Corrigé détaillé Mines Physique 2 MPI 2025

Les deux couples rédox mis en jeu aux électrodes sont :

• \mathrm{PbO_2 / Pb^{2+}} de potentiel standard E_1^\circ = 1{,}69\text{ V} ;
• \mathrm{Pb^{2+} / Pb} de potentiel standard E_2^\circ = -0{,}13\text{ V}.

Comme E_1^\circ > E_2^\circ, l'électrode constituée de peroxyde de plomb \mathrm{PbO_2} présente un potentiel plus élevé que celle de plomb métallique \mathrm{Pb}.

Lors d'un fonctionnement spontané (décharge du générateur) :

• À l'électrode positive (cathode), il se produit la réduction du peroxyde de plomb, l'oxydant le plus fort :

  \boxed{\mathrm{PbO_2(s)} + 4\,\mathrm{H^+(aq)} + 2\,\mathrm{e^-} = \mathrm{Pb^{2+}(aq)} + 2\,\mathrm{H_2O(\ell)}}

• À l'électrode négative (anode), il se produit l'oxydation du plomb métallique, le réducteur le plus fort :

  \boxed{\mathrm{Pb(s)} = \mathrm{Pb^{2+}(aq)} + 2\,\mathrm{e^-}}

D'après la question précédente, les couples intervenant aux deux électrodes sont \mathrm{PbO_2/Pb^{2+}} (pôle positif) et \mathrm{Pb^{2+}/Pb} (pôle négatif). Les activités des phases condensées pures (\mathrm{PbO_2(s)}, \mathrm{Pb(s)} et \mathrm{H_2O(\ell)}) étant égales à l'unité, les potentiels d'électrode donnés par la formule de Nernst à 25^\circ\text{C} s'écrivent :

La force électromotrice à vide de l'accumulateur est E = E_+ - E_-, soit :

En utilisant la constante de Nernst fournie \frac{RT}{\mathcal{F}}\ln 10 \simeq 0{,}06\text{ V} :

En fonction du \mathrm{pH} = -\log([\mathrm{H}^+]/C^\circ), cette relation prend la forme :

Avec c' = [\mathrm{Pb}^{2+}] = 1{,}0\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} = C^\circ, le terme logarithmique en [\mathrm{Pb}^{2+}] s'annule :

Pour obtenir E = 1{,}9\text{ V}, on résout :

Commentaire : La valeur du \mathrm{pH} obtenue est strictement négative, ce qui correspond à une concentration en ions \mathrm{H}^+ supérieure à 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

(d'après la donnée 10^{2/3} = 4{,}6). Cela traduit la nécessité d'un milieu extrêmement acide (acide sulfurique très concentré) pour que l'accumulateur au plomb délivre une tension nominale élevée proche de 2\text{ V}.

1. Nombre d'accumulateurs et schéma d'association

D'après le préambule de la question, la force électromotrice d'un élément d'accumulateur au plomb vaut E \simeq 2{,}0\text{ V}. Pour obtenir une force électromotrice totale E_t = 12\text{ V}, il faut associer N accumulateurs en série, de telle sorte que les tensions s'ajoutent :

L'association en série est représentée ci-dessous :

2. Capacité de chacun des accumulateurs

Les accumulateurs étant montés en série, le courant électrique I(t) qui traverse la batterie traverse intégralement chacun des 6 éléments. Par conséquent, la charge électrique Q ayant traversé chaque accumulateur au cours de la décharge totale est rigoureusement identique à la capacité Q_t de la batterie :

3. Quantités de matière totales de \mathrm{Pb} et \mathrm{PbO_2}

D'après les demi-équations écrites à la question 1 :

Pour chaque élément, la consommation d'une mole de \mathrm{Pb} ou d'une mole de \mathrm{PbO_2} met en jeu le transfert d'une quantité d'électrons n_{1,\mathrm{e}^-} = 2\text{ mol}. La quantité d'électrons circulant dans un accumulateur débitant une charge Q est :

Ainsi, dans un accumulateur donné, les quantités de matière consommées de \mathrm{Pb} et de \mathrm{PbO_2} sont égales à :

La batterie complète contenant N = 6 accumulateurs indépendants, la quantité de matière totale contenue dans l'ensemble des grilles est :

Application numérique :

La densité de la solution par rapport à l'eau pure est modélisée par une loi affine en fonction de la concentration c :

1. Détermination de a et b :

• Pour de l'eau pure (c = 0), la masse volumique est \rho_{\mathrm{sol}} = \rho_0, d'où la densité d(0) = 1{,}0. On en déduit :

  a = 1{,}0

• Pour l'acide sulfurique pur liquide de masse volumique \rho = 1{,}8\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1}, la densité vaut :

  d_{\mathrm{pur}} = \frac{\rho}{\rho_0} = \frac{1{,}8}{1{,}0} = 1{,}8

  La concentration molaire correspondante est :

  c_{\mathrm{pur}} = \frac{\rho}{\mathcal{M}} = \frac{1{,}8 \cdot 10^3\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}}{98\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}} \simeq 18{,}4\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}

  En appliquant la relation affine à cet état pur, il vient :

  d_{\mathrm{pur}} = a + b \cdot c_{\mathrm{pur}} \implies b = \frac{\frac{\rho}{\rho_0} - 1}{\frac{\rho}{\mathcal{M}}} = \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0 \rho}\,\mathcal{M}

Application numérique avec deux chiffres significatifs :

2. Détermination de c pour une densité d = 1{,}3 :

Application numérique :

3. Commentaire :

• L'électrolyte est une solution d'acide sulfurique particulièrement concentrée (environ 7\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, soit plus de 35\,\% en masse), ce qui en fait un liquide très corrosif et dangereux à manipuler.
• Cette forte concentration permet d'obtenir un milieu très acide ([\mathrm{H}^+] \sim 7\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}, soit un \mathrm{pH} < 0), ce qui est parfaitement cohérent avec l'exigence de la question Q2 ([\mathrm{H}^+] \simeq 4{,}6\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) pour assurer une force électromotrice de l'ordre de 2\text{ V} par élément.
• Une concentration ionique aussi élevée confère également à l'électrolyte une excellente conductivité électrique, minimisant la résistance interne de la batterie et permettant ainsi de délivrer les courants intenses (plusieurs centaines d'ampères) requis par le démarreur du véhicule.

1. Expressions des constantes d'acidité

L'acide sulfurique \mathrm{H_2SO_4} est un diacide dont les réactions de transfert de proton avec l'eau s'écrivent :

En adoptant la convention de l'énoncé où l'ion oxonium est noté indifféremment \mathrm{H^+} ou \mathrm{H_3O^+}, et avec la concentration de référence C^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

2. Identification des courbes et graduations des axes

• Axe vertical : il porte les fractions molaires relatives x_i. Par définition, pour toute valeur de \mathrm{pH}, x_1 + x_2 + x_3 = 1 et 0 \leqslant x_i \leqslant 1. L'axe vertical est donc gradué de 0 à 1 (ou 100\,\%) avec une valeur médiane remarquable à 0{,}5.

• Identification des espèces :

  • À \mathrm{pH} très faible, le milieu est fortement acide : la forme totalement protonée \mathrm{H_2SO_4} prédomine (x_1 \to 1). La courbe décroissante correspond à x_1 (\mathrm{H_2SO_4}).
  • À \mathrm{pH} élevé, la forme totalement déprotonée \mathrm{SO_4^{2-}} prédomine (x_3 \to 1). La courbe croissante correspond à x_3 (\mathrm{SO_4^{2-}}).
  • L'ampholyte \mathrm{HSO_4^-} prédomine aux \mathrm{pH} intermédiaires. La courbe en cloche correspond à x_2 (\mathrm{HSO_4^-}).

• Axe horizontal (\mathrm{pH}) :

  • Lorsque [\mathrm{H_2SO_4}] = [\mathrm{HSO_4^-}] (c'est-à-dire x_1 = x_2), l'espèce \mathrm{SO_4^{2-}} est ultra-minoritaire car \mathrm{p}K_{\text{a}_2} - \mathrm{p}K_{\text{a}_1} = 4{,}9 \gg 1. On a alors x_1 = x_2 \simeq 0{,}5, ce qui donne immédiatement :

    \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{\text{a}_1} = -3{,}0

  • De même, lorsque [\mathrm{HSO_4^-}] = [\mathrm{SO_4^{2-}}] (soit x_2 = x_3 \simeq 0{,}5, \mathrm{H_2SO_4} étant ultra-minoritaire) :

    \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{\text{a}_2} = 1{,}9

  • Le maximum de prédominance de l'ampholyte \mathrm{HSO_4^-} est atteint pour :

    \mathrm{pH}_{\max} = \frac{\mathrm{p}K_{\text{a}_1} + \mathrm{p}K_{\text{a}_2}}{2} = \frac{-3{,}0 + 1{,}9}{2} = -0{,}55

    En ce point, x_2 = \frac{1}{1 + 2\cdot 10^{-\frac{\mathrm{p}K_{\text{a}_2}-\mathrm{p}K_{\text{a}_1}}{2}}} \simeq 1 - 2\cdot 10^{-2{,}45} \simeq 0{,}993 \simeq 1.

La concentration massique c_m est reliée à la concentration molaire c par :

où \mathcal{M} = 98\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} est la masse molaire de \mathrm{H_2SO_4}.

Approche par la mesure de densité (pèse-acide) : D'après la question Q4, pour une batterie en bon état de densité d = 1{,}3, la relation d = a + b \cdot c fournit :

La concentration massique correspondante vaut :

Approche électrochimique (f.é.m. et diagramme de prédominance) : À la question Q2, l'obtention d'une force électromotrice E = 1{,}9\text{ V} imposait \mathrm{pH} \simeq -0{,}67, soit [\mathrm{H^+}] = 10^{2/3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \simeq 4{,}6\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

D'après le diagramme de prédominance établi à la question Q5, à ce \mathrm{pH} (très supérieur à \mathrm{p}K_{\mathrm{a}_1} = -3{,}0 et nettement inférieur à \mathrm{p}K_{\mathrm{a}_2} = 1{,}9), l'espèce \mathrm{HSO_4^-} prédomine très largement (x_2 \simeq 1, x_1 \simeq 0, x_3 \simeq 0). La première acidité est donc totalement dissociée et la seconde quasi-inexistante :

On en déduit par cette approche :

(ou, selon l'approche électrochimique : c \simeq 4{,}6\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} et c_m \simeq 4{,}5 \cdot 10^2\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}).

Commentaires :

• Cohérence des deux approches : Les deux valeurs de c (4{,}6 et 6{,}8\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}) sont du même ordre de grandeur. L'écart s'explique par la formation du précipité \mathrm{PbSO_4} (qui augmente la f.é.m. réelle à 2{,}0\text{ V}), par la non-idéalité de solutions aussi concentrées (coefficients d'activité très différents de 1) et par l'approximation linéaire de la densité.

• Fraction massique : Avec une masse volumique de solution \rho_{\mathrm{sol}} = d \rho_0 = 1{,}3\text{ kg}\cdot\text{L}^{-1} = 1\,300\text{ g}\cdot\text{L}^{-1}, la fraction massique en acide sulfurique vaut :

  w = \frac{c_m}{\rho_{\mathrm{sol}}} \simeq \frac{670}{1300} \simeq 52\% \quad (\text{ou } \sim 35\% \text{ avec l'approche f.é.m.})

  L'électrolyte est donc extrêmement concentré et agressif, ce qui impose l'usage de bacs étanches et scellés.

D'après les définitions des constantes d'acidité établies à la question Q5, en posant h = [\mathrm{H}^+]/C^\circ = 10^{-\mathrm{pH}} :

La conservation des espèces soufrées impose :

En réduisant au même dénominateur D = h^2 + K_{\text{a}_1} h + K_{\text{a}_1}K_{\text{a}_2}, on obtient :

On propose le script Python suivant implémentant la fonction demandée :

def Pred(pH):
    pKa1 = -3.0
    pKa2 = 1.9
    Ka1 = 10**(-pKa1)  # soit 10**3.0 = 1000
    Ka2 = 10**(-pKa2)
    h = 10**(-pH)

    D = h**2 + Ka1 * h + Ka1 * Ka2
    x1 = h**2 / D
    x2 = (Ka1 * h) / D
    x3 = (Ka1 * Ka2) / D

    return (x1, x2, x3)

1. Définition du rendement d'un moteur ditherme

Considérons le fluide décrivant un cycle de fonctionnement au contact de deux sources thermiques aux températures T_{\mathrm{f}} et T_{\mathrm{c}} (avec T_{\mathrm{c}} > T_{\mathrm{f}}). Au cours d'un cycle, le fluide échange :

• un travail W avec le milieu extérieur (W < 0 pour un moteur, le travail cédé étant -W > 0) ;
• un transfert thermique Q_{\mathrm{c}} avec la source chaude (Q_{\mathrm{c}} > 0) ;
• un transfert thermique Q_{\mathrm{f}} avec la source froide (Q_{\mathrm{f}} < 0).

Le rendement \eta est défini par le rapport entre l'énergie utile obtenue et l'énergie fournie au fluide par la source chaude :

2. Énoncé du théorème de Carnot

Le rendement \eta de tout moteur thermique ditherme fonctionnant entre deux thermostats aux températures T_{\mathrm{f}} et T_{\mathrm{c}} est majoré par le rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}}, qui ne dépend que des températures des deux sources et non du fluide utilisé :

L'égalité est atteinte si et seulement si l'ensemble des transformations du cycle sont réversibles.

3. Démonstration

Appliquons le premier et le second principe de la thermodynamique au fluide fermé sur un cycle complet :

• L'énergie interne U étant une fonction d'état, \Delta U_{\mathrm{cycle}} = 0 :

  W + Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} = 0 \implies -W = Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}}

• L'entropie S étant une fonction d'état, \Delta S_{\mathrm{cycle}} = 0 :

  \Delta S_{\mathrm{cycle}} = S_{\text{éch}} + S_{\mathrm{cr}} = 0

où S_{\mathrm{cr}} \ge 0 désigne l'entropie créée par irréversibilités (avec S_{\mathrm{cr}} = 0 dans le cas réversible) et S_{\text{éch}} est l'entropie échangée avec les deux thermostats :

D'après le second principe (S_{\mathrm{cr}} \ge 0), on en déduit l'inégalité de Clausius :

Comme T_{\mathrm{f}} > 0, il vient :

En injectant cette relation dans l'expression du travail utile :

Le système fonctionnant en moteur, la chaleur reçue de la source chaude est strictement positive (Q_{\mathrm{c}} > 0). En divisant par Q_{\mathrm{c}}, on obtient :

L'égalité est vérifiée si et seulement si S_{\mathrm{cr}} = 0, c'est-à-dire si le cycle est entièrement réversible.

1. Rendement réel du moteur :

Pour parcourir la distance d = 100\text{ km} à la vitesse constante v = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la durée de fonctionnement est :

Pendant cette durée, le travail mécanique fourni par le moteur vaut :

et l'énergie thermique libérée par la combustion du volume q d'essence consommé est :

Le rendement réel du moteur s'exprime donc par :

Application numérique avec \mathcal{P} = 18\cdot 10^3\text{ W}, \Delta t = 3\,600\text{ s}, q = 5{,}4\text{ L} et W_v = 3{,}6\cdot 10^7\text{ J}\cdot\text{L}^{-1} :

2. Inégalité sur T_{\mathrm{c}} déduite du théorème de Carnot :

D'après le théorème de Carnot établi à la question précédente (Q8), tout moteur ditherme opérant entre les températures T_{\mathrm{f}} et T_{\mathrm{c}} satisfait à :

Comme 1 - \eta_r > 0, on en déduit immédiatement :

Avec T_{\mathrm{f}} = 27^\circ\text{C} = 300\text{ K} et \eta_r = \frac{1}{3}, la valeur minimale est :

3. Vérification en pratique :

La température maximale des gaz dans le moteur est T_{\mathrm{c}} \simeq 2\,000\text{ K}, ce qui est très supérieur à la limite thermodynamique minimale :

L'inégalité de Carnot est donc très largement vérifiée en pratique.

Dans le cadre du modèle du gaz parfait (à quantité de matière n fixée) :

• d'après la première loi de Joule, l'énergie interne ne dépend que de la température : U = U(T) ;
• d'après la deuxième loi de Joule, l'enthalpie ne dépend également que de la température : H = H(T).

Pour une quantité de matière variable, U et H sont proportionnelles à n et ne dépendent donc que du couple de paramètres (T, n).

Par définition de l'enthalpie et grâce à l'équation d'état du gaz parfait PV = nRT, on a :

Comme U et H ne dépendent que de la température, les capacités thermiques s'expriment par des dérivées totales :

En dérivant la relation précédente par rapport à T, on obtient la relation de Mayer :

En utilisant la définition du rapport adiabatique \gamma = \dfrac{C_P}{C_V}, il vient :

On en déduit les expressions de C_V et C_P :

où R est la constante fondamentale molaire des gaz parfaits.

Une évolution isentropique d'un gaz parfait fermé de quantité de matière n vérifie par définition :

D'après l'équation (1) admise dans l'énoncé, cette condition d'entropie constante se traduit par :

En divisant par R/(\gamma - 1), on obtient :

Le système étant fermé et le gaz étant parfait, l'équation d'état PV = nRT donne :

En injectant ce rapport dans l'égalité précédente, il vient :

En prenant l'exponentielle, on en déduit la relation de Laplace :

Les évolutions AB et CD sont adiabatiques (\delta Q = 0) et réversibles. D'après le second principe de la thermodynamique :

Ces deux transformations sont donc isentropiques. D'après la relation de Laplace obtenue à la question Q11 pour un gaz parfait évoluant de manière isentropique :

En prenant le logarithme népérien de cette expression, il vient :

Dans le diagramme de Clapeyron en échelle doublement logarithmique de la figure 3, où l'abscisse est x = \ln V et l'ordonnée y = \ln P, cette relation s'écrit :

Il s'agit de l'équation d'une droite de pente :

Comme \gamma > 1 (pour l'air diatomique, \gamma = 1{,}4), la pente est strictement négative :

Les deux transformations AB et CD possédant la même pente p_{\text{rv}} = -\gamma mais des constantes d'intégration différentes (P_A V_A^\gamma \neq P_C V_C^\gamma), elles sont représentées par deux droites parallèles.

Pour un gaz parfait (PV = nRT), en passant au logarithme népérien :

Dans le diagramme (\ln V, \ln P), les isothermes (T = \text{cste}) sont donc des droites de pente :

Comme \gamma = 1{,}4 > 1, la pente des isentropiques vaut p_{\mathrm{rv}} = -\gamma = -1{,}4 < -1 (d'après la question Q12). Les droites isentropiques sont donc plus pentues que les droites isothermes.

Identifions les températures aux quatre sommets :

• Lors de la compression isentropique AB, le gaz s'échauffe : T_B = T_A \alpha^{\gamma-1} > T_A.
• La combustion isochore BC libère de la chaleur, donc augmente la pression et la température : T_C > T_B.
• Lors de la détente isentropique CD, le gaz se refroidit : T_D = T_C \alpha^{1-\gamma} < T_C.
• L'échappement/refroidissement isochore DA s'accompagne d'une chute de pression à volume V_2 constant : T_D > T_A.

Ainsi, la température minimale du cycle est atteinte au point A et la température maximale au point C :

L'isotherme à T_{\text{f}} passe par le point A et celle à T_{\text{c}} passe par le point C.

Le système thermodynamique fermé est la quantité d'air n contenue dans les cylindres, assimilée à un gaz parfait de capacité thermique isochore C_V constante (d'après la question Q10).

1. Transferts thermiques sur chaque phase

• Phases adiabatiques AB et CD : par définition d'une transformation adiabatique,

  Q_{AB} = 0 \quad \text{et} \quad Q_{CD} = 0

• Phases isochores BC et DA : le volume étant constant (V_B = V_C = V_1 et V_D = V_A = V_2), le travail des forces de pression est nul (W = -\int P\,\mathrm{d}V = 0). Le premier principe donne alors \Delta U = Q. La première loi de Joule s'écrit \Delta U = C_V \Delta T, d'où :

  \begin{aligned} Q_{BC} &= C_V(T_C - T_B) \\ Q_{DA} &= C_V(T_A - T_D) \end{aligned}

2. Rendement \eta_{\text{rv}} en fonction des températures Sur le cycle complet, la variation d'énergie interne est nulle : \Delta U_{\text{cycle}} = W + Q_{BC} + Q_{DA} = 0, soit un travail total fourni au milieu extérieur :

Le transfert thermique reçu de la source chaude correspond à la combustion BC (T_C > T_B \implies Q_{BC} > 0), tandis que DA est un refroidissement où de la chaleur est cédée à l'extérieur (T_A < T_D \implies Q_{DA} < 0). Le rendement s'écrit donc :

D'où l'expression en fonction des températures :

3. Expression en fonction du taux de compression \alpha Les transformations AB et CD sont adiabatiques et réversibles pour un gaz parfait à \gamma constant. D'après la loi de Laplace établie à la question Q11 :

En appliquant cette relation le long des deux adiabatiques avec V_A = V_D = V_2 et V_B = V_C = V_1, où V_2 = \alpha V_1 :

On en déduit la différence :

En reportant dans l'expression du rendement :

D'après la question Q14, le rendement théorique du cycle de Beau de Rochas s'écrit :

Avec \alpha = 9 et \gamma = 1{,}4, l'exposant vaut 1 - \gamma = -0{,}4 = -\frac{2}{5}, soit :

En utilisant la donnée numérique de l'énoncé 9^{2/5} = 2{,}4, on obtient :

D'après l'expression de l'entropie molaire donnée à la question Q11 :

Pour n moles de gaz parfait vérifiant P V = n R T, on a \frac{T}{T_0} = \frac{P V}{P_0 V_0}. L'entropie globale S = n s_m s'écrit donc en fonction des variables d'état (P, V) :

Pour une transformation reliant un état initial i à un état final f, la variation d'entropie vaut :

D'après le second principe de la thermodynamique appliqué au système fermé constitué par le gaz, pour une transformation adiabatique (Q = 0 \implies S_e = 0) mais irréversible :

Comme \frac{n R}{\gamma - 1} > 0, l'inégalité se traduit par :

Par hypothèse de l'énoncé, la transformation est modélisée par une droite de pente p' dans le diagramme doublement logarithmique (\ln V, \ln P), ce qui implique :

En injectant cette relation dans l'inégalité précédente et en rappelant que p_{\mathrm{rv}} = -\gamma (question Q12) :

Appliquons ce résultat aux deux phases adiabatiques irréversibles :

• Compression adiabatique AB' : le volume diminue de V_2 à V_1 = V_2/\alpha, donc :

  \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right) = -\ln\alpha < 0

  L'inégalité impose par division par une quantité négative :

  p'_{\text{comp}} - p_{\mathrm{rv}} < 0 \implies p'_{\text{comp}} < p_{\mathrm{rv}}

• Détente adiabatique C'D' : le volume augmente de V_1 à V_2 = \alpha V_1, donc :

  \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln\alpha > 0

  L'inégalité impose par division par une quantité positive :

  p'_{\text{det}} - p_{\mathrm{rv}} > 0 \implies p'_{\text{det}} > p_{\mathrm{rv}}

En regroupant ces deux encadrements, on obtient bien :

Dans le vide, en l'absence de charges (\rho = 0) et de courants (\vec{\jmath} = \vec{0}), les équations de Maxwell s'écrivent :

en posant c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant l'identité vectorielle fournie :

Par ailleurs, en permutant les dérivées spatiales et temporelles grâce au théorème de Schwarz :

On en déduit l'équation de propagation de d'Alembert dans le vide :

L'onde incidente se propage selon l'axe (Oz) sous la forme :

Pour cette onde plane, \Delta\vec{E}_{\text{inc}} = \frac{\partial^2 \vec{E}_{\text{inc}}}{\partial z^2} = (-\mathrm{i}k)^2\vec{E}_{\text{inc}} = -k^2\vec{E}_{\text{inc}}, et \frac{\partial^2 \vec{E}_{\text{inc}}}{\partial t^2} = (\mathrm{i}\omega)^2\vec{E}_{\text{inc}} = -\omega^2\vec{E}_{\text{inc}}. En substituant dans l'équation de propagation :

Comme cette relation est vérifiée en tout point et à tout instant, avec E_0 \neq 0, et pour une onde se propageant dans le sens des z croissants (k > 0, \omega > 0), on obtient la relation de dispersion :

Par définition de la pulsation et du vecteur d'onde dans le vide, \omega = 2\pi f et k = \frac{2\pi}{\lambda_0}. Il vient immédiatement :

soit :

1. Dimension de \gamma_0 et interprétation de \tau

D'après la loi de conduction donnée en régime stationnaire, \vec{j} = \gamma_0 \vec{E}, de sorte que :

Or, la densité volumique de courant a pour dimension [j] = \mathrm{I \cdot L^{-2}}.

Le champ électrique dérive d'une force par la relation \vec{F} = q\vec{E}, donc :

On en déduit la dimension de la conductivité électrique \gamma_0 :

La constante \tau a la dimension d'un temps (\tau \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} est homogène à \vec{j}). Dans le cadre du modèle de Drude de la conduction métallique, \tau représente le temps de relaxation des électrons de conduction, c'est-à-dire la durée moyenne entre deux collisions successives d'un électron avec le réseau cristallin (ions du réseau et défauts).

2. Relation de dispersion dans le métal

En représentation complexe, avec la convention \exp[\mathrm{i}(\omega t - \bar{k} z)], la dérivation temporelle se traduit par \frac{\partial}{\partial t} \to \mathrm{i}\omega.

La relation de conduction s'écrit alors :

Écrivons les équations de Maxwell dans le métal, où la densité volumique de charge macroscopique est nulle (\rho = 0) :

où l'on a utilisé la relation c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}.

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en appliquant l'identité vectorielle fournie :

Par ailleurs :

D'où l'équation de propagation satisfaite par le champ électrique :

Pour l'onde plane progressive monochromatique transmise \vec{E}_{\mathrm{tr}} = \vec{\underline{E}}_0 \exp[\mathrm{i}(\omega t - \bar{k} z)], les opérateurs différentiels s'expriment par :

L'équation de propagation devient alors :

On en déduit la relation de dispersion cherchée :

D'après l'équation (2) de l'énoncé, l'onde transmise dans le métal (z > z_S) s'écrit :

En injectant l'expression proposée \bar{k} = \dfrac{2\pi}{\lambda} - \dfrac{\mathrm{i}}{\delta}, l'exposant se développe selon :

Le champ électrique s'écrit donc sous la forme d'une onde plane progressive amortie :

On en déduit l'interprétation physique des deux paramètres :

• Longueur d'onde dans le métal \lambda : c'est la période spatiale de l'onde dans le milieu conducteur, c'est-à-dire la distance minimale selon z séparant deux points où le champ vibre en phase à un instant donné. La vitesse de phase associée est v_\varphi = \dfrac{\omega}{\mathrm{Re}(\bar{k})} = \dfrac{\omega\lambda}{2\pi} = \lambda f.
• Épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration) \delta : c'est la distance d'atténuation caractéristique sur laquelle l'amplitude de l'onde électromagnétique est divisée par \mathrm{e} \simeq 2{,}72 (soit une diminution d'environ 63\,\% de son amplitude initiale). Elle caractérise l'effet de peau et le confinement spatial du champ électromagnétique au voisinage de la surface du conducteur.

D'après la question Q18, la relation de dispersion dans le métal s'écrit :

Deux pulsations caractéristiques apparaissent naturellement :

• La pulsation de coupure collisionnelle :

  \omega_1 = \frac{1}{\tau} \quad \implies \quad f_1 = \frac{1}{2\pi\tau} \simeq \frac{1}{2\pi \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-14}} \simeq 1{,}6 \cdot 10^{13}\text{ Hz} = 1{,}6 \cdot 10^7\text{ MHz}

• La pulsation plasma du conducteur :

  \omega_p = \sqrt{\frac{\mu_0\gamma_0 c^2}{\tau}} \quad \implies \quad f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1{,}3\cdot 10^{-6} \times 1{,}4\cdot 10^7 \times (3{,}0\cdot 10^8)^2}{1{,}0\cdot 10^{-14}}} \simeq 2{,}0 \cdot 10^9\text{ MHz}

Comme \omega_p\tau = \sqrt{\mu_0\gamma_0 c^2\tau} \simeq 1{,}3\cdot 10^2 \gg 1, on a la hiérarchie \omega_1 \ll \omega_p. On distingue alors trois régimes de fréquence sur la figure 5 :

1. Régime des basses fréquences (effet de peau classique) :

Numériquement, cela correspond à f \ll 10^7\text{ MHz}. Dans ce cas, 1+\mathrm{i}\omega\tau \simeq 1. De plus, \frac{\omega^2}{c^2} \ll \mu_0\gamma_0\omega (le courant de déplacement est totalement négligeable devant le courant de conduction). La relation de dispersion se réduit à :

On en déduit :

En échelle logarithmique, les deux courbes sont des droites parallèles de pente -1/2.

2. Régime des fréquences intermédiaires (régime de relaxation / plasma sous-critique) :

Numériquement, cela correspond à 10^7\text{ MHz} \ll f \ll 2\cdot 10^9\text{ MHz}. On a \omega\tau \gg 1, donc 1+\mathrm{i}\omega\tau \simeq \mathrm{i}\omega\tau, et la relation de dispersion devient :

Comme \omega \ll \omega_p, on a \bar{k}^2 \simeq -\frac{\mu_0\gamma_0}{\tau} < 0. Le vecteur d'onde est imaginaire pur :

L'épaisseur de peau \delta atteint un palier indépendant de la fréquence, visible au minimum de la courbe sur la figure 5.

3. Régime des hautes fréquences (transparence optique / plasma sur-critique) :

Numériquement, cela correspond à f \gg 2\cdot 10^9\text{ MHz}. On a \omega \gg \omega_p (et a fortiori \omega\tau \gg 1), d'où :

Le métal se comporte comme un diélectrique transparent non dissipatif :

L'épaisseur d'atténuation \delta diverge à la fréquence plasma f_p (asymptote verticale visible sur la figure 5) et l'onde se propage librement.

Pour f = 25\text{ GHz} = 2{,}5\cdot 10^{10}\text{ Hz}, la pulsation vaut \omega = 2\pi f \simeq 1{,}6\cdot 10^{11}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. On évalue :

et avec \mu_0 \gamma_0 = 1{,}3\cdot 10^{-6} \times 1{,}4\cdot 10^7 = 18{,}2\text{ s}\cdot\text{m}^{-2} :

Le terme d'onde libre \omega^2/c^2 ainsi que \omega\tau sont donc entièrement négligeables dans la relation de dispersion établie à la question Q18, qui se réduit au régime d'effet de peau classique (BF) :

Puisque \mathrm{Re}(\bar{k}) > 0, il vient immédiatement :

Par identification avec \bar{k} = \frac{2\pi}{\lambda} - \frac{\mathrm{i}}{\delta} (question Q19), on obtient :

En échelle logarithmique décimale, avec \omega = 2\pi f :

Les deux courbes sont donc deux droites parallèles de pente -\frac{1}{2} (décroissance d'une demi-décade par décade de fréquence).

Le décalage vertical constant entre la courbe de \lambda et celle de \delta est :

Calculons la valeur de l'épaisseur de peau pour f = 25\text{ GHz} :

• Modèle du métal parfait : Au sens strict, l'acier n'est pas un métal parfait car sa conductivité statique \gamma_0 est finie et l'épaisseur de peau \delta est non nulle. Cependant, comparée à l'épaisseur typique de la tôle d'une carrosserie automobile (e \sim 1\text{ mm}), l'épaisseur de peau vérifie :

  \frac{\delta}{e} \sim \frac{0{,}84\cdot 10^{-6}}{10^{-3}} \sim 10^{-3} \ll 1

  À l'échelle macroscopique, on peut donc assimiler l'acier à un conducteur parfait (les courants sont confinés sur une épaisseur négligeable devant les dimensions du véhicule).

• Opacité : L'amplitude de l'onde transmise s'atténue en \mathrm{e}^{-z/\delta}. Après la traversée de la tôle d'épaisseur e \sim 1\text{ mm}, l'atténuation vaut :

  \mathrm{e}^{-e/\delta} \sim \mathrm{e}^{-10^{-3} / 0{,}84\cdot 10^{-6}} \sim \mathrm{e}^{-1200} \approx 0

  L'acier est donc totalement opaque aux ondes radar.

Le plan de la surface métallique fixe est situé en z_S = 0. On définit :

• le milieu I (z < 0) : le vide, où règne le champ total \vec{E}_{\mathrm{I}} = \vec{E}_{\mathrm{inc}} + \vec{E}_{\mathrm{ref}} ;
• le milieu II (z > 0) : le métal, où l'on admet l'absence totale d'onde transmise, soit \vec{E}_{\mathrm{II}} = \vec{0} ;
• le vecteur unitaire normal orienté de I vers II : \vec{n}_{\mathrm{I}\to\mathrm{II}} = \vec{e}_z.

1. Absence de charge surfacique sur le métal :

La relation de passage pour le champ électrique s'écrit à la frontière z = 0 :

En projetant cette relation sur la normale \vec{e}_z, on a :

Or :

• \vec{E}_{\mathrm{II}} = \vec{0}, donc \vec{E}_{\mathrm{II}}\cdot \vec{e}_z = 0 ;
• les ondes incidente et réfléchie sont polarisées rectilignement selon \vec{e}_x, de sorte que \vec{E}_{\mathrm{I}}\cdot \vec{e}_z = 0 (l'onde est purement transverse).

On en déduit immédiatement :

Il n'y a donc aucune accumulation de charge surfacique sur la face d'entrée du métal.

2. Champ électrique de l'onde réfléchie :

L'onde réfléchie se propage dans le vide selon les z décroissants, avec la même pulsation \omega, le même vecteur d'onde de norme k = \omega/c (d'après la relation de dispersion établie en Q17) et la même polarisation selon \vec{e}_x. Sa représentation complexe s'écrit sous la forme générale :

La composante tangentielle du champ électrique (ici la composante selon \vec{e}_x) est continue en z = 0 car \sigma(t)\vec{e}_z est purement normale :

Soit, en notation complexe :

On obtient ainsi l'expression complexe complète du champ électrique réfléchi :

En grandeur réelle, le champ s'écrit :

Les ondes incidente et réfléchie se propagent toutes deux dans le vide (z < z_S). D'après la relation de dispersion établie à la question Q17, leurs pulsations et nombres d'onde vérifient :

D'après les relations de passage (3) données par l'énoncé, le saut du champ électrique à la traversée de la surface S séparant le vide (milieu I) du métal (milieu II) s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation du modèle sans onde transmise (\vec{E}_{\mathrm{II}} = \vec{0}), la composante tangentielle du champ électrique total dans le vide doit donc s'annuler sur la surface réfléchissante z_S(t) = -vt :

En projetant sur \vec{e}_x, cette condition s'écrit pour tout instant t :

Cette relation doit être satisfaite à tout instant t :

• Pour t = 0, elle impose directement :

  \boxed{E'_0 = -E_0}

• L'égalité des arguments temporels impose l'égalité des pulsations apparentes à l'interface :

  \omega + kv = \omega' - k'v

En substituant k = \omega/c et k' = \omega'/c, il vient :

D'où l'expression de la pulsation de l'onde réfléchie :

Dans le vide (z < z_S), l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe \vec{B} = \frac{\vec{k}}{\omega} \wedge \vec{E} pour une onde plane progressive monochromatique :

• Pour l'onde incidente de vecteur d'onde \vec{k}_{\mathrm{inc}} = k\vec{e}_z = \frac{\omega}{c}\vec{e}_z :

  \vec{B}_{\mathrm{inc}}(z,t) = \frac{k}{\omega}\vec{e}_z \wedge \left(E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - kz)}\vec{e}_x\right) = \frac{E_0}{c}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - kz)}\vec{e}_y

• Pour l'onde réfléchie de vecteur d'onde \vec{k}_{\mathrm{ref}} = -k'\vec{e}_z = -\frac{\omega'}{c}\vec{e}_z et d'amplitude E'_0 = -E_0 (d'après la question Q23) :

  \vec{B}_{\mathrm{ref}}(z,t) = -\frac{k'}{\omega'}\vec{e}_z \wedge \left(-E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega' t + k'z)}\vec{e}_x\right) = \frac{E_0}{c}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega' t + k'z)}\vec{e}_y

Sur la face avant du véhicule, en z = z_S(t) = -vt, les composantes de phase valent :

D'après la relation établie à la question Q23, ces deux phases sont rigoureusement égales à tout instant :

Le champ magnétique total juste devant la surface (dans le milieu I, le vide) vaut donc :

À l'intérieur du métal (milieu II), le champ électromagnétique est nul en modélisation de réflexion parfaite (\vec{B}_{\mathrm{II}} = \vec{0}). La relation de passage s'écrit avec la normale unitaire sortante du vide vers le métal \vec{n}_{\mathrm{I}\to\mathrm{II}} = \vec{e}_z :

Puisque \vec{i}_s est purement tangentiel à l'interface, on a (\vec{i}_s \wedge \vec{e}_z) \wedge \vec{e}_z = -\vec{i}_s. En effectuant le produit vectoriel par \vec{e}_z à droite :

En prenant la partie réelle, on obtient l'expression temporelle du courant surfacique :

Comme E_0 \neq 0, il existe bien des courants surfaciques non nuls circulant le long de l'axe (Ox) sur la face avant du véhicule.

Ces courants surfaciques oscillent à la pulsation :

D'après la question Q23, la pulsation de l'onde réfléchie par le véhicule s'approchant à la vitesse v s'écrit :

Puisque |v| \ll c, effectuons un développement limité au premier ordre en v/c :

L'écart relatif de pulsation est donc, au premier ordre :

Application numérique : prenons une vitesse automobile typique, par exemple v = 108\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = 30\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (ou v = 90\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = 25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) :

Commentaire : l'écart relatif est infime (de l'ordre de deux dixièmes de millionième), ce qui valide rigoureusement l'approximation au premier ordre en v/c. Une mesure directe de la fréquence absolue f' exigerait une précision instrumentale hors d'atteinte ; en revanche, l'écart absolu \Delta f = f' - f = \Delta \cdot f pour f = 25\text{ GHz} vaut :

Cette fréquence appartient au domaine acoustique, où elle est mesurable très facilement et avec une grande précision.

Principe du traitement du signal :

Au point de mesure fixe z = -\ell, le signal émis et le signal reçu s'écrivent :

À la sortie du multiplieur de constante K, le signal obtenu est :

En utilisant la relation trigonométrique de l'énoncé, ce produit se linéarise en :

Le spectre de u(t) comporte donc deux raies :

• une composante à très haute fréquence : f_{\text{somme}} = \frac{\omega' + \omega}{2\pi} \simeq 2f \sim 50\text{ GHz} ;
• une composante basse fréquence (fréquence Doppler) : f_1 = \frac{|\omega' - \omega|}{2\pi} = f' - f \simeq \Delta \cdot f = \frac{2f}{c}\,v.

Pour ne conserver que la composante basse fréquence et éliminer la composante à 50\text{ GHz}, on utilise un filtre passe-bas.

Pour une vitesse maximale contrôlable de l'ordre de v_{\text{max}} \simeq 250\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} \simeq 70\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la fréquence Doppler maximale est :

La fréquence de coupure f_c du filtre passe-bas doit satisfaire la condition :

On choisira typiquement f_c \simeq 50\text{ kHz} à 100\text{ kHz}.

Le signal filtré transmis à l'analyseur de spectre est alors un signal sinusoïdal pur de fréquence fondamentale :

La fréquence f_1 est donc rigoureusement proportionnelle à la vitesse v du véhicule, la constante de proportionnalité 2/\lambda_0 ne dépendant que de la longueur d'onde de l'émetteur radar (\lambda_0 = c/f = 1{,}2\text{ cm}).