Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2020

L'annexe 1 précise que le nombre de Froude de coque est défini par :

et qu'il « compare la vitesse du bateau à la vitesse des ondes de gravité ayant pour longueur d'onde la longueur du bateau ».

Puisque \mathrm{Fr} = \frac{U}{v(L)}, la vitesse caractéristique v(L) de ces ondes de gravité de longueur d'onde L s'identifie au dénominateur du nombre de Froude. On en déduit ainsi son ordre de grandeur :

On étudie un point matériel de masse m en chute libre dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{u}_z, lâché sans vitesse initiale depuis une altitude z_0 jusqu'à z_0 - L, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le poids étant la seule force appliquée et dérivant de l'énergie potentielle E_p(z) = mgz + \text{cte}, l'énergie mécanique du système est conservée :

Entre l'instant initial (vitesse nulle) et l'instant final où la vitesse est notée v, il vient :

D'où l'expression de la vitesse en fin de chute libre :

Comparaison : Cette vitesse est, à un facteur multiplicatif \sqrt{2} \approx 1{,}41 près, identique à l'estimation de la célérité des ondes de gravité de longueur d'onde L obtenue à la question Q1, soit v(L) \sim \sqrt{gL}.

Un nombre sans dimension fondamental en dynamique des fluides est le nombre de Reynolds, noté \mathrm{Re}.

Pour un écoulement caractérisé par une vitesse typique U et une dimension spatiale caractéristique L, au sein d'un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta (soit une viscosité cinématique \nu = \frac{\eta}{\rho}), il est défini par :

Ce nombre compare les forces d'inertie (associées au terme de transport convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} dans l'équation de Navier-Stokes, de l'ordre de \rho \frac{U^2}{L}) aux forces visqueuses (associées au terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v}, de l'ordre de \eta \frac{U}{L^2}).

1. Estimation de la taille L du bateau et de son incertitude

Sur le cliché intermédiaire (en haut à droite de la figure 3) présentant la barre d'échelle de 100\text{ m} :

• La barre de 100\text{ m} mesure sur l'épreuve environ d_{\text{éch}} \approx 14\text{ mm}, soit une échelle spatiale d'environ 7\text{ m}\cdot\text{mm}^{-1}.
• Le bateau apparaît comme une tache blanche allongée de longueur mesurée à la règle \ell \approx 2{,}0\text{ mm} (ou une dizaine de pixels sur le zoom).

On en déduit la longueur réelle du navire :

L'incertitude de lecture est dominée par la pixellisation et le flou d'écume aux extrémités de la coque, de l'ordre de \Delta \ell \approx \pm 0{,}4\text{ mm} (soit 2 à 3 pixels). On a donc \Delta L \approx \Delta\ell \times \frac{100}{d_{\text{éch}}} \approx \pm 3\text{ m}.

Remarque : cette valeur est en parfait accord avec la longueur typique d'une vedette de plaisance de 52\text{ pieds} \approx 16\text{ m} mentionnée à la question Q14.

2. Estimation du demi-angle du sillage \alpha

D'après la figure 2, \alpha est le demi-angle au sommet de l'enveloppe en V du sillage.

• On trace les deux droites délimitant les bras les plus externes du sillage sur le cliché intermédiaire (ou inférieur).
• L'angle total au sommet mesuré au rapporteur vaut 2\alpha \approx 18^\circ \pm 2^\circ.

Le demi-angle de sillage est donc :

Cette valeur est confirmée par la légende de la figure 3 de l'annexe 1 (« sillage étroit, d'environ 9 degrés »).

3. Estimation de la vitesse U du bateau

Les relations (I.1) fournies par l'énoncé s'écrivent :

ce qui conduit à :

Dans le sillage, les crêtes des ondes divergentes sont nettement visibles :

• La normale aux crêtes (direction du vecteur d'onde \vec{k}) fait un angle \theta avec l'axe de la trajectoire mesuré à \theta \approx 55^\circ \pm 5^\circ (soit \cos\theta \approx 0{,}57).
• En mesurant la distance séparant plusieurs crêtes successives sur le cliché du sillage à l'aide de l'échelle, on évalue la longueur d'onde divergente à \lambda \approx 12 \pm 3\text{ m}.

On en déduit la longueur d'onde axiale associée :

Puis la vitesse du navire :

Si l'on mesure plutôt sur le paquet d'ondes le plus énergétique une longueur apparente \lambda \approx 15\text{ m} et un angle de propagation plus rasant \theta \approx 60^\circ (\cos\theta = 0{,}50), on obtient \lambda_g \approx 60\text{ m}, soit U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à 12\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (35 à 45\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, soit environ 20 à 25 nœuds).

Compte tenu des incertitudes de mesure sur l'image satellitaire, on retiendra :

La représentation graphique de la figure 4 donne le demi-angle du sillage \alpha (en degrés) en fonction du nombre de Froude \mathrm{Fr}.

Le nombre de Froude associé aux estimations de la question Q4 s'écrit :

Avec U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, L \approx 14\text{ m} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Compte tenu des incertitudes sur U et L, on a \mathrm{Fr} \in [0{,}7 \,;\, 1{,}1]. Le demi-angle mesuré est \alpha \approx 9^\circ \pm 1^\circ.

Les coordonnées de ce sillage sur la figure 4 sont donc :

Commentaires :

• Le nombre de Froude est nettement supérieur à la valeur seuil critique \mathrm{Fr}_c \approx 0{,}5. On n'est donc pas dans le régime classique de Kelvin où l'angle est constant et égal à \alpha_0 \approx 19{,}47^\circ.
• Ce point se situe dans le régime des bateaux rapides où le demi-angle décroît selon une loi en 1/\mathrm{Fr}, analogue à celle d'un cône de Mach.
• La photographie de la figure 3 correspond précisément à l'une des données de terrain exploitées par Rabaud et Moisy (figure 3 de l'annexe 1) pour valider leur courbe maîtresse et mettre en évidence ce rétrécissement du sillage.

Dans le Système International d'unités (SI), le coefficient de tension de surface \gamma s'exprime en :

Cette grandeur peut s'interpréter sous deux angles équivalents :

• Aspect énergétique : elle représente l'énergie surfacique d'interface, c'est-à-dire le travail réversible nécessaire pour accroître l'aire de l'interface d'une unité de surface à température et volume constants (\mathrm{d}W = \gamma\,\mathrm{d}\mathcal{S}) ;
• Aspect mécanique : elle mesure la force de traction tangentielle par unité de longueur exercée le long d'une ligne frontière de l'interface, tendant à minimiser l'aire libre du fluide en raison des forces de cohésion intermoléculaires non compensées à la surface.

Dans le système international d'unités, les dimensions fondamentales des différentes grandeurs s'écrivent :

Puisque le nombre de Weber \mathrm{We} est sans dimension ([\mathrm{We}] = 1) et inversement proportionnel à \gamma, on cherche une relation sous la forme :

L'adimensionnalité impose :

On obtient le système d'équations sur les puissances :

À une constante multiplicative sans dimension près (conventionnellement prise égale à 1), le nombre de Weber s'écrit :

D'après l'expression établie à la question Q7, le nombre de Weber s'écrit :

En utilisant les valeurs numériques données par l'énoncé et estimées à la question Q4 :

• \rho = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \gamma = 7 \times 10^{-2}\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} ;
• L \approx 14\text{ m} ;
• U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On obtient :

Le nombre de Weber étant très supérieur à l'unité, les effets inertiels dominent considérablement les effets de tension superficielle à l'échelle d'un navire. Il est donc pleinement justifié de négliger la tension de surface dans la modélisation hydrodynamique pour la suite du sujet.

Lors de la formation d'une onde à la surface de l'eau, le fluide subit une déformation verticale : des crêtes s'élèvent au-dessus du niveau moyen d'équilibre et des creux se forment en dessous.

Dans le champ de pesanteur terrestre \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, le déplacement de matière fluide par rapport à sa position d'équilibre modifie l'altitude du centre de masse des éléments de fluide.

L'énergie mise en jeu, en dehors de l'énergie cinétique associée au mouvement des particules fluides, est donc :

Considérons une vague sinusoïdale de longueur d'onde \lambda, d'amplitude a et de largeur unité (\ell = 1) selon la direction transverse (le long de la ligne de crête).

• Volume au-dessus du niveau zéro : la zone surélevée s'étend sur une demi-longueur d'onde environ (\sim \lambda/2) avec une hauteur maximale a. L'ordre de grandeur du volume d'eau situé au-dessus de z=0 par unité de longueur de crête est :

  V' \sim a\,\lambda

• Masse correspondante : la masse d'eau associée vaut :

  m' = \rho\,V' \sim \rho\,a\,\lambda

• Altitude du centre de gravité : le centre de gravité de cette bosse d'eau se trouve à une hauteur de l'ordre de :

  z_G \sim a

L'énergie potentielle de pesanteur acquise par unité de longueur de vague (par rapport à la surface plane au repos) s'écrit alors :

Fréquence de production des vagues :

Le bateau se déplace à la vitesse U et génère des vagues de longueur d'onde \lambda. Le temps nécessaire pour que le bateau parcoure une longueur d'onde est la période d'émission :

La fréquence de production de ces vagues est donc l'inverse de cette durée :

Ordre de grandeur de leur largeur :

D'après le préambule du sujet, la longueur L du navire est supposée être la seule caractéristique géométrique pertinente. Par conséquent, l'extension spatiale transverse de la vague (la longueur de sa crête, notée \ell) est fixée par cette échelle :

D'après les questions Q10 et Q11, l'énergie d'une vague par unité de longueur est E_{p,\ell} \sim \rho g a^2 \lambda (l'énergie cinétique moyenne étant du même ordre, l'énergie mécanique totale par unité de longueur reste du même ordre de grandeur).

Pour une vague de largeur de crête \ell \sim L, l'énergie mécanique totale contenue dans une vague s'estime par :

Le navire produisant ces vagues à la fréquence f \sim \dfrac{U}{\lambda}, la puissance totale rayonnée dans les vagues correspond au flux temporel d'énergie :

La longueur d'onde \lambda se simplifie, ce qui conduit à :

Cette puissance rayonnée provient du travail résistant de la force de traînée de vague \vec{F} exercée par l'eau sur le navire avançant à la vitesse U. En régime permanent, la puissance fournie pour vaincre cette traînée est P = F U, d'où l'expression de la force de traînée :

D'après la question Q12, la puissance dissipée dans les vagues s'estime par :

Les données et estimations précédentes sont :

• \rho = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• L \approx 14\text{ m} (question Q4) ;
• U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question Q4).

Pour une telle vedette, les vagues générées ont typiquement une amplitude de l'ordre de a \approx 0{,}5\text{ m} (soit quelques décimètres à un mètre). Cette valeur est bien compatible avec l'hypothèse de petites vagues, puisque la longueur d'onde axiale vaut \lambda_g = \frac{2\pi U^2}{g} \approx 64\text{ m}, d'où a \ll \lambda_g.

En injectant ces grandeurs :

En ordre de grandeur, la puissance rayonnée par traînée de vague est donc :

(soit quelques centaines de kilowatts).

Convertissons les caractéristiques fournies dans le Système International à l'aide des données du sujet :

• La longueur du bateau de 52 pieds vaut :

  L' = 52 \times 0{,}3048 \approx 15{,}8\text{ m}

  Cette valeur est en excellent accord avec l'estimation de la longueur du bateau de la figure 3 (L \approx 14 \pm 3\text{ m} à la question Q4).

• La puissance nominale du moteur s'élève à :

  P_{\text{moteur}} = 715 \times 746\text{ W} \approx 5{,}33 \times 10^{5}\text{ W} \approx 530\text{ kW}

À la question Q13, la puissance dissipée dans le sillage de vagues a été estimée à :

On constate que la puissance dissipée par traînée de vague est du même ordre de grandeur que la puissance totale délivrée par le moteur :

Conclusion :

• La traînée de vague absorbe à elle seule une fraction majeure (plus de la moitié) de la puissance fournie par la motorisation, d'autant plus que le rendement propulsif d'une hélice n'excède guère 60 à 70\,\%.
• Cela confirme pleinement l'observation rapportée dans l'annexe 1 : à grande vitesse (ici \mathrm{Fr} \approx 0{,}9), la traînée de vague devient le mécanisme prépondérant de résistance à l'avancement, dominant largement le frottement visqueux le long de la coque.
• Cette concordance valide a posteriori la pertinence de l'ordre de grandeur de l'amplitude des vagues choisi à la question Q13 (a \sim 0{,}5\text{ m}).