Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2020

L'annexe 1 précise que le nombre de Froude de coque est défini par :

et qu'il « compare la vitesse du bateau à la vitesse des ondes de gravité ayant pour longueur d'onde la longueur du bateau ».

Puisque \mathrm{Fr} = \frac{U}{v(L)}, la vitesse caractéristique v(L) de ces ondes de gravité de longueur d'onde L s'identifie au dénominateur du nombre de Froude. On en déduit ainsi son ordre de grandeur :

On étudie un point matériel de masse m en chute libre dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\vec{u}_z, lâché sans vitesse initiale depuis une altitude z_0 jusqu'à z_0 - L, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Le poids étant la seule force appliquée et dérivant de l'énergie potentielle E_p(z) = mgz + \text{cte}, l'énergie mécanique du système est conservée :

Entre l'instant initial (vitesse nulle) et l'instant final où la vitesse est notée v, il vient :

D'où l'expression de la vitesse en fin de chute libre :

Comparaison : Cette vitesse est, à un facteur multiplicatif \sqrt{2} \approx 1{,}41 près, identique à l'estimation de la célérité des ondes de gravité de longueur d'onde L obtenue à la question Q1, soit v(L) \sim \sqrt{gL}.

Un nombre sans dimension fondamental en dynamique des fluides est le nombre de Reynolds, noté \mathrm{Re}.

Pour un écoulement caractérisé par une vitesse typique U et une dimension spatiale caractéristique L, au sein d'un fluide de masse volumique \rho et de viscosité dynamique \eta (soit une viscosité cinématique \nu = \frac{\eta}{\rho}), il est défini par :

Ce nombre compare les forces d'inertie (associées au terme de transport convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} dans l'équation de Navier-Stokes, de l'ordre de \rho \frac{U^2}{L}) aux forces visqueuses (associées au terme de diffusion visqueuse \eta \Delta \vec{v}, de l'ordre de \eta \frac{U}{L^2}).

1. Estimation de la taille L du bateau et de son incertitude

Sur le cliché intermédiaire (en haut à droite de la figure 3) présentant la barre d'échelle de 100\text{ m} :

• La barre de 100\text{ m} mesure sur l'épreuve environ d_{\text{éch}} \approx 14\text{ mm}, soit une échelle spatiale d'environ 7\text{ m}\cdot\text{mm}^{-1}.
• Le bateau apparaît comme une tache blanche allongée de longueur mesurée à la règle \ell \approx 2{,}0\text{ mm} (ou une dizaine de pixels sur le zoom).

On en déduit la longueur réelle du navire :

L'incertitude de lecture est dominée par la pixellisation et le flou d'écume aux extrémités de la coque, de l'ordre de \Delta \ell \approx \pm 0{,}4\text{ mm} (soit 2 à 3 pixels). On a donc \Delta L \approx \Delta\ell \times \frac{100}{d_{\text{éch}}} \approx \pm 3\text{ m}.

Remarque : cette valeur est en parfait accord avec la longueur typique d'une vedette de plaisance de 52\text{ pieds} \approx 16\text{ m} mentionnée à la question Q14.

2. Estimation du demi-angle du sillage \alpha

D'après la figure 2, \alpha est le demi-angle au sommet de l'enveloppe en V du sillage.

• On trace les deux droites délimitant les bras les plus externes du sillage sur le cliché intermédiaire (ou inférieur).
• L'angle total au sommet mesuré au rapporteur vaut 2\alpha \approx 18^\circ \pm 2^\circ.

Le demi-angle de sillage est donc :

Cette valeur est confirmée par la légende de la figure 3 de l'annexe 1 (« sillage étroit, d'environ 9 degrés »).

3. Estimation de la vitesse U du bateau

Les relations (I.1) fournies par l'énoncé s'écrivent :

ce qui conduit à :

Dans le sillage, les crêtes des ondes divergentes sont nettement visibles :

• La normale aux crêtes (direction du vecteur d'onde \vec{k}) fait un angle \theta avec l'axe de la trajectoire mesuré à \theta \approx 55^\circ \pm 5^\circ (soit \cos\theta \approx 0{,}57).
• En mesurant la distance séparant plusieurs crêtes successives sur le cliché du sillage à l'aide de l'échelle, on évalue la longueur d'onde divergente à \lambda \approx 12 \pm 3\text{ m}.

On en déduit la longueur d'onde axiale associée :

Puis la vitesse du navire :

Si l'on mesure plutôt sur le paquet d'ondes le plus énergétique une longueur apparente \lambda \approx 15\text{ m} et un angle de propagation plus rasant \theta \approx 60^\circ (\cos\theta = 0{,}50), on obtient \lambda_g \approx 60\text{ m}, soit U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} à 12\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (35 à 45\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, soit environ 20 à 25 nœuds).

Compte tenu des incertitudes de mesure sur l'image satellitaire, on retiendra :

La représentation graphique de la figure 4 donne le demi-angle du sillage \alpha (en degrés) en fonction du nombre de Froude \mathrm{Fr}.

Le nombre de Froude associé aux estimations de la question Q4 s'écrit :

Avec U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, L \approx 14\text{ m} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

Compte tenu des incertitudes sur U et L, on a \mathrm{Fr} \in [0{,}7 \,;\, 1{,}1]. Le demi-angle mesuré est \alpha \approx 9^\circ \pm 1^\circ.

Les coordonnées de ce sillage sur la figure 4 sont donc :

Commentaires :

• Le nombre de Froude est nettement supérieur à la valeur seuil critique \mathrm{Fr}_c \approx 0{,}5. On n'est donc pas dans le régime classique de Kelvin où l'angle est constant et égal à \alpha_0 \approx 19{,}47^\circ.
• Ce point se situe dans le régime des bateaux rapides où le demi-angle décroît selon une loi en 1/\mathrm{Fr}, analogue à celle d'un cône de Mach.
• La photographie de la figure 3 correspond précisément à l'une des données de terrain exploitées par Rabaud et Moisy (figure 3 de l'annexe 1) pour valider leur courbe maîtresse et mettre en évidence ce rétrécissement du sillage.

Dans le Système International d'unités (SI), le coefficient de tension de surface \gamma s'exprime en :

Cette grandeur peut s'interpréter sous deux angles équivalents :

• Aspect énergétique : elle représente l'énergie surfacique d'interface, c'est-à-dire le travail réversible nécessaire pour accroître l'aire de l'interface d'une unité de surface à température et volume constants (\mathrm{d}W = \gamma\,\mathrm{d}\mathcal{S}) ;
• Aspect mécanique : elle mesure la force de traction tangentielle par unité de longueur exercée le long d'une ligne frontière de l'interface, tendant à minimiser l'aire libre du fluide en raison des forces de cohésion intermoléculaires non compensées à la surface.

Dans le système international d'unités, les dimensions fondamentales des différentes grandeurs s'écrivent :

Puisque le nombre de Weber \mathrm{We} est sans dimension ([\mathrm{We}] = 1) et inversement proportionnel à \gamma, on cherche une relation sous la forme :

L'adimensionnalité impose :

On obtient le système d'équations sur les puissances :

À une constante multiplicative sans dimension près (conventionnellement prise égale à 1), le nombre de Weber s'écrit :

D'après l'expression établie à la question Q7, le nombre de Weber s'écrit :

En utilisant les valeurs numériques données par l'énoncé et estimées à la question Q4 :

• \rho = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \gamma = 7 \times 10^{-2}\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} ;
• L \approx 14\text{ m} ;
• U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On obtient :

Le nombre de Weber étant très supérieur à l'unité, les effets inertiels dominent considérablement les effets de tension superficielle à l'échelle d'un navire. Il est donc pleinement justifié de négliger la tension de surface dans la modélisation hydrodynamique pour la suite du sujet.

Lors de la formation d'une onde à la surface de l'eau, le fluide subit une déformation verticale : des crêtes s'élèvent au-dessus du niveau moyen d'équilibre et des creux se forment en dessous.

Dans le champ de pesanteur terrestre \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, le déplacement de matière fluide par rapport à sa position d'équilibre modifie l'altitude du centre de masse des éléments de fluide.

L'énergie mise en jeu, en dehors de l'énergie cinétique associée au mouvement des particules fluides, est donc :

Considérons une vague sinusoïdale de longueur d'onde \lambda, d'amplitude a et de largeur unité (\ell = 1) selon la direction transverse (le long de la ligne de crête).

• Volume au-dessus du niveau zéro : la zone surélevée s'étend sur une demi-longueur d'onde environ (\sim \lambda/2) avec une hauteur maximale a. L'ordre de grandeur du volume d'eau situé au-dessus de z=0 par unité de longueur de crête est :

  V' \sim a\,\lambda

• Masse correspondante : la masse d'eau associée vaut :

  m' = \rho\,V' \sim \rho\,a\,\lambda

• Altitude du centre de gravité : le centre de gravité de cette bosse d'eau se trouve à une hauteur de l'ordre de :

  z_G \sim a

L'énergie potentielle de pesanteur acquise par unité de longueur de vague (par rapport à la surface plane au repos) s'écrit alors :

Fréquence de production des vagues :

Le bateau se déplace à la vitesse U et génère des vagues de longueur d'onde \lambda. Le temps nécessaire pour que le bateau parcoure une longueur d'onde est la période d'émission :

La fréquence de production de ces vagues est donc l'inverse de cette durée :

Ordre de grandeur de leur largeur :

D'après le préambule du sujet, la longueur L du navire est supposée être la seule caractéristique géométrique pertinente. Par conséquent, l'extension spatiale transverse de la vague (la longueur de sa crête, notée \ell) est fixée par cette échelle :

D'après les questions Q10 et Q11, l'énergie d'une vague par unité de longueur est E_{p,\ell} \sim \rho g a^2 \lambda (l'énergie cinétique moyenne étant du même ordre, l'énergie mécanique totale par unité de longueur reste du même ordre de grandeur).

Pour une vague de largeur de crête \ell \sim L, l'énergie mécanique totale contenue dans une vague s'estime par :

Le navire produisant ces vagues à la fréquence f \sim \dfrac{U}{\lambda}, la puissance totale rayonnée dans les vagues correspond au flux temporel d'énergie :

La longueur d'onde \lambda se simplifie, ce qui conduit à :

Cette puissance rayonnée provient du travail résistant de la force de traînée de vague \vec{F} exercée par l'eau sur le navire avançant à la vitesse U. En régime permanent, la puissance fournie pour vaincre cette traînée est P = F U, d'où l'expression de la force de traînée :

D'après la question Q12, la puissance dissipée dans les vagues s'estime par :

Les données et estimations précédentes sont :

• \rho = 1{,}00 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• L \approx 14\text{ m} (question Q4) ;
• U \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question Q4).

Pour une telle vedette, les vagues générées ont typiquement une amplitude de l'ordre de a \approx 0{,}5\text{ m} (soit quelques décimètres à un mètre). Cette valeur est bien compatible avec l'hypothèse de petites vagues, puisque la longueur d'onde axiale vaut \lambda_g = \frac{2\pi U^2}{g} \approx 64\text{ m}, d'où a \ll \lambda_g.

En injectant ces grandeurs :

En ordre de grandeur, la puissance rayonnée par traînée de vague est donc :

(soit quelques centaines de kilowatts).

Convertissons les caractéristiques fournies dans le Système International à l'aide des données du sujet :

• La longueur du bateau de 52 pieds vaut :

  L' = 52 \times 0{,}3048 \approx 15{,}8\text{ m}

  Cette valeur est en excellent accord avec l'estimation de la longueur du bateau de la figure 3 (L \approx 14 \pm 3\text{ m} à la question Q4).

• La puissance nominale du moteur s'élève à :

  P_{\text{moteur}} = 715 \times 746\text{ W} \approx 5{,}33 \times 10^{5}\text{ W} \approx 530\text{ kW}

À la question Q13, la puissance dissipée dans le sillage de vagues a été estimée à :

On constate que la puissance dissipée par traînée de vague est du même ordre de grandeur que la puissance totale délivrée par le moteur :

Conclusion :

• La traînée de vague absorbe à elle seule une fraction majeure (plus de la moitié) de la puissance fournie par la motorisation, d'autant plus que le rendement propulsif d'une hélice n'excède guère 60 à 70\,\%.
• Cela confirme pleinement l'observation rapportée dans l'annexe 1 : à grande vitesse (ici \mathrm{Fr} \approx 0{,}9), la traînée de vague devient le mécanisme prépondérant de résistance à l'avancement, dominant largement le frottement visqueux le long de la coque.
• Cette concordance valide a posteriori la pertinence de l'ordre de grandeur de l'amplitude des vagues choisi à la question Q13 (a \sim 0{,}5\text{ m}).

On étudie le satellite, assimilé à un point matériel de masse m, en orbite circulaire de rayon r = R_T + h autour de la Terre supposée à répartition sphérique de masse. Le mouvement est étudié dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen sur la durée d'une orbite.

Le satellite n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre :

où \vec{u}_r est le vecteur unitaire radial dirigé du centre de la Terre vers le satellite.

Pour une trajectoire circulaire de rayon r parcourue à vitesse scalaire v, l'accélération s'écrit dans la base de Frenet :

La deuxième loi de Newton projetée sur la direction normale donne :

La vitesse étant constante, le mouvement est circulaire uniforme. La période de révolution T vérifie 2\pi r = v T, soit :

À la surface de la Terre (r = R_T), l'intensité de la pesanteur g s'identifie au champ gravitationnel :

En substituant cette relation dans l'expression de T, on obtient :

Application numérique : D'après l'annexe 2, pour les satellites SPOT 6 et 7, l'altitude orbitale est h = 694\text{ km} = 6{,}94 \times 10^5\text{ m}. Les données fournies indiquent R_T = 6{,}38 \times 10^6\text{ m} et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

Commentaire : La valeur calculée (98{,}6\text{ min}) est en excellent accord avec la période annoncée dans l'annexe 2 (98{,}79\text{ min}), avec un écart relatif inférieur à 0{,}2\,\%. Ce très faible écart provient de l'aplatissement de la Terre aux pôles (terme quadripolaire J_2 du potentiel terrestre, responsable de la précession de l'orbite héliosynchrone) et des arrondis sur les constantes g et R_T.

Par définition, la résolution r correspond à la distance à la surface de la Terre vue par un pixel du capteur depuis le satellite situé à l'altitude h. Comme la résolution au sol r est très petite devant l'altitude orbitale h (r \ll h), l'approximation des petits angles est parfaitement vérifiée. L'angle sous-tendu \theta_r s'exprime donc par :

D'après les caractéristiques des satellites SPOT 6 et 7 données dans l'annexe 2 :

• l'altitude orbitale est h = 694\text{ km} = 6{,}94 \times 10^{5}\text{ m} ;
• la résolution annoncée en mode panchromatique est r = 1{,}5\text{ m}.

On obtient numériquement :

L'objet observé se situe à la surface de la Terre, à une distance du système optique égale à l'altitude h. Comme h \gg f, l'objet est considéré à l'infini et son image se forme dans le plan focal image du système optique.

Le grandissement transversal en valeur absolue est donné par :

On en déduit l'expression de la distance focale équivalente f :

où \theta_r = \frac{r}{h} est l'angle de résolution déterminé à la question Q16.

Avec les valeurs numériques fournies :

• h = 694\text{ km} = 694 \times 10^3\text{ m} ;
• r = 1{,}5\text{ m} ;
• r_p = 12\text{ }\mu\text{m} = 12 \times 10^{-6}\text{ m}.

Commentaire : La focale équivalente obtenue (f \approx 5{,}6\text{ m}) est considérable : elle est nettement supérieure aux dimensions physiques du satellite (indiquées en annexe 2 comme étant d'environ 1{,}55 \times 1{,}75 \times 2{,}7\text{ m}). Il serait donc impossible d'utiliser une simple lentille ou un tube optique rectiligne.

Cela justifie l'architecture optique retenue (télescope de Korsch à trois miroirs asphériques et deux miroirs de repliement), qui replie le faisceau lumineux plusieurs fois sur lui-même pour loger un trajet optique de plus de 5\text{ m} dans un volume très compact.

La diffraction d'une onde lumineuse de longueur d'onde \lambda_o par une ouverture circulaire de diamètre D (diamètre de la pupille d'entrée ou du miroir principal du télescope) donne lieu à une figure de diffraction appelée tache d'Airy.

L'ordre de grandeur de l'ouverture angulaire (demi-angle au sommet du cône de diffraction, correspondant au premier anneau sombre) est donné par :

Plus précisément, le rayon angulaire du premier zéro de la figure d'Airy s'écrit :

où D = 200\text{ mm} représente le diamètre d'ouverture du miroir principal (mentionné en annexe 2).

Le capteur étant placé dans le plan focal d'un instrument de focale équivalente f, une onde provenant de l'infini et diffractée sous un demi-angle \theta_d forme une tache d'Airy de rayon linéaire :

D'après la question Q18, l'ouverture angulaire s'écrit \theta_d = C \dfrac{\lambda_o}{D}, où C est une constante numérique sans dimension (C = 1{,}22 pour le rayon du premier anneau sombre, ou C = 2{,}44 si l'on considère le diamètre de la tache). Ainsi :

D'après l'annexe 2, les caractéristiques des instruments optiques mentionnent un « nombre d'ouverture (rapport entre diamètre d'ouverture et focale) de 16 ». Dans le vocabulaire usuel de la photographie et de l'optique instrumentale, le nombre d'ouverture noté N_O correspond en réalité au rapport focal :

En identifiant A = C comme constante numérique indéterminée, on obtient bien :

D'après la relation obtenue à la question Q19 :

Avec A = 2,44, N_O = 16 et \lambda_o = 600\text{ nm} = 0,600\text{ }\mu\text{m}, l'application numérique donne :

Commentaire :

• Avec le facteur A = 2 \times 1,22 = 2,44, la grandeur r_d représente le diamètre de la tache d'Airy sur le capteur.
• On constate que r_d \approx 24\text{ }\mu\text{m} = 2 r_p, où r_p = 12\text{ }\mu\text{m} est la taille d'un pixel (donnée en annexe 2). Le diamètre de la tache de diffraction couvre donc exactement deux pixels.
• Ce dimensionnement est optimal : il satisfait le critère d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, garantissant que la résolution du capteur numérique est parfaitement adaptée à la limite de diffraction de l'optique, évitant à la fois le sous-échantillonnage (effet de repliement de spectre ou aliasing) et le sur-échantillonnage inutile.

On peut estimer la résolution spatiale r de l'image satellite par deux méthodes concordantes :

• À partir de l'échelle graphique (image intermédiaire, 500 pixels de large) : La barre d'échelle représentant 100\text{ m} occupe un peu plus de 40\,\% de la largeur totale de l'image, soit environ 210 \pm 20\text{ pixels}. La résolution spatiale vaut donc :

  r = \frac{100\text{ m}}{210\text{ pixels}} \approx 0{,}48\text{ m}\cdot\text{pixel}^{-1}

• À partir du zoom sur le bateau (vignette de 60 pixels de large) : Le bateau s'étend sur environ la moitié de la vignette, soit une longueur d'environ 30 \pm 5\text{ pixels}. Avec la longueur estimée à la question Q4 (L \approx 14\text{ m}), on retrouve :

  r = \frac{L}{N_{\text{pixels}}} \approx \frac{14\text{ m}}{30\text{ pixels}} \approx 0{,}47\text{ m}\cdot\text{pixel}^{-1}

On en déduit l'estimation :

Conclusion : La résolution mesurée (r \approx 45\text{ cm}) est nettement plus fine que la résolution nominale panchromatique des satellites SPOT 6 et 7 (r = 1{,}5\text{ m} d'après l'annexe 2). En revanche, elle coïncide remarquablement avec celle des satellites commerciaux à très haute résolution mentionnés dans l'annexe 2, notamment GeoEye 1, dont la résolution est de 41\text{ cm} par pixel. L'image de la figure 3 provient donc d'un satellite de cette génération et non de la constellation SPOT 6/7.

À l'ordre le plus bas (ordre zéro), le fluide est au repos : la vitesse macroscopique est identiquement nulle,

et la pression est la pression d'équilibre, notée p_0.

L'accélération particulaire s'annule :

L'équation d'Euler (II.1) se réduit ainsi à la relation fondamentale de la statique des fluides :

En tenant compte de \vec{g} = -g\vec{u}_z, il vient :

D'après le résultat de la question Q22, l'équilibre hydrostatique à l'ordre le plus bas vérifie :

Par projection sur les trois axes du repère cartésien, p_0 ne dépend que de la coordonnée verticale z et vérifie :

La masse volumique \rho et l'accélération de la pesanteur g étant supposées constantes dans tout le fluide, une intégration par rapport à z conduit à :

où C est une constante d'intégration.

En l'absence de perturbation (au repos), la surface libre plane du liquide se situe à l'altitude z = 0. La continuité de la pression à l'interface liquide-air impose :

On en déduit que C = P_{\text{air}}, d'où l'expression explicite de la pression hydrostatique :

L'équation d'Euler (II.1) s'écrit :

En y introduisant \vec{v} = \vec{v}_1 et P = p_0(z) + p_1(x, z, t) :

À l'ordre 1 en perturbation :

• le terme convectif \rho (\vec{v}_1 \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{v}_1, quadratique en vitesse, est un terme du second ordre négligeable devant le terme d'accélération locale \rho \frac{\partial \vec{v}_1}{\partial t} ;

• les termes d'ordre 0 se compensent exactement d'après l'équation de la statique des fluides établie à la question Q22 :

  -\overrightarrow{\operatorname{grad}} p_0 + \rho \vec{g} = \vec{0}

Il reste donc l'équation d'Euler linéarisée au premier ordre :

L'équation obtenue à la question Q24 reliant \vec{v}_1 et p_1 s'écrit :

Cette équation aux dérivées partielles est linéaire et homogène par rapport aux grandeurs perturbatives \vec{v}_1 et p_1, à coefficients indépendants du temps.

En vertu de cette linéarité, le théorème de superposition (ou l'analyse de Fourier) s'applique : toute perturbation générale peut se décomposer en une somme (ou une intégrale) de modes harmoniques de la forme \exp(\mathrm{j}\omega t).

L'étude d'un mode monochromatique de pulsation \omega suffit donc à décrire la dynamique complète du système.

D'après la question Q24, l'équation d'Euler linéarisée s'écrit :

En adoptant la notation complexe introduite dans l'énoncé :

la dérivation temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{j}\omega :

L'opérateur gradient n'agissant que sur les coordonnées d'espace, on a de même :

En injectant ces expressions dans l'équation d'Euler linéarisée et en simplifiant par \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, il vient :

soit finalement :

D'après le résultat de la question Q26, l'amplitude complexe du champ de vitesse s'exprime sous la forme :

Le rotationnel d'un champ de gradient étant identiquement nul (\overrightarrow{\operatorname{rot}}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,f) = \vec{0} pour tout champ scalaire f), on en déduit :

En multipliant par le facteur temporel \exp(\mathrm{j}\omega t) et en prenant la partie réelle, il vient pour le champ de vitesse physique :

L'écoulement est donc irrotationnel (le vecteur tourbillon est nul).

Dans un domaine simplement connexe, un champ vectoriel irrotationnel dérive d'un potentiel scalaire. On introduit ainsi le potentiel des vitesses \phi(x,z,t) tel que :

soit, en projection sur les axes de l'écoulement bidimensionnel :

Le fluide est supposé homogène (\rho = \text{Cte}) et incompressible. L'équation locale de conservation de la masse s'écrit :

Puisque la masse volumique \rho est uniforme et constante, cette équation se réduit à la condition d'incompressibilité du champ des vitesses :

À l'ordre 1 de la théorie des perturbations, le champ de vitesse est \vec{v} = \vec{v}_1, d'où :

D'après la question Q27, l'écoulement est irrotationnel et dérive d'un potentiel des vitesses \phi(x,z,t) tel que \vec{v}_1 = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi. En utilisant l'identité vectorielle rappelée dans le formulaire du sujet (\operatorname{div}(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi) = \Delta \phi), il vient :

soit :

Le potentiel des vitesses satisfait donc l'équation de Laplace.

L'équation de Laplace se rencontre dans plusieurs domaines fondamentaux de la physique :

1. Électrostatique dans le vide de charge : Le champ électrique dérive du potentiel scalaire (\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}} V). Dans une région dépourvue de charges libres (\rho_{\text{ch}} = 0), l'équation de Maxwell-Gauss \operatorname{div} \vec{E} = \frac{\rho_{\text{ch}}}{\varepsilon_0} = 0 conduit directement à :

   \Delta V = 0

2. Thermique en régime permanent sans source : La densité de courant thermique vérifie la loi de Fourier (\vec{j}_Q = -\lambda_{\text{th}} \overrightarrow{\operatorname{grad}} T). Le bilan d'énergie en régime stationnaire en l'absence de terme source volumique s'écrit \operatorname{div}\vec{j}_Q = 0, ce qui donne, pour une conductivité thermique \lambda_{\text{th}} uniforme :

   \Delta T = 0

3. Diffusion de matière stationnaire : De manière analogue, d'après la loi de Fick (\vec{\jmath}_N = -D \overrightarrow{\operatorname{grad}} n), le régime stationnaire sans réactions chimiques volumiques conduit à \operatorname{div}\vec{\jmath}_N = 0, soit :

   \Delta n = 0
4. Gravitation hors des masses : Le champ gravitationnel dérive du potentiel gravitationnel (\vec{\mathcal{G}} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}} \Phi) et vérifie le théorème de Gauss \operatorname{div}\vec{\mathcal{G}} = -4\pi \mathcal{G} \rho. Dans le vide (\rho = 0), le potentiel vérifie \Delta \Phi = 0.

Le fond du liquide, situé en z = -h, est une paroi solide, plane, fixe et imperméable.

Pour un fluide parfait, la condition aux limites cinématique à la paroi est la condition d'imperméabilité (ou de non-interpénétration) : la composante normale de la vitesse du fluide doit être nulle au contact du fond :

soit :

D'après la question Q27, la vitesse dérive du potentiel des vitesses selon \vec{v}_1 = \overrightarrow{\operatorname{grad}}\phi, ce qui donne pour la composante verticale :

On en déduit immédiatement qu'en z = -h :

D'après la question précédente (Q27), le gradient du potentiel des vitesses s'identifie directement au champ des vitesses du fluide au premier ordre :

On peut considérer que ce gradient est borné sur tout l'espace (\forall x \in \mathbb{R}) pour deux raisons physiques majeures :

1. Considération énergétique : la vitesse du fluide doit rester finie en tout point du domaine afin que la densité volumique d'énergie cinétique, \frac{1}{2}\rho \|\vec{v}_1\|^2, ne diverge pas. Une vitesse infinie à l'infini nécessiterait une énergie totale infinie apportée au fluide, ce qui est physiquement impossible.

2. Hypothèse de linéarisation : le modèle d'ondes linéaires développé dans cette partie repose explicitement sur l'hypothèse de petites perturbations énoncée dans le préambule de la partie II, à savoir :

   \|\vec{v}_1\| \ll c

   où c est la célérité des ondes de surface. Une divergence de \vec{v}_1 lorsque x \to \pm\infty violerait cette hypothèse fondamentale.

Le potentiel des vitesses est cherché sous la forme à variables séparées :

L'équation de Laplace (II.2) pour cet écoulement bidimensionnel s'écrit :

En injectant l'expression de \phi, on obtient :

soit, en divisant par \underline{f}(x)\,\underline{g}(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} (pour les points où ce produit est non nul) :

Le membre de gauche ne dépend que de x et celui de droite uniquement de z ; ils sont donc égaux à une même constante réelle. D'après la question Q31, le gradient de \phi (et donc la vitesse \vec{v}_1) reste borné pour tout x \in \mathbb{R}. La fonction \underline{f}(x) ne peut donc pas présenter de comportement exponentiel croissant ou décroissant à l'infini : elle doit osciller harmoniquement en x. La constante de séparation est donc nécessairement strictement négative, notée -k^2 avec k \in \mathbb{R}^{+*} :

L'équation différentielle satisfaite par \underline{g}(z) s'écrit alors :

Sa solution générale s'exprime commodément sous la forme :

où A et B sont deux constantes complexes d'intégration.

Sa dérivée par rapport à z vaut :

La condition d'imperméabilité au fond z = -h, établie à la question Q30, impose \left.\frac{\partial\phi}{\partial z}\right|_{z=-h} = 0, soit :

On en déduit que \underline{g}(z) s'écrit bien sous la forme :

où k est une constante et A une constante complexe d'intégration.

D'après l'équation de Laplace \Delta \phi = 0 (question Q28) appliquée à la forme à variables séparées \underline{\phi}(x,z,t) = \underline{f}(x)\underline{g}(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, la fonction \underline{f}(x) vérifie :

Puisque le gradient de \phi doit rester borné pour tout x \in \mathbb{R} (question Q31), k est nécessairement un réel positif (k \ge 0). La solution générale de cette équation différentielle s'écrit sous forme de combinaison linéaire d'ondes progressives se propageant selon l'axe x :

où C_1 et C_2 sont des constantes complexes.

En utilisant \underline{g}(z) = A \cosh(k(z+h)) établi à la question Q32, le potentiel complexe s'écrit de manière générale :

où \underline{\phi}_0^+ et \underline{\phi}_0^- sont des amplitudes complexes associées aux ondes se propageant respectivement vers les x > 0 et vers les x < 0.

Pour une onde progressive monochromatique se propageant dans le sens des x croissants, en notant \underline{\phi}_0^+ = \Phi_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\psi_0} avec \Phi_0 et \psi_0 réels, le potentiel réel est la partie réelle du potentiel complexe :

(ou la superposition d'ondes progressives se propageant dans les deux sens).

Signification de k : La grandeur k représente le nombre d'onde spatial selon la direction horizontale x. Elle caractérise la périodicité spatiale de l'onde de surface : la longueur d'onde spatiale de l'ondulation à la surface est donnée par

Par ailleurs, le facteur \cosh(k(z+h)) montre que k^{-1} = \frac{\lambda}{2\pi} représente également la profondeur de pénétration du mouvement fluide : l'amplitude du champ de vitesses décroît depuis la surface libre (z=0) vers le fond (z=-h) sur une échelle de profondeur caractéristique de l'ordre de 1/k.

La solution s'écrit sous la forme :

On peut dégager plusieurs caractéristiques physiques fondamentales :

• Caractère propagatif horizontal : le terme \cos(\omega t - kx + \psi_0) décrit une onde progressive harmonique se propageant selon la direction horizontale +Ox avec une vitesse de phase v_\varphi = \omega / k.

• Structure selon la verticale : il n'y a pas de propagation selon z (onde stationnaire/évanescente sur la verticale). Le facteur spatial \cosh(k(z+h)) module l'amplitude de l'onde :

  • elle est maximale à la surface libre (z = 0, où le facteur vaut \cosh(kh)) ;
  • elle décroît de façon monotone en s'enfonçant dans le fluide pour atteindre son minimum au fond (z = -h, où le facteur vaut 1).

• Mouvements du fluide : en dérivant \phi, les composantes de la vitesse sont :

  \begin{aligned} v_{1,x} &= \frac{\partial \phi}{\partial x} = k \Phi_0 \cosh(k(z+h))\sin(\omega t - kx + \psi_0) \\ v_{1,z} &= \frac{\partial \phi}{\partial z} = k \Phi_0 \sinh(k(z+h))\cos(\omega t - kx + \psi_0) \end{aligned}

  La composante verticale v_{1,z} s'annule bien en z = -h (imperméabilité du fond), tandis que la vitesse horizontale v_{1,x} y reste non nulle (glissement parfait d'un fluide non visqueux). De plus, v_{1,x} et v_{1,z} étant en quadrature de phase dans l'espace et le temps, les particules de fluide décrivent des trajectoires elliptiques aplaties.

• Caractère d'onde de surface : l'agitation du fluide est confinée au voisinage de l'interface :

  • en eau profonde (kh \gg 1, soit h \gg \lambda) : \cosh(k(z+h)) \approx \frac{1}{2}\mathrm{e}^{kh}\mathrm{e}^{kz}. L'amplitude décroît exponentiellement sous la surface avec une profondeur de pénétration caractéristique \delta = 1/k = \lambda/(2\pi). Le fond n'a plus aucune influence ;
  • en eau peu profonde (kh \ll 1, soit h \ll \lambda) : \cosh(k(z+h)) \approx 1, le mouvement horizontal devient homogène sur toute la tranche d'eau.

1. Relation entre pression totale et potentiel des vitesses

Le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = -g\,\vec{u}_z = -\vec{\operatorname{grad}}(gz). L'équation d'Euler linéarisée au premier ordre (Q24) s'écrit :

En y réinjectant la décomposition P = p_0(z) + p_1(x,z,t) et la loi de l'hydrostatique \vec{\operatorname{grad}} p_0 = \rho\vec{g} = -\rho g\,\vec{u}_z établie en Q22, on a :

Comme l'écoulement dérive du potentiel des vitesses avec \vec{v}_1 = \vec{\operatorname{grad}}\phi (Q27), et que les dérivées spatiales et temporelles commutent :

L'équation du mouvement devient alors :

Par intégration spatiale, la quantité entre parenthèses ne dépend que du temps t ; quitte à redéfinir \phi par une fonction du temps sans modifier la vitesse \vec{v}_1 = \vec{\operatorname{grad}}\phi, on peut choisir cette constante spatio-temporelle égale à sa valeur d'équilibre au repos en z = 0, soit P_{\text{air}} :

2. Condition aux limites à la surface libre

Deux conditions physiques doivent être satisfaites en z = \zeta(x,t) :

• Condition dynamique : à la surface libre, en l'absence de tension superficielle, la pression du liquide est égale à la pression atmosphérique uniforme : P(x, \zeta, t) = P_{\text{air}}. En évaluant la relation de Bernoulli instationnaire en z = \zeta(x,t), il vient :

  \rho \left.\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=\zeta} + P_{\text{air}} + \rho g \zeta(x,t) = P_{\text{air}} \implies \zeta(x,t) = -\frac{1}{g} \left.\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=\zeta}.

• Condition cinématique : la surface libre est une surface matérielle étanche, les particules fluides restent à la surface :

  v_z(x, \zeta, t) = \frac{\mathrm{d}\zeta}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial \zeta}{\partial t} + v_x \frac{\partial \zeta}{\partial x}.

  Au premier ordre de perturbation, le terme convectif non linéaire v_x \frac{\partial \zeta}{\partial x} est négligeable devant \frac{\partial \zeta}{\partial t}. Avec v_z = \frac{\partial \phi}{\partial z}, la condition devient :

  \left.\frac{\partial \phi}{\partial z}\right|_{z=\zeta} = \frac{\partial \zeta}{\partial t}.

En dérivant la condition dynamique par rapport au temps :

En identifiant les deux expressions de \frac{\partial \zeta}{\partial t}, on obtient :

soit finalement, en z = \zeta(x,t) :

D'après les questions Q32 et Q33, la solution sous forme d'onde progressive monochromatique se propageant selon +x s'écrit en représentation complexe :

Calculons les dérivées intervenant dans la condition aux limites (II.4) établie à la question Q35 :

En évaluant ces grandeurs en z = 0 selon l'approximation des petites perturbations, l'équation (II.4) devient :

soit :

Cette relation étant vérifiée pour tout x et tout t avec \underline{\Phi}_0 \neq 0, on obtient :

En divisant par \cosh(kh) \neq 0, on en déduit la relation de dispersion :

1. Vitesse de phase

• Définition : pour une onde monochromatique de pulsation \omega et de nombre d'onde k, la vitesse de phase est définie par :

  v_\varphi = \frac{\omega}{k}
• Signification physique : elle représente la vitesse de déplacement des surfaces d'égale phase (telles que les crêtes ou les creux des vagues) dans la direction de propagation.

2. Vitesse de groupe

• Définition : pour un paquet d'ondes centré autour d'un nombre d'onde k, la vitesse de groupe est définie par :

  v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}
• Signification physique : elle représente la vitesse de propagation de l'enveloppe du paquet d'ondes, c'est-à-dire la vitesse d'acheminement de l'énergie et de l'information véhiculées par l'onde.

3. Expression de la vitesse de phase

D'après la relation de dispersion établie à la question Q36, \omega^2 = gk\tanh(kh), ce qui donne pour une onde se propageant dans le sens positif :

En appliquant la définition v_\varphi = \dfrac{\omega}{k}, on obtient :

D'après la question Q36, la relation de dispersion générale s'écrit :

et la vitesse de phase associée s'écrit, d'après la question Q37 :

Lorsque la profondeur devient très grande devant la longueur d'onde, c'est-à-dire kh \gg 1 (ou h \to \infty), on a l'équivalent :

La relation de dispersion se simplifie donc sous la forme :

La vitesse de phase en découle directement :

D'après les questions Q37 et Q38, les vitesses de phase s'écrivent respectivement :

Puisque \tanh(kh) \leqslant 1, on a v_\varphi(h) \leqslant v_{\varphi,\infty}. L'erreur relative commise en assimilant la vitesse réelle à la vitesse en eau profonde est :

On en déduit :

En utilisant la fonction réciproque \operatorname{artanh} dont l'expression est rappelée dans le formulaire, il vient :

Comme k = \dfrac{2\pi}{\lambda}, on obtient l'expression de la profondeur minimale h_\infty :

Pour une erreur relative acceptable e = 1\,\% = 1{,}0 \times 10^{-2}, on a :

d'où :

On en déduit le rapport :

Lorsqu'un train de vagues se propage depuis le large vers le rivage, la pulsation temporelle \omega = \frac{2\pi}{T} est conservée par continuité temporelle du mouvement.

D'après la relation de dispersion établie à la question Q36,

La fonction x \mapsto x\tanh(x) étant strictement croissante sur \mathbb{R}^+, une diminution de la profondeur h à pulsation \omega fixée impose une augmentation du nombre d'onde k.

D'après l'expression de la vitesse de phase (question Q37) :

Puisque k augmente, la vitesse de phase v_\varphi diminue lorsque les fonds marins remontent.

En limite de très faible profondeur (kh \ll 1, régime des « eaux peu profondes »), on a \tanh(kh) \approx kh, ce qui donne :

La vitesse de phase ne dépend plus de la pulsation (milieu non dispersif) et tend vers zéro à mesure que la profondeur h s'annule sur la grève.

Dans la partie II, l'étude des ondes de surface reposait sur l'hypothèse d'un liquide incompressible de masse volumique constante (\rho = \text{cte}, soit \operatorname{div}\vec{v} = 0).

Pour décrire la propagation des ondes acoustiques, il est indispensable de renoncer à cette hypothèse : le milieu fluide doit désormais être modélisé comme compressible, c'est-à-dire que sa masse volumique varie localement en fonction de la pression (\rho = \rho(x,t)), permettant ainsi l'existence d'ondes longitudinales de compression-dilatation.

Le coefficient de compressibilité thermodynamique (isotherme \chi_T ou isentropique \chi_s) d'un fluide de volume V est défini par :

Pour une masse fixée m = \rho V de fluide, on a \mathrm{d}m = 0 = \rho\,\mathrm{d}V + V\,\mathrm{d}\rho, d'où :

En acoustique, la propagation étant usuellement modélisée comme adiabatique réversible (donc isentropique), le coefficient de compressibilité isentropique s'écrit en fonction de la masse volumique \rho et de la pression P :

L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit sous forme générale :

Dans le cadre de l'écoulement unidimensionnel selon l'axe Ox avec \vec{v} = v(x,t)\vec{u}_x, elle se réduit à :

Dans l'approximation acoustique, le fluide est au repos à l'équilibre avec une masse volumique uniforme \rho_0, une pression uniforme P_0 et une vitesse nulle \vec{v}_0 = \vec{0}. Le passage de l'onde induit de petites perturbations d'ordre 1 :

avec \rho_1 \ll \rho_0, p_1 \ll P_0 et |v| \ll c (où c désigne la célérité du son).

Établissons le système des trois équations reliant ces grandeurs à l'ordre 1 :

1. Loi d'état thermodynamique : Les oscillations acoustiques sont trop rapides pour permettre des transferts thermiques significatifs avec l'extérieur, et les phénomènes dissipatifs (viscosité, diffusion thermique) sont négligeables. L'évolution du fluide est donc modélisée comme adiabatique et réversible, c'est-à-dire isentropique. D'après la définition du coefficient de compressibilité isentropique \chi_s (rappelée en Q42), on a au premier ordre :

   \rho_1 = \rho_0 \chi_s p_1

2. Équation locale de conservation de la masse : Partant de \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0, et sachant que \operatorname{div}(\rho\vec{v}) = \dfrac{\partial}{\partial x}(\rho v) \approx \rho_0 \dfrac{\partial v}{\partial x} au premier ordre (le terme \rho_1 v étant d'ordre 2) :

   \frac{\partial \rho_1}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0

   En y injectant la relation thermodynamique \rho_1 = \rho_0 \chi_s p_1, on obtient :

   \chi_s \frac{\partial p_1}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} = 0

3. Équation d'Euler (bilan de quantité de mouvement) : L'écoulement étant unidimensionnel et l'effet de la pesanteur étant négligé selon l'énoncé, l'équation (II.1) s'écrit :

   \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} \right) = -\frac{\partial P}{\partial x}

   Au premier ordre, le terme convectif quadratique v \dfrac{\partial v}{\partial x} est négligeable devant le terme instationnaire, et \rho \dfrac{\partial v}{\partial t} \approx \rho_0 \dfrac{\partial v}{\partial t} :

   \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x}

Pour obtenir l'équation de propagation sur v(x,t), dérivons l'équation d'Euler par rapport à t et l'équation de conservation de la masse par rapport à x :

Le théorème de Schwarz garantissant l'égalité des dérivées croisées \dfrac{\partial^2 p_1}{\partial x \, \partial t} = \dfrac{\partial^2 p_1}{\partial t \, \partial x}, on en déduit immédiatement :

Il s'agit d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle.

L'équation de propagation établie à la question Q43 s'écrit :

Par identification avec l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

on en déduit l'expression de la célérité c des ondes acoustiques dans le fluide :

Dans les conditions usuelles de température et de pression (T \approx 20\text{ }^\circ\text{C}, P_0 \approx 1\text{ bar}), la vitesse du son dans l'air vaut typiquement :

D'après les questions Q43 et Q44, la perturbation de vitesse v(x,t) vérifie l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

avec c = 1/\sqrt{\rho_0 \chi_s}.

Cherchons une onde plane progressive harmonique se propageant selon les x croissants sous la forme complexe :

où \omega > 0 désigne la pulsation temporelle et k > 0 le nombre d'onde spatial.

En dérivant deux fois par rapport à l'espace et au temps :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde, il vient :

Cette relation étant satisfaite à tout instant et en tout point pour une perturbation non nulle, on obtient la relation de dispersion :

Propriété importante : La relation de dispersion est linéaire. Il en découle que la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont égales et indépendantes de la fréquence :

Le milieu est donc non dispersif : toutes les composantes harmoniques se propagent à la même célérité c.

On se place dans le référentiel terrestre où l'air est au repos. L'avion, modélisé par un point matériel S, se déplace en ligne droite à la vitesse constante \vec{U} = U\,\vec{u}_x avec U < c.

Considérons l'instant d'observation t. Les ondes acoustiques émises aux instants antérieurs t_n = t - n\tau (avec n \in \{1, 2, 3, 4\} et \tau > 0 un intervalle de temps régulier) se propagent de manière isotrope à la célérité c dans l'air immobile. À l'instant t :

• le centre d'une surface d'onde sphérique émise à l'instant t_n est la position occupée par l'avion à cet instant, soit S_n d'abscisse x(t_n) = x(t) - n U \tau ;

• le rayon de cette surface d'onde sphérique est :

  R_n = c(t - t_n) = n c \tau.

Comme U < c, le rayon R_n est strictement supérieur à la distance séparant l'avion au point S(t) du point d'émission S_n :

L'avion se trouve donc toujours à l'intérieur de l'ensemble des sphères émises antérieurement. Les surfaces d'ondes forment une famille de sphères emboîtées, non concentriques :

• vers l'avant (dans le sens de propagation \vec{u}_x), la distance entre deux fronts d'onde consécutifs est resserrée et vaut \lambda_{\text{av}} = (c - U)\tau ;
• vers l'arrière, les fronts sont dilatés et séparés par une distance \lambda_{\text{ar}} = (c + U)\tau.

Sur la représentation graphique obtenue à la question Q46 :

• À l'avant de l'avion (observateur vers lequel la source s'approche) : les centres d'émission successifs se rapprochent des fronts d'onde déjà émis. La distance entre deux surfaces d'onde consécutives, correspondant à la longueur d'onde apparente \lambda_{\text{av}}, est plus faible qu'au repos :

  \lambda_{\text{av}} = (c - U) T_0 < \lambda_0

  où T_0 = 1/f_0 est la période temporelle d'émission. L'onde se propageant à la célérité c dans l'air, la fréquence perçue par un récepteur fixe est plus élevée que la fréquence émise :

  f_{\text{av}} = \frac{c}{\lambda_{\text{av}}} = \frac{f_0}{1 - \dfrac{U}{c}} > f_0 \quad \text{(son plus aigu)}.

• À l'arrière de l'avion (observateur dont la source s'éloigne) : la source s'éloigne des fronts qu'elle a émis, ce qui dilate l'espacement spatial entre deux fronts successifs :

  \lambda_{\text{ar}} = (c + U) T_0 > \lambda_0.

  La fréquence perçue par un récepteur fixe est alors plus basse que la fréquence émise :

  f_{\text{ar}} = \frac{c}{\lambda_{\text{ar}}} = \frac{f_0}{1 + \dfrac{U}{c}} < f_0 \quad \text{(son plus grave)}.

Ce décalage de fréquence lié au mouvement relatif entre l'émetteur et le récepteur constitue l'effet Doppler acoustique. De façon générale, pour un observateur fixe situé dans une direction faisant un angle \theta avec le vecteur vitesse \vec{U}, la fréquence perçue s'écrit :

Lorsque U > c, l'avion se déplace plus vite que les ondes acoustiques qu'il émet. À l'instant d'observation t, une onde émise à un instant antérieur t_i = t - \tau_i depuis le point S_i forme une sphère de rayon R_i = c \tau_i. La distance parcourue par l'avion depuis cette émission est S_i S(t) = U \tau_i > R_i. L'avion se trouve donc toujours à l'extérieur et en avant de toutes les surfaces d'onde émises antérieurement.

L'enveloppe de toutes les ondes sphériques émises aux instants antérieurs forme :

Cette surface conique est appelée cône de Mach.