Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 PSI 2022

La relation fournie est la relation fondamentale de la statique des fluides. Elle traduit l'équilibre mécanique local d'une particule fluide de volume \mathrm{d}V au repos dans le référentiel d'étude (supposé galiléen) :

Chacun des termes possède la dimension d'une force par unité de volume (\mathrm{N\cdot m^{-3}}) :

• \rho \vec{g} est la densité volumique de force de pesanteur (force à distance exercée sur la particule fluide), où \rho désigne la masse volumique du fluide et \vec{g} l'accélération de la pesanteur ;
• -\overrightarrow{\operatorname{grad}} P est la densité volumique de force de pression, résultante des forces de contact exercées par le fluide environnant sur la surface fermée délimitant la particule fluide, où P est le champ de pression scalaire ;
• L'égalité à \vec{0} exprime que, pour un fluide au repos, les forces volumiques de pression compensent exactement à chaque instant et en tout point les forces volumiques de gravité.

L'océan étant supposé au repos, la relation fondamentale de la statique des fluides établie à la question précédente s'écrit :

L'axe (Oz) étant orienté verticalement vers le bas, l'accélération de la pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{u}_z. De plus, par invariance par translation dans le plan horizontal, la pression ne dépend que de la profondeur z, soit \vec{\operatorname{grad}} P = \dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z}\,\vec{u}_z.

L'eau de mer étant considérée incompressible de masse volumique uniforme \rho_0, la projection selon l'axe (Oz) donne :

Par intégration entre la surface (z = 0, où règne la pression atmosphérique P(0) = P_0) et la profondeur z, on obtient :

Considérons une masse constante m d'eau occupant un volume V. La masse volumique \rho est définie par :

Le système étant fermé (m = \text{cte}), la dérivation par rapport à la pression P à température T fixée s'écrit :

En injectant cette relation dans la définition du coefficient de compressibilité isotherme \chi_T, il vient :

On obtient bien la relation demandée :

L'axe (Oz) étant orienté vers le bas dans le sens du champ de pesanteur (\vec{g} = g\,\vec{u}_z), la projection de la relation fondamentale de la statique des fluides \rho \vec{g} - \vec{\operatorname{grad}} P = \vec{0} (question Q1) conduit à :

Le milieu étant isotherme, la relation établie en Q3 donne :

En injectant cette relation dans celle de la statique des fluides, il vient :

Puisque \chi_T et g sont supposés constants, on intègre cette équation à variables séparables entre la surface (z = 0, où \rho(0) = \rho_0) et la profondeur z :

On en déduit l'expression de la masse volumique :

D'après la relation fondamentale de la statique des fluides le long de l'axe vertical descendant (Oz) :

En substituant l'expression de la masse volumique obtenue à la question Q4, \rho(z) = \dfrac{\rho_0}{1 - \rho_0 \chi_T g z} :

En intégrant cette équation différentielle entre la surface (z = 0, où P(0) = P_0) et la profondeur z :

On en déduit l'expression de la pression à la profondeur z :

D'après la question Q5, le modèle tenant compte de la compressibilité isotherme donne :

Calculons la grandeur sans dimension intervenant dans le logarithme pour z_{\max} = 10,9\text{ km} = 10,9 \times 10^3\text{ m} :

Avec P_0 = 1,01 \times 10^5\text{ Pa} (négligeable devant 10^8\text{ Pa}) :

L'écart relatif avec la mesure expérimentale P_{\text{mes}} = 1,13 \times 10^8\text{ Pa} est de :

Le modèle est donc amplement suffisant pour prédire la pression à cette profondeur dans un cadre d'ingénierie (à titre de comparaison, le modèle incompressible donnait P_{\text{incomp}} \approx P_0 + \rho_0 g z_{\max} \approx 1,09 \times 10^8\text{ Pa}, soit un écart de près de 3,5\%).

Pour améliorer encore ce modèle, on peut proposer :

• Prise en compte du profil de température T(z) : l'océan n'est pas isotherme. La température passe typiquement de près de 30^\circ\text{C} en surface à environ 1\text{ à }4^\circ\text{C} au fond, ce qui modifie la masse volumique via le coefficient de dilatation isobare \alpha (l'eau froide étant plus dense, cela augmente la pression) ;
• Prise en compte de la salinité : la salinité varie avec la profondeur, influençant également la masse volumique locale ;
• Dépendance de \chi_T : le coefficient de compressibilité isotherme \chi_T n'est pas strictement constant, mais diminue lorsque la pression augmente (l'eau devient plus difficile à comprimer à très haute pression).

1. Hypothèses du modèle

• Le sous-marin plonge et remonte verticalement le long de l'axe (Oz). Les phases transitoires d'accélération sont très courtes devant les durées totales (2\text{ h }30\text{ min} et 70\text{ min}) : le mouvement est considéré comme uniforme à vitesse limite v_d à la descente et v_m à la montée.
• La masse volumique de l'eau de mer est approximée par sa valeur moyenne \rho \approx \rho_0 = 1,02 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (la compressibilité n'induit qu'une variation relative de l'ordre de quelques pourcents).

• Le sous-marin se déplaçant selon son grand axe vertical, la surface frontale exposée à l'écoulement est l'aire de sa section circulaire droite :

  S = \frac{\pi D_{DC}^2}{4} = \frac{\pi \times (2,11)^2}{4} \approx 3,50\text{ m}^2
• Le rapport d'élancement vaut H_{DC} / D_{DC} = 7,30 / 2,11 \approx 3,46. D'après la figure 2 (cas e : cylindre d'axe parallèle à la vitesse), pour L/D \approx 3,5, le coefficient de traînée de pression est de l'ordre de C_x \approx 0,7. En première approche, on suppose les coefficients de traînée identiques à la descente et à la remontée : C_{x,d} \approx C_{x,m} \approx C_x.

2. Équilibre dynamique lors des deux trajets

• À la descente : le système a pour masse totale M_d = M_{sm} + m_b, où M_{sm} est la masse du sous-marin sans son ballast et m_b la masse de ballast larguée. Le sous-marin étant à vitesse limite v_d constante vers le bas, le bilan des forces projeté sur l'axe descendant donne :

  \begin{aligned} M_d g - \rho V_{DC} g - \frac{1}{2} C_x \rho S v_d^2 &= 0 \\ (M_d - \rho V_{DC}) g &= \frac{1}{2} C_x \rho S v_d^2 \end{aligned}

• À la remontée : les ballasts ont été abandonnés au fond, la masse devient M_m = M_{sm}. Le sous-marin remonte à vitesse limite v_m constante vers le haut. La projection des forces sur l'axe vertical ascendant donne :

  \begin{aligned} \rho V_{DC} g - M_m g - \frac{1}{2} C_x \rho S v_m^2 &= 0 \\ (\rho V_{DC} - M_m) g &= \frac{1}{2} C_x \rho S v_m^2 \end{aligned}

3. Détermination de la masse de ballast En effectuant la somme membre à membre des deux relations, les termes de poussée d'Archimède \rho V_{DC} g ainsi que la masse M_{sm} s'annulent :

On en déduit l'expression littérale de la masse de ballast libéré :

4. Application numérique Calculons les vitesses moyennes de descente et de montée :

Avec \rho \approx 1,02 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, S \approx 3,50\text{ m}^2, g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et C_x \approx 0,7 :

L'air sec au niveau de la mer est constitué principalement, en fractions molaires (ou volumiques) :

• de diazote \mathrm{N}_2 : environ 78\,\% (soit une fraction molaire x_{\mathrm{N}_2} \approx 0{,}78) ;
• de dioxygène \mathrm{O}_2 : environ 21\,\% (soit une fraction molaire x_{\mathrm{O}_2} \approx 0{,}21) ;
• d'argon \mathrm{Ar} : environ 0{,}93\,\% ;
• de dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 : environ 0{,}04\,\% (400\text{ à }420\text{ ppm}) ;
• d'autres gaz à l'état de traces (néon, hélium, krypton, etc.).

À l'état naturel, l'air contient également de la vapeur d'eau en proportion variable (typiquement de 0{,}5\,\% à quelques pourcents selon l'hygrométrie).

Pour les applications usuelles et les bilans respiratoires, on retient classiquement l'approximation :

ou, plus précisément :

Hypothèses utilisées :

• L'air de l'habitacle est assimilé à un mélange de gaz parfaits à température T uniforme et constante, occupant un volume libre V constant ;
• Le mélange gazeux est homogène à chaque instant (brassage efficace de l'air expiré avant l'inspiration suivante) ;
• Le volume d'air inspiré V_p est prélevé à la composition moyenne de l'habitacle.

Bilan sur le dioxygène :

Après la i-ème respiration, la quantité de dioxygène présente dans l'habitacle est n_i, soit une concentration molaire volumique :

Lors de la (i+1)-ème inspiration, le volume d'air inspiré V_p contient donc une quantité de matière de dioxygène égale à :

D'après l'énoncé, seul un quart de ce dioxygène est consommé par les poumons (le reste étant réexpiré dans l'habitacle) :

La quantité de dioxygène restant dans l'habitacle après cette (i+1)-ème respiration s'écrit alors :

soit :

Évolution de la pression partielle :

Dans le cadre du modèle du gaz parfait, la pression partielle en dioxygène après la i-ème respiration est donnée par :

Comme la température T et le volume V sont supposés constants, la pression partielle est directement proportionnelle à la quantité de matière n_i. La relation de récurrence s'écrit donc identiquement :

La suite \left(P_{\mathrm{O}_2 i}\right)_{i\in\mathbb{N}} est ainsi une suite géométrique de premier terme P_{\mathrm{O}_2 0} et de raison q = 1 - \dfrac{V_p}{4V}. Son terme général est :

D'après la question Q9, la pression partielle en dioxygène après la i-ème respiration s'écrit :

L'air reste respirable tant que P_{\mathrm{O}_2 i} \ge P_{\mathrm{O}_2\ell}. Le nombre maximal d'inspirations N réalisables par le pilote avant d'atteindre le seuil critique vérifie donc :

Comme le volume inspiré V_p est très faible devant le volume de la cabine V, on a \frac{V_p}{4V} \ll 1. En effectuant un développement limité à l'ordre 1 (\ln(1 - \epsilon) \approx -\epsilon), il vient :

Évaluation du volume libre V :
L'habitacle est une sphère de diamètre intérieur D = 1{,}09\text{ m}. Son volume intérieur total est :

En tenant compte du volume occupé par le corps du pilote (V_{\text{pilote}} \approx 75\text{ L}) et les équipements internes, le volume d'air libre restant est compris entre 0{,}60\text{ m}^3 et 0{,}68\text{ m}^3. Retenons une valeur moyenne :

Calcul du nombre d'inspirations :
Avec P_{\mathrm{O}_2 0} \approx 0{,}21 \times 1{,}013 \times 10^5\text{ Pa} \approx 2{,}13 \times 10^4\text{ Pa} (question Q8) et P_{\mathrm{O}_2\ell} = 8{,}0 \times 10^3\text{ Pa} :

(Si l'on ne déduit pas le volume du pilote et que l'on prend V = V_{\text{hab}} \approx 0{,}68\text{ m}^3, on obtient N \approx 5{,}3 \times 10^3).

Durée de vie sans apport extérieur :
La respiration s'effectue à une fréquence f = 0{,}25\text{ Hz}. La durée totale correspondante est :

Numériquement :

(ou \Delta t \approx 5{,}9\text{ h} avec V = 0{,}68\text{ m}^3).

Le dispositif constitue une pile en court-circuit (phénomène de corrosion galvanique) entre deux métaux immergés dans l'eau de mer :

• Sur la surface du barreau en alliage AZ31 : le magnésium étant un métal très réducteur, il constitue l'anode du système. Il s'y produit l'oxydation du métal en cations métalliques :

  \mathrm{AZ31}_{(\mathrm{s})} = \mathrm{AZ31}^{2+}_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^-

• Sur la surface des anneaux en nickel : le nickel, plus noble, sert de conducteur électronique et joue le rôle de cathode. Il s'y produit la réduction de l'eau (confirmée par la mention \mathrm{H}_2 \leftarrow \mathrm{H}_2\mathrm{O} sur la figure 4 et par le dégagement de bulles de dihydrogène gazeux \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} observé expérimentalement) :

  2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\ell)} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2\,(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}

En combinant ces deux demi-équations avec un nombre stœchiométrique de 1 pour l'espèce qui s'oxyde (\mathrm{AZ31}), on obtient l'équation de la réaction globale d'oxydoréduction :

La tige en alliage AZ31 est modélisée par un cylindre de longueur L et de diamètre d (soit de rayon r_{\mathrm{c}} = d/2). Son volume s'écrit :

La masse correspondante vaut :

L'alliage étant assimilé à du magnésium pur de masse molaire M_{\mathrm{AZ31}}, la quantité de matière initiale présente dans la tige est :

D'après l'équation de la réaction établie à la question Q11 :

Le réactif AZ31 intervient avec un nombre stœchiométrique égal à 1 et l'eau est le solvant (en large excès). Lorsque la tige est totalement corrodée, le réactif limitant est entièrement consommé, soit n_0 - \xi_{\max} = 0. Il vient donc :

Application numérique : D'après l'échelle de la figure 3 :

• la longueur de la tige séparant les deux tores de nickel est L \approx 2{,}0\text{ cm} = 2{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} ;
• le diamètre de la tige est de l'ordre de d \approx 2{,}0\text{ mm} = 2{,}0 \times 10^{-3}\text{ m} (ou compris entre 1{,}5 et 2{,}0\text{ mm}).

Avec \rho_{\mathrm{AZ31}} = 1{,}74 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et M_{\mathrm{AZ31}} = 24{,}4\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 24{,}4 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} :

Le système métallique est isolé électriquement de tout circuit extérieur ; il se comporte comme un couple galvanique en court-circuit. Par conservation globale de la charge à l'interface métal-électrolyte, le courant total de corrosion i_{\text{corr}} correspond au courant anodique d'oxydation de l'alliage AZ31 :

En supposant que la densité surfacique de courant j_{\mathrm{AZ31}} est uniforme sur toute la surface active de la tige en contact avec l'eau de mer, le flux de la densité de courant à travers cette surface s'écrit simplement :

où S_{\mathrm{AZ31}} est l'aire de la surface de la tige d'alliage exposée à l'électrolyte. Comme les deux extrémités du cylindre sont insérées dans les tores de nickel, la surface en contact correspond à la surface latérale du cylindre de diamètre d et de longueur L :

En l'absence de générateur extérieur, le système métallique est en court-circuit spontané (circuit ouvert global). La conservation de la charge impose l'égalité des intensités anodique et cathodique :

Or, d'après la relation établie à la question Q13, i = j \, S. La condition s'écrit donc en termes de densités surfaciques de courant :

soit :

1. Estimation des surfaces des électrodes :

• Pour la tige cylindrique d'alliage AZ31, avec les dimensions retenues en Q12 (d \approx 2{,}0\text{ mm} et L \approx 2{,}0\text{ cm}) :

  S_{\mathrm{AZ31}} = \pi d L \approx \pi \times 0{,}20 \times 2{,}0 \approx 1{,}3\text{ cm}^2

• Pour les attaches en nickel, le dispositif comporte deux tores. D'après l'échelle de la figure 3, le diamètre extérieur d'un tore est d'environ 1{,}6\text{ cm} et le diamètre intérieur du trou d'environ 0{,}8\text{ cm}. On en déduit :

  R \approx \frac{1{,}6 + 0{,}8}{4} = 0{,}60\text{ cm} \quad \text{et} \quad r \approx \frac{1{,}6 - 0{,}8}{4} = 0{,}20\text{ cm}

  La formule fournie donne la surface d'un tore : S_1 = 4\pi^2 r R \approx 4\pi^2 \times 0{,}20 \times 0{,}60 \approx 4{,}7\text{ cm}^2. Pour les deux anneaux en nickel réunis :

  S_{\mathrm{Ni}} = 2 \, S_1 \approx 9{,}5 \text{ à } 10\text{ cm}^2

Le rapport des surfaces est donc de l'ordre de :

2. Détermination du courant de corrosion : Puisque S_{\mathrm{Ni}} \gg S_{\mathrm{AZ31}}, le point de fonctionnement se situe à un potentiel E_{\text{corr}} supérieur au simple point d'intersection des courbes de la figure 4 (où j_{\mathrm{AZ31}} = |j_{\mathrm{Ni}}|, soit E \approx -730\text{ mV}).
Pour un rapport j_{\mathrm{AZ31}} / |j_{\mathrm{Ni}}| \approx 8, on lit sur la figure 4 un potentiel de corrosion :

Au voisinage de cette valeur, on lit pour la réduction de l'eau sur le nickel :

Le courant de corrosion global vaut ainsi :

3. Évaluation de la durée de libération : L'oxydation complète de la tige nécessite l'échange d'une charge électrique totale Q liée à l'avancement maximal \xi_{\max} \approx 4{,}5\text{ mmol} déterminé en Q12 :

En supposant le courant de corrosion constant en première approximation, la durée nécessaire à la dissolution totale s'écrit :

Compte tenu des incertitudes graphiques et dimensionnelles, on retient :

4. Commentaire :

• La descente et la remontée cumulent déjà 2\text{ h } 30\text{ min} + 1\text{ h } 10\text{ min} = 3\text{ h } 40\text{ min}. Une durée de dissolution d'environ 4 à 5 heures est donc légèrement supérieure ou comparable au temps de transit strict, ce qui laisse au pilote une marge de travail minimale sur le fond sans risquer un largage intempestif prématuré.
• Ce délai est inférieur à la limite d'hypoxie en cas de panne de recyclage d'air (environ 5 à 6 heures, d'après Q10). Le système GTR remplit donc parfaitement son rôle d'ultime recours passif : en cas de défaillance électrique complète, le largage spontané des ballasts garantit la remontée du sous-marin avant l'asphyxie du pilote.

Au cours de la réaction d'oxydoréduction spontanée, seul l'alliage réducteur AZ31 est consommé par dissolution anodique ; le nickel, siège de la réduction de l'eau, n'est pas attaqué. Le diamètre du barreau cylindrique diminue, de sorte que la surface active S_{\mathrm{AZ31}}(t) décroît au cours du temps.

À tout instant, la conservation de la charge impose l'égalité des courants anodique et cathodique :

Puisque S_{\mathrm{Ni}} est constante et que S_{\mathrm{AZ31}}(t) diminue :

• le rapport \frac{S_{\mathrm{AZ31}}(t)}{S_{\mathrm{Ni}}} diminue, ce qui impose une augmentation de la densité j_{\mathrm{AZ31}} par rapport à |j_{\mathrm{Ni}}| ;
• sur la figure 4, pour faire croître j_{\mathrm{AZ31}} et décroître |j_{\mathrm{Ni}}|, le potentiel mixte de corrosion E_{\text{corr}}(t) doit se déplacer vers des potentiels plus nobles (plus élevés) ;
• la densité de courant cathodique |j_{\mathrm{Ni}}\!\big(E_{\text{corr}}(t)\big)| étant une fonction décroissante de E, le produit i_{\text{corr}}(t) = |j_{\mathrm{Ni}}(E_{\text{corr}})| S_{\mathrm{Ni}} diminue au cours du temps.

Le courant de corrosion i_{\text{corr}}(t) étant inférieur à sa valeur initiale, la vitesse de disparition de l'alliage \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} = \frac{i_{\text{corr}}(t)}{2\mathcal{F}} diminue au fil du temps.

Par conséquent, le temps nécessaire pour atteindre l'avancement maximal \xi_{\max} (ou l'amincissement critique provoquant la rupture mécanique) est plus grand que celui estimé à courant constant :

Dans un milieu conducteur ohmique, linéaire et isotrope (conducteur localement neutre et au repos), la loi d'Ohm locale relie directement le vecteur densité volumique de courant de conduction \vec{\jmath} au champ électrique local \vec{E} par la relation :

où \gamma désigne la conductivité électrique du milieu, exprimée en siemens par mètre (\text{S}\cdot\text{m}^{-1}).

L'équation locale de conservation de la charge électrique s'écrit :

D'après la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma \vec{E} et en considérant la conductivité \gamma spatiale uniforme dans l'eau de mer, il vient :

Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Gauss dans un milieu diélectrique de permittivité \epsilon s'écrit :

En combinant ces relations dans l'équation de conservation de la charge, on obtient :

ce qui correspond bien à l'équation différentielle demandée :

avec un temps caractéristique de relaxation diélectrique :

D'après le résultat de la question Q17, le temps caractéristique de relaxation s'exprime par :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• \epsilon_r = 75 ;
• \epsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \gamma = 5\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;

On obtient l'application numérique :

Considérons une onde électromagnétique de fréquence f \le 1{,}00\text{ MHz}. La période temporelle correspondante vérifie :

On constate que :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q17, toute perturbation initiale de densité volumique de charge s'atténue selon la loi exponentielle \rho(t) = \rho(0)\,\mathrm{e}^{-t/\tau}. Comme \tau \ll T, les charges libres présentes dans l'eau de mer se redistribuent de manière quasi instantanée à l'échelle de la période de l'onde pour compenser tout déséquilibre.

Ainsi, en dehors d'un transitoire extrêmement bref (quelques fractions de nanoseconde), le milieu est localement neutre au sein du volume et on peut considérer que :

Dans l'eau de mer modélisée par un conducteur ohmique de permittivité \epsilon = \epsilon_r \epsilon_0, de perméabilité \mu_0 et de conductivité \gamma, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

On y identifie :

• la densité volumique de courant de conduction : \vec{\jmath} = \gamma \vec{E} (d'après la loi d'Ohm locale vue en Q16) ;
• la densité volumique de courant de déplacement : \vec{\jmath}_D = \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

En régime sinusoïdal de pulsation \omega, en notation complexe où \frac{\partial}{\partial t} \leftrightarrow \mathrm{i}\omega, les amplitudes complexes de ces densités de courant s'écrivent :

Les amplitudes de ces deux densités de courant sont donc :

Le courant de déplacement devient supérieur au courant de conduction dès lors que j_D > j, soit :

où \tau est le temps de relaxation diélectrique introduit en Q17.

Application numérique : Avec \gamma = 5\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}, \epsilon_r = 75 et \epsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} (ou à partir de \tau \approx 1{,}33 \times 10^{-10}\text{ s} déterminé en Q18) :

ce qui correspond à une fréquence caractéristique f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 1{,}2\text{ GHz}.

Sous la condition \omega \ll \omega_c, le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction (établi à la question Q19). L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit alors :

Par ailleurs :

• D'après l'équation de Maxwell-Gauss et la neutralité volumique locale (\rho = 0, établie à la question Q18) :

  \operatorname{div} \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon} = 0

• L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

  \vec{\operatorname{rot}} \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

En prenant le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et en utilisant la relation vectorielle du formulaire :

On en déduit l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique :

Il s'agit d'une équation de diffusion (ou équation de type chaleur vectorielle), avec un coefficient de diffusion magnétique D_m = \frac{1}{\mu_0 \gamma}.

Le champ électrique s'écrit sous forme complexe :

D'après la question Q20, pour \omega \ll \omega_c, \vec{E} vérifie l'équation de diffusion :

Comme \underline{\vec{E}} ne dépend spatialement que de z, le laplacien vectoriel se réduit à :

De même, pour la dérivée temporelle :

En reportant dans l'équation de diffusion, on obtient la relation de dispersion :

En introduisant l'épaisseur caractéristique \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}, il vient :

Or, -\mathrm{i} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2} = \left(\dfrac{1 - \mathrm{i}}{\sqrt{2}}\right)^2, d'où :

Les deux racines complexes possibles sont \underline{k} = \pm \dfrac{1 - \mathrm{i}}{\delta}.

Le facteur de propagation spatiale s'écrit :

L'onde se propageant dans le demi-espace z > 0, l'amplitude doit rester bornée et s'atténuer lorsque z \to +\infty (milieu dissipatif). Cela impose de retenir le signe positif :

Application numérique : Pour f = 1{,}0\text{ MHz}, la pulsation vaut \omega = 2\pi f. Avec les données :

• \mu_0 = 12{,}6 \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
• \gamma = 5\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
• \omega = 2\pi \times 1{,}0 \times 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

D'après la question Q21, le nombre d'onde complexe s'écrit \underline{k} = \frac{1-\mathrm{i}}{\delta} = \frac{\sqrt{2}}{\delta}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4}. Le champ électrique sous forme complexe est :

Le champ électrique réel associé est donc :

L'équation de Maxwell-Faraday \vec{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} devient en notation complexe :

Le champ magnétique réel correspondant est :

Le vecteur de Poynting instantané est donné par \vec{\Pi}(z,t) = \frac{\vec{E}(z,t) \times \vec{B}(z,t)}{\mu_0} :

En utilisant la relation trigonométrique \cos a \cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right], avec a - b = \frac{\pi}{4} (d'où \cos(a-b) = \frac{\sqrt{2}}{2}) :

On obtient ainsi :

La moyenne temporelle du terme oscillant à la pulsation 2\omega étant nulle, il vient :

D'après l'expression de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting obtenue à la question Q22 :

Le rapport des flux de puissance moyenne à travers deux sections distantes de L s'écrit donc :

Avec les valeurs numériques :

• L = 10\text{ m} ;
• \delta \approx 0{,}225\text{ m} (obtenu à la question Q21 pour f = 1{,}0\text{ MHz}).

Il vient :

d'où :

D'après le résultat de la question Q23, la densité surfacique de puissance transportée par l'onde électromagnétique subit déjà une atténuation titanesque sur seulement L = 10\text{ m} :

ce qui correspond à une atténuation d'environ -386\text{ dB} sur une dizaine de mètres.

Or, le sous-marin évolue jusqu'au fond de la fosse des Mariannes, soit à une profondeur z_{\max} = 10{,}9\text{ km} = 10\,900\text{ m}. L'atténuation sur une telle distance serait régie par le facteur :

Le signal électromagnétique est intégralement absorbé au bout de quelques mètres sous la surface de l'eau.

1. Hypothèses de l'approximation acoustique :

• Hypothèse des petites perturbations (linéarisation) : l'onde acoustique est une faible perturbation de l'état de repos uniforme :

  |p(z,t)| \ll P_0, \qquad |\mu(z,t)| \ll \rho_0, \qquad |v(z,t)| \ll c

  où c est la célérité du son. Par conséquent, les termes non linéaires d'ordre supérieur à 1 sont négligés (notamment le terme de convection d'Euler (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \approx v \frac{\partial v}{\partial z}\vec{u}_z devant le terme d'accélération locale \frac{\partial v}{\partial t}\vec{u}_z, ainsi que le produit \mu v devant \rho_0 v).

• Fluide parfait non dissipatif : les transferts thermiques par conduction thermique et les forces de frottement visqueux au sein du fluide sont négligés.
• Pesanteur négligée : les forces de gravité sont négligeables devant les forces associées aux gradients de pression acoustique.

2. Nature de l'évolution thermodynamique de la particule fluide :

• Elle est considérée comme adiabatique car les temps caractéristiques de diffusion thermique à l'échelle d'une demi-longueur d'onde acoustique \lambda/2 sont très grands devant la période acoustique T = 1/f de l'onde.
• Elle est considérée comme réversible en l'absence de viscosité et de gradients thermiques notables générateurs d'entropie (phénomènes dissipatifs négligés).

Dans le cadre de l'approximation acoustique unidimensionnelle selon (Oz), les trois équations couplées régissant la perturbation s'écrivent :

1. Équation de conservation de la masse (ou équation de continuité) :
   Elle traduit l'indestructibilité de la matière au cours de l'écoulement. L'équation locale \dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0 s'écrit, en négligeant le terme non linéaire \dfrac{\partial (\mu v)}{\partial z} devant les termes d'ordre 1 :

   \boxed{\frac{\partial \mu}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial z} = 0}

2. Équation de la dynamique des fluides parfaits (équation d'Euler linéarisée) :
   Elle traduit le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule fluide soumise aux forces pressantes, la viscosité et la pesanteur étant négligées : \rho\left(\dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right) = -\vec{\nabla} P. À l'ordre 1, la projection sur l'axe (Oz) donne :

   \boxed{\rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial z}}

3. Équation d'état thermodynamique (comportement isentropique) :
   Elle traduit la réponse élastique du fluide lors d'une compression isentropique. Par définition du coefficient de compressibilité isentropique \chi_S = \dfrac{1}{\rho}\left(\dfrac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{\!S}, le développement à l'ordre 1 au repos donne :

   \boxed{\mu(z,t) = \rho_0 \chi_S \, p(z,t)}

   (ou, sous forme différentielle temporelle, \dfrac{\partial \mu}{\partial t} = \rho_0 \chi_S \dfrac{\partial p}{\partial t}).

D'après les résultats de la question Q26, les trois équations couplées s'écrivent :

En substituant la relation thermodynamique (3) dans l'équation de continuité (1), et après simplification par \rho_0 \neq 0, on obtient :

Dérivons cette relation par rapport au temps t :

Par ailleurs, en dérivant l'équation d'Euler (2) par rapport à la variable d'espace z, il vient :

Les champs étant réguliers, le théorème de Schwarz assure l'égalité des dérivées croisées :

En injectant cette expression dans la dérivée temporelle de l'équation de continuité, on aboutit à :

On obtient ainsi l'équation de d'Alembert unidimensionnelle pour la surpression acoustique :

avec une célérité c définie par c = \dfrac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi_S}}.

D'après l'équation de d'Alembert établie à la question Q27 :

par identification avec la forme standard de l'équation de d'Alembert \frac{\partial^2 p}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0, la célérité c de l'onde acoustique plane progressive s'exprime par :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• \rho_0 = 1,02 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• \chi_S = 4,10 \times 10^{-10}\text{ Pa}^{-1}.

En conservant trois chiffres significatifs :

L'interface entre les deux milieux est fixe et le comportement acoustique est linéaire : les ondes incidente, réfléchie et transmise oscillent donc à la même pulsation \omega.

Dans le milieu 1, les ondes incidente et réfléchie vérifient toutes deux l'équation d'onde de d'Alembert relative à ce milieu :

L'injection de la forme d'une onde plane progressive harmonique \exp(\mathrm{i}(\omega t - \vec{k} \cdot \overrightarrow{OM})) conduit à la relation de dispersion :

Les ondes incidente et réfléchie se propageant dans le même milieu 1 avec la même pulsation \omega, leurs vecteurs d'onde ont nécessairement la même norme :

De plus, l'onde transmise se propage dans le milieu 2 à la célérité c_2. La relation de dispersion dans ce second milieu donne identiquement :

On obtient ainsi :

À la traversée d'une interface séparant deux fluides (en l'absence d'effets de tension superficielle), la pression doit être continue afin d'éviter une accélération infinie d'une tranche de fluide d'épaisseur infinitésimale. La pression de repos P_0 étant supposée uniforme et identique de part et d'autre de l'interface, la continuité de la pression totale P(M,t) = P_0 + p(M,t) impose la continuité de la surpression acoustique en tout point P de l'interface (z=0) et à chaque instant t :

Dans le milieu 1, le champ acoustique résulte de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie, tandis que dans le milieu 2, seule l'onde transmise se propage. En notation complexe, cette condition s'écrit :

En remplaçant par les expressions fournies par l'énoncé :

En divisant chaque membre par le terme non nul \exp\left(\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}_i \cdot \overrightarrow{OP})\right), il vient :

On obtient ainsi directement la relation demandée :

D'après la question Q30, la continuité de la pression acoustique à l'interface s'écrit, en tout point P(x,y,0) du plan z = 0 :

Le membre de gauche contient une constante \underline{p}_{i0} \neq 0, strictement indépendante des coordonnées (x,y) du point P.

Pour que cette combinaison linéaire de termes exponentiels soit vérifiée de manière universelle sur tout le plan de l'interface (quel que soit \overrightarrow{OP} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y), les trois termes doivent présenter la même dépendance spatiale le long de l'interface.

Puisque le terme \underline{p}_{i0} ne dépend pas de \overrightarrow{OP}, la dépendance spatiale des deux autres termes doit obligatoirement être nulle. Les phases spatiales relatives ne doivent pas varier avec la position de P :

En choisissant en particulier l'origine O qui appartient à l'interface (\overrightarrow{OO} = \vec{0}), ces constantes sont nécessairement nulles. On en déduit ainsi que pour tout point P de l'interface :

Un point P quelconque de l'interface z = 0 est repéré par son vecteur position :

L'énoncé précise que \vec{k}_i = k_{i,x}\,\vec{u}_x + k_{i,z}\,\vec{u}_z, ce qui implique k_{i,y} = 0.

1. Annulation des composantes selon y :

La condition d'accord de phase établie à la question Q31 doit être vérifiée pour tout point P de l'interface, c'est-à-dire pour tout couple (x,y) \in \mathbb{R}^2 :

Pour x = 0 et y \neq 0, ces relations imposent immédiatement :

Les trois vecteurs d'onde \vec{k}_i, \vec{k}_r et \vec{k}_t sont donc coplanaires : ils appartiennent au plan d'incidence (xOz).

2. Relations angulaires :

Pour y = 0 et x \neq 0, la conservation de la composante tangentielle du vecteur d'onde donne :

D'après la géométrie définie sur la figure 5 :

• Pour l'onde incidente : k_{i,x} = k_i \sin\theta_i avec k_i = \dfrac{\omega}{c_1} (d'après Q29).

• Pour l'onde transmise : k_{t,x} = k_t \sin\theta_t avec k_t = \dfrac{\omega}{c_2} (d'après Q29). L'égalité k_{i,x} = k_{t,x} conduit à :

  \frac{\omega}{c_1}\sin\theta_i = \frac{\omega}{c_2}\sin\theta_t \implies \frac{\sin\theta_i}{c_1} = \frac{\sin\theta_t}{c_2}

• Pour l'onde réfléchie : elle se propage dans le milieu 1, d'où k_r = k_i. En repérant l'angle \theta_r de manière algébrique par rapport à la normale de façon symétrique à l'angle d'incidence (comme indiqué par la flèche sur la figure 5, où la déviation s'effectue en sens opposé), on a k_{r,x} = -k_r \sin\theta_r, d'où :

  k_i \sin\theta_i = -k_i \sin\theta_r \implies \theta_r = -\theta_i

On aboutit ainsi au système :

3. Identification des lois :

On retrouve les lois de Snell-Descartes (ou lois de Descartes) pour la réflexion et la réfraction (ici la transmission acoustique), identiques à celles de l'optique géométrique :

• première loi : les rayons réfléchi et transmis sont contenus dans le plan d'incidence ;
• deuxième loi : l'angle de réflexion est opposé à l'angle d'incidence (ou égal en valeur absolue) ;
• troisième loi : la loi de réfraction fait intervenir les indices acoustiques n_1 = \dfrac{c_0}{c_1} et n_2 = \dfrac{c_0}{c_2}, ce qui redonne n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t.

D'après la loi de réfraction établie à la question Q32, le passage d'une onde acoustique à travers une interface plane horizontale impose :

En modélisant un milieu continûment stratifié selon l'axe vertical (Oz) comme un empilement continu de dioptres plans horizontaux infinitésimaux, cette relation est vérifiée à chaque interface.

Par conséquent, la grandeur faisant intervenir \theta et c qui se conserve tout au long du trajet d'un rayon acoustique est :

D'après la question précédente, la loi de Snell-Descartes acoustique se traduit par la conservation le long d'un rayon de la quantité :

où \theta(z) est l'angle algébrique du rayon avec la verticale descendante (Oz) et \theta_0 = \theta(0).

• Rayon strictement vertical (\theta_0 = 0) :
  On a \sin\theta(z) = 0, donc \theta(z) = 0 pour toute profondeur : le rayon se propage en ligne droite selon l'axe vertical (Oz).

• Rayons quasi verticaux (\theta_0 \neq 0 avec |\theta_0| \ll 1) :
  La célérité c(z) étant supposée strictement croissante avec la profondeur z, le rapport c(z)/c_0 > 1 augmente avec z. Par conséquent :

  \sin\theta(z) = \frac{c(z)}{c_0}\,\sin\theta_0

  augmente en valeur absolue avec la profondeur. L'angle |\theta(z)| augmente donc le long de la trajectoire : le rayon s'écarte progressivement de la verticale et tend vers l'horizontale. La trajectoire présente une concavité tournée vers le haut (vers les zones de plus faible célérité).

  Si la profondeur est suffisante, le rayon atteint une profondeur maximale z_{\text{tournant}} où |\sin\theta| = 1 (\theta = \pm \frac{\pi}{2}, tangente horizontale), puis rebrousse chemin vers la surface par réfraction progressive (phénomène de mirage acoustique).

D'après la loi de Snell-Descartes acoustique (question Q33), la grandeur \dfrac{\sin \theta(z)}{c(z)} est conservée au cours de la propagation. En notant \theta_0 l'angle d'émission du rayon sonore à la surface (z = 0) par rapport à la verticale et c_0 = c(0) la célérité en surface, on a :

Pour qu'un rayon sonore puisse atteindre une profondeur z, la direction de propagation doit rester définie, ce qui impose :

Si cette condition n'est plus vérifiée en une profondeur intermédiaire z_{\text{reb}}, le rayon devient horizontal (\theta = 90^\circ) et fait demi-tour par réfraction progressive vers la surface (phénomène de réflexion totale).

Examinons le profil de célérité c(z) donné par la figure 6 :

• Entre z = 0 et z \approx 1\,000\text{ m}, c(z) diminue : le rapport \frac{c(z)}{c_0} est inférieur à 1, le rayon se rapproche de la verticale (\theta(z) < \theta_0), il n'y a aucun risque de rebroussement ;
• Pour z > 1\,000\text{ m}, c(z) est une fonction strictement croissante de la profondeur et atteint son maximum absolu au fond de la fosse, en z_{\max} = 10{,}9\text{ km}.

La condition la plus restrictive pour atteindre le fond est donc atteinte en z = z_{\max} :

L'angle maximal d'émission en surface \theta_{0,\max} vérifie ainsi :

Par lecture sur la figure 6 :

• en surface (z = 0) : c(0) \approx 1\,535\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• au fond (z_{\max} = 10{,}9\text{ km} \approx 11\text{ km}) : c(z_{\max}) \approx 1\,650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On en déduit :

ce qui donne pour l'angle d'émission maximal :

Considérons un déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}x\,\vec{u}_x + \mathrm{d}z\,\vec{u}_z le long du rayon acoustique dans le plan (x, z).

D'après la figure 7 de l'énoncé, l'angle \theta est défini par rapport à la verticale descendante (axe Oz). Dans le triangle rectangle formé par les composantes \mathrm{d}x et \mathrm{d}z, on a :

On en déduit :

ce qui conduit immédiatement à :

(ou de manière équivalente \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \mathrm{cotan}\,\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}).

D'après la question Q33, l'invariant de Snell-Descartes pour un milieu stratifié horizontalement s'écrit sous la forme :

Par définition, l'indice en surface (z = 0) vaut n(0) = \frac{c_0}{c(0)} = 1. L'angle d'incidence en surface étant noté \theta_0, la conservation s'écrit en tout point de profondeur z :

On en déduit l'expression du sinus de l'angle à la profondeur z :

En utilisant l'identité trigonométrique reliant la tangente au sinus :

En injectant l'expression de \sin\theta(z), on obtient directement la relation demandée :

D'après la relation établie à la question Q36, la pente de la trajectoire s'écrit :

En injectant l'expression de \tan^2\theta(z) obtenue à la question Q37, il vient :

On obtient ainsi directement l'équation différentielle régissant la trajectoire z(x) du rayon acoustique :

Sur la plage de profondeurs 0 \le z \le 1000\text{ m}, on peut modéliser l'évolution de la vitesse de propagation du son par une loi affine :

où c_0 est la célérité en surface (z = 0) et a_1 le gradient vertical de célérité.

La lecture graphique sur la figure 6 donne :

• en surface (z = 0) : c_0 \approx 1535\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (valeur comprise entre 1530 et 1540\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• à la profondeur z_1 = 1000\text{ m} : c(z_1) \approx 1485\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (valeur comprise entre 1480 et 1490\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

Le paramètre de pente a_1 vaut ainsi :

Numériquement, l'équation s'écrit (avec z en mètres et c en \text{m}\cdot\text{s}^{-1}) :

Pour des profondeurs supérieures à 1\,000\text{ m}, la figure 6 montre que la vitesse de propagation c(z) varie de manière rigoureusement linéaire avec la profondeur z. On peut donc décrire cette évolution par une loi affine analogue à celle de la question précédente :

où a_2 = \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z} est le gradient vertical de célérité et c_{02} l'ordonnée à l'origine (valeur extrapolée à z = 0).

Pour évaluer ces paramètres, relevons deux points remarquables sur la droite de la figure 6 :

• point A (intersection avec la ligne 1\,500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) : z_A \approx 2\,600\text{ m}, c_A = 1\,500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• point B (extrémité au niveau de la fosse) : z_B \approx 11\,000\text{ m}, c_B = 1\,650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

On peut également vérifier la cohérence avec les intersections intermédiaires du quadrillage :

Le gradient de célérité s'obtient par :

L'ordonnée à l'origine extrapolée vaut alors :

L'évolution de la célérité pour z > 1\,000\text{ m} s'écrit donc :

On peut également exprimer cette relation en prenant comme référence la profondeur charnière z_1 = 1\,000\text{ m} où c(z_1) \approx 1\,472\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Par définition de l'indice acoustique, n(z) = \dfrac{c_0}{c(z)}. En dérivant par rapport à z, on obtient :

Il vient ainsi :

En reportant dans l'expression du rayon de courbure R(z), on trouve :

D'après les questions Q39 et Q40, le gradient vertical de la vitesse du son est constant par morceaux :

• Pour z \le 1000\text{ m}, \dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z} = a_1 = \text{cte} ;
• Pour z > 1000\text{ m}, \dfrac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z} = a_2 = \text{cte}.

Dans chacun de ces deux intervalles, le rayon de courbure R est indépendant de la profondeur z : il est rigoureusement constant.

Une courbe plane à rayon de courbure constant est un cercle. Par conséquent, les rayons acoustiques sont formés d'arcs de cercle dans chacun des deux milieux.

Les rayons de courbure respectifs s'écrivent :

Le navire en surface et le sous-marin au fond sont distants verticalement de z_{\max} = 10{,}9\text{ km} et horizontalement de \Delta x = 1{,}0\text{ km}.

L'angle moyen d'un trajet rectiligne direct reliant l'émetteur au récepteur par rapport à la verticale est donné par :

D'après la figure 6, la célérité du son varie entre c_{\min} \approx 1\,485\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et c_{\max} \approx 1\,650\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, soit des écarts relatifs n'excédant pas 10\,\% par rapport à la valeur en surface c_0 \approx 1\,535\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Par conséquent, l'angle \theta(z) reste très proche de l'angle d'émission \theta_0 tout au long du trajet :

Puisque \theta(z) \ll 1, on a \tan\theta(z) \approx \theta(z), et le déplacement horizontal s'écrit :

L'angle d'incidence initial \theta_0 est donc du même ordre de grandeur que \theta_{\text{dir}} \approx 5{,}3^\circ.

On peut ainsi raisonnablement retenir comme majorant :

D'après la question Q41, les rayons de courbure dans les deux zones s'écrivent :

En retenant l'angle estimé à la question Q42, \theta_0 \approx 5{,}3^\circ (soit \sin\theta_0 \approx 0{,}092), et les paramètres déterminés aux questions Q39 et Q40 (c_0 \approx 1\,535\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, |a_1| \approx 0{,}050\text{ s}^{-1} et a_2 \approx 1{,}8 \times 10^{-2}\text{ s}^{-1}), on obtient :

Conclusion sur l'orientation de l'émetteur : Les rayons de courbure sont considérables devant la profondeur maximale explorée :

La variation angulaire subie par le rayon le long de sa trajectoire est très faible :

De plus, la vitesse décroît dans la première couche puis croît dans la seconde, de sorte que les courbures sont de sens opposés et se compensent partiellement.

La trajectoire du rayon acoustique est donc quasiment rectiligne. Il suffit d'orienter l'émetteur acoustique en ligne directe vers le sous-marin, soit avec une inclinaison par rapport à la verticale de :

en direction de la position estimée de l'habitacle.