calculer et commenter sa valeur numérique.

Justifier que |k_i|=|k_r|=k_i puis exprimer k_i et kₜ=|kₜ| en fonction de ω, c₁ et c₂.

Donner l'expression du champ électrique total (superposition du champ électrique incident et du champ électrique réfléchi). On rappelle que cos (a-b) - cos (a+b) = 2sin a sin b.

Comment qualifie-t-on ce champ électrique total ? Pourquoi, en certains points de l'espace que l'on nommera, la communication risque-t-elle d'être perturbée aux abords de ce hangar ?

Justifier l'existence d'un champ réfléchi (E_r, B_r) dans l'air.

Dans le cas du télégraphe terrestre du XIXe siècle, l'installation comportait en général un seul fil tendu sur des poteaux. Le modèle de transmission par ligne bifilaire reste-il applicable ?…

En déduire la vitesse de phase des ondes de courant et de tension. Y a-t-il dispersion à cet ordre du développement ?

On impose d'abord dans la partie z < 0 du câble une onde de tension incidente u₊(z,t) d'amplitude complexe U₊, de pulsation ω et de vecteur d'onde k. Exprimer l'onde de courant i₊(z,t) associée en…

A.N. : calculer et commenter la valeur de la distance caractéristique. En pratique, on évite d'utiliser de tels câbles à très haute fréquence (1 GHz et plus). Pourquoi ?

Expliciter ω' et les composantes k'ₓ = eₓ · k' et k'_y = e_y · k' en fonction de ω, c et θ.

Etablir l'équation différentielle vérifiée par g(x) et la résoudre.

En déduire qu'un champ électromagnétique harmonique ne peut exister dans la cavité que pour certaines fréquences. On exprimera ces fréquences ainsi que leur longueur d'onde associée.

Commenter l'expression mathématique de la relation de dispersion obtenue à partir de l'équation de la question 13 et comparer à la relation de dispersion obtenue pour une équation de D'Alembert…

Quelles relations lient ω et k d'une part, ω' et k' d'autre part ? Exprimer E'₀ en fonction de E₀ puis ω' en fonction de ω, v et c.

Montrer l'existence de courants surfaciques sur la face z_S = -vt du véhicule et préciser à quelle pulsation ω_i ils oscillent.

Montrer que la fonction ξ vérifie l'équation différentielle suivante : (d² ξ)/dt² - Aξ = 0, et que la fonction ψ vérifie l'équation différentielle suivante : (d² ψ)/dr² + 1/r dψ/dr - A/c² ψ = 0, où…

Exprimer le champ magnétique dans la cavité pour la pulsation ω₁, en fonction de la fonction J₁, E₀, c, r, ω₁, t, où J₁ est la dérivée de la fonction J₀. On suppose que le champ magnétique a une…

Par analogie, à partir de la question précédente, indiquer à quelles fréquences de résonance correspondent les trois modes propres du champ électrique présentés à la figure 7. On pourra raisonner…

Trouver, d'une part, l'expression de ω_r en fonction de ω et ω_v et, d'autre part, celle de k_r en fonction de k_i et k_v.

Après avoir déterminé le champ magnétique complexe total régnant au voisinage extérieur de la surface de la voile (en x = 0⁻), établir l'expression de la densité surfacique de courant réelle j_s(t)…

En déduire la force électromagnétique surfacique moyennée temporellement et montrer qu'elle peut s'écrire de la façon suivante : = Pₘ eₓ où Pₘ est une grandeur, appelée pression de radiation, que…

Montrer que la force totale qui s'exerce sur un pavé de conducteur de section d'aire dydz et de longueur infinie s'écrit d F_pavé=2 B₀²/µ₀ cos ²(ω t) dz dy eₓ. Calculer alors la valeur moyenne…

Exprimer les champs magnétiques B_i, B_r et Bₜ associés respectivement à chacune des ondes incidente, réfléchie et transmise en fonction, suivant les cas, de E₀, c, ω, t, z, k, ρ ou β. En déduire…

Quelle est la signification de la grandeur R = |ρ|² ? Sans étudier la fonction, tracer l'allure qualitative de la courbe ω R(ω), en distinguant les deux cas ω < ω_p et ω > ω_p. Dans quel cas…

Comment choisir Δ t pour que la mesure de la durée séparant l'émission du signal et la réception de l'écho permette de mesurer l'altitude h de la surface de réflexion ?

On considère une solution de l'équation II.1 sous la forme du champ électrique donné par l'équation II.2. Montrer que les relations de passage pour le champ électrique en x = 0 et x = L imposent E₀…

Montrer que la relation de passage pour le champ électrique en x = L impose à k et à ω des valeurs discrètes. En déduire la relation L = nλ/2 où n est un entier naturel non nul et λ = 2π/k est la…

On suppose qu'en un point M de coordonnées (r, θ, z), le champ électromagnétique est de la forme : G_X : E(M, t) = E₀(r) exp (jω t - jkz)e_r B(M, t) = B₀(r) exp (jω t - jkz)e_θ Cette forme est…

Montrer que, pour a < r < b, E₀(r) = 1/(2πε₀ r)k/₀ cos (ω t - kz).

Le mode TEM décrit-il une onde plane ? Montrer que la relation de structure s'écrit : B = (k ∧ E)/ω.

Calculer la puissance moyenne se propageant le long du câble.

Exprimer la force de Laplace totale F_L s'exerçant sur l'aire S de la surface du conducteur en fonction de ε₀, E₀, S, ω et de t.

Déterminer l'expression du vecteur de Poynting Π de l'onde électromagnétique résultante ainsi que sa valeur moyenne au cours d'une période τ = 2π/ω. L'un des deux miroirs n'est pas parfaitement…

Que représentent les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'ondes sur la figure 4 ? Montrer que la condition de continuité des profils de vague à l'interface impose d'une part des amplitudes…

En exploitant les relations de continuité du champ magnétique à la surface d'un dioptre et en considérant les courants surfaciques nuls, déterminer une nouvelle relation entre t et r.

En combinant les deux expressions précédentes de t et r, montrer que r = (kδ - 1 + i)/(kδ + 1 - i) et t = 2kδ/(kδ + 1 - i).

En réalité, l'aluminium n'est pas un conducteur parfait. Déterminer la valeur du coefficient de transmission en énergie T = 1 - |r|² pour des ondes électromagnétiques de communication NFC-RFID…

En utilisant les relations de passage en z = L pour le champ électrique et en modélisant l'obstacle par un métal conducteur parfait, déterminer l'expression complexe du champ électrique de l'onde…

En vous appuyant sur les questions précédentes, proposer au moins une méthode permettant de lutter contre les coupures réseau.

Estimer l'incertitude-type sur la fréquence déterminée expérimentalement et discuter de l'acceptabilité de la mesure par rapport aux données constructeur par un calcul d'écart normalisé.

Dans chacun de ces trois cas, décrire le plus précisément possible le champ électrique observé en x > 0.

Montrer que seules des valeurs discrètes de kₓ, k_y et k_z sont possibles, repérées respectivement par des entiers m, n et ℓ.

Établir l'expression du champ magnétique B(M, t) dans la cavité. On notera B₀ son amplitude maximale, que l'on exprimera en fonction de E₀.

Établir l'expression W de l'énergie électromagnétique totale contenue dans la cavité, en fonction de B₀, des caractéristiques de la cavité et de µ₀. Que constate-t-on ?

En admettant que l'on puisse prendre en première approximation l'expression de l'énergie totale établie en considérant les conducteurs des parois comme parfaits, établir l'expression du facteur de…

Calculer numériquement τ. Peut-on expliquer les péritios par le champ émis lors de l'ouverture d'un four à micro-ondes ?

Montrer que les conditions limites sur le reste de la surface du miroir impose que R(D/2) = R_c. En déduire la valeur du rayon du faisceau au col w_0,p² = λ_p/2π √(D(2R_c-D)) (21)

En utilisant l'approximation paraxiale, montrer que le champ de fréquence ω_p/2π peut se mettre sous la forme E_p(R, t) ≈ E₊ u_p(R) e⁻iω_p t eₓ (22) avec u_p(R) = exp [-r²/w_0,p²] sin [k_p(z+D/2)]…

Montrer que τ(R₀) → ∞ lorsque l'atome s'approche de l'un des points (0, 0, ± D/2). Donner un argument physique pour justifier que le dipôle ne rayonne plus de champ lorsqu'il est proche d'un des…

Établir la relation E₀₂ = r_dsE₀₁e⁻iφ.

En déduire que la fonction antireflet n'est réalisée que si φ = (2p + 1)π, avec p entier, et n_d = √(n_v n_s).

Donner l'expression de cette onde réfléchie en fonction des caractéristiques de l'onde incidente.

Exprimer E_r(M, t) à l'aide de la relation de passage fournie en fin de sujet. En déduire B_r(M, t) en utilisant une équation de Maxwell. Dans le cadre de ce modèle, donner alors l'expression du…

On considère une onde de tension progressant le long de l'axe (Oz) caractérisée par u(z = 0,t) = U₀ cos (ω t), montrer que la puissance électrique moyenne Pₘ(z) transportée par la ligne décroît lors…

Proposer un schéma modifié de l'élément de longueur dz de câble. Établir la nouvelle équation de propagation de l'onde de tension ; définir et exprimer la longueur caractéristique d'atténuation de…

L'introduction de cette dérivation « pirate » est-elle détectable par une mesure de ρ ou bien par celle de l'atténuation du signal incident au niveau du détecteur D ?

Il existe une première catégorie de solutions avec ω > ω_p, soit ε > 0. Les composantes du vecteur d'onde sont alors réelles dans le vide comme dans le métal. Par ailleurs, nous avons supposé que le…

Compléter cette figure en traçant l'évolution de la composante du champ électrique selon l'axe (Oz) en fonction de z sur les graphiques en dessous des cellules TESLA. Indiquer ensuite à l'aide d'un…

Détailler l'expression du vecteur OM pour un point de l'interface air-eau. Montrer que la présence de cette frontière se traduit par la relation -2 q_i h(x)e k_i x + r₁ e k_r x = 0 .

En vous aidant de l'expérience décrite ci-dessus et en expliquant la démarche suivie, évaluer la fréquence des micro-ondes. Commenter.

Déterminer la durée moyenne des coupures lorsque le téléphone mobile est porté par un piéton qui se déplace à la vitesse de 3 km⁻¹ suivant l'axe des z croissants, puis lorsque le téléphone est porté…

Déterminer numériquement la valeur minimale à donner à Δ f pour obtenir une puissance supérieure à P_seuil.

Déterminer la valeur du triplet (m, n, ℓ). La fréquence du mode propre observée est-elle en accord avec la valeur donnée pour le klystron ? Justifier précisément l'aspect de la figure 8b en…

Décrire en quelques lignes et en donnant des ordres de grandeur une méthode envisageable pour mesurer le rayon de la cavité à partir d'ondes électromagnétiques.

Pourquoi n'y a-t-il pas d'onde réfléchie dans les câbles situés en z > 0 ? Montrer qu'il en existe une dans le câble situé en z < 0 et déterminer son amplitude.

En utilisant le modèle corpusculaire de la lumière, proposer une expression de la force qui s’exerce sur la voile en fonction, entre autres paramètres, de la puissance électromagnétique moyenne…