Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2024

D'après le texte introductif, la raie du nickel est centrée sur la longueur d'onde dans le vide :

Le spectre visible par l'œil humain s'étend approximativement de 400\text{ nm} (violet) à 750\text{ nm} (rouge). La longueur d'onde \lambda_0 étant comprise dans cet intervalle, la raie du nickel est située dans le :

Un interféromètre de Michelson est constitué des éléments essentiels suivants :

• une lame séparatrice (semi-réfléchissante), inclinée à 45^\circ par rapport à l'axe optique, qui sépare l'amplitude du faisceau incident en deux faisceaux (l'un réfléchi, l'autre transmis) ;
• une lame compensatrice, de même épaisseur et de même indice que la séparatrice, disposée parallèlement à celle-ci sur l'un des bras afin d'égaliser le chemin optique parcouru dans le verre par les deux faisceaux ;
• deux miroirs plans orthogonaux M_1 et M_2, placés à l'extrémité de chaque bras aux distances respectives L_1 et L_2 de la séparatrice ;
• une source lumineuse en entrée et un détecteur (ou écran d'observation) en sortie.

Dans la configuration en lame d'air à faces parallèles, les miroirs M_1 et M_2 sont rigoureusement perpendiculaires entre eux. L'image de M_2 par la séparatrice, notée M'_2, est alors strictement parallèle au miroir M_1. L'interféromètre est optiquement équivalent à une lame d'air d'épaisseur :

Dans la configuration en lame d'air à faces parallèles d'épaisseur d, la différence de marche entre les deux rayons émergeant de l'interféromètre sous une incidence i s'écrit :

Sous incidence normale, l'angle d'incidence est nul (i = 0), d'où :

Par définition, l'ordre d'interférence p est le rapport de la différence de marche \delta à la longueur d'onde \lambda du rayonnement incident :

D'après la question Q3, l'ordre d'interférence s'écrit :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• d = 6\text{ mm} = 6 \times 10^{-3}\text{ m} ;
• \lambda_0 = 676{,}778\text{ nm} \approx 6{,}8 \times 10^{-7}\text{ m} \approx \frac{2}{3} \times 10^{-6}\text{ m}.

On obtient l'ordre de grandeur suivant :

Conformément à la consigne générale de l'énoncé demandant d'exprimer les applications numériques avec un seul chiffre significatif :

Dans un interféromètre de Michelson idéal, la lame séparatrice divise l'amplitude de l'onde incidente en deux ondes cohérentes de même intensité I_1 = I_2.

Le déphasage \Delta\phi entre ces deux ondes en sortie s'exprime directement à partir de la différence de marche \delta ou de l'ordre d'interférence p obtenu à la question 3 :

D'après la formule de Fresnel, l'intensité résultante s'écrit :

En notant I_0 = 4I_1 l'intensité maximale en sortie (obtenue lors d'interférences purement constructives), on a :

Pour une longueur d'onde \lambda = \lambda_0 + \delta\lambda avec |\delta\lambda| \ll \lambda_0, l'ordre d'interférence s'écrit :

En utilisant l'expression de l'intensité obtenue à la question Q5 :

Comme p_0 est un entier, \cos(\pi p_0 - \theta) = (-1)^{p_0} \cos\theta, d'où en élevant au carré :

L'intervalle spectral libre \Delta\lambda_{\mathrm{ISL}} est l'écart en longueur d'onde entre deux maxima successifs d'intensité. La fonction \theta \mapsto \cos^2\theta étant de période \pi, l'argument du cosinus varie de \pi lorsque :

ce qui conduit à :

D'après la question Q6, l'intervalle spectral libre du premier interféromètre s'exprime par :

Avec les données de l'énoncé :

• \lambda_0 = 676{,}778\text{ nm} \approx 6{,}77 \times 10^{-7}\text{ m} ;
• d = 6\text{ mm} = 6 \times 10^{-3}\text{ m}.

Le calcul donne :

Conformément à la consigne demandant un seul chiffre significatif :

D'après la question 6, l'intervalle spectral libre d'un interféromètre de Michelson équivalent à une lame d'air d'épaisseur e est donné par :

Pour ce second interféromètre, l'épaisseur de la lame d'air équivalente vaut e_2 = 2d. On en déduit son intervalle spectral libre \Delta\lambda_{\text{ISL}, 2} :

En utilisant la valeur obtenue à la question 7 (\Delta\lambda_{\text{ISL}} \simeq 0{,}038\text{ nm}), l'application numérique avec un seul chiffre significatif donne :

D'après la question Q6, le facteur de transmission du premier interféromètre d'épaisseur d, pour un ordre d'interférence p_0 entier à la longueur d'onde \lambda_0, s'écrit :

Le second interféromètre est équivalent à une lame d'air d'épaisseur 2d. L'ordre d'interférence à la longueur d'onde \lambda_0 vaut donc :

Puisque p_0 est entier, p'_0 est également entier. Son facteur de transmission s'écrit de la même manière :

En l'absence de réflexions multiples entre le second et le premier interféromètre, le dispositif agit comme deux filtres en cascade. L'intensité transmise en sortie du deuxième interféromètre est alors le produit des facteurs de transmission, avec pour valeur maximale I_0 :

D'où l'expression de l'intensité transmise :

D'après la question 9, le coefficient de transmission du système formé par les deux interféromètres s'écrit :

avec, d'après les questions 6 et 7, l'intervalle spectral libre du premier interféromètre :

En posant u = \frac{\pi\,\delta\lambda}{\Delta\lambda_{\text{ISL}}}, T(\delta\lambda) = \cos^2(u)\cos^2(2u).

1. Symétrie et périodicité

• T(\delta\lambda) est une fonction paire de \delta\lambda, ce qui correspond à la symétrie de la courbe par rapport à l'axe \delta\lambda = 0.

• u \mapsto \cos^2(u) est \pi-périodique et u \mapsto \cos^2(2u) est \frac{\pi}{2}-périodique. Le produit est donc \pi-périodique en u, ce qui correspond à une périodicité en \delta\lambda égale à :

  \Delta\lambda_{\text{période}} = \Delta\lambda_{\text{ISL}} \approx 0{,}038\text{ nm}

  Sur la figure 2, les pics de transmission maximale (T=1) apparaissent bien en \delta\lambda = 0, \delta\lambda \approx \pm 0{,}038\text{ nm} et \delta\lambda \approx \pm 0{,}076\text{ nm}.

2. Points remarquables sur une période [0\,;\,\Delta\lambda_{\text{ISL}}]

• Pics principaux (T = 1) : atteints lorsque \cos^2(u) = 1 et \cos^2(2u) = 1, soit pour u = 0 \pmod \pi :

  \delta\lambda = 0 \quad \text{et} \quad \delta\lambda = \Delta\lambda_{\text{ISL}} \approx 0{,}038\text{ nm}

• Annulations (T = 0) :

  • \cos(2u) = 0 \iff u = \frac{\pi}{4} ou u = \frac{3\pi}{4}, soit :

    \delta\lambda_1 = \frac{1}{4}\Delta\lambda_{\text{ISL}} \approx 0{,}010\text{ nm} \quad \text{et} \quad \delta\lambda_3 = \frac{3}{4}\Delta\lambda_{\text{ISL}} \approx 0{,}029\text{ nm}

  • \cos(u) = 0 \iff u = \frac{\pi}{2}, soit :

    \delta\lambda_2 = \frac{1}{2}\Delta\lambda_{\text{ISL}} \approx 0{,}019\text{ nm}

  La courbe s'annule donc en trois points entre deux pics principaux.

• Pics secondaires : en posant X = \cos^2(u) \in [0, 1], et sachant que \cos(2u) = 2X - 1, on a :

  g(X) = X(2X - 1)^2 = 4X^3 - 4X^2 + X

  Sa dérivée par rapport à X, g'(X) = 12X^2 - 8X + 1 = (2X - 1)(6X - 1), s'annule pour :

  • X = \frac{1}{2} (minimum local nul, correspondant à u = \frac{\pi}{4} et \frac{3\pi}{4}) ;
  • X = \frac{1}{6} (maximum local).

  La hauteur des pics secondaires vaut :

  T_{\text{sec}} = g\!\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}\left(2\times\frac{1}{6}-1\right)^2 = \frac{2}{27} \approx 0{,}074 \approx 7\%

  Ces deux pics secondaires se situent de part et d'autre de \delta\lambda_2, pour \cos^2(u) = \frac{1}{6}, soit u \approx 0{,}37\,\pi et u \approx 0{,}63\,\pi :

  \delta\lambda \approx 0{,}014\text{ nm} \quad \text{et} \quad \delta\lambda \approx 0{,}024\text{ nm}

En observant la figure 2, on constate la complémentarité des deux éléments :

• Le filtre de Lyot (courbe tiretée) possède une bande passante de largeur 0{,}047\text{ nm} centrée sur \delta\lambda = 0. Il supprime le fond continu et bloque les longueurs d'onde situées au-delà de \pm 0{,}025\text{ nm}, mais sa bande passante reste trop large pour sonder les détails de la raie du nickel (dont la largeur est de 0{,}012\text{ nm}).
• Les deux interféromètres de Michelson en série (courbe en trait plein) présentent un pic central de transmission extrêmement étroit en \delta\lambda = 0, mais ils possèdent d'autres pics principaux périodiques (espacés de \Delta\lambda_{\text{ISL}} \approx 0{,}038\text{ nm}) ainsi que des maxima secondaires (à \pm 0{,}019\text{ nm}).

L'association en série des deux dispositifs multiplie leurs coefficients de transmission respectifs :

• Le filtre de Lyot élimine les répliques périodiques des interféromètres de Michelson situées en dehors de sa bande passante (en particulier les pics à \pm 0{,}038\text{ nm} et au-delà) et atténue fortement les lobes secondaires à \pm 0{,}019\text{ nm}.
• Le système interférométrique affine la transmission du filtre de Lyot en imposant la très grande finesse de son pic central.

1. Trajectoire d'une onde S :

• Le rayon incident arrive depuis la source sur la lame séparatrice. Celle-ci étant totalement réfléchissante pour l'onde S, l'intégralité de l'onde est dirigée vers le miroir M_1 (bras vertical). Aucun rayon n'est transmis vers M_2.
• Après réflexion sous incidence normale sur le miroir M_1, l'onde revient sur la séparatrice en conservant sa polarisation S (perpendiculaire au plan d'incidence \Pi).
• La séparatrice réfléchit de nouveau totalement cette onde S : le rayon repart donc intégralement vers la source d'entrée.

2. Trajectoire d'une onde P :

• L'onde incidente P est totalement transmise par la séparatrice vers le miroir M_2 (bras horizontal). Aucun rayon n'est réfléchi vers M_1.
• Après réflexion normale sur le miroir M_2, l'onde revient sur la séparatrice avec sa polarisation P inchangée.
• La séparatrice transmet totalement cette onde P : le rayon poursuit sa trajectoire en ligne droite et repart intégralement vers la source d'entrée.

3. Intérêt du dispositif :

En effet :

1. Il n'y a pas de division d'amplitude : l'onde S n'explore que le bras 1 et l'onde P n'explore que le bras 2. Pour une polarisation donnée, un seul chemin optique est emprunté.
2. Toute l'énergie injectée repart intégralement vers la source : aucun flux lumineux ne parvient sur le détecteur situé en sortie de l'interféromètre.

Dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde :

• la polarisation P est parallèle au plan \Pi, soit à un angle \theta_P = 0 par rapport à la trace de \Pi ;
• la polarisation S est perpendiculaire au plan \Pi, soit à un angle \theta_S = \frac{\pi}{2} par rapport à \Pi.

La ligne neutre de la lame quart d'onde (et donc du système équivalent à une lame demi-onde) forme un angle \theta_{\text{LN}} = \frac{\pi}{4} avec le plan \Pi, ce qui correspond à la bissectrice des directions de polarisation P et S.

D'après le résultat rappelé par l'énoncé, la polarisation en sortie d'une lame demi-onde est la symétrique de la polarisation incidente par rapport à la ligne neutre. Si une polarisation incidente fait un angle \theta avec le plan \Pi, l'angle de la polarisation émergente \theta' vérifie :

Par conséquent :

• Pour une onde incidente S : \theta = \frac{\pi}{2}, d'où \theta' = 0. La polarisation émergente est parallèle au plan \Pi :

  \boxed{\text{L'action sur une onde } S \text{ est de la transformer en une onde } P.}

• Pour une onde incidente P : \theta = 0, d'où \theta' = \frac{\pi}{2}. La polarisation émergente est perpendiculaire au plan \Pi :

  \boxed{\text{L'action sur une onde } P \text{ est de la transformer en une onde } S.}

Le dispositif réalise donc une permutation des polarisations : S \leftrightarrow P.

Dans le repère de l'interféromètre représenté ci-dessous, la lumière incidente arrive de la gauche, le miroir M_1 est situé sur la voie verticale (vers le haut), le miroir M_2 sur la voie horizontale (vers la droite), et la voie de sortie est dirigée vers le bas.

1. Cas d'une onde incidente polarisée S :

• Entrée \to séparatrice : le faisceau arrive sur la séparatrice polarisante avec la polarisation S.
• Séparatrice : l'onde S est intégralement réfléchie vers le bras vertical (miroir M_1).
• Aller-retour sur M_1 : l'onde S traverse deux fois la lame quart d'onde orientée à \pi/4. D'après la question 13, la polarisation est basculée : le faisceau réfléchi possède désormais une polarisation rectiligne P.
• Retour sur la séparatrice : le faisceau descendant arrive avec une polarisation P. Il est donc intégralement transmis.
• Sortie : l'onde ressort sur la voie de sortie dirigée vers le bas, avec une polarisation P.

2. Cas d'une onde incidente polarisée P :

• Entrée \to séparatrice : le faisceau arrive sur la séparatrice polarisante avec la polarisation P.
• Séparatrice : l'onde P est intégralement transmise vers le bras horizontal (miroir M_2).
• Aller-retour sur M_2 : l'onde P traverse deux fois la lame quart d'onde orientée à \pi/4. D'après la question 13, sa polarisation devient rectiligne S.
• Retour sur la séparatrice : le faisceau revenant de la droite arrive avec une polarisation S. Il est donc intégralement réfléchi à angle droit vers le bas.
• Sortie : l'onde ressort sur la même voie de sortie dirigée vers le bas, avec une polarisation S.

Le polariseur d'entrée ayant son axe à \frac{\pi}{4} du plan \Pi, l'onde incidente possède deux composantes de même amplitude selon les directions orthogonales \vec{u}_P (parallèle à \Pi) et \vec{u}_S (perpendiculaire à \Pi) :

D'après la question précédente :

• la composante incidente selon \vec{u}_S emprunte le premier bras (réflexion sur la séparatrice, réflexion avec permutation \mathrm{S} \to \mathrm{P} sur le miroir M_1, puis transmission par la séparatrice) et émerge polarisée selon \vec{u}_P avec un déphasage \varphi_1 ;
• la composante incidente selon \vec{u}_P emprunte le second bras (transmission par la séparatrice, réflexion avec permutation \mathrm{P} \to \mathrm{S} sur le miroir M_2, puis réflexion sur la séparatrice) et émerge polarisée selon \vec{u}_S avec un déphasage \varphi_2.

Le champ électrique à la sortie de l'interféromètre s'écrit donc :

Le déphasage entre ces deux composantes orthogonales de même amplitude vaut :

La superposition de deux vibrations sinusoïdales orthogonales de même pulsation et de même amplitude donne, dans le cas général, une polarisation elliptique (les axes de l'ellipse dépendant de la valeur du déphasage \Delta\varphi).

Calculons l'intensité lumineuse totale à la sortie :

Comme les vecteurs \vec{u}_P et \vec{u}_S sont orthogonaux à tout instant, le produit scalaire est identiquement nul : \vec{E}_P \cdot \vec{E}_S = 0. Il vient :

L'intensité est indépendante de la différence de marche (ou de l'ordre d'interférence p) : on n'observe pas d'interférences en intensité car, en vertu des lois de Fresnel et Arago, deux ondes polarisées à angle droit ne peuvent pas interférer en intensité.

À la sortie de l'interféromètre (avant la seconde lame quart d'onde), l'onde est la superposition de deux composantes orthogonales (l'une selon P, l'autre selon S) de même amplitude, issues des deux bras de l'interféromètre.

Le déphasage entre ces deux composantes est relié à l'ordre d'interférence p = \dfrac{2d}{\lambda} par :

Lorsque p est un entier (p \in \mathbb{Z}), on a \Delta\varphi \equiv 0 \pmod{2\pi}. Les composantes selon \vec{u}_P et \vec{u}_S vibrent donc en phase et avec la même amplitude. Le champ électrique résultant est alors polarisé rectilignement selon la première bissectrice des axes P et S, c'est-à-dire dans une direction faisant un angle de \dfrac{\pi}{4} avec le plan \Pi.

Or, la ligne neutre de la lame quart d'onde forme précisément un angle de \dfrac{\pi}{4} avec le plan \Pi. Le champ électrique incident est donc parallèlement aligné avec l'un des axes neutres de la lame.

Lorsqu'une onde polarisée rectilignement se propage avec son champ électrique dirigé selon une ligne neutre d'une lame biréfringente :

• un seul des modes propres de polarisation est excité ;
• la lame n'introduit qu'un déphasage global et ne modifie pas l'état de polarisation.

En sortie de la lame, l'onde reste donc polarisée rectilignement selon cette même ligne neutre.

L'angle entre la direction de polarisation et la ligne neutre est ainsi :

Pour tout p \in \mathbb{Z}, la formule admise donne :

D'après la question précédente, l'onde à la sortie de la lame quart d'onde présente une polarisation rectiligne dont la direction fait un angle \theta = \pi p avec la ligne neutre de la lame, où l'ordre d'interférence vaut p = \frac{2d}{\lambda}.

Soit \theta_P l'angle que fait l'axe passant du polariseur linéaire avec cette même ligne neutre. D'après la loi de Malus, l'intensité transmise après la traversée du polariseur s'écrit :

L'intensité transmise est maximale lorsque la polarisation incidente est parfaitement alignée avec l'axe du polariseur, c'est-à-dire :

Comme p = \frac{2d}{\lambda}, la longueur d'onde \lambda_{\text{pic}} correspondant au pic de transmission vérifie :

Au voisinage de \lambda_0, en écrivant \lambda_{\text{pic}} = \lambda_0 + \delta\lambda_{\text{pic}} avec |\delta\lambda_{\text{pic}}| \ll \lambda_0 et p_0 = 2d/\lambda_0 entier (k = p_0) :

En faisant varier continûment l'orientation \theta_P du polariseur, on déplace continûment la longueur d'onde du pic de transmission sur tout l'intervalle spectral libre \Delta\lambda_{\text{ISL}}.

Le capteur étant carré et formé de N = 1024 pixels de pas p = 21\text{ }\mu\text{m}, son côté mesure :

Le Soleil étant situé à l'infini par rapport au télescope, son image se forme dans le plan focal de la lentille équivalente. Dans l'approximation paraxiale (angles petits), le diamètre D de l'image du Soleil sur le capteur vaut :

Numériquement, avec f = 1{,}867\text{ m} et \Delta = 9 \times 10^{-3}\text{ rad} :

En comparant les dimensions :

Le diamètre de l'image du Soleil est inférieur au côté du capteur carré : le disque solaire est donc intégralement inscrit dans le capteur.

Les cinq longueurs d'onde de mesure sont équiréparties autour de \lambda_0 par ordre croissant :

avec \lambda_3 - \lambda_1 = \lambda_0 - \lambda_3 = \lambda_2 - \lambda_0 = \lambda_4 - \lambda_2 = \delta.

En l'absence de mouvement de la photosphère (v=0), la raie d'absorption est parfaitement symétrique par rapport à sa longueur d'onde centrale \lambda_0. Les intensités mesurées symétriquement de part et d'autre de \lambda_0 sont donc égales :

Évaluons les trois grandeurs pour v=0 :

• A(v=0) = F_0 + 2F_1 + 2F_2 \neq 0 ;
• B(v=0) = (F_1 - F_2)^2 + (F_2 - F_1)^2 = 2(F_1 - F_2)^2 \neq 0 ;
• C(v=0) = (F_1 - F_4) + (F_2 - F_3) = 0.

Par effet Doppler, un mouvement à la vitesse v induit un déplacement spectral \delta\lambda_D \propto v. L'inversion du sens de la vitesse (v \to -v) inverse le déplacement spectral (\delta\lambda_D \to -\delta\lambda_D), ce qui permute les mesures spectrales symétriques par rapport au centre :

Sous cette transformation v \to -v :

• A \to A (fonction paire de v) ;
• B \to (F_4 - F_2)^2 + (F_3 - F_1)^2 = (F_1 - F_3)^2 + (F_2 - F_4)^2 = B (fonction paire de v) ;
• C \to (F_4 - F_1) + (F_3 - F_2) = -C (fonction impaire de v).

Une quantité proportionnelle à la vitesse algébrique v devant nécessairement être impaire en v et s'annuler pour v=0, seule la combinaison C est susceptible de convenir.

Le repère cartésien orthonormé direct (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) est centré au centre O du Soleil. L'axe Oz relie le centre du Soleil au satellite SOHO, et l'axe Oy coïncide avec l'axe de rotation du Soleil.

Convention pour la rotation : Choisissons d'orienter le vecteur rotation selon l'axe Oy dans le sens direct :

Un point M de la photosphère a pour vecteur position dans ce repère :

La vitesse de ce point liée à la rotation globale du Soleil s'écrit :

Le satellite se trouvant à une distance considérable du Soleil devant le rayon solaire (R_\odot \ll d_{\text{SOHO}}, comme en témoigne le petit diamètre angulaire \Delta \ll 1), tous les rayons lumineux issus du disque solaire et atteignant le satellite se propagent parallèlement à l'axe Oz.

La vitesse radiale v, définie comme la projection de la vitesse sur la direction d'observation, correspond à la composante sur l'axe Oz. Selon que l'on oriente la direction d'observation vers le satellite (+\vec{u}_z) ou vers le Soleil (-\vec{u}_z) :

(ou v = +\Omega x si l'on choisit le sens de visée -\vec{u}_z ou le sens de rotation opposé \vec{\Omega} = -\Omega\,\vec{u}_y).

La vitesse radiale v = 2 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est très faible devant la vitesse de la lumière dans le vide c = 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (v/c \approx 7 \times 10^{-6} \ll 1). L'effet Doppler s'écrit donc au premier ordre non relativiste :

Avec \lambda_0 = 676{,}778\text{ nm} \approx 677\text{ nm}, on obtient :

En respectant la consigne d'arrondi à un seul chiffre significatif :

La largeur de la raie d'absorption du nickel est \Delta\lambda_{\text{raie}} = 0{,}012\text{ nm} = 12\text{ pm}. On constate donc que :

Le déplacement Doppler \delta\lambda est du même ordre de grandeur que la largeur de la raie (environ 40\,\% de celle-ci).

Commentaire : Ce déplacement est suffisamment notable pour induire une asymétrie mesurable entre les intensités F_i réparties sur la raie (et rendre la combinaison C de la question 19 très sensible à la vitesse), tout en restant assez petit pour que la raie demeure entièrement dans l'intervalle exploré par les cinq filtres et dans la bande passante du filtre de Lyot (0{,}047\text{ nm}).

Considérons le fluide au repos de masse volumique \rho_0 et de pression uniforme P_0. Le passage de l'onde acoustique unidimensionnelle induit des perturbations d'amplitudes faibles :

avec |p| \ll P_0, |\rho_1| \ll \rho_0 et |v| \ll c.

• Équation de conservation de la masse :

  \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = 0

  À l'ordre 1, en négligeant le terme du second ordre \rho_1 v, il vient :

  \frac{\partial \rho_1}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \tag{1}

• Équation de la dynamique (équation d'Euler) : Le fluide étant supposé non visqueux et isolé (la pesanteur est négligée) :

  \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t} + v\frac{\partial v}{\partial x}\right) = -\frac{\partial P}{\partial x}

  En négligeant le terme convectif non linéaire v\,\frac{\partial v}{\partial x} devant \frac{\partial v}{\partial t}, la linéarisation à l'ordre 1 donne :

  \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} \tag{2}

• Hypothèse thermodynamique : Les compressions et détendues acoustiques sont suffisamment rapides devant la diffusion thermique, mais lentes par rapport aux temps de relaxation microscopiques : les transformations sont modélisées comme adiabatiques réversibles (isentropiques). La surpression et la variation de masse volumique sont reliées par :

  p = \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_S \rho_1 = c^2 \rho_1 \iff \rho_1 = \frac{p}{c^2} \tag{3}

  où c désigne la vitesse de propagation du son dans le fluide.

En dérivant l'équation de continuité  (1) par rapport au temps et en y injectant la relation  (3) :

En dérivant ensuite l'équation d'Euler  (2) par rapport à x, sous réserve de régularité (théorème de Schwarz pour intervertir les dérivées croisées) :

En combinant ces deux relations, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert pour la surpression :

Dans un milieu tridimensionnel homogène et isotrope, la dérivée seconde spatiale selon x est remplacée par l'opérateur laplacien scalaire \Delta. L'équation de propagation de la surpression acoustique p(\vec{r},t) s'écrit alors sous la forme de l'équation de d'Alembert tridimensionnelle :

En coordonnées cartésiennes (x,y,z), le laplacien scalaire s'exprime par :

La surpression acoustique associée à un mode propre s'écrit :

La condition de périodicité spatiale imposée par la géométrie fermée de l'équateur impose, pour tout x, z et t :

Cette condition est vérifiée si et seulement si le facteur de phase spatiale vérifie :

Les valeurs permises pour la composante horizontale du vecteur d'onde sont donc quantifiées :

Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants (\omega > 0), on restreint généralement l à l'ensemble des entiers naturels \mathbb{N}.

D'après la question Q18, le diamètre de l'image du Soleil sur le capteur est :

Avec un pas de pixel p = 21\text{ }\mu\text{m}, le diamètre du disque solaire s'étend sur :

Le satellite n'observe que la face visible du Soleil, soit un demi-tour d'équateur correspondant à une longueur curviligne \pi R.

D'après la question Q24, la longueur d'onde spatiale d'un mode l le long de l'équateur est \lambda_x = \frac{2\pi R}{l}. Sur la face visible du Soleil, il y a donc :

D'après le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, il faut au moins 2 pixels par période spatiale pour reconstruire un signal sans repliement spectral :

Pour l = 200, la face visible comprend \frac{l}{2} = 100\text{ périodes}, ce qui correspond en moyenne à :

Cette valeur est largement supérieure au seuil minimal de 2 pixels par période. Elle permet d'assurer une très bonne précision pour l'analyse de Fourier, tout en compensant la déformation géométrique (projection en cosinus) qui resserre les franges au voisinage du limbe solaire.

Dans le cadre de l'approximation des ondes peu profondes au voisinage de l'équateur, la géométrie est modélisée par des coordonnées cartésiennes (x,z). La surpression ne dépendant pas de la coordonnée transverse y, le laplacien tridimensionnel se réduit à :

L'équation de propagation acoustique obtenue en Q23 s'écrit alors :

En adoptant la notation complexe \underline{p}(x,z,t) = f(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_x x - \omega t)}, les dérivées partielles s'expriment selon :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde et en simplifiant par le terme oscillant \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_x x - \omega t)} \neq 0, on obtient l'équation différentielle satisfaite par f(z) :

L'équation d'Euler linéarisée régissant le mouvement acoustique s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical ascendant Oz, la composante verticale de la vitesse acoustique v_z vérifie :

• Condition en z = -H (f'(-H) = 0) :
  La dérivée spatiale f'(-H) = 0 implique \left.\dfrac{\partial p}{\partial z}\right|_{z=-H} = 0, et donc une vitesse verticale nulle :

  \boxed{v_z(x,-H,t) = 0}

  Il s'agit d'une condition de paroi rigide imperméable (nœud de vitesse, ventre de surpression). Le fond de la cavité (z = -H) se comporte comme une frontière infranchissable sur laquelle les ondes acoustiques se réfléchissent totalement vers le haut.

• Condition en z = 0 (f(0) = 0) :
  La surpression acoustique est nulle à la surface du Soleil :

  \boxed{p(x,0,t) = 0}

  Il s'agit d'une condition de surface libre (nœud de surpression, ventre de vitesse). La photosphère est au contact du milieu extérieur (la couronne solaire), dont l'impédance acoustique et la densité chutent très brutalement par rapport à l'intérieur. La pression totale s'y identifie à la pression extérieure, ce qui impose une surpression acoustique nulle.

D'après la question Q26, la fonction f(z) satisfait l'équation différentielle :

Pour obtenir des solutions non triviales compatibles avec les conditions aux limites, la constante doit être strictement positive. On pose donc :

La solution générale s'écrit :

où A et B sont des constantes d'intégration.

Application des conditions aux limites :

• En z = 0, la condition f(0) = 0 donne immédiatement :

  A = 0 \implies f(z) = B \sin(k_z z)

• La dérivée s'écrit alors f'(z) = B k_z \cos(k_z z). La condition en z = -H impose :

  f'(-H) = B k_z \cos(-k_z H) = B k_z \cos(k_z H) = 0

Pour une solution non identiquement nulle (B \neq 0), cette condition impose l'annulation du cosinus :

Le nombre d'onde vertical est donc quantifié selon :

Pulsations des modes propres : En réinjectant dans la relation de dispersion \omega^2 = c^2 (k_x^2 + k_z^2), les pulsations propres \omega_n (choisies positives) s'écrivent :

Pour un k_x fixé, ces pulsations forment bien une suite strictement croissante avec l'entier n \ge 0.

D'après le résultat de la question Q28, la relation de dispersion pour le mode n (n \in \mathbb{N}) s'écrit :

où l'on a posé la pulsation de coupure du mode :

Les trois premiers modes correspondent à n = 0, n = 1 et n = 2, soit :

Chaque courbe présente les caractéristiques remarquables suivantes :

• Pour k_x = 0, la pulsation minimale non nulle vaut \omega_n(0) = \omega_{c,n}. La dérivée vérifie \left.\frac{\mathrm{d}\omega_n}{\mathrm{d}k_x}\right|_{k_x=0} = 0, ce qui correspond à une tangente horizontale à l'origine.
• Pour k_x \to +\infty, les courbes admettent pour asymptote oblique commune la droite d'équation \omega = c\, k_x.

• Dans le plan (k_x, \omega), chaque courbe est une branche d'hyperbole d'équation :

  \frac{\omega^2}{\omega_{c,n}^2} - \frac{k_x^2}{k_{z,n}^2} = 1

D'après la question Q28, la pulsation propre du mode n vérifie :

En divisant cette relation par \omega_n^2, on obtient :

En introduisant les grandeurs X = \dfrac{\omega_n}{k_x} et Y = \left(n + \dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\pi}{\omega_n}, cette équation devient :

Puisque Y > 0 et que \omega_n \ge c k_x impose X \ge c, on en déduit l'expression univoque de Y en fonction de X :

Cette relation ne fait intervenir ni le nombre d'onde k_x, ni l'entier n. Ainsi, l'infinité de courbes de dispersion \omega_n(k_x) se réduit à une courbe unique (ou courbe maîtresse) dans le plan (X, Y).

Propriétés de la fonction Y(X) :

• Définie pour X \in [c, +\infty[ ;

• En X = c, Y(c) = 0 avec une demi-tangente verticale :

  \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \frac{H c}{X^3 \sqrt{1 - \frac{c^2}{X^2}}} \xrightarrow[X \to c^+]{} +\infty

• Lorsque X \to +\infty, Y(X) tend vers l'asymptote horizontale :

  \lim_{X \to +\infty} Y(X) = \frac{H}{c}

Dans le cadre de l'approximation de l'acoustique géométrique, le milieu est considéré comme localement homogène à l'échelle de la longueur d'onde. En chaque point d'altitude z, l'onde acoustique se propage localement à la célérité c(z) avec une pulsation temporelle \omega.

La norme locale du vecteur d'onde \vec{k}(z) = (k_x, k_z(z)) vérifie donc la relation de dispersion usuelle des ondes acoustiques non dispersives :

On en déduit la relation de dispersion reliant \omega, k_x, k_z(z) et c(z) :

ou, de façon équivalente pour la composante verticale :

Dans le cadre de l'approximation de l'acoustique géométrique, la direction locale du rayon sonore est portée par le vecteur d'onde \vec{k} = (k_x, k_z).

L'angle i étant défini comme l'inclinaison du rayon par rapport à la verticale axiale z, les composantes horizontale et verticale de \vec{k} vérifient :

D'après la relation de dispersion établie à la question 31, la norme du vecteur d'onde vaut \|\vec{k}\| = \frac{\omega}{c(z)}. On en déduit immédiatement :

Puisque k_x et \omega sont constants le long d'un même rayon, cette relation se réécrit sous la forme :

En optique géométrique, la propagation dans un milieu stratifié d'indice n(z) est régie par la loi de Snell-Descartes pour la réfraction :

Ce résultat est donc l'analogue acoustique de la loi de Snell-Descartes, où la célérité locale du son c(z) joue un rôle inversement proportionnel à celui de l'indice optique (n(z) \propto \frac{1}{c(z)}).

D'après la relation établie à la question Q32, l'inclinaison i du rayon sonore par rapport à la verticale vérifie :

Comme la fonction sinus est bornée par 1, la propagation sous forme de rayon n'est possible que si :

De manière équivalente, la relation de dispersion obtenue à la question Q31 s'écrit :

ce qui impose également c(z) \le \frac{\omega}{k_x}.

Par hypothèse, c(z) croît de manière continue et indéfinie lorsque z diminue (en s'enfonçant dans le Soleil). Il existe donc une profondeur limite, notée z_{\text{min}}, pour laquelle cette borne est atteinte :

À cette altitude z_{\text{min}}, on a \sin i = 1, soit i = \frac{\pi}{2} : le rayon sonore devient strictement horizontal (k_z = 0). Pour z < z_{\text{min}}, on aurait k_z^2 < 0 (champ évanescent) ; le rayon ne peut donc pas pénétrer dans cette région et subit une réflexion totale continue, remontant vers la surface.

D'après la question 32, l'angle d'inclinaison i du rayon par rapport à la verticale satisfait :

• Lorsque le rayon part de la surface z = 0 et pénètre vers l'intérieur (z diminue), la vitesse du son c(z) croît, donc \sin i(z) augmente : le rayon s'écarte de la verticale et s'incurve vers l'horizontale (concavité tournée vers le haut).
• À l'altitude minimale z_{\text{min}}, \sin i(z_{\text{min}}) = 1 d'après la question 33 : la tangente à la trajectoire devient strictement horizontale (\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = 0), et le rayon amorce une remontée symétrique vers la surface.
• À la surface z = 0, le rayon subit une réflexion totale (avec égalité des angles d'incidence et de réflexion), puis replonge vers l'intérieur.

La trajectoire est ainsi constituée d'une succession périodique d'arches régulières (festons), incurvées avec une tangente horizontale en z = z_{\text{min}} et des réflexions en biseau à la surface z = 0.

Dans un milieu homogène, la vitesse du son c ne dépend pas de l'altitude z. L'inclinaison i du rayon par rapport à la verticale est donc constante le long de la propagation :

Le rayon sonore se propage en ligne droite entre la surface z = 0 et la limite inférieure z = -H.

• En z = -H, la condition aux limites de paroi rigide (f'(-H) = 0) correspond à une réflexion spéculaire : le rayon est réfléchi vers le haut avec le même angle par rapport à la verticale.
• En z = 0, la condition aux limites de surface libre (f(0) = 0) impose également une réflexion spéculaire : le rayon repart vers le bas.

La trajectoire est ainsi une ligne brisée périodique (profil en zigzag) comprise entre z = -H et z = 0.

Dans le modèle de fluide uniforme étudié en première partie :

• la propagation s'effectue dans une couche d'épaisseur finie s'étendant de z = -H à z = 0, de sorte que l'altitude limite inférieure est z_{\min} = -H ;

• la célérité c est uniforme, donc le nombre d'onde vertical k_z ne dépend pas de z :

  k_z(z) = k_z = \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2} - k_x^2} = \text{cste}.

L'intégrale de l'équation (3) se calcule alors directement :

La condition de quantification (3) s'écrit donc :

D'après la question 28, les modes propres vérifient :

Par identification directe entre ces deux expressions, on en déduit :

D'après la question Q32, l'angle i(z) d'inclinaison locale du rayon par rapport à la verticale est régi par :

La pente de la trajectoire x(z) dans le plan (x, z) s'écrit donc :

De plus, d'après la question Q33, l'altitude de retournement z_{\min} est fixée par :

La trajectoire d'un rayon partant d'un même point de la surface dépend ainsi uniquement du rapport \dfrac{\omega}{k_x}.

Par conséquent, deux ondes (\omega, k_x) et (\omega', k'_x) correspondent à des rayons identiques si et seulement si elles possèdent le même rapport :

D'après la relation de dispersion locale (question Q31), la composante verticale du vecteur d'onde s'écrit :

En introduisant l'abscisse de la figure 3, à savoir la vitesse de phase horizontale X = \frac{\omega}{k_x}, on peut factoriser par \omega :

D'après la question Q33, l'altitude de rebroussement z_{\min} vérifie c(z_{\min}) = \frac{\omega}{k_x} = X. Le profil de vitesse c(z) étant une fonction bijective décroissante de z, z_{\min} ne dépend que de X : z_{\min} = z_{\min}(X).

En substituant cette expression dans la condition de quantification (3) pour un mode propre de pulsation \omega_n :

En divisant les deux membres par \omega_n, on obtient :

On reconnaît dans le membre de gauche l'ordonnée Y = \frac{(n + \alpha)\pi}{\omega_n} de la figure 3. L'intégrale du membre de droite ne dépend quant à elle que du profil c(z) et de la variable X. On peut donc écrire :

La fonction F est complètement indépendante de l'entier n et du mode circonférentiel l (donc de k_x). Par conséquent, tous les points (X, Y) associés aux différents modes (n, l) se placent nécessairement sur la courbe unique d'équation Y = F(X).

L'approximation de l'acoustique géométrique (analogue à l'approximation eikonale en optique ou à l'approximation semi-classique WKB) est valable lorsque la longueur d'onde acoustique locale \lambda est très petite devant l'échelle spatiale caractéristique L de variation des paramètres du milieu (ici le gradient de vitesse du son c(z) ou de masse volumique) :

Cette condition se traduit sur les deux dimensions de l'espace :

• Selon la direction verticale z : D'après l'équation (3), la phase verticale accumulée entre z_{\min} et la surface vaut (n+\alpha)\pi. Le mode vertical comporte donc environ n ventres de surpression. Pour que la longueur d'onde verticale \lambda_z \sim 2|z_{\min}|/n soit petite devant la profondeur de pénétration |z_{\min}| et l'échelle de variation de c(z), le nombre de nœuds doit être grand, ce qui impose :

  \boxed{n \gg 1}

• Selon la direction horizontale x : La longueur d'onde horizontale vaut \lambda_x = \frac{2\pi}{k_x} = \frac{2\pi R}{l} d'après la question 24. Pour pouvoir définir localement un rayon acoustique sans diffraction horizontale et assimiler localement la géométrie sphérique à un milieu plan (courbure négligeable à l'échelle de l'onde), il faut que la longueur d'onde horizontale soit très petite devant le rayon du Soleil R (\lambda_x \ll R), ce qui se traduit par :

  \boxed{l \gg 1}

En résumé, l'approximation géométrique et la condition de quantification semi-classique associée sont pleinement justifiées dans le régime asymptotique :