Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MPI 2023

Soit N_x = 4000 et N_y = 3000 le nombre de pixels selon la longueur L et la largeur l du capteur. Les pixels étant supposés carrés de côté p et accolés, les dimensions du capteur s'écrivent :

Le rapport des dimensions vérifie donc :

Par le théorème de Pythagore, la diagonale d du capteur rectangulaire vaut :

On en déduit les expressions de la longueur et de la largeur :

D'après les données de l'énoncé, la diagonale est égale à un tiers de pouce avec 1\text{ pouce} = 25,4\text{ mm} :

On calcule alors numériquement les dimensions du capteur :

La taille approximative p d'un pixel s'en déduit directement :

Le module photographique d'un smartphone est destiné à former des images dans le spectre visible, s'étendant de 400\text{ nm} à 700\text{ nm}. On choisit usuellement la longueur d'onde correspondant au maximum de sensibilité de l'œil humain de jour (vision photopique) :

Un point source situé à l'infini sur l'axe optique envoie une onde plane sur l'ouverture circulaire de diamètre D de l'objectif. Le phénomène de diffraction à l'infini (dans les conditions de Fraunhofer) produit, dans le plan focal image situé à la distance f' de l'objectif, la figure d'Airy dont le premier anneau sombre est repéré par le demi-angle de diffraction :

Dans l'approximation des petits angles, le rayon r_{\text{diff}} de la tache centrale de diffraction (disque d'Airy) sur le capteur s'écrit :

En introduisant le nombre d'ouverture N = \dfrac{f'}{D}, on obtient :

Le diamètre correspondant vaut :

Application numérique : avec \lambda = 550\text{ nm} = 0,55\ \mu\text{m} et N = 2,2,

La taille caractéristique (diamètre du disque d'Airy) est donc :

Le capteur possède une définition native de 4000 \times 3000 pixels pour une taille de pixel physique p \approx 1,7\ \mu\mathrm{m} (question Q1).

1. Limite optique imposée par la diffraction : D'après la question Q2, le diamètre de la tache d'Airy vaut d_{\text{diff}} \approx 3,0\ \mu\mathrm{m}. Cette tache s'étend sur une largeur supérieure à celle d'un pixel physique (d_{\text{diff}} > p).

   • En résolution 4K (3840 \times 2160), le format utilise quasiment chaque pixel physique individuellement (avec un léger recadrage au format 16:9). La taille d'un pixel d'image est donc de l'ordre de 1,7\ \mu\mathrm{m} < d_{\text{diff}} : l'image est optiquement sur-échantillonnée et la diffraction limite la résolution effective. La 4K n'apporte donc pas de gain réel de netteté par rapport à la limite de diffraction.

   • En résolution Full HD (1920 \times 1080), le nombre de pixels par ligne et par colonne est divisé par 2 par rapport à la 4K. Cela correspond à regrouper les pixels par blocs de 2 \times 2 (pixel binning ou sous-échantillonnage). La taille d'un pixel virtuel devient alors :

     p' \approx 2 \times 1,69\ \mu\mathrm{m} \approx 3,4\ \mu\mathrm{m}

     Cette dimension est en excellente adéquation avec le diamètre de la tache d'Airy (p' \approx d_{\text{diff}}), satisfaisant de façon optimale le critère de Shannon sans sous-échantillonnage perceptible.

2. Avantages techniques et ergonomiques :

   • Qualité d'image et sensibilité : Le regroupement de 4 pixels physiques pour former un pixel Full HD permet d'augmenter le rapport signal sur bruit (SNR), particulièrement en basse luminosité.
   • Stockage et bande passante : Une image ou vidéo en Full HD contient 4 fois moins de données qu'en 4K (1920 \times 1080 \approx 2,1\ \text{Mpx} contre 3840 \times 2160 \approx 8,3\ \text{Mpx}), ce qui réduit drastiquement l'espace de stockage nécessaire et accélère les transferts.
   • Consommation et échauffement : L'enregistrement en Full HD sollicite beaucoup moins le processeur d'image (ISP), ce qui préserve l'autonomie de la batterie et limite la surchauffe du téléphone portable.

1. Trajet du rayon lumineux à travers la lentille

• Face plane d'entrée : le rayon incident arrive parallèlement à l'axe optique, donc sous incidence normale sur le dioptre plan. L'angle d'incidence est nul, le rayon traverse sans être dévié et poursuit sa trajectoire rectiligne dans le verre à la distance r de l'axe (Ox).

• Face hémisphérique de sortie : le dioptre sphérique a pour centre C et pour rayon R. La normale au point d'incidence I est la droite passant par le centre de courbure C, orientée vers l'extérieur. Dans le triangle rectangle formé par la projection de I sur l'axe optique, C et I, l'hypoténuse est CI = R et le côté opposé vaut r. L'angle d'incidence i entre le rayon (horizontal) et la normale (CI) vérifie ainsi :

  \sin i = \frac{r}{R}

• Réfraction : d'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction au dioptre verre-air :

  n \sin i = 1 \times \sin t \implies \sin t = n \sin i

  Comme n > 1, on a t > i : le rayon réfracté s'écarte de la normale et converge vers l'axe optique.

2. Expression et calcul de la valeur limite r_0

La réfraction n'est possible que si \sin t \le 1. La valeur limite r_0 correspond à l'angle de réfraction critique t = \pi/2 (émergence rasante) :

soit :

Application numérique avec R = 4{,}0\text{ mm} et n = 1{,}52 :

3. Justification du choix de \Phi = 5{,}0\text{ mm}

Le rayon physique de la lentille correspond à :

On constate que :

En choisissant ce diamètre, le constructeur s'assure que tous les rayons incidents qui pénètrent dans la lentille émergent sans subir de réflexion totale, tout en maximisant l'ouverture optique (et donc le flux lumineux collecté).

Le centre C de la face plane est également le centre de courbure de la face hémisphérique de la demi-boule.

• Le rayon incident se propage parallèlement à l'axe optique à la distance r de celui-ci. Il entre dans la lentille sous incidence normale sur la face plane, sans déviation.
• Il atteint le dioptre sphérique au point I. La droite (CI) est normale à la surface sphérique en I et coupe l'axe (Ox) en faisant un angle i avec la direction incidente.

• Par définition du sinus dans le repère centré en C, la hauteur du point I vaut :

  r = R \sin i

  et l'abscisse de sa projection orthogonale H sur l'axe optique est :

  \overline{CH} = R \cos i

Au point I, le rayon passe du verre d'indice n à l'air d'indice 1. D'après les lois de Snell-Descartes pour la réfraction :

L'angle entre le rayon réfracté et la normale (CI) est t. Comme la normale fait un angle i avec la direction de l'axe (Ox), le rayon émergent fait avec l'axe optique un angle :

Considérons le triangle IHA', rectangle en H :

Par la relation de Chasles sur l'axe optique :

En remplaçant par les expressions obtenues, on trouve :

Lorsque la distance r du rayon incident à l'axe optique tend vers 0, l'angle d'incidence i = \arcsin(r/R) tend vers 0. D'après la loi de Snell-Descartes \sin t = n \sin i, l'angle de réfraction t tend également vers 0.

Au voisinage de zéro, on utilise les équivalents usuels :

En injectant ces équivalents dans l'expression de \overline{CA'} établie à la question Q5, il vient :

Application numérique : Avec R = 4{,}0\text{ mm} et n = 1{,}52 :

Avec deux chiffres significatifs :

1. Condition de stigmatisme : D'après les questions précédentes, la position de l'intersection A' du rayon émergent avec l'axe optique dépend de la distance r à l'axe (aberration sphérique). La convergence en un point unique F' n'est obtenue que dans la limite r \to 0.

   Le point F' ne peut donc être considéré comme le conjugué stigmatique d'un point source à l'infini sur l'axe que dans le cadre des conditions de Gauss (ou approximation paraxiale) :

   • les rayons lumineux sont proches de l'axe optique (r \ll R) ;
   • les rayons sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (angles i et t petits devant 1 rad).

   Dans ces conditions, le système présente un stigmatisme approché.

2. Nom du point F' : Le point F', image dans les conditions de Gauss d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique, est le foyer principal image (ou simplement foyer image) de la lentille.

Pour le rayon extrême incident à la distance r = r_0 = \dfrac{R}{n} de l'axe optique (d'après la question Q4), on a :

En utilisant l'expression établie à la question Q5 pour la position du point d'intersection A' du rayon réfracté avec l'axe optique :

Puisque t = \dfrac{\pi}{2}, on a \tan(t - i) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - i\right) = \cot i = \dfrac{\cos i}{\sin i}, ce qui donne :

Application numérique :

Le capteur est placé dans le plan focal image paraxial, à l'abscisse x = \overline{CF'} = \dfrac{nR}{n-1} \approx 11{,}7\text{ mm} (d'après la question Q6).

Après avoir coupé l'axe optique en A', le rayon réfracté poursuit sa propagation rectiligne en faisant un angle \alpha = t - i avec l'axe optique. Dans le triangle rectangle reliant le point A', le foyer F' et le point de rencontre du rayon avec le capteur, la distance transversale d'aberration sphérique vaut :

Or \tan(t - i) = \cot i = \sqrt{n^2 - 1}. En remplaçant \overline{CF'} et \overline{CA'} par leurs expressions :

Application numérique :

Comparaisons et conclusion :

• Taille de la tache de diffraction (question Q2) : d_{\text{diff}} \approx 3{,}0\ \mu\text{m}.
• Dimension d'un pixel du capteur (question Q1) : p \approx 1{,}7\ \mu\text{m}.

On constate que :

L'aberration géométrique sphérique est prépondérante devant la diffraction : la tache lumineuse formée sur le capteur a une dimension millimétrique, plusieurs milliers de fois supérieure à la taille d'un pixel. De plus, \text{TSA} \approx 7{,}3\text{ mm} est même supérieure à la demi-largeur du capteur (l/2 \approx 2{,}5\text{ mm}), ce qui signifie que le rayon extrême sort complètement du capteur.

Conclusion : Une telle lentille demi-boule simple présente des aberrations géométriques rédhibitoires et n'est absolument pas adaptée à l'appareil photographique d'un smartphone. Il est indispensable d'utiliser des surfaces asphériques ou un doublet/multiplet de lentilles correctrices.

Considérons une onde plane incidente se propageant selon l'axe (Ox), sous incidence normale sur la face plane d'entrée de la lentille située en x = 0. Le plan x = 0 constitue une surface d'onde de référence sur laquelle tous les points sont en phase.

D'après le résultat de la question Q6, le foyer image paraxial F' est situé à l'abscisse :

La lentille asphérique conserve une épaisseur au sommet identique à celle de la demi-boule, soit e(0) = R, de sorte que le sommet de la lentille est au point S(R, 0).

1. Chemin optique pour le rayon se propageant sur l'axe (r = 0) :

• De C(0,0) à S(R,0), le rayon traverse le matériau d'indice n sur la distance R : [CS] = nR.

• De S(R,0) à F'\left(\frac{nR}{n-1}, 0\right), le rayon se propage dans l'air (d'indice 1) sur la distance :

  SF' = x_{F'} - x_S = \frac{nR}{n-1} - R = \frac{R}{n-1}

Le chemin optique total sur l'axe entre le plan d'entrée et F' vaut donc :

2. Chemin optique pour un rayon incident situé à la distance r de l'axe :

• Le rayon pénètre sous incidence normale au point P_0(0, r) et se propage sans déviation à l'intérieur de la lentille jusqu'au point I de la face de sortie. Par définition de l'épaisseur e(r), le point I a pour coordonnées cartésiennes :

  x_I = e(r) \quad \text{et} \quad y_I = r

  Le chemin optique correspondant dans la lentille est : [P_0I] = n\,e(r).

• Le rayon émerge en I et se propage en ligne droite dans l'air jusqu'à F'. La distance géométrique IF' est donnée par :

  IF' = \sqrt{(x_{F'} - x_I)^2 + (y_{F'} - y_I)^2} = \sqrt{\left(\frac{nR}{n-1} - e(r)\right)^2 + r^2}

  Le chemin optique associé dans l'air est : [IF'] = 1 \times IF'.

Le chemin optique total pour ce rayon vaut donc :

3. Condition de stigmatisme rigoureux : Pour que l'onde émergeante converge au point F', les surfaces d'onde doivent être des sphères centrées sur F'. D'après le principe de Fermat et le théorème de Malus, tous les chemins optiques joignant la surface d'onde incidente au point de convergence F' doivent être égaux :

On obtient ainsi la relation demandée :

L'équation satisfaite par e(r) établie en Q9 s'écrit :

Pour r = 0, on a e(0) = R. Lorsque r \ll R, on pose e(r) = R - \varepsilon(r), où \varepsilon(r) est un infiniment petit d'ordre supérieur ou égal à 2 en r/R.

Le terme sous la racine carrée se développe selon :

En factorisant par \left(\frac{R}{n-1}\right)^2 et en utilisant le développement limité \sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2}u + o(u) :

En injectant cette expression dans la relation initiale :

Comme n - 1 \neq 0, on en déduit :

soit pour le profil asphérique :

Pour la lentille demi-boule (dioptre sphérique de rayon R), l'épaisseur e_{\text{boule}}(r) est donnée par l'équation du cercle de centre C :

Le développement limité à l'ordre 2 de l'épaisseur est rigoureusement identique pour la lentille asphérique et la lentille demi-boule : les deux surfaces ont même rayon de courbure R au sommet. Ainsi, pour r \ll R, le profil de la lentille asphérique est pratiquement confondu avec celui de la demi-boule.

Soit un pixel de taille a observé à la distance normale d = 30\text{ cm}. Sous l'approximation des petits angles (car a \ll d), l'angle sous-tendu par le pixel depuis la pupille de l'œil est :

D'après le critère de résolution de l'œil humain, deux points sources ou les bords d'un détail ne peuvent être discernés si leur séparation angulaire est inférieure au pouvoir de résolution angulaire \alpha de l'œil :

Il existe donc une taille maximale de pixel a_{\max}, donnée par :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• distance normale d'observation : d = 30\text{ cm} = 0{,}30\text{ m} ;
• pouvoir de résolution de l'œil : \alpha = 3{,}0 \times 10^{-4}\text{ rad}.

Sur la figure 5, les contours des chiffres et symboles présentent des crénelages dont chaque « marche » correspond à un pixel (ou à un sous-pixel). Pour limiter l'incertitude de lecture, on mesure la longueur L occupée par une rangée de N_p pixels consécutifs.

En effectuant la mesure sur le document :

• Pour une série de N_p = 10 pixels le long d'un bord crénelé, on mesure à la règle :

  L \approx 7{,}8\text{ mm} \quad (\text{soit environ } 0{,}8\text{ mm par pixel sur le cliché}).

La photographie étant agrandie d'un facteur G = 10, la taille réelle a d'un pixel sur l'écran s'écrit :

Numériquement :

Estimation de l'incertitude-type u(a) :

La mesure de L est réalisée avec une règle graduée au millimètre. En tenant compte des deux pointés et du flou inhérent aux bords des pixels sur l'impression, on estime raisonnablement l'incertitude-type de lecture à :

Le facteur de grandissement G = 10 et le comptage N_p = 10 étant supposés sans incertitude, l'incertitude-type sur a s'écrit :

On peut donc conclure :

1. Distance entre la lentille \mathcal{L}_2 et l'écran

Lors du trajet aller (propagation de droite à gauche), les rayons lumineux sont émis depuis la source ponctuelle (S) située sur l'axe optique. Pour que ces rayons émergent de la lentille \mathcal{L}_2 sous la forme d'un faisceau cylindrique parallèle à l'axe optique, la source (S) (et donc l'écran) doit se situer dans le plan focal objet de la lentille pour ce sens de propagation.

La distance séparant l'écran de la lentille \mathcal{L}_2 doit donc être égale à la distance focale de celle-ci :

2. Trajet des deux rayons lumineux (figure B)

• À l'aller : les deux rayons partent du point source (S) situé en O, divergent vers la lentille \mathcal{L}_2, puis en émergent parallèlement à l'axe optique (Ox) pour atteindre en incidence normale les miroirs P_1 et P_2.
• Au retour : les rayons sont réfléchis et diffractés par P_1 et P_2. Les deux rayons qui atteignent le point d'observation M sur l'écran suivent le trajet déjà amorcé sur la figure.

3. Parallélisme des rayons issus de P_1 et P_2 avant \mathcal{L}_2

Au retour, la lumière se propage de la gauche vers la droite. L'écran étant positionné à une distance f'_2 en aval de la lentille \mathcal{L}_2, il coïncide avec son plan focal image.

D'après les propriétés d'une lentille mince stigmatique, tout point M situé dans le plan focal image est le foyer secondaire image associé à une onde plane incidente, c'est-à-dire à un faisceau de rayons incidents parallèles entre eux à l'infini en amont de la lentille.

Par conséquent, les rayons issus de P_1 et P_2 qui émergent de \mathcal{L}_2 en convergeant au point M sont obligatoirement parallèles entre eux avant la traversée de la lentille \mathcal{L}_2.

La différence de marche entre les deux rayons interférant au point M s'écrit :

1. Trajet aller (de la source S aux miroirs P_1 et P_2) : La source ponctuelle S est située au foyer objet de la lentille \mathcal{L}_2. Le faisceau émerge de \mathcal{L}_2 sous forme d'une onde plane se propageant parallèlement à l'axe optique (Ox). Les surfaces d'onde incidentes sont donc des plans normaux à (Ox).
Comme les pixels P_1 et P_2 sont situés dans un même plan orthogonal à l'axe optique, ils appartiennent à la même surface d'onde incidente. Les chemins optiques depuis la source S sont donc identiques :

2. Trajet retour (des miroirs P_1 et P_2 au point M) et théorème de Malus : Les rayons réfléchis et diffractés par P_1 et P_2 qui convergent au point M de l'écran forment un faisceau de rayons parallèles entre eux avant la traversée de \mathcal{L}_2 (question Q13). D'après le théorème de Malus, les rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces d'onde. Le plan perpendiculaire à ce faisceau parallèle passant par le point P_2 et coupant le rayon issu de P_1 en H constitue une surface d'onde de ce faisceau réfléchi.
La lentille \mathcal{L}_2 réalisant la conjugaison stigmatique entre ce faisceau incident parallèle et son point de convergence M dans le plan focal image, le chemin optique séparant la surface d'onde (P_2 H) du point M est le même pour tous les rayons :

Le milieu de propagation étant l'air d'indice n = 1, le chemin optique [P_1 M] se décompose ainsi :

On en déduit immédiatement :

3. Expression en fonction de y et f'_2 : Soit \theta l'angle algébrique que font les rayons parallèles réfléchis avec l'axe (Ox).

• Dans le triangle P_1 P_2 H, rectangle en H, la droite (P_1 P_2) est portée par l'axe vertical (Oy) (orthogonal à (Ox)) et le segment [P_1 H] est porté par le rayon incliné de \theta par rapport à (Ox). L'angle \widehat{H P_1 P_2} vaut donc \frac{\pi}{2} - \theta. Il vient :

  P_1 H = P_1 P_2 \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = a \sin \theta

• Par ailleurs, le rayon parallèle passant par le centre optique O_2 n'est pas dévié et rencontre l'écran au point M d'ordonnée y. L'écran étant situé dans le plan focal à la distance f'_2 du centre optique, on a :

  \tan \theta = \frac{y}{f'_2}

Dans le cadre de l'approximation paraxiale (points voisins de l'axe, |y| \ll f'_2), l'angle \theta est petit, de sorte que \sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{y}{f'_2}.

On obtient finalement :

Par définition, l'ordre d'interférence p(M) au point M pour une lumière de longueur d'onde \lambda s'exprime par le rapport de la différence de marche \delta(M) à la longueur d'onde :

En utilisant le résultat de la question Q14 (\delta(M) = \frac{a y}{f'_2}), on obtient :

Description de la figure d'interférence :

• La différence de marche \delta(M), et donc l'ordre d'interférence p(M), dépend uniquement de la coordonnée y du point M et est indépendant de la coordonnée z.
• Les lignes d'égale différence de marche (ou d'égal éclairement) sont donc les droites d'équation y = \text{constante}.
• La figure d'interférence est par conséquent constituée de franges rectilignes, parallèles entre elles et à l'axe (Oz), alternant des zones d'intensité maximale (franges brillantes pour p \in \mathbb{Z}) et d'intensité minimale (franges sombres pour p \in \mathbb{Z} + \frac{1}{2}). Au centre de l'écran (y = 0), p(0) = 0 : la frange centrale est brillante.

Interfrange : L'interfrange i est défini comme la distance séparant les centres de deux franges brillantes (ou deux franges sombres) consécutives le long de la direction de variation maximale de l'éclairement (ici selon l'axe Oy). Cela correspond à une variation de l'ordre d'interférence de \Delta p = 1 :

D'où l'expression de l'interfrange :

Les deux faisceaux issus de la même source ponctuelle (S) et réfléchis par les miroirs P_1 et P_2 sont mutuellement cohérents et présentent la même intensité lumineuse I_0.

Le déphasage entre ces deux ondes au point M s'écrit :

où i = \dfrac{\lambda f'_2}{a} est l'interfrange déterminé à la question Q15.

D'après la formule de Fresnel pour deux ondes de même éclairement I_0 :

soit, sous forme factorisée :

Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

• Elle est paire et périodique de période i = \dfrac{\lambda f'_2}{a} ;
• L'éclairement maximal vaut I_{\max} = 4 I_0, atteint pour y = k\,i (k \in \mathbb{Z}) ;
• L'éclairement minimal est nul : I_{\min} = 0, atteint pour y = \left(k + \dfrac{1}{2}\right)i ;
• La valeur moyenne spatiale est \langle I \rangle = 2 I_0.

Le point source S(y_S, z_S) est situé dans le plan focal de la lentille \mathcal{L}_2. Les rayons issus de S et traversant \mathcal{L}_2 forment donc, entre la lentille et les miroirs, un faisceau de rayons parallèles entre eux.

Dans les conditions de Gauss (|y_S| \ll f'_2 et |z_S| \ll f'_2), la direction de propagation de ce faisceau incident fait avec l'axe optique les angles paraxiaux :

Les miroirs P_1 et P_2 étant situés dans le plan de l'écran du smartphone et séparés uniquement selon la direction (Oy) d'une distance a = y_2 - y_1, le décalage selon z n'introduit aucune différence de marche entre les deux trajets.

D'après le théorème de Malus, la surface d'onde incidente \Sigma_{\text{inc}} est un plan orthogonal au faisceau parallèle incident. En menant depuis P_2 le plan d'onde perpendiculaire au faisceau incident, celui-ci coupe le rayon allant vers P_1 en un point H'. Le chemin optique supplémentaire parcouru par l'onde pour atteindre P_1 s'écrit :

Pour le trajet retour (après réflexion et diffraction en P_1 et P_2), le calcul est strictement identique à celui de la question Q14 :

La différence de marche totale au point M entre l'onde passant par P_1 et celle passant par P_2 vaut donc :

Conséquences du déplacement de la source sur la figure d'interférence :

• Déplacement selon z : la différence de marche ne dépend pas de z_S au premier ordre. Un déplacement de la source parallèlement à l'axe (Oz) ne modifie donc pas la figure d'interférence.

• Déplacement selon y : la frange centrale (d'ordre zéro, \delta = 0) est obtenue pour y = -y_S. Ainsi, lorsque la source est translatée d'une quantité +y_S selon (Oy), l'ensemble de la figure d'interférence subit une translation globale de vecteur :

  \Delta y = -y_S

  L'interfrange i = \dfrac{\lambda f'_2}{a} et le contraste demeurent inchangés.

D'après la question Q17, une source ponctuelle située à l'ordonnée y_S dans le plan de l'écran produit au point M(y) une différence de marche \delta(M) = \frac{a(y+y_S)}{f'_2}, soit un ordre d'interférence :

La fente source, modélisée par une juxtaposition continue de sources ponctuelles incohérentes réparties entre -c/2 et c/2, produit sur l'écran une superposition d'intensités.

Pour déterminer la largeur limite c_{\text{max}} de brouillage complet, on décompose la fente en deux demi-fentes : pour toute source ponctuelle d'ordonnée y_S \in \left[-\frac{c}{2}, 0\right], il existe une source conjuguée en y_S + \frac{c}{2} \in \left[0, \frac{c}{2}\right] distante de \frac{c}{2}. La différence d'ordre d'interférence entre ces deux sources vaut :

L'annulation globale des franges (brouillage complet) se produit lorsque ces deux sources interfèrent en quadrature de phase (un maximum de l'une coïncidant avec un minimum de l'autre), soit pour \Delta p = \frac{1}{2}. La compensation s'effectue alors pour l'ensemble des paires de la fente, ce qui donne :

On remarque que c_{\text{max}} est égal à l'interfrange i = \frac{\lambda f'_2}{a} déterminé à la question Q15.

Application numérique :

• \lambda = 589\text{ nm} = 589 \times 10^{-9}\text{ m}
• f'_2 = 45{,}5\text{ cm} = 0{,}455\text{ m}
• a = 400\ \mu\text{m} = 400 \times 10^{-6}\text{ m}

Conclusion : Pour conserver des franges bien contrastées, il faut se placer à une largeur de fente très inférieure à c_{\text{max}} (typiquement c \leqslant 0{,}1\,c_{\text{max}} \approx 67\ \mu\text{m}, comme l'illustre la figure 6b). Une fente aussi étroite réduit fortement le flux lumineux incident collecté depuis la lampe spectrale, rendant la figure d'interférence très peu lumineuse et difficile à exploiter expérimentalement. Ce dilemme éclairement/contraste justifie l'utilisation, dans la suite du problème, d'une source laser spatiale et temporellement cohérente à forte brillance.

Les K sources secondaires étant mutuellement incohérentes, l'intensité totale au point M(y) est la somme des intensités individuelles créées par chaque point source situé en y_S \in [-c/2, c/2].

On peut utiliser la fonction np.linspace du module numpy pour générer les positions y_S, puis sommer les intensités calculées par la fonction intensite :

def Itot(y: float, c: float, K: int) -> float:
    yS_tab = np.linspace(-c / 2, c / 2, K)
    I_somme = 0.0
    for yS in yS_tab:
        I_somme += intensite(y, yS)
    return I_somme

Une écriture équivalente plus concise à l'aide d'un générateur est également recevable :

def Itot(y: float, c: float, K: int) -> float:
    return float(sum(intensite(y, yS) for yS in np.linspace(-c / 2, c / 2, K)))

Le contraste (ou visibilité) de Michelson d'une figure d'interférence est défini par :

En utilisant les fonctions np.max et np.min fournies par la bibliothèque NumPy (et rappelées en fin de document réponse), la fonction demandée s'écrit :

def contraste(I: np.ndarray) -> float:
    I_max = np.max(I)
    I_min = np.min(I)
    if I_max + I_min == 0:
        return 0.0
    return float((I_max - I_min) / (I_max + I_min))

Commentaire de la figure 6a : profil d'intensité

• Pour une fente quasi-ponctuelle (c = 0{,}1\,c_{\max}), l'intensité lumineuse est fortement modulée : l'éclairement oscille entre I_{\min} \approx 0 et I_{\max} \approx 500 (soit K en unités de 4I_0). Le contraste est très proche de 1.
• Lorsque la largeur de la fente s'élargit (c = 0{,}5\,c_{\max}), l'amplitude des oscillations diminue (I_{\min} \approx 100, I_{\max} \approx 400) : la perte progressive de cohérence spatiale dégrade le contraste.
• Pour c = c_{\max}, la modulation disparaît totalement : l'intensité est uniforme (I / (4I_0) = 250 = K/2), ce qui correspond à un brouillage complet de la figure d'interférence.
• Pour une largeur plus grande (c = 5{,}5\,c_{\max}), l'intensité reste très proche de l'intensité moyenne avec de légères ondulations résiduelles associées aux lobes secondaires.

Commentaire de la figure 6b : évolution du contraste

• Le contraste C(c) part de 1 pour une source ponctuelle (c \to 0) et décroît de manière monotone jusqu'à s'annuler exactement en c = c_{\max}.

• La courbe présente ensuite des lobes secondaires amortis séparés par des zéros réguliers situés aux entiers c/c_{\max} = 1, 2, 3, \dots L'allure générale correspond parfaitement à la loi théorique en valeur absolue d'un sinus cardinal :

  C(c) = \left|\mathrm{sinc}\left(\pi \frac{c}{c_{\max}}\right)\right|

Confirmation du calcul semi-quantitatif de la question Q18

En effet, la superposition incohérente des éléments de la fente source conduit à un brouillage total dès que le déphasage géométrique entre les bords extrêmes de la fente atteint 2\pi (soit une différence d'ordre d'interférence \Delta p = 1), ce qui correspond rigoureusement au premier zéro de la fonction sinus cardinal en c = c_{\max}.

Le faisceau laser incident arrive parallèlement à l'axe optique sur la lentille convergente \mathcal{L}_1. Il converge donc en son foyer principal image F'_1, situé au niveau du trou de l'écran, soit au point O : la distance lentille-écran vaut \overline{O_1 O} = f'_1.

Le faisceau traverse le trou en O, qui constitue le foyer principal objet F_2 de la lentille \mathcal{L}_2 (d'après la question Q13, la distance écran-lentille vérifie \overline{O O_2} = f'_2). Les rayons divergent depuis O et émergent de la lentille \mathcal{L}_2 parallèlement à l'axe optique : le système formé par le doublet (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) est un système afocal (élargisseur de faisceau ou télescope de Kepler).

En notant \theta le demi-angle d'ouverture du cône de lumière issu de O, l'approximation des petits angles (conditions de Gauss) conduit à :

On en déduit l'expression du rapport des diamètres :

De manière équivalente, le rapport inverse s'écrit :

D'après la question 14, pour deux miroirs décalés d'une distance a suivant la direction transverse Oy, la différence de marche en un point M(y,z) au voisinage de l'axe s'écrit \delta(M) = \dfrac{a y}{f'_2}.

D'après la figure 8, les miroirs sont disposés aux sommets d'un carré de côté a dans le plan transverse :

• P_2 est translaté de a selon l'axe Oy par rapport à P_1 ;
• P_4 est translaté de a selon l'axe Oz par rapport à P_1 ;
• P_3 est translaté de a selon Oy et de a selon Oz par rapport à P_1.

Par analogie directe et séparabilité des coordonnées dans l'approximation paraxiale, les différences de marche au point M entre l'onde issue de P_i et celle issue de P_1 s'expriment sans calcul (au signe près selon la convention de sens choisie, sans influence sur les conditions de phase) :

Pour que les ondes issues des quatre miroirs soient en phase au point M, il faut et il suffit que les différences de marche par rapport à l'onde de référence 1 soient toutes des multiples entiers de la longueur d'onde \lambda :

Lorsque ces deux conditions sont vérifiées, la condition relative au miroir P_3 est automatiquement satisfaite :

avec k + m \in \mathbb{Z}.

Les ondes issues des quatre miroirs sont donc en phase si et seulement si les coordonnées (y, z) du point M vérifient :

Ces maxima d'éclairement forment bien un réseau carré de pas spatial i = \lambda \dfrac{f'_2}{a} dans le plan de l'écran (Oyz).

Repérons la position d'un miroir quelconque du réseau par un couple d'entiers (p, q) tel que ses coordonnées soient (y_p = p\,a,\, z_q = q\,a). D'après les résultats de la question Q23, la différence de marche au point M(y, z) entre l'onde issue du miroir (p, q) et celle issue d'un miroir de référence situé à l'origine (0, 0) s'écrit :

Le déphasage correspondant s'exprime par :

Aux points de coordonnées (y_k, z_m) déterminés à la question Q23, où y_k = k\lambda\frac{f'_2}{a} et z_m = m\lambda\frac{f'_2}{a} avec (k, m) \in \mathbb{Z}^2, ce déphasage devient :

puisque le produit et la somme d'entiers sont des entiers. Toutes les ondes issues des N pixels parviennent donc en phase en ces points.

L'éclairage laser étant supposé uniforme sur les N miroirs, chaque miroir produit au point M une vibration lumineuse de même amplitude s_0. L'amplitude complexe résultante s'écrit :

D'après l'inégalité triangulaire :

L'égalité est atteinte si et seulement si toutes les ondes sont en phase, ce qui est précisément vérifié aux points (y_k, z_m) :

L'éclairement étant proportionnel au carré du module de l'amplitude lumineuse (I = K |\underline{s}|^2 et I_0 = K s_0^2), l'éclairement est maximal en ces points et vaut :

Par le principe de conservation de l'énergie lumineuse (ou par intégration du terme d'interférence sur une cellule élémentaire), la valeur moyenne temporelle et spatiale de l'éclairement sur l'écran s'obtient en sommant les intensités individuelles :

En effet, lors du calcul de la moyenne de l'éclairement, les termes croisés d'interférences de la forme \cos(\phi_j - \phi_l) (pour j \neq l) ont une valeur moyenne spatiale nulle sur une période.

D'après le résultat de la question Q24, l'éclairement maximal vaut I_{\max} = N^2 I_0. Le rapport entre l'éclairement maximal et l'éclairement moyen est donc :

Lorsque N est très grand (N \gg 1) :

• Le rapport \frac{I_{\max}}{\langle I \rangle} = N devient extrêmement élevé : la quasi-totalité de l'énergie lumineuse est concentrée aux points de résonance (y_k, z_m).
• Par conservation de l'énergie, les maxima principaux deviennent extrêmement fins : leur largeur angulaire décroît comme 1/\sqrt{N} selon chaque direction. En dehors de ces directions privilégiées, les interférences sont presque partout destructives.

On en conclut que la figure d'interférence est constituée d'un réseau régulier de taches quasi-ponctuelles extrêmement lumineuses et très contrastées (les maxima principaux du réseau carré), réparties sur un fond sombre d'extinction quasi-totale. C'est précisément le diagramme de points observé sur la photographie de la figure 10.

1. Expression littérale de la taille d'un pixel

D'après la question Q23, la figure d'interférence observée sur l'écran forme un réseau carré de maxima d'éclairement séparés selon chaque axe par l'interfrange :

2. Détermination expérimentale de l'interfrange i

Le trou circulaire central sert d'étalon de longueur : son diamètre réel est D_{\text{trou}} = 4{,}0\text{ mm}. Sur la figure 10 :

• Le diamètre mesuré du trou central sur la figure imprimée vaut d_{\text{trou}} \approx 13{,}5\text{ mm}.

• La distance mesurée sur 4 interfranges consécutifs (soit entre 5 taches alignées) vaut L_4 \approx 40{,}5\text{ mm}, d'où un interfrange mesuré sur l'image :

  i_{\text{mes}} = \frac{L_4}{4} \approx 10{,}1\text{ mm}

L'interfrange réel i sur l'écran s'en déduit par proportionnalité :

3. Calcul de la taille a d'un pixel

Avec \lambda_v = 532\text{ nm} = 532 \times 10^{-9}\text{ m}, f'_2 = 45{,}50\text{ cm} = 0{,}4550\text{ m} et i = 3{,}0\text{ mm} = 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} :

4. Estimation de l'incertitude-type u(a)

La grandeur a s'exprime comme un produit/quotient de trois grandeurs indépendantes a = \frac{\lambda_v f'_2}{i}. En appliquant la formule de composition des incertitudes-types fournie en fin d'énoncé :

Les incertitudes relatives sur les données fournies sont :

• \dfrac{u(\lambda_v)}{\lambda_v} = \dfrac{10\text{ nm}}{532\text{ nm}} \approx 1{,}88\%
• \dfrac{u(f'_2)}{f'_2} = \dfrac{0{,}30\text{ cm}}{45{,}50\text{ cm}} \approx 0{,}66\%
• L'incertitude sur la mesure de i est dominée par le repérage des maxima et la lecture sur la figure, que l'on peut estimer à u(i) \approx 0{,}15\text{ mm}, soit \dfrac{u(i)}{i} \approx 5{,}0\%.

L'incertitude relative globale vaut donc :

D'où l'incertitude-type absolue :

5. Comparaison avec la question Q12 (écart normalisé)

À la question Q12, la mesure directe donnait a_{12} \approx 78\ \mu\text{m} avec une incertitude u(a_{12}) \approx 5\ \mu\text{m}. L'écart normalisé E_n entre ces deux déterminations indépendantes s'écrit :

L'écart normalisé étant nettement inférieur à 2, les deux méthodes de mesure (microscopie directe et diffraction/interférences optiques) sont parfaitement compatibles et cohérentes.

Lors de la décharge, la batterie fonctionne comme un générateur électrochimique (pile).

• À l'électrode de graphite :
  D'après le texte, les atomes de lithium désintercalés s'ionisent en libérant un électron :

  \mathrm{LiC}_{6(\text{s})} = \mathrm{C}_{6(\text{s})} + \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^-

  Cette transformation est une libération d'électrons, c'est-à-dire une oxydation.
  Par définition, l'électrode où se déroule l'oxydation est l'anode.

  \boxed{\text{Anode (électrode de graphite) : } \mathrm{LiC}_{6(\text{s})} = \mathrm{C}_{6(\text{s})} + \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^-}

• À l'électrode d'oxyde de cobalt :
  Les ions \mathrm{Li}^+ et les électrons s'insèrent dans le réseau de l'oxyde de cobalt pour former \mathrm{LiCoO}_{2(\text{s})} :

  \mathrm{CoO}_{2(\text{s})} + \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^- = \mathrm{LiCoO}_{2(\text{s})}

  Cette transformation est une capture d'électrons, c'est-à-dire une réduction.
  Par définition, l'électrode où se déroule la réduction est la cathode.

  \boxed{\text{Cathode (électrode d'oxyde de cobalt) : } \mathrm{CoO}_{2(\text{s})} + \mathrm{Li}^+ + \mathrm{e}^- = \mathrm{LiCoO}_{2(\text{s})}}

1. Équations bilans de fonctionnement

En sommant membre à membre les deux demi-équations électroniques établies à la question précédente, on obtient l'équation-bilan lors de la décharge :

Lors de la charge, l'accumulateur fonctionne en récepteur électrochimique (électrolyse forcée par un générateur extérieur) ; la transformation inverse a lieu :

2. Complétion de la figure C (cas de la décharge)

Lors de la décharge (fonctionnement en générateur spontané) :

• L'électrode de graphite \mathrm{LiC}_{6(\text{s})} (en bas) est le siège d'une oxydation : c'est l'anode, qui constitue la borne négative (-) de la pile. Les électrons y sont libérés.
• L'électrode d'oxyde de cobalt \mathrm{CoO}_{2(\text{s})} (en haut) est le siège d'une réduction : c'est la cathode, qui constitue la borne positive (+) de la pile. Les électrons y sont consommés.
• Sens des électrons : dans le circuit extérieur, ils circulent de l'anode (graphite, en bas) vers la cathode (oxyde de cobalt, en haut).
• Sens conventionnel du courant I : dans le circuit extérieur, il est opposé au déplacement des électrons, donc il circule de la cathode (pôle +, en haut) vers l'anode (pôle -, en bas).

D'après la question Q27, la demi-équation électronique à l'anode lors de la décharge s'écrit :

L'oxydation d'une mole de \mathrm{LiC}_{6\text{ (s)}} libère donc une mole d'électrons :

La charge électrique totale que la batterie peut débiter au cours d'une décharge complète correspond à sa capacité électrique Q. Elle est reliée à la quantité de matière d'électrons par :

où F est la constante de Faraday.

La masse molaire de \mathrm{LiC}_{6\text{ (s)}} vaut :

En supposant la réaction totale et en l'absence de pertes ou de matière résiduelle non cyclable, la masse minimale de lithium-graphite nécessaire pour assurer cette capacité est :

D'après le tableau 1, Q = 1440\text{ mA}\cdot\text{h} = 1{,}440\text{ A}\cdot\text{h}. Avec la conversion 1\text{ A}\cdot\text{h} = 3600\text{ C} :

D'où l'application numérique :

Compte tenu des deux chiffres significatifs sur M_{\mathrm{Li}} :

L'énergie électrique \mathcal{E} délivrable par la batterie sous sa tension nominale à vide E_0 correspond au produit de la tension par la capacité électrique Q de la pile :

L'énergie massique e_m de la pile est le rapport de cette énergie à la masse m_{\text{pile}} de la batterie :

D'après le tableau 1 de l'énoncé, on dispose des grandeurs suivantes :

• Tension à vide : E_0 = 3{,}8\text{ V} ;
• Capacité électrique : Q = 1440\text{ mA}\cdot\text{h} = 1{,}44\text{ A}\cdot\text{h} ;
• Masse de la pile : m_{\text{pile}} = 25\text{ g} = 25 \times 10^{-3}\text{ kg}.

L'énergie totale stockée vaut :

On en déduit l'énergie massique :

Ce résultat est en parfait accord avec la valeur de 218\text{ W}\cdot\text{h}\cdot\text{kg}^{-1} annoncée dans le tableau 1 (l'écart relatif est inférieur à 0{,}5\,\%, imputable aux arrondis sur la tension nominale ou la capacité).

La transformation chimique mise en jeu est une réaction d'oxydoréduction faisant intervenir les deux couples fournis dans les données :

• le couple \mathrm{Li}^+_{(\text{aq})}/\mathrm{Li}_{(\text{s})} (E_1^\circ = -3{,}04\text{ V}), pour lequel le lithium solide subit une oxydation :

  \mathrm{Li}_{(\text{s})} = \mathrm{Li}^+_{(\text{aq})} + \mathrm{e}^-

• le couple de réduction de l'eau \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\text{l})}/\mathrm{H}_{2(\text{g})} en milieu basique (E_2^\circ = -0{,}83\text{ V}) :

  2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\text{l})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\text{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\text{aq})}

Le dégagement gazeux observé est constitué de dihydrogène \mathrm{H}_{2(\text{g})}.

En combinant ces deux demi-équations électroniques de manière à équilibrer le transfert d'électrons, on obtient l'équation-bilan de la réaction :

(ou sous forme simplifiée : \mathrm{Li}_{(\text{s})} + \mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\text{l})} \longrightarrow \mathrm{Li}^+_{(\text{aq})} + \mathrm{HO}^-_{(\text{aq})} + \frac{1}{2}\,\mathrm{H}_{2(\text{g})}).

L'analyse conjointe des tableaux et de la figure 11 permet de distinguer les effets selon le domaine de température :

1. À très basse température (T < 0\text{ }^\circ\text{C}) :

• Chute drastique de la capacité électrique (tableau 2) : à 25\text{ }^\circ\text{C}, la capacité vaut 1440\text{ mA}\cdot\text{h}. Elle chute à 650\text{ mA}\cdot\text{h} à -20\text{ }^\circ\text{C} et tombe à seulement 168\text{ mA}\cdot\text{h} à -40\text{ }^\circ\text{C} (soit moins de 12\,\% de sa valeur nominale). Cela engendre une perte majeure d'autonomie du smartphone, voire son extinction inopinée.
• Changement d'état de l'électrolyte (tableau 3) : l'électrolyte commence à geler dès -35\text{ }^\circ\text{C} (apparition d'une phase solide) et devient totalement solide à -42{,}5\text{ }^\circ\text{C}. La mobilité des ions \mathrm{Li}^+ au sein de l'électrolyte s'effondre, augmentant fortement la résistance interne de la batterie et bloquant le transfert ionique nécessaire à la décharge.

2. À très haute température :

• Risque d'emballement thermique et d'explosion (figure 11) : une température excessive peut déclencher des réactions chimiques parasites exothermiques (décomposition de l'électrolyte et des électrodes), menant à un emballement thermique (thermal runaway). Comme le montrent les clichés de la figure 11, cela se traduit par une inflammation brutale, un incendie avec projection d'étincelles ou une explosion de l'appareil.

• Émission de gaz dangereux et toxiques (légende de la figure 11) : la combustion de la batterie et de ses enveloppes polymères dégage :

  • du monoxyde de carbone \mathrm{CO}, asphyxiant et toxique car il se lie préférentiellement à l'hémoglobine ;
  • des acides halogénés volatils \mathrm{HF} et \mathrm{HCl}, hautement corrosifs et potentiellement mortels par inhalation ;
  • du dioxyde de soufre \mathrm{SO}_2, gaz irritant et toxique ;
  • du dihydrogène \mathrm{H}_2, gaz inflammable susceptible de former un mélange explosif avec l'air.

Pour un réfrigérateur ou un congélateur, la grandeur utile est le transfert thermique Q_f > 0 prélevé à la source froide pour la maintenir à basse température, et la grandeur coûteuse est le travail électrique (ou mécanique) W > 0 fourni au compresseur. L'efficacité s'écrit de manière générale :

L'efficacité de Carnot correspond au cas limite d'un cycle idéal réversible opérant entre deux thermostats de températures absolues T_f et T_c (T_f < T_c).

Considérons le fluide caloporteur décrivant un cycle de fonctionnement complet. Les fonctions d'état du fluide retrouvent leur valeur initiale :

• D'après le premier principe de la thermodynamique :

  \begin{aligned} \Delta U = 0 &\implies W + Q_f + Q_c = 0 \\ &\implies W = -(Q_f + Q_c) \end{aligned}

• D'après le second principe de la thermodynamique appliqué à un cycle réversible (\Delta S = 0 et création d'entropie S_{\text{cr}} = 0) :

  \Delta S = \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c} + S_{\text{cr}} = \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c} = 0 \implies Q_c = - \frac{T_c}{T_f} Q_f

En injectant cette relation dans l'expression du travail :

On en déduit l'expression de l'efficacité de Carnot :

D'après l'expression établie à la question Q33, l'efficacité de Carnot s'écrit :

Les températures données dans le préambule de la partie IV doivent être converties en kelvins :

L'écart de température entre les deux sources vaut :

On en déduit la valeur numérique de l'efficacité maximale théorique :

L'énergie thermique à extraire du téléphone pour faire passer sa température de T_c = 19\text{ }^\circ\text{C} à T_f = -18\text{ }^\circ\text{C} s'écrit :

Avec les données numériques :

• m = 150\text{ g} = 0{,}150\text{ kg},
• c_m(\text{tel}) = 2{,}4\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} = 2{,}4 \times 10^3\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1},
• \Delta T = T_c - T_f = 19 - (-18) = 37\text{ K}.

On obtient :

Par définition de l'efficacité d'une machine frigorifique, le transfert thermique extrait à la source froide pendant une durée \Delta t sous une puissance électrique consommée P = 250\text{ W} s'exprime par :

La puissance frigorifique disponible vaut donc :

En supposant dans un premier temps que l'intégralité de la puissance frigorifique est allouée au refroidissement du téléphone, le temps nécessaire s'évalue par :

Pour transformer une masse m d'eau liquide initialement à T_c = 19\text{ }^\circ\text{C} en glace à T_f = -18\text{ }^\circ\text{C}, sous pression atmosphérique constante, il faut lui extraire une énergie thermique :

où le transfert thermique massique à extraire se décompose en trois étapes :

• le refroidissement de l'eau liquide de T_c = 19\text{ }^\circ\text{C} à T_{\text{fus}} = 0\text{ }^\circ\text{C} :

  q_1 = c_m(\mathrm{H_2O_{(l)}}) \, (T_c - T_{\text{fus}})

• le changement d'état (solidification complète à 0\text{ }^\circ\text{C}) :

  q_2 = l

  où l est l'enthalpie massique de fusion de la glace ;

• le refroidissement de l'eau solide de T_{\text{fus}} = 0\text{ }^\circ\text{C} à T_f = -18\text{ }^\circ\text{C} :

  q_3 = c_m(\mathrm{H_2O_{(s)}}) \, (T_{\text{fus}} - T_f)

Le transfert thermique massique total à extraire s'écrit donc :

D'après la question Q35, la puissance thermique utile (puissance frigorifique) disponible à la source froide vaut :

Pendant une durée \Delta t = 1\text{ h} = 3600\text{ s}, l'énergie thermique maximale que le congélateur peut extraire à la source froide est :

En égalant cette énergie à l'énergie nécessaire Q_{\text{ext}}, on obtient la masse maximale d'eau congelable :

Application numérique :

Commentaire : La formation de givre est due à la condensation et à la congélation de la vapeur d'eau contenue dans l'air ambiant qui pénètre lors de l'ouverture du congélateur. La masse d'eau ainsi introduite est généralement de l'ordre de quelques grammes à quelques dizaines de grammes. Elle est donc très inférieure à la capacité maximale horaire du compresseur (6{,}4\text{ kg}), ce qui confirme que la simple formation de givre ne surcharge pas thermiquement le congélateur sur de courtes périodes. En revanche, à plus long terme, la couche de givre accumulée agit comme un isolant thermique sur l'évaporateur et en dégrade l'efficacité.

Le congélateur est séparé du laboratoire par des parois solides constituées d'un matériau isolant d'épaisseur D et de conductivité thermique \lambda.

À travers ce milieu matériel solide opaque et immobile, le mécanisme majeur de transfert thermique est la conduction thermique (ou diffusion thermique), décrit macroscopiquement par la loi de Fourier.

Considérons une paroi plane d'isolant de conductivité thermique \lambda uniforme, d'épaisseur D et de section transverse S. On oriente l'axe (Ox) perpendiculairement à la paroi de l'intérieur vers l'extérieur :

• en x = 0 (face interne en contact avec l'enceinte froide) : T(0) = T_f ;
• en x = D (face externe en contact avec le laboratoire) : T(D) = T_c.

En l'absence de source volumique d'énergie et sous l'hypothèse d'un transfert thermique unidimensionnel, l'équation de la diffusion thermique vérifiée par le champ de température T(x, t) s'écrit :

En régime stationnaire, \dfrac{\partial T}{\partial t} = 0, ce qui conduit à :

Par double intégration successive par rapport à x, il vient :

où A et B sont deux constantes d'intégration déterminées par les conditions aux limites :

On obtient ainsi un profil de température affine au sein de la paroi :

D'après la question Q38, en régime stationnaire et dans le cadre du modèle unidimensionnel, la densité de flux thermique entrant à travers une paroi d'épaisseur D et de conductivité \lambda sous l'écart de température \Delta T = T_c - T_f est uniforme et s'écrit :

Le flux thermique total reçu par l'enceinte froide à travers l'ensemble des parois de surface totale S s'exprime donc par :

Pour que le congélateur maintienne sa température de consigne T_f = -18\text{ }^\circ\text{C}, ces pertes thermiques ne doivent pas excéder la fraction p = 20\,\% de la puissance P = 250\text{ W} du compresseur :

On en déduit la condition sur l'épaisseur D :

Estimation de la surface S : Un congélateur compact de laboratoire ou de type « table top » présente un volume utile de l'ordre de 100\text{ à }150\text{ L}. En le modélisant par une enceinte cubique de côté L \approx 0{,}5\text{ m} (soit un volume intérieur V \approx 125\text{ L}), la surface totale des six faces vaut :

Pour un modèle légèrement plus grand (L \approx 0{,}6\text{ m}, soit V \approx 200\text{ L}), on aurait S \approx 2\text{ m}^2.

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• \lambda = \lambda_{\text{polyuréthane}} = 0{,}03\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} ;
• T_c - T_f = 19 - (-18) = 37\text{ K} ;
• p = 0{,}20 et P = 250\text{ W}, soit p P = 50\text{ W} ;
• S \approx 1{,}5\text{ m}^2 (ou 2{,}0\text{ m}^2).

Il vient :

Pour S \approx 2{,}0\text{ m}^2, on obtient D_{\min} \approx 4{,}4\text{ cm}.