Feuille d'entraînement : Régime sinusoïdal forcé et filtrage

10 questions · filière PC · durée estimée environ 43 min

Énoncés

Exercice 1X-ENS Physique B PC 2025, Q16· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Dans la décomposition de $x (t)$ en série de Fourier, quelles sont les harmoniques compatibles avec cette condition ?
Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2020, Q29· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Exprimer dans ces conditions $x_{0}$ et $φ$ en fonction des données.
Exercice 3CCINP Physique PC 2026, Q13· Intermédiaire· ≈ 4 min
Exprimer $U_{opt}$ en fonction de $K$ , $λ$ et de $x$ . La tension minimale que peut détecter la carte d'acquisition utilisée est $U_{opt} = 2 \cdot 1 0^{- 4} V$ ; quel déplacement minimal du miroir $M_{2}$ peut-on espérer détecter avec ce capteur interférométrique ?
Exercice 4CCINP Physique PC 2026, Q17· Application directe· ≈ 3 min
Déterminer le module de la fonction de transfert $∣ \underline{H_{m}} ∣$ en fonction de $ξ = ω / ω_{0}$ .
Exercice 5CCINP Physique PC 2026, Q43· Intermédiaire· ≈ 4 min
Déterminer l'expression de l'impédance hydrodynamique en utilisant le modèle de la force de Reynolds. Identifier $Z^{'}$ et $Z^{''}$ .
Exercice 6X-ENS Physique B PC 2025, Q27· Exigeant· ≈ 5 min
Exprimer la puissance instantanée $I (t)$ (à une constante multiplicative globale près) en fonction des $A_{q}$ et des $φ_{q}$ . Expliquer pourquoi elle ne dépend des phases $φ_{q}$ qu'à travers leurs différences $φ_{q} - φ_{q^{'}}$ .
Exercice 7X-ENS Physique B PC 2025, Q31· Exigeant· ≈ 6 min
D'après la figure 3, le faisceau d'harmoniques ne comprend que les harmoniques impaires, et deux pics successifs $q$ et $q + 2$ ont des amplitudes approximativement égales. En un point donné, l'amplitude du champ électrique associé à ces deux pics est proportionnelle à $A_{p} (t) = cos (q ω t + φ_{q}) + cos ((q + 2) ω t + φ_{q + 2})$ . L'amplitude du champ électrique du faisceau sonde est, elle, proportionnelle à $A_{s} (t) = cos (ω (t + τ))$ , où $τ$ est un retard ajustable. On admet que l'amplitude de probabilité du processus quantique de transition à deux photons est proportionnelle au produit de ces amplitudes, $A_{p} (t) A_{s} (t)$ . En utilisant une représentation complexe, isoler dans ce produit les composantes proportionnelles à $exp (i (q + 1) ω t)$ , correspondant à l'éjection d'un électron d'énergie $E_{q + 1} - I_{P}$ .
Exercice 8CCINP Physique PC 2023, Q21· Intermédiaire· ≈ 5 min
Exprimer en fonction de $\underline{e}$ et des différentes impédances les tensions $\underline{u}_{A N}$ et $\underline{u}_{B N}$ . En déduire que $\underline{u} = \frac{R _{2} Z _{0} - R _{1} Z}{( R _{1} + R _{2} ) ( Z _{0} + Z )} \underline{e}$ .
Exercice 9CCINP Physique PC 2023, Q22· Intermédiaire· ≈ 5 min
Le pont de Sauty est dit équilibré lorsque $\underline{u} = 0$ , quelle que soit la tension $\underline{e}$ . Montrer que l'équilibre du pont permet de déterminer $R$ et $C$ , dont on donnera l'expression en fonction de $R_{0}$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ et $C_{0}$ .
Exercice 10CCINP Physique PC 2023, Q23· Application directe· ≈ 3 min
On utilise le condensateur en tant que capteur d'humidité dont on donne ci-dessous la courbe d'étalonnage (figure 6). Déterminer le degré hygrométrique de la pièce dans laquelle il est plongé sachant que le pont de Sauty est équilibré pour $C_{0} = 1, 44 nF$ avec $R_{1} / R_{2} = 0, 1$ .

Corrigés

Exercice 1X-ENS Physique B PC 2025, Q16
La fonction x(t) étant T-périodique, elle admet un développement en série de Fourier sous forme complexe :
x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t}
où \omega = \dfrac{2\pi}{T}. En appliquant la condition établie à la question 15, x\!\left(t + \dfrac{T}{2}\right) = -x(t), et sachant que \omega \dfrac{T}{2} = \pi, on a :
\begin{aligned} x\!\left(t + \frac{T}{2}\right) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega \left(t + \frac{T}{2}\right)} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (-1)^n c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i} n \omega t} \end{aligned}
L'égalité x\!\left(t + \dfrac{T}{2}\right) = -x(t) impose donc, par unicité des coefficients de Fourier :
(-1)^n c_n = - c_n \iff c_n \left[1 + (-1)^n\right] = 0 \quad \forall n \in \mathbb{Z}
- Si n est pair (en incluant la valeur moyenne n = 0), 1 + (-1)^n = 2, ce qui impose c_n = 0.
- Si n est impair, 1 + (-1)^n = 0, le coefficient c_n peut être non nul.
\boxed{\text{Seules les harmoniques de rangs impairs }(n = 1, 3, 5, \dots)\text{ sont compatibles avec cette condition.}}
Résultat
$Seules les harmoniques de rangs impairs (n = 1, 3, 5, \dots) sont compatibles avec cette condition.$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2020, Q29
On associe à la force excitatrice et au déplacement les grandeurs complexes :
E(t) = \mathrm{Re}\left(E_0 \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\right) \quad \text{et} \quad x(t) = \mathrm{Re}\left(\underline{x}(t)\right) \quad \text{avec} \quad \underline{x}(t) = \underline{x}_0 \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} = x_0 \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}
où x_0 > 0 et \varphi \in \mathbb{R}.
En injectant \underline{x}(t) dans l'équation différentielle du mouvement :
\left(-\omega^2 + \mathrm{i}\gamma\omega + \omega_0^2\right) \underline{x}_0 = -\frac{e}{m_e} E_0
soit :
\underline{x}_0 = \frac{-\dfrac{e E_0}{m_e}}{\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\gamma\omega} = \frac{e E_0}{m_e} \frac{(\omega^2 - \omega_0^2) + \mathrm{i}\gamma\omega}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}
L'amplitude x_0 = |\underline{x}_0| s'écrit donc :
\boxed{x_0 = \frac{e E_0}{m_e \sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}}}
Puisque \underline{x}_0 = x_0 \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi} = x_0(\cos\varphi - \mathrm{i}\sin\varphi), l'identification des parties réelle et imaginaire donne :
\cos\varphi = \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}} \quad \text{et} \quad \sin\varphi = -\frac{\gamma\omega}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}}
Comme \gamma > 0 et \omega > 0, \sin\varphi < 0, ce qui situe \varphi dans l'intervalle [-\pi, 0] (modulo 2\pi). Le déphasage vérifie :
\boxed{\tan\varphi = \frac{\gamma\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \quad \text{avec } \varphi \in [-\pi, 0]}
Approximation au voisinage de la résonance (\gamma \ll \omega_0 et |\Delta| = |\omega - \omega_0| \ll \omega_0) :
En écrivant \omega + \omega_0 \approx 2\omega_0, il vient :
\omega_0^2 - \omega^2 = (\omega_0 - \omega)(\omega_0 + \omega) \approx -2\omega_0 \Delta \quad \text{et} \quad \gamma\omega \approx \gamma\omega_0
On obtient sous cette forme approchée usuelle :
\boxed{x_0 \approx \frac{e E_0}{2 m_e \omega_0 \sqrt{\Delta^2 + \dfrac{\gamma^2}{4}}} \quad \text{et} \quad \tan\varphi \approx -\frac{\gamma}{2\Delta}}
Résultat
$x_{0} = \frac{e E _{0}}{m _{e} ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + γ ^{2} ω ^{2}}$ $tan φ = \frac{γ ω}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}} avec φ \in [- π, 0]$ $x_{0} \approx \frac{e E _{0}}{2 m _{e} ω _{0} Δ ^{2} + \frac{γ ^{2}}{4}} et tan φ \approx - \frac{γ}{2Δ}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3CCINP Physique PC 2026, Q13
D'après la question Q12, les tensions en sortie des deux convertisseurs valent :
U_1 = -\beta R_1 \mathcal{E}_1 \quad \text{et} \quad U_2 = -\beta R_1 \mathcal{E}_2
Le facteur commun -\beta R_1 se simplifie dans le quotient, si bien que :
\frac{U_2 - U_1}{U_1 + U_2} = \frac{\mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1}{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}
En utilisant les expressions établies à la question Q10 pour x \ll \lambda :
\begin{aligned} \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1 &= \frac{\mathcal{E}_{\max}}{2}\left(1 + \frac{4\pi x}{\lambda}\right) - \frac{\mathcal{E}_{\max}}{2}\left(1 - \frac{4\pi x}{\lambda}\right) = \mathcal{E}_{\max}\,\frac{4\pi x}{\lambda} \\ \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 &= \frac{\mathcal{E}_{\max}}{2}\left(1 - \frac{4\pi x}{\lambda}\right) + \frac{\mathcal{E}_{\max}}{2}\left(1 + \frac{4\pi x}{\lambda}\right) = \mathcal{E}_{\max} \end{aligned}
On en déduit immédiatement :
\frac{U_2 - U_1}{U_1 + U_2} = \frac{4\pi x}{\lambda}
La tension finale U_{\mathrm{opt}} = K \frac{U_2 - U_1}{U_1 + U_2} s'écrit donc :
\boxed{U_{\mathrm{opt}} = \frac{4\pi K}{\lambda}\,x}
Le déplacement minimal x_{\min} détectable par la carte d'acquisition correspond à la tension minimale mesurable U_{\mathrm{opt}} = 2\cdot 10^{-4}\text{ V} :
x_{\min} = \frac{\lambda \, U_{\mathrm{opt}}}{4\pi K}
Avec \lambda = 633\text{ nm} = 633\cdot 10^{-9}\text{ m}, K = 10\text{ V} et U_{\mathrm{opt}} = 2\cdot 10^{-4}\text{ V} :
\begin{aligned} x_{\min} &= \frac{633\cdot 10^{-9} \times 2\cdot 10^{-4}}{4\pi \times 10} \\ &= \frac{1266\cdot 10^{-13}}{40\pi} \approx \frac{1266}{126}\cdot 10^{-13}\text{ m} \approx 1{,}0\cdot 10^{-12}\text{ m} \end{aligned}
En ne conservant qu'un seul chiffre significatif dans la mantisse conformément aux consignes :
\boxed{x_{\min} = 1\cdot 10^{-12}\text{ m} = 1\text{ pm}}
Résultat
$U_{opt} = \frac{4 π K}{λ} x$ $x_{m i n} = 1 \cdot 1 0^{- 12} m = 1 pm$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4CCINP Physique PC 2026, Q17
D'après le résultat de la question Q16, la fonction de transfert mécanique s'écrit :
\underline{H_m} = \frac{1}{1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2} + j \frac{\omega}{Q\omega_0}}
En introduisant la pulsation réduite \xi = \dfrac{\omega}{\omega_0}, l'expression devient :
\underline{H_m}(\xi) = \frac{1}{(1 - \xi^2) + j \frac{\xi}{Q}}
Le module d'un quotient étant le quotient des modules, on obtient :
\left|\underline{H_m}\right| = \frac{1}{\left|(1 - \xi^2) + j\frac{\xi}{Q}\right|} = \frac{1}{\sqrt{(1 - \xi^2)^2 + \left(\frac{\xi}{Q}\right)^2}}
\boxed{|\underline{H_m}| = \frac{1}{\sqrt{(1 - \xi^2)^2 + \frac{\xi^2}{Q^2}}}}
Résultat
$∣ \underline{H_{m}} ∣ = \frac{1}{( 1 - ξ ^{2} ) ^{2} + \frac{ξ ^{2}}{Q ^{2}}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5CCINP Physique PC 2026, Q43
La distance instantanée entre la sphère et le plan s'écrit :
h(t) = h_0 - h_1(t)
En dérivant par rapport au temps, la vitesse de variation de l'épaisseur du film fluide vaut :
\dot{h}(t) = -\dot{h}_1(t)
L'expression de la force de Reynolds exercée sur le plan le long de l'axe \vec{u}_x est donnée par :
\vec{F}(t) = -\frac{6\pi\eta R_0^2}{h_0}\,\dot{h}(t)\,\vec{u}_x = \frac{6\pi\eta R_0^2}{h_0}\,\dot{h}_1(t)\,\vec{u}_x
La composante scalaire de la force s'écrit donc :
F(t) = \frac{6\pi\eta R_0^2}{h_0}\,\dot{h}_1(t)
En régime sinusoïdal établi à la pulsation \omega, on associe aux grandeurs réelles h_1(t) et F(t) les signaux complexes :
\underline{h}_1(t) = \underline{h}_1\,\mathrm{e}^{j\omega t} \quad \text{et} \quad \underline{F}(t) = \underline{F}_1\,\mathrm{e}^{j\omega t}
La dérivation temporelle se traduit en notation complexe par la multiplication par j\omega :
\underline{\dot{h}}_1(t) = j\omega\,\underline{h}_1\,\mathrm{e}^{j\omega t}
Par identification, l'amplitude complexe de la force s'écrit :
\underline{F}_1 = j\,\frac{6\pi\eta R_0^2\omega}{h_0}\,\underline{h}_1
L'impédance hydrodynamique \underline{Z} est définie par :
\underline{Z} = \frac{\underline{F}_1}{\underline{h}_1} = j\,\frac{6\pi\eta R_0^2\omega}{h_0}
En identifiant les parties réelle et imaginaire \underline{Z} = Z' + j Z'', on obtient :
\begin{cases} Z' = 0 \\ Z'' = \dfrac{6\pi\eta R_0^2\omega}{h_0} \end{cases}
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6X-ENS Physique B PC 2025, Q27
L'onde lumineuse est une superposition d'harmoniques de pulsations q\omega. En représentation complexe, le champ scalaire associé s'écrit :
\underline{E}(t) = \sum_q A_q \, \mathrm{e}^{i(q\omega t + \varphi_q)}
La puissance instantanée I(t) (intensité lumineuse) est proportionnelle au carré du module du champ complexe :
I(t) \propto |\underline{E}(t)|^2 = \underline{E}(t)\,\underline{E}^*(t)
En développant le produit des deux sommes, à une constante multiplicative globale près (qu'on peut poser égale à 1) :
\begin{aligned} I(t) &= \left( \sum_q A_q \, \mathrm{e}^{i(q\omega t + \varphi_q)} \right) \left( \sum_{q'} A_{q'} \, \mathrm{e}^{-i(q'\omega t + \varphi_{q'})} \right) \\ &= \sum_q \sum_{q'} A_q A_{q'} \, \mathrm{e}^{i\left[(q-q')\omega t + (\varphi_q - \varphi_{q'})\right]} \end{aligned}
I(t) étant une grandeur réelle, on peut regrouper les termes deux à deux (ou prendre la partie réelle) :
\boxed{I(t) \propto \sum_q \sum_{q'} A_q A_{q'} \cos\big((q - q')\omega t + \varphi_q - \varphi_{q'}\big)}
ce qui peut également s'écrire sous la forme :
I(t) \propto \sum_q A_q^2 + 2\sum_{q < q'} A_q A_{q'} \cos\big((q - q')\omega t + \varphi_q - \varphi_{q'}\big)
Dépendance vis-à-vis des phases :
- Mathématiquement, le calcul de |\underline{E}(t)|^2 = \underline{E}(t)\underline{E}^*(t) fait intervenir le produit d'un terme en \mathrm{e}^{i\varphi_q} par un terme en \mathrm{e}^{-i\varphi_{q'}}, de sorte que les phases n'apparaissent que sous la forme du déphasage relatif \varphi_q - \varphi_{q'}.
- Physiquement, I(t) résulte de l'interférence entre les différentes composantes spectrales. L'interférence entre l'harmonique q et l'harmonique q' ne dépend que de leur déphasage relatif \varphi_q - \varphi_{q'}. Une translation globale de toutes les phases d'une même constante \phi_0 (\underline{E} \to \underline{E}\,\mathrm{e}^{i\phi_0}) laisse le module au carré |\underline{E}(t)|^2 invariant.
Résultat
$I (t) \propto q \sum q^{'} \sum A_{q} A_{q^{'}} cos ((q - q^{'}) ω t + φ_{q} - φ_{q^{'}})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7X-ENS Physique B PC 2025, Q31
À l'aide des formules d'Euler, exprimons les amplitudes réelles sous forme de combinaisons d'exponentielles complexes :
\begin{aligned} A_p(t) &= \frac{1}{2} \left[ \mathrm{e}^{i(q\omega t + \varphi_q)} + \mathrm{e}^{-i(q\omega t + \varphi_q)} + \mathrm{e}^{i((q+2)\omega t + \varphi_{q+2})} + \mathrm{e}^{-i((q+2)\omega t + \varphi_{q+2})} \right] \\ A_s(t) &= \frac{1}{2} \left[ \mathrm{e}^{i(\omega t + \omega\tau)} + \mathrm{e}^{-i(\omega t + \omega\tau)} \right] \end{aligned}
Développons le produit A_p(t) A_s(t). Les pulsations temporelles résultantes sont de la forme (\pm q \pm 1)\omega et (\pm (q+2) \pm 1)\omega.
Parmi ces termes, ceux qui oscillent à la pulsation positive (q+1)\omega, soit en \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}, proviennent exclusivement de deux contributions :
- le produit de \mathrm{e}^{i(q\omega t + \varphi_q)} et de \mathrm{e}^{i(\omega t + \omega\tau)} :
  \frac{1}{4} \mathrm{e}^{i(\varphi_q + \omega\tau)} \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}
- le produit de \mathrm{e}^{i((q+2)\omega t + \varphi_{q+2})} et de \mathrm{e}^{-i(\omega t + \omega\tau)} :
  \frac{1}{4} \mathrm{e}^{i(\varphi_{q+2} - \omega\tau)} \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}
En sommant ces deux termes, la composante proportionnelle à \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t} dans le produit A_p(t)A_s(t) s'écrit :
\boxed{\big[A_p(t) A_s(t)\big]_{(q+1)\omega} = \frac{1}{4} \left[ \mathrm{e}^{i(\varphi_q + \omega\tau)} + \mathrm{e}^{i(\varphi_{q+2} - \omega\tau)} \right] \mathrm{e}^{i(q+1)\omega t}}
Résultat
$[A_{p} (t) A_{s} (t)]_{(q + 1) ω} = \frac{1}{4} [e^{i (φ_{q} + ω τ)} + e^{i (φ_{q + 2} - ω τ)}] e^{i (q + 1) ω t}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8CCINP Physique PC 2023, Q21
Le pont est alimenté entre les nœuds M et N par le générateur de tension sinusoïdale, soit \underline{u}_{MN} = \underline{e}. Aucun courant n'est soutiré entre les nœuds A et B.
Dans la branche supérieure M\text{--}A\text{--}N, constituée des deux résistors de résistances R_1 et R_2 en série, la formule du pont diviseur de tension donne directement :
\boxed{\underline{u}_{AN} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \underline{e}}
De même, dans la branche inférieure M\text{--}B\text{--}N, les dipôles d'impédances respectives \underline{Z}_0 (entre M et B) et \underline{Z} (entre B et N) sont montés en série. Par division de tension :
\boxed{\underline{u}_{BN} = \frac{\underline{Z}}{\underline{Z}_0 + \underline{Z}} \underline{e}}
D'après le schéma de la figure 5, la flèche de tension u(t) pointe vers le potentiel le plus haut en A, soit :
\underline{u} = \underline{u}_{AB} = \underline{v}_A - \underline{v}_B = (\underline{v}_A - \underline{v}_N) - (\underline{v}_B - \underline{v}_N) = \underline{u}_{AN} - \underline{u}_{BN}
En substituant les expressions obtenues :
\begin{aligned} \underline{u} &= \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{\underline{Z}}{\underline{Z}_0 + \underline{Z}} \right) \underline{e} \\ &= \frac{R_2(\underline{Z}_0 + \underline{Z}) - R_1\underline{Z} - R_2\underline{Z}}{(R_1 + R_2)(\underline{Z}_0 + \underline{Z})} \, \underline{e} \end{aligned}
Les termes en R_2 \underline{Z} se simplifient au numérateur, d'où finalement :
\boxed{\underline{u} = \frac{R_2 \underline{Z}_0 - R_1 \underline{Z}}{(R_1 + R_2)(\underline{Z}_0 + \underline{Z})} \, \underline{e}}
Résultat
$\underline{u}_{A N} = \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} \underline{e}$ $\underline{u}_{B N} = \frac{Z}{Z _{0} + Z} \underline{e}$ $\underline{u} = \frac{R _{2} Z _{0} - R _{1} Z}{( R _{1} + R _{2} ) ( Z _{0} + Z )} \underline{e}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9CCINP Physique PC 2023, Q22
D'après l'expression établie à la question Q21, la tension \underline{u} s'annule quelle que soit la tension d'alimentation \underline{e} si et seulement si :
R_2 \underline{Z}_0 - R_1 \underline{Z} = 0 \iff R_2 \underline{Z}_0 = R_1 \underline{Z}
En introduisant les admittances complexes \underline{Y}_0 = \frac{1}{\underline{Z}_0} et \underline{Y} = \frac{1}{\underline{Z}}, cette condition s'écrit de manière équivalente :
R_1 \underline{Y}_0 = R_2 \underline{Y}
Les dipôles entre M et B d'une part, et entre B et N d'autre part, étant des associations parallèles d'une résistance et d'une capacité, leurs admittances s'écrivent :
\underline{Y}_0 = \frac{1}{R_0} + \mathrm{j} C_0 \omega \quad \text{et} \quad \underline{Y} = \frac{1}{R} + \mathrm{j} C \omega
La condition d'équilibre devient ainsi :
R_1 \left( \frac{1}{R_0} + \mathrm{j} C_0 \omega \right) = R_2 \left( \frac{1}{R} + \mathrm{j} C \omega \right)
Les grandeurs R_1, R_2, R_0, R, C_0, C et \omega étant réelles, l'égalité de deux nombres complexes équivaut à l'égalité simultanée de leurs parties réelles et imaginaires :
\begin{aligned} \operatorname{Re} : \quad \frac{R_1}{R_0} &= \frac{R_2}{R} \\ \operatorname{Im} : \quad R_1 C_0 \omega &= R_2 C \omega \end{aligned}
Puisque la pulsation \omega \neq 0, ce système de deux équations permet de déterminer de façon unique la résistance de fuite R et la capacité C :
\boxed{R = \frac{R_2}{R_1} R_0}
\boxed{C = \frac{R_1}{R_2} C_0}
Résultat
$R = \frac{R _{2}}{R _{1}} R_{0}$ $C = \frac{R _{1}}{R _{2}} C_{0}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10CCINP Physique PC 2023, Q23
D'après le résultat de la question Q22, à l'équilibre du pont de Sauty, la capacité C s'exprime par :
C = \frac{R_1}{R_2}\,C_0
Avec \frac{R_1}{R_2} = 0{,}1 et C_0 = 1{,}44\text{ nF}, on obtient :
C = 0{,}1 \times 1{,}44\text{ nF} = 0{,}144\text{ nF} = 144\text{ pF}
Sur la courbe d'étalonnage de la figure 6, on repère l'ordonnée C = 144\text{ pF} :
- à 30\,\%\text{RH}, la capacité vaut 140{,}0\text{ pF} ;
- à 70\,\%\text{RH}, la capacité vaut 150{,}0\text{ pF} ;
- la sensibilité du capteur est quasi-constante sur cette plage, de l'ordre de 0{,}25\text{ pF}/\%.
Pour une capacité de 144\text{ pF}, la lecture graphique donne un degré hygrométrique :
\boxed{\varphi \simeq 46\text{ à }47\ \%}
Résultat
$φ ≃ 46 \overset{a}{ˋ} 47 %$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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