Feuille d'entraînement : Machines thermiques

Corrigés

1. Exercice 1Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q8

   1. Définition du rendement d'un moteur ditherme

   Considérons le fluide décrivant un cycle de fonctionnement au contact de deux sources thermiques aux températures T_{\mathrm{f}} et T_{\mathrm{c}} (avec T_{\mathrm{c}} > T_{\mathrm{f}}). Au cours d'un cycle, le fluide échange :

   • un travail W avec le milieu extérieur (W < 0 pour un moteur, le travail cédé étant -W > 0) ;
   • un transfert thermique Q_{\mathrm{c}} avec la source chaude (Q_{\mathrm{c}} > 0) ;
   • un transfert thermique Q_{\mathrm{f}} avec la source froide (Q_{\mathrm{f}} < 0).

   Le rendement \eta est défini par le rapport entre l'énergie utile obtenue et l'énergie fournie au fluide par la source chaude :

   \boxed{\eta = \frac{-W}{Q_{\mathrm{c}}}}

   2. Énoncé du théorème de Carnot

   Le rendement \eta de tout moteur thermique ditherme fonctionnant entre deux thermostats aux températures T_{\mathrm{f}} et T_{\mathrm{c}} est majoré par le rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}}, qui ne dépend que des températures des deux sources et non du fluide utilisé :

   \eta \le \eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}

   L'égalité est atteinte si et seulement si l'ensemble des transformations du cycle sont réversibles.

   3. Démonstration

   Appliquons le premier et le second principe de la thermodynamique au fluide fermé sur un cycle complet :

   • L'énergie interne U étant une fonction d'état, \Delta U_{\mathrm{cycle}} = 0 :

     W + Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} = 0 \implies -W = Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}}

   • L'entropie S étant une fonction d'état, \Delta S_{\mathrm{cycle}} = 0 :

     \Delta S_{\mathrm{cycle}} = S_{\text{éch}} + S_{\mathrm{cr}} = 0

   où S_{\mathrm{cr}} \ge 0 désigne l'entropie créée par irréversibilités (avec S_{\mathrm{cr}} = 0 dans le cas réversible) et S_{\text{éch}} est l'entropie échangée avec les deux thermostats :

   S_{\text{éch}} = \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{f}}}

   D'après le second principe (S_{\mathrm{cr}} \ge 0), on en déduit l'inégalité de Clausius :

   \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{f}}} \le 0 \implies \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{f}}} \le -\frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}}

   Comme T_{\mathrm{f}} > 0, il vient :

   Q_{\mathrm{f}} \le - Q_{\mathrm{c}}\frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}

   En injectant cette relation dans l'expression du travail utile :

   -W = Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} \le Q_{\mathrm{c}}\left(1 - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}\right)

   Le système fonctionnant en moteur, la chaleur reçue de la source chaude est strictement positive (Q_{\mathrm{c}} > 0). En divisant par Q_{\mathrm{c}}, on obtient :

   \boxed{\eta \le 1 - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}}

   L'égalité est vérifiée si et seulement si S_{\mathrm{cr}} = 0, c'est-à-dire si le cycle est entièrement réversible.

   Résultat

   $$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{c}}}$$

   $$\eta \le 1-\frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q14

   Le système thermodynamique fermé est la quantité d'air n contenue dans les cylindres, assimilée à un gaz parfait de capacité thermique isochore C_V constante (d'après la question Q10).

   1. Transferts thermiques sur chaque phase

   • Phases adiabatiques AB et CD : par définition d'une transformation adiabatique,

     Q_{AB} = 0 \quad \text{et} \quad Q_{CD} = 0

   • Phases isochores BC et DA : le volume étant constant (V_B = V_C = V_1 et V_D = V_A = V_2), le travail des forces de pression est nul (W = -\int P\,\mathrm{d}V = 0). Le premier principe donne alors \Delta U = Q. La première loi de Joule s'écrit \Delta U = C_V \Delta T, d'où :

     \begin{aligned} Q_{BC} &= C_V(T_C - T_B) \\ Q_{DA} &= C_V(T_A - T_D) \end{aligned}

   2. Rendement \eta_{\text{rv}} en fonction des températures Sur le cycle complet, la variation d'énergie interne est nulle : \Delta U_{\text{cycle}} = W + Q_{BC} + Q_{DA} = 0, soit un travail total fourni au milieu extérieur :

   -W = Q_{BC} + Q_{DA}

   Le transfert thermique reçu de la source chaude correspond à la combustion BC (T_C > T_B \implies Q_{BC} > 0), tandis que DA est un refroidissement où de la chaleur est cédée à l'extérieur (T_A < T_D \implies Q_{DA} < 0). Le rendement s'écrit donc :

   \eta_{\text{rv}} = \frac{-W}{Q_{BC}} = 1 + \frac{Q_{DA}}{Q_{BC}} = 1 + \frac{C_V(T_A - T_D)}{C_V(T_C - T_B)}

   D'où l'expression en fonction des températures :

   \boxed{\eta_{\text{rv}} = 1 - \frac{T_D - T_A}{T_C - T_B}}

   3. Expression en fonction du taux de compression \alpha Les transformations AB et CD sont adiabatiques et réversibles pour un gaz parfait à \gamma constant. D'après la loi de Laplace établie à la question Q11 :

   P V^\gamma = \text{cste} \quad \text{avec} \quad P = \frac{n R T}{V} \implies T V^{\gamma-1} = \text{cste}

   En appliquant cette relation le long des deux adiabatiques avec V_A = V_D = V_2 et V_B = V_C = V_1, où V_2 = \alpha V_1 :

   \begin{aligned} T_A V_2^{\gamma-1} &= T_B V_1^{\gamma-1} \implies T_B = T_A \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = T_A\,\alpha^{\gamma-1} \\ T_D V_2^{\gamma-1} &= T_C V_1^{\gamma-1} \implies T_C = T_D \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = T_D\,\alpha^{\gamma-1} \end{aligned}

   On en déduit la différence :

   T_C - T_B = (T_D - T_A)\,\alpha^{\gamma-1} \implies \frac{T_D - T_A}{T_C - T_B} = \alpha^{1-\gamma}

   En reportant dans l'expression du rendement :

   \boxed{\eta_{\text{rv}} = 1 - \alpha^{1-\gamma}}

   Résultat

   $${\eta }_{\text{rv}}=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}$$

   $${\eta }_{\text{rv}}=1-{\alpha }^{1-\gamma }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q33

   Pour un réfrigérateur ou un congélateur, la grandeur utile est le transfert thermique Q_f > 0 prélevé à la source froide pour la maintenir à basse température, et la grandeur coûteuse est le travail électrique (ou mécanique) W > 0 fourni au compresseur. L'efficacité s'écrit de manière générale :

   e = \frac{Q_f}{W}

   L'efficacité de Carnot correspond au cas limite d'un cycle idéal réversible opérant entre deux thermostats de températures absolues T_f et T_c (T_f < T_c).

   Considérons le fluide caloporteur décrivant un cycle de fonctionnement complet. Les fonctions d'état du fluide retrouvent leur valeur initiale :

   • D'après le premier principe de la thermodynamique :

     \begin{aligned} \Delta U = 0 &\implies W + Q_f + Q_c = 0 \\ &\implies W = -(Q_f + Q_c) \end{aligned}

   • D'après le second principe de la thermodynamique appliqué à un cycle réversible (\Delta S = 0 et création d'entropie S_{\text{cr}} = 0) :

     \Delta S = \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c} + S_{\text{cr}} = \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c} = 0 \implies Q_c = - \frac{T_c}{T_f} Q_f

   En injectant cette relation dans l'expression du travail :

   W = -Q_f + \frac{T_c}{T_f} Q_f = Q_f \left(\frac{T_c - T_f}{T_f}\right)

   On en déduit l'expression de l'efficacité de Carnot :

   \boxed{e = \frac{T_f}{T_c - T_f}}

   Résultat

   $$e=\frac{T_f}{T_c-T_f}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q9

   1. Rendement réel du moteur :

   Pour parcourir la distance d = 100\text{ km} à la vitesse constante v = 100\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, la durée de fonctionnement est :

   \Delta t = \frac{d}{v} = 1\text{ h} = 3\,600\text{ s}

   Pendant cette durée, le travail mécanique fourni par le moteur vaut :

   W_{\text{utile}} = \mathcal{P} \Delta t

   et l'énergie thermique libérée par la combustion du volume q d'essence consommé est :

   Q_{\mathrm{c}} = q W_v

   Le rendement réel du moteur s'exprime donc par :

   \eta_r = \frac{W_{\text{utile}}}{Q_{\mathrm{c}}} = \frac{\mathcal{P}\Delta t}{q W_v}

   Application numérique avec \mathcal{P} = 18\cdot 10^3\text{ W}, \Delta t = 3\,600\text{ s}, q = 5{,}4\text{ L} et W_v = 3{,}6\cdot 10^7\text{ J}\cdot\text{L}^{-1} :

   \begin{aligned} \eta_r &= \frac{18\cdot 10^3 \times 3\,600}{5{,}4 \times 3{,}6\cdot 10^7} = \frac{18 \times 10^3 \times 10^{-4}}{5{,}4} = \frac{1{,}8}{5{,}4} = \frac{1}{3} \end{aligned}

   \boxed{\eta_r \simeq 0{,}33 = 33\%}

   2. Inégalité sur T_{\mathrm{c}} déduite du théorème de Carnot :

   D'après le théorème de Carnot établi à la question précédente (Q8), tout moteur ditherme opérant entre les températures T_{\mathrm{f}} et T_{\mathrm{c}} satisfait à :

   \eta_r \le 1 - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}

   Comme 1 - \eta_r > 0, on en déduit immédiatement :

   \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}} \le 1 - \eta_r \implies \boxed{T_{\mathrm{c}} \ge \frac{T_{\mathrm{f}}}{1 - \eta_r}}

   Avec T_{\mathrm{f}} = 27^\circ\text{C} = 300\text{ K} et \eta_r = \frac{1}{3}, la valeur minimale est :

   T_{\mathrm{c, min}} = \frac{300}{1 - 1/3} = \frac{300}{2/3} = 450\text{ K} \quad (\text{soit } 177^\circ\text{C})

   3. Vérification en pratique :

   La température maximale des gaz dans le moteur est T_{\mathrm{c}} \simeq 2\,000\text{ K}, ce qui est très supérieur à la limite thermodynamique minimale :

   T_{\mathrm{c}} \simeq 2\,000\text{ K} \gg 450\text{ K}

   L'inégalité de Carnot est donc très largement vérifiée en pratique.

   Résultat

   $${\eta }_r\simeq 0,33=33\%$$

   $$T_{\mathrm{c}}\ge \frac{T_{\mathrm{f}}}{1-{\eta }_r}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q34

   D'après l'expression établie à la question Q33, l'efficacité de Carnot s'écrit :

   e_{\text{Carnot}} = \frac{T_f}{T_c - T_f}

   Les températures données dans le préambule de la partie IV doivent être converties en kelvins :

   \begin{aligned} T_f &= -18 + 273{,}15 = 255{,}15\text{ K} \\ T_c &= 19 + 273{,}15 = 292{,}15\text{ K} \end{aligned}

   L'écart de température entre les deux sources vaut :

   T_c - T_f = 19 - (-18) = 37\text{ K}

   On en déduit la valeur numérique de l'efficacité maximale théorique :

   e_{\text{Carnot}} = \frac{255{,}15}{37} \approx 6{,}9

   \boxed{e_{\text{Carnot}} \approx 6{,}9}

   Résultat

   $$e_{\text{Carnot}}\approx 6,9$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q12

   Les évolutions AB et CD sont adiabatiques (\delta Q = 0) et réversibles. D'après le second principe de la thermodynamique :

   \mathrm{d}S = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} = 0 \implies S = \text{cte}

   Ces deux transformations sont donc isentropiques. D'après la relation de Laplace obtenue à la question Q11 pour un gaz parfait évoluant de manière isentropique :

   P V^\gamma = \text{cte}

   En prenant le logarithme népérien de cette expression, il vient :

   \ln P + \gamma \ln V = \text{cte} \iff \ln P = -\gamma \ln V + \text{cte}

   Dans le diagramme de Clapeyron en échelle doublement logarithmique de la figure 3, où l'abscisse est x = \ln V et l'ordonnée y = \ln P, cette relation s'écrit :

   y = -\gamma \, x + \text{cte}

   Il s'agit de l'équation d'une droite de pente :

   \boxed{p_{\text{rv}} = -\gamma}

   Comme \gamma > 1 (pour l'air diatomique, \gamma = 1{,}4), la pente est strictement négative :

   p_{\text{rv}} < 0

   Les deux transformations AB et CD possédant la même pente p_{\text{rv}} = -\gamma mais des constantes d'intégration différentes (P_A V_A^\gamma \neq P_C V_C^\gamma), elles sont représentées par deux droites parallèles.

   Résultat

   $$p_{\text{rv}}=-\gamma$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q13

   Pour un gaz parfait (PV = nRT), en passant au logarithme népérien :

   \ln P + \ln V = \ln(nRT) \iff \ln P = -\ln V + \ln(nRT)

   Dans le diagramme (\ln V, \ln P), les isothermes (T = \text{cste}) sont donc des droites de pente :

   p_{\text{iso}} = -1

   Comme \gamma = 1{,}4 > 1, la pente des isentropiques vaut p_{\mathrm{rv}} = -\gamma = -1{,}4 < -1 (d'après la question Q12). Les droites isentropiques sont donc plus pentues que les droites isothermes.

   Identifions les températures aux quatre sommets :

   • Lors de la compression isentropique AB, le gaz s'échauffe : T_B = T_A \alpha^{\gamma-1} > T_A.
   • La combustion isochore BC libère de la chaleur, donc augmente la pression et la température : T_C > T_B.
   • Lors de la détente isentropique CD, le gaz se refroidit : T_D = T_C \alpha^{1-\gamma} < T_C.
   • L'échappement/refroidissement isochore DA s'accompagne d'une chute de pression à volume V_2 constant : T_D > T_A.

   Ainsi, la température minimale du cycle est atteinte au point A et la température maximale au point C :

   \boxed{T_A = T_{\text{f}} \quad \text{et} \quad T_C = T_{\text{c}}}

   L'isotherme à T_{\text{f}} passe par le point A et celle à T_{\text{c}} passe par le point C.

   Résultat

   $$T_A=T_{\text{f}}\text{et}{T}_C=T_{\text{c}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q15

   D'après la question Q14, le rendement théorique du cycle de Beau de Rochas s'écrit :

   \eta_{\text{rv}} = 1 - \alpha^{1-\gamma}

   Avec \alpha = 9 et \gamma = 1{,}4, l'exposant vaut 1 - \gamma = -0{,}4 = -\frac{2}{5}, soit :

   \alpha^{1-\gamma} = 9^{-2/5} = \frac{1}{9^{2/5}}

   En utilisant la donnée numérique de l'énoncé 9^{2/5} = 2{,}4, on obtient :

   \eta_{\text{rv}} = 1 - \frac{1}{2{,}4} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12} \simeq 0{,}58

   \boxed{\eta_{\text{rv}} = \frac{7}{12} \simeq 0{,}58 \quad (58\,\%)}

   Résultat

   $${\eta }_{\text{rv}}=\frac{7}{12}\simeq 0,58(58\%)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MPI 2025, Q16

   D'après l'expression de l'entropie molaire donnée à la question Q11 :

   s_m(T,V) = s_m(T_0,V_0) + \frac{R}{\gamma - 1}\ln\frac{T}{T_0} + R\ln\frac{V}{V_0}

   Pour n moles de gaz parfait vérifiant P V = n R T, on a \frac{T}{T_0} = \frac{P V}{P_0 V_0}. L'entropie globale S = n s_m s'écrit donc en fonction des variables d'état (P, V) :

   \begin{aligned} S(P,V) &= S(P_0,V_0) + \frac{n R}{\gamma - 1}\ln\left(\frac{P V}{P_0 V_0}\right) + n R\ln\left(\frac{V}{V_0}\right) \\ &= S(P_0,V_0) + \frac{n R}{\gamma - 1}\ln\left(\frac{P V^\gamma}{P_0 V_0^\gamma}\right) \end{aligned}

   Pour une transformation reliant un état initial i à un état final f, la variation d'entropie vaut :

   \Delta S = \frac{n R}{\gamma - 1}\left[ \ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) + \gamma \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \right]

   D'après le second principe de la thermodynamique appliqué au système fermé constitué par le gaz, pour une transformation adiabatique (Q = 0 \implies S_e = 0) mais irréversible :

   \Delta S = S_e + S_c = S_c > 0

   Comme \frac{n R}{\gamma - 1} > 0, l'inégalité se traduit par :

   \ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) + \gamma \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) > 0

   Par hypothèse de l'énoncé, la transformation est modélisée par une droite de pente p' dans le diagramme doublement logarithmique (\ln V, \ln P), ce qui implique :

   \ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) = p'\,\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)

   En injectant cette relation dans l'inégalité précédente et en rappelant que p_{\mathrm{rv}} = -\gamma (question Q12) :

   (p' + \gamma)\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) > 0 \iff (p' - p_{\mathrm{rv}})\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) > 0

   Appliquons ce résultat aux deux phases adiabatiques irréversibles :

   • Compression adiabatique AB' : le volume diminue de V_2 à V_1 = V_2/\alpha, donc :

     \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right) = -\ln\alpha < 0

     L'inégalité impose par division par une quantité négative :

     p'_{\text{comp}} - p_{\mathrm{rv}} < 0 \implies p'_{\text{comp}} < p_{\mathrm{rv}}

   • Détente adiabatique C'D' : le volume augmente de V_1 à V_2 = \alpha V_1, donc :

     \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = \ln\alpha > 0

     L'inégalité impose par division par une quantité positive :

     p'_{\text{det}} - p_{\mathrm{rv}} > 0 \implies p'_{\text{det}} > p_{\mathrm{rv}}

   En regroupant ces deux encadrements, on obtient bien :

   \boxed{p'_{\text{comp}} < p_{\mathrm{rv}} < p'_{\text{det}}}

   Résultat

   $$p_{\text{comp}}^{\prime }<p_{\mathrm{rv}}<p_{\text{det}}^{\prime }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question