Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2022

Dans un liquide homogène et incompressible de masse volumique \rho_l au repos dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g}, la loi fondamentale de la statique des fluides donne, à une profondeur D sous la surface libre où règne la pression atmosphérique P_0 :

D'après le résultat de la question 1, la pression P_1 à la profondeur D s'écrit :

avec la longueur caractéristique :

L'expression de la pression devient ainsi :

Avec les ordres de grandeurs usuels pour l'eau et les conditions atmosphériques standard :

• P_0 \simeq 10^5\text{ Pa} ;
• \rho_l \simeq 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

On obtient :

D'après le principe d'Archimède, tout corps immergé dans un fluide au repos subit une force verticale dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé :

En introduisant le vecteur unitaire vertical ascendant \vec{u}_z tel que \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, cette force s'écrit de manière équivalente :

Le récipient est animé d'un mouvement de translation rectiligne verticale ascendante repéré par la coordonnée Z(t) = A \cos \omega t par rapport au référentiel du laboratoire, supposé galiléen. En notant \vec{u}_z le vecteur unitaire vertical ascendant, l'accélération d'entraînement de tout point lié au récipient s'écrit :

La force d'inertie d'entraînement \vec{F}_i(t) exercée sur un point matériel de masse m dans le référentiel du récipient est alors :

Soit, en remplaçant par l'expression temporelle :

Dans le référentiel du récipient (en translation verticale rectiligne accélérée d'accélération \ddot{Z}(t)\vec{u}_z), chaque élément de fluide subit la pesanteur \vec{g} = -g\vec{u}_z et la force d'inertie d'entraînement volumique \vec{f}_i = -\rho_l \ddot{Z}(t)\vec{u}_z.

Le champ d'accélération effectif ressenti par le liquide s'écrit donc :

La relation fondamentale de l'hydrostatique dans ce référentiel devient :

En projetant suivant l'axe vertical ascendant z, avec la profondeur D = -z mesurée depuis la surface libre (où z = 0 et P = P_0) :

Sachant d'après la question 1 que P_1 = P_0 + \rho_l g D, on obtient :

La poussée d'Archimède est la résultante des forces de pression exercées par le liquide sur la bulle de volume V(t). D'après la formule du gradient de Green-Ostrogradsky :

On en déduit :

L'air contenu dans la bulle est modélisé par un gaz parfait de quantité de matière n constante, évoluant à température fixée T. La loi des gaz parfaits donne :

On en déduit l'expression exacte du volume de la bulle à l'instant t :

On réécrit ce rapport sous la forme :

Sous l'hypothèse d'une faible variation relative de pression, |P(t) - P_1| \ll P_1, un développement limité au premier ordre donne (1 + \varepsilon)^{-1} \simeq 1 - \varepsilon, soit :

En utilisant le résultat de la question 5, à savoir P(t) - P_1 = \rho_l D \ddot{Z}(t), cette relation s'écrit également :

D'après les questions 5 et 6, la poussée d'Archimède instantanée s'écrit :

avec

En développant le produit au premier ordre non nul :

Prenons la moyenne temporelle sur une période T = 2\pi/\omega, notée \langle \cdot \rangle. Comme \ddot{Z}(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) est sinusoïdal, sa moyenne temporelle est nulle :

Il reste ainsi :

On reconnaît dans le premier terme la poussée d'Archimède statique \vec{F}_{A,\text{stat}} = \rho_l V_1 g \vec{u}_z établie à la question 3 (pour une bulle de volume V_1). La valeur moyenne de la poussée d'Archimède s'écrit donc :

Sachant que \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, la moyenne du carré de l'accélération vaut \langle \ddot{Z}(t)^2 \rangle = \frac{1}{2} A^2 \omega^4.

La masse de l'air étant négligeable devant celle du liquide déplacé (\rho_{\text{air}} \sim 10^{-3}\rho_l), le poids propre de la bulle est tout à fait négligeable devant la poussée d'Archimède. La force moyenne verticale subie par la bulle s'identifie donc à la valeur moyenne de la poussée d'Archimède obtenue à la question précédente :

En utilisant l'approximation P_1 \simeq P_0 ainsi que la définition de la hauteur caractéristique issue de la question 2, H = \dfrac{P_0}{\rho_l g}, il vient :

En introduisant le paramètre adimensionnel \gamma = \dfrac{A\omega^2}{g}, la force moyenne se réécrit :

La bulle s'enfonce lorsque la force moyenne résultante est dirigée vers le bas, c'est-à-dire pour \langle \vec{F}_A(t) \rangle \cdot \vec{u}_z < 0. La profondeur critique D^* séparant la remontée de l'enfoncement correspond à l'annulation de cette force moyenne :

d'où l'expression de la profondeur critique :

D'après la question Q5, l'écart de pression s'écrit :

L'amplitude maximale de cette oscillation de pression est donc :

Avec l'approximation P_1 \simeq P_0 = \rho_l g H (question Q2), le rapport relatif s'exprime en fonction du paramètre adimensionnel d'accélération \gamma = \frac{A\omega^2}{g} :

En évaluant cette grandeur à la profondeur critique D^* = \dfrac{2H}{\gamma^2} obtenue à la question Q8, il vient :

L'approximation |P(t) - P_1| \ll P_1 se traduit donc par la condition :

Interprétation physique :
Le paramètre \gamma = \frac{A\omega^2}{g} compare l'accélération maximale du récipient à l'accélération de la pesanteur g. La condition \gamma \gg 1 signifie que l'agitation verticale doit être suffisamment vigoureuse pour que les forces d'inertie dominent largement la pesanteur.

Sous cette condition, la profondeur critique D^* = \frac{2H}{\gamma^2} devient très petite devant H \sim 10\text{ m}, ce qui permet d'observer l'inversion de flottabilité à l'échelle centimétrique d'un récipient de laboratoire tout en garantissant des variations relatives de pression faibles au cours d'une période.

D'après la figure 1, la profondeur critique D^* varie typiquement entre 14\text{ mm} et 26\text{ mm}, soit un ordre de grandeur de :

1. Justification de l'approximation P_1 \simeq P_0 :

D'après le résultat de la question 2, la pression statique à la profondeur D^* s'écrit :

avec H = \frac{P_0}{\rho_l g} \sim 10\text{ m}. Le rapport vaut :

La variation relative entre P_1 et P_0 est de l'ordre de 0{,}2\,\% (au maximum 0{,}26\,\% pour D^* = 26\text{ mm}), donc l'approximation P_1 \simeq P_0 est parfaitement justifiée.

2. Justification de l'approximation |P(t) - P_1| \ll P_1 :

D'après la question 9, à la profondeur critique D^*, l'amplitude maximale de la perturbation relative de pression vaut :

En utilisant la relation établie à la question 8, D^* = \frac{2H}{\gamma^2}, on exprime le paramètre d'accélération \gamma :

Avec H \simeq 10\text{ m} = 10^4\text{ mm} et D^* \sim 20\text{ mm} :

Sur toute la plage expérimentale (D^* \in [14, 26]\text{ mm}), \gamma est compris entre 28 et 38, de sorte que :

L'écart relatif de pression reste inférieur à 7\,\%, ce qui valide très convenablement le développement au premier ordre. L'approximation |P(t) - P_1| \ll P_1 est donc également justifiée.

D'après la question 8, l'expression théorique de la profondeur critique est :

La légende de la figure 1 indique que la courbe d'ajustement est de la forme D^* = c/A^2 avec c = 5{,}5\text{ mm}^3 = 5{,}5 \times 10^{-9}\text{ m}^3. Par identification, il vient :

La fréquence des oscillations f = \omega / (2\pi) s'écrit alors :

Avec H \simeq 10\text{ m}, g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et c = 5{,}5 \times 10^{-9}\text{ m}^3 :

On en déduit la fréquence des oscillations :

La couche d'air emprisonnée sous le liquide est modélisée par un gaz parfait fermé subissant une transformation isotherme. À l'équilibre, son volume est V_a = S h_a sous la pression P_a. Lorsque l'épaisseur devient h_a + z, le volume s'écrit :

L'équation d'état du gaz parfait à température constante impose :

soit :

Comme |z| \ll h_a, un développement limité au premier ordre donne :

On en déduit la variation de pression :

La poche d'air étant située sous la couche de liquide, la force pressante exercée par l'air sur la surface inférieure du liquide s'écrit :

La pression à l'équilibre P_a compense le poids du liquide et la pression atmosphérique supérieure. La variation de pression \delta P induit donc une force supplémentaire par rapport à l'équilibre, constituant la force de rappel :

soit :

Pour un oscillateur harmonique constitué d'un ressort de raideur k supportant une masse m, la pulsation propre s'écrit :

D'après le résultat de la question 12, la force de rappel s'exerçant sur le bloc de liquide sous l'effet d'un déplacement vertical z vaut :

La masse du liquide en lévitation, de volume V_l = S h_l et de masse volumique \rho_l, est donnée par :

Par analogie mécanique directe, en assimilant la couche de liquide indéformable à une masse m reposant sur le ressort pneumatique formé par la couche d'air :

La surface S se simplifie, ce qui donne :

Dans le référentiel lié au récipient en translation verticale accélérée, la couche de liquide de masse m est soumise :

• à son poids et à la poussée statique de la couche d'air à l'équilibre, qui se compensent ;
• à la force de rappel élastique due à la surpression dans l'air (question 12) : \vec{F}_{\text{rappel}} = -k z \, \vec{u}_z = -m \omega_0^2 z \, \vec{u}_z ;
• à une force dissipative visqueuse modélisée par un frottement fluide -\frac{m}{\tau} \dot{z} \, \vec{u}_z = -\frac{m \omega_0}{Q} \dot{z} \, \vec{u}_z, où le temps d'amortissement est \tau = Q/\omega_0 ;
• à la force d'inertie d'entraînement (question 4) : \vec{F}_i(t) = -m \ddot{Z}(t) \, \vec{u}_z = m A \omega^2 \cos(\omega t) \, \vec{u}_z.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe vertical ascendant donne :

soit l'équation différentielle du mouvement :

En adoptant la notation complexe avec \underline{Z}(t) = A e^{j \omega t} (de sorte que -\ddot{Z}(t) = \text{Re}(A \omega^2 e^{j \omega t})) et en cherchant la solution en régime sinusoïdal établi sous la forme \underline{z}(t) = \underline{A_l} e^{j \omega t}, l'équation différentielle devient :

En divisant le numérateur et le dénominateur par \omega_0^2 et en introduisant la pulsation réduite x = \frac{\omega}{\omega_0}, on obtient :

D'après l'expression de l'amplitude complexe obtenue à la question Q14 :

Le facteur de qualité étant visiblement grand devant 1, la résonance d'amplitude a lieu pour x \simeq 1 (soit \omega \simeq \omega_0), et à cette pulsation le déphasage vérifie :

1. Pulsation propre \omega_0 : Sur la figure 3 :

• Le pic d'amplitude est situé à la fréquence f_0 \simeq 107\text{ Hz} (entre 106 et 108\text{ Hz}).
• La courbe de déphasage passe par -\pi/2 \simeq -1{,}6\text{ rad} à cette même fréquence f \simeq 107\text{ Hz}.

On en déduit la pulsation propre :

2. Facteur de qualité Q : À la résonance (x \simeq 1), le gain maximal vaut directement :

La lecture du maximum sur la courbe supérieure donne :