Feuille d'entraînement : Référentiels non galiléens

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique PC 2025, Q37

   Considérons le mouvement de la sonde P par rapport aux deux référentiels d'étude :

   • le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h (référentiel absolu) ;
   • le référentiel jupiterocentrique \mathcal{R}_j (référentiel relatif), dont l'origine est le centre J de Jupiter.

   Pendant la durée du survol, le référentiel \mathcal{R}_j est supposé en translation à la vitesse constante \vec{V}_{J,h} par rapport au référentiel \mathcal{R}_h. La vitesse d'entraînement d'un point lié à \mathcal{R}_j coïncidant avec la sonde est donc simplement égale à la vitesse de Jupiter :

   \vec{v}_e = \vec{V}_{J,h}

   D'après la loi classique de composition des vitesses, la vitesse absolue \vec{v}_h dans \mathcal{R}_h est la somme de la vitesse relative \vec{v}_j dans \mathcal{R}_j et de la vitesse d'entraînement \vec{v}_e :

   \vec{v}_h = \vec{v}_j + \vec{v}_e = \vec{v}_j + \vec{V}_{J,h}

   En appliquant cette relation respectivement à l'entrée et à la sortie de la sphère de Hill, on obtient :

   \boxed{\vec{v}_{e,h} = \vec{v}_{e,j} + \vec{V}_{J,h}} \quad \text{et} \quad \boxed{\vec{v}_{s,h} = \vec{v}_{s,j} + \vec{V}_{J,h}}

   Résultat

   $${\vec{v}}_{e,h}={\vec{v}}_{e,j}+{\vec{V}}_{J,h}$$

   $${\vec{v}}_{s,h}={\vec{v}}_{s,j}+{\vec{V}}_{J,h}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie PC 2022, Q3

   Dans un référentiel non galiléen \mathcal{R}', les forces d'inertie à prendre en compte s'écrivent de façon générale :

   • La force d'inertie d'entraînement :

     \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e(G)

     où \vec{a}_e(G) désigne l'accélération d'entraînement du point G.

   • La force d'inertie de Coriolis :

     \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) \wedge \vec{v}_r(G)

     où \vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) est le vecteur rotation instantanée de \mathcal{R}' par rapport à \mathcal{R}, et \vec{v}_r(G) la vitesse relative de G dans \mathcal{R}'.

   Dans le cas du sismographe étudié :

   • Le boîtier \mathcal{R}' est en translation rectiligne par rapport au référentiel du laboratoire \mathcal{R}, donc :

     \vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) = \vec{0}

     Il en résulte que la force d'inertie de Coriolis est identiquement nulle :

     \boxed{\vec{F}_{ic} = \vec{0}}

   • Le mouvement de translation étant commun à tous les points du boîtier, l'accélération d'entraînement est uniforme dans tout l'espace et égale à l'accélération absolue de translation du sol (et donc du boîtier) :

     \vec{a}_e(G) = \vec{a}(O'/\mathcal{R}) = \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z

     Par conséquent, la force d'inertie d'entraînement s'écrit :

     \boxed{\vec{F}_{ie} = -m\,\ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{ic}=\vec{0}$$

   $${\vec{F}}_{ie}=-m{\ddot{z}}_s(t){\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie PC 2022, Q5

   On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}' lié au boîtier, muni de l'axe vertical (O'z') descendant de vecteur unitaire \vec{u}_z.

   Le bilan des forces appliquées à la masse m dans \mathcal{R}' comprend :

   • le poids : \vec{P} = m g\,\vec{u}_z ;

   • la force de rappel du ressort : la longueur du ressort s'exprime par \ell = \ell_1 + z'_G, où \ell_1 = \ell_0 + \frac{mg}{k} est la longueur à l'équilibre (d'après Q2). Ainsi :

     \vec{T} = -k(\ell - \ell_0)\,\vec{u}_z = -k\left(\frac{mg}{k} + z'_G\right)\vec{u}_z = -(mg + k z'_G)\,\vec{u}_z

   • la force de frottement fluide visqueux :

     \vec{f} = -\lambda \vec{v}' = -\lambda \frac{\mathrm{d}z'_G}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z
   • la force d'inertie de Coriolis, nulle car le boîtier est en translation pure (\vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) = \vec{0}) : \vec{F}_{ic} = \vec{0} ;

   • la force d'inertie d'entraînement liée à l'accélération du sol \vec{a}_e = \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z :

     \vec{F}_{ie} = -m \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z

   Le mouvement du sol étant z_s(t) = E_m \cos(\omega t + \phi), son accélération s'écrit :

   \ddot{z}_s(t) = -\omega^2 E_m \cos(\omega t + \phi)

   d'où :

   \vec{F}_{ie} = m \omega^2 E_m \cos(\omega t + \phi)\,\vec{u}_z

   D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m dans \mathcal{R}' :

   m \frac{\mathrm{d}^2 z'_G}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{u}_z = \vec{P} + \vec{T} + \vec{f} + \vec{F}_{ie}

   En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{u}_z, il vient :

   \begin{aligned} m \frac{\mathrm{d}^2 z'_G}{\mathrm{d}t^2} &= mg - mg - k z'_G - \lambda \frac{\mathrm{d}z'_G}{\mathrm{d}t} + m \omega^2 E_m \cos(\omega t + \phi) \end{aligned}

   soit, en regroupant les termes :

   \boxed{m \frac{\mathrm{d}^2 z'_G}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}z'_G}{\mathrm{d}t} + k z'_G = m E_m \omega^2 \cos(\omega t + \phi)}

   Résultat

   $$m\frac{{\mathrm{d}}^2{z}_G^{\prime }}{\mathrm{d}{t}^2}+\lambda \frac{\mathrm{d}{z}_G^{\prime }}{\mathrm{d}t}+k{z}_G^{\prime }=m{E}_m{\omega }^2\cos (\omega t+\varphi )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique C PC 2022, Q6

   D'après la figure 1(a), le repère local (Oxyz) est orienté de la façon suivante :

   • \vec{\mathrm{e}}_z est vertical ascendant (radial sortant) ;
   • \vec{\mathrm{e}}_x est tangent au méridien et dirigé vers le Sud ;
   • \vec{\mathrm{e}}_y est tangent au parallèle et dirigé vers l'Est.

   L'axe de rotation terrestre étant dirigé selon \vec{\mathrm{e}}_3 (axe des pôles vers le Nord), le vecteur \vec{\mathrm{e}}_3 est contenu dans le plan méridien (O, \vec{\mathrm{e}}_x, \vec{\mathrm{e}}_z). À la latitude \lambda, l'angle entre le plan équatorial et \vec{\mathrm{e}}_z vaut \lambda, si bien que l'angle entre la verticale locale \vec{\mathrm{e}}_z et \vec{\mathrm{e}}_3 est \frac{\pi}{2} - \lambda. La composante le long du méridien vers le Sud (\vec{\mathrm{e}}_x) fait donc un angle \pi - \lambda avec \vec{\mathrm{e}}_3. Ainsi :

   \vec{\mathrm{e}}_3 = -\cos\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_x + \sin\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_z

   Le vecteur rotation de la Terre s'écrit alors :

   \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{\mathrm{e}}_3 = -\Omega\cos\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_x + \Omega\sin\lambda\,\vec{\mathrm{e}}_z

   D'après l'énoncé, la vitesse du pendule dans le référentiel terrestre est purement horizontale : \vec{v} = \dot{x}\vec{\mathrm{e}}_x + \dot{y}\vec{\mathrm{e}}_y. La force d'inertie de Coriolis s'exprime par :

   \begin{aligned} \vec{F}_{ic} &= -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v} \\ &= -2m \begin{pmatrix} -\Omega\cos\lambda \\ 0 \\ \Omega\sin\lambda \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= -2m \left[ (-\Omega\sin\lambda\,\dot{y})\,\vec{\mathrm{e}}_x + (\Omega\sin\lambda\,\dot{x})\,\vec{\mathrm{e}}_y + (-\Omega\cos\lambda\,\dot{y})\,\vec{\mathrm{e}}_z \right] \\ &= 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{y}\,\vec{\mathrm{e}}_x - 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{x}\,\vec{\mathrm{e}}_y + 2m\Omega\cos\lambda\,\dot{y}\,\vec{\mathrm{e}}_z \end{aligned}

   Comme indiqué par l'énoncé, on néglige l'accélération et les mouvements selon \vec{\mathrm{e}}_z. En projetant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel terrestre, m\vec{a} = \vec{F} + \vec{F}_{ic}, où la résultante des autres forces admise par l'énoncé est \vec{F} = -m\omega_0^2 x\,\vec{\mathrm{e}}_x - m\omega_0^2 y\,\vec{\mathrm{e}}_y, on obtient pour les composantes horizontales :

   \begin{aligned} m\ddot{x} &= -m\omega_0^2 x + 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{y} \\ m\ddot{y} &= -m\omega_0^2 y - 2m\Omega\sin\lambda\,\dot{x} \end{aligned}

   En simplifiant par la masse m, on retrouve le système (1) :

   \begin{cases} \ddot{x} + \omega_0^2 x = 2\tilde{\Omega}\dot{y} \\ \ddot{y} + \omega_0^2 y = -2\tilde{\Omega}\dot{x} \end{cases}

   avec :

   \boxed{\tilde{\Omega} = \Omega\sin\lambda}

   Résultat

   $$\tilde{\Omega }=\Omega \sin \lambda$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique C PC 2022, Q7

   D'après le système d'équations (1) établi à la question Q6 :

   \left\{ \begin{aligned} \ddot{x} + \omega_0^2 x &= 2\tilde{\Omega}\dot{y} \\ \ddot{y} + \omega_0^2 y &= -2\tilde{\Omega}\dot{x} \end{aligned} \right.

   En formant la combinaison linéaire (L_1) + i\,(L_2) avec \underline{u} = x + iy, il vient :

   \begin{aligned} (\ddot{x} + i\ddot{y}) + \omega_0^2(x + iy) &= 2\tilde{\Omega}\dot{y} - 2i\tilde{\Omega}\dot{x} \\ \ddot{\underline{u}} + \omega_0^2\underline{u} &= -2i\tilde{\Omega}(\dot{x} + i\dot{y}) \\ \ddot{\underline{u}} + 2i\tilde{\Omega}\dot{\underline{u}} + \omega_0^2\underline{u} &= 0 \end{aligned}

   L'équation différentielle vérifiée par \underline{u} est donc :

   \boxed{\ddot{\underline{u}} + 2i\tilde{\Omega}\,\dot{\underline{u}} + \omega_0^2\,\underline{u} = 0}

   Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique associée s'écrit :

   r^2 + 2i\tilde{\Omega}r + \omega_0^2 = 0

   On peut mettre cette équation sous forme canonique :

   (r + i\tilde{\Omega})^2 + \tilde{\Omega}^2 + \omega_0^2 = 0 \iff (r + i\tilde{\Omega})^2 = -(\omega_0^2 + \tilde{\Omega}^2)

   En posant \Omega_0 = \sqrt{\omega_0^2 + \tilde{\Omega}^2}, les deux racines de l'équation caractéristique sont :

   r_1 = -i(\tilde{\Omega} - \Omega_0) \quad \text{et} \quad r_2 = -i(\tilde{\Omega} + \Omega_0)

   La solution générale s'exprime donc sous la forme :

   \boxed{\underline{u}(t) = \mathrm{e}^{-i\tilde{\Omega}t}\left(\underline{A}\,\mathrm{e}^{i\Omega_0 t} + \underline{B}\,\mathrm{e}^{-i\Omega_0 t}\right)}

   où \underline{A} et \underline{B} sont deux constantes d'intégration complexes, et \Omega_0 = \sqrt{\omega_0^2 + \tilde{\Omega}^2}.

   Résultat

   $$\ddot{\underline{u}}+2i\tilde{\Omega }\dot{\underline{u}}+{\omega }_0^2\underline{u}=0$$

   $$\underline{u}(t)={\mathrm{e}}^{-i\tilde{\Omega }t}\left(\underline{A}{\mathrm{e}}^{i{\Omega }_{0}t}+\underline{B}{\mathrm{e}}^{-i{\Omega }_{0}t}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6ENS Physique C PC 2022, Q9

   D'après la question Q5, la pulsation de rotation terrestre est très inférieure à la pulsation propre du pendule :

   \frac{\Omega}{\omega_0} \approx 1,9 \times 10^{-4} \ll 1.

   Comme \tilde{\Omega} = \Omega\sin\lambda, on a a fortiori \tilde{\Omega} \ll \omega_0. On peut alors effectuer les approximations suivantes au premier ordre :

   \begin{aligned} \Omega_0 &= \sqrt{\omega_0^2 + \tilde{\Omega}^2} = \omega_0 \sqrt{1 + \left(\frac{\tilde{\Omega}}{\omega_0}\right)^2} \approx \omega_0, \\ \frac{\tilde{\Omega}}{\Omega_0} &\approx \frac{\tilde{\Omega}}{\omega_0} \ll 1. \end{aligned}

   Dans l'expression de \underline{u}(t) obtenue à la question Q8, le terme imaginaire entre crochets est donc négligeable devant le terme en cosinus d'amplitude unitaire :

   \cos(\Omega_0 t) + i\,\frac{\tilde{\Omega}}{\Omega_0}\sin(\Omega_0 t) \approx \cos(\omega_0 t).

   On en déduit l'expression simplifiée de \underline{u}(t) :

   \boxed{\underline{u}(t) \approx x_0 \cos(\omega_0 t)\,\mathrm{e}^{-i\tilde{\Omega}t}}

   En séparant parties réelle et imaginaire \underline{u}(t) = x(t) + i y(t), les coordonnées cartésiennes dans le plan horizontal s'écrivent :

   \left\{ \begin{array}{l} x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t)\cos(\tilde{\Omega}t) \\ y(t) = -x_0 \cos(\omega_0 t)\sin(\tilde{\Omega}t) \end{array} \right.

   Interprétation physique :

   • Mouvement quasi rectiligne instantané : À l'échelle de quelques périodes d'oscillation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} \approx 16\text{ s}, la quantité \tilde{\Omega}t est pratiquement constante. Le pendule effectue ainsi un mouvement oscillatoire harmonique rectiligne selon une direction faisant l'angle \theta(t) = -\tilde{\Omega}t avec l'axe Ox.
   • Rotation séculaire du plan d'oscillation : À plus grande échelle de temps, le plan d'oscillation tourne d'un mouvement de précession uniforme à la vitesse angulaire \tilde{\Omega} = \Omega\sin\lambda. Le signe négatif indique une rotation dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre pour un observateur regardant le sol de haut) dans l'hémisphère nord (\lambda > 0).

   Résultat

   $$\underline{u}(t)\approx x_0\cos ({\omega }_{0}t){\mathrm{e}}^{-i\tilde{\Omega }t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7ENS Physique-Chimie L PC 2022, Q2

   Considérons le système fermé constitué par la particule fluide occupant le volume élémentaire \mathrm{d}^3\tau = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z centré en \mathrm{M}(r,\theta,z) à l'instant t. Sa masse est :

   \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}^3\tau

   L'étude est menée dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}_0, supposé galiléen.

   Cinématique : Le liquide tourne en bloc à la vitesse angulaire uniforme \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{e}_z. Chaque particule fluide décrit un cercle de rayon r à la vitesse angulaire \Omega constante ; son vecteur accélération dans \mathcal{R}_0 est purement centripète :

   \vec{a}(\mathrm{M}/\mathcal{R}_0) = - r\Omega^2\,\vec{e}_r(\theta)

   Bilan des forces extérieures :

   • Le poids de l'élément de fluide :

     \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g} = \rho\,\vec{g}\,\mathrm{d}^3\tau

   • La résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant sur la frontière fermée \partial(\mathrm{d}^3\tau) de la particule :

     \mathrm{d}\vec{F}_p = \oiint_{\partial(\mathrm{d}^3\tau)} -p\,\mathrm{d}^2\vec{S} = -\vec{\nabla}p(\mathrm{M})\,\mathrm{d}^3\tau
   • Les forces visqueuses : le fluide étant entraîné en rotation de bloc à la vitesse \vec{v} = r\Omega\,\vec{e}_\theta, il n'y a aucun cisaillement relatif entre couches fluides adjacentes (\partial v/\partial r - v/r = \Omega - \Omega = 0). Les forces de viscosité sont donc rigoureusement nulles.

   Principe fondamental de la dynamique : Appliqué à la particule fluide dans le référentiel galiléen \mathcal{R}_0 :

   \mathrm{d}m\,\vec{a}(\mathrm{M}/\mathcal{R}_0) = \mathrm{d}\vec{P} + \mathrm{d}\vec{F}_p

   En remplaçant par les expressions précédentes :

   -\rho r\Omega^2\,\vec{e}_r(\theta)\,\mathrm{d}^3\tau = \rho\,\vec{g}\,\mathrm{d}^3\tau - \vec{\nabla}p(\mathrm{M})\,\mathrm{d}^3\tau

   En simplifiant par le volume élémentaire \mathrm{d}^3\tau \neq 0 et en réorganisant les termes, on obtient :

   \boxed{\vec{\nabla}p(\mathrm{M}) = \rho\vec{g} + \rho r\Omega^2\vec{e}_r(\theta)}

   Résultat

   $$\vec{\nabla }p(\mathrm{M})=\rho \vec{g}+\rho r{\Omega }^2{\vec{e}}_r(\theta )$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Polytechnique Physique A PC 2022, Q4

   Le récipient est animé d'un mouvement de translation rectiligne verticale ascendante repéré par la coordonnée Z(t) = A \cos \omega t par rapport au référentiel du laboratoire, supposé galiléen. En notant \vec{u}_z le vecteur unitaire vertical ascendant, l'accélération d'entraînement de tout point lié au récipient s'écrit :

   \vec{a}_e(t) = \ddot{Z}(t)\,\vec{u}_z = -\omega^2 A \cos(\omega t)\,\vec{u}_z

   La force d'inertie d'entraînement \vec{F}_i(t) exercée sur un point matériel de masse m dans le référentiel du récipient est alors :

   \vec{F}_i(t) = -m\,\vec{a}_e(t) = -m\,\ddot{Z}(t)\,\vec{u}_z

   Soit, en remplaçant par l'expression temporelle :

   \boxed{\vec{F}_i(t) = m A \omega^2 \cos(\omega t)\,\vec{u}_z}

   Résultat

   $${\vec{F}}_i(t)=mA{\omega }^2\cos (\omega t){\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique PC 2025, Q32

   Le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_h est supposé galiléen par l'énoncé.

   Le référentiel \mathcal{R}' a pour origine le centre S du Soleil (fixe dans \mathcal{R}_h), mais ses axes tournent par rapport à \mathcal{R}_h autour de l'axe (S,\vec{u}_z) avec un vecteur rotation non nul :

   \vec{\Omega}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}_h} = \Omega\,\vec{u}_z \neq \vec{0}

   Un référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen n'est pas en translation rectiligne uniforme par rapport à celui-ci. Il subit des accélérations d'entraînement et de Coriolis non nulles.

   Par conséquent, le référentiel \mathcal{R}' n'est pas galiléen.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique PC 2025, Q33

    Le référentiel d'étude est le référentiel d'entraînement \mathcal{R}', en rotation uniforme de vitesse angulaire \vec{\Omega} = \Omega\,\vec{u}_z par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}_h. Son origine S est fixe dans \mathcal{R}_h.

    La sonde P étant située entre S et J sur l'axe (S,\vec{u}_{x'}), on a :

    \overrightarrow{SP} = (d-r)\,\vec{u}_{x'} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{JP} = -r\,\vec{u}_{x'}.

    Les forces s'exerçant sur la sonde P sont :

    1. La force gravitationnelle exercée par le Soleil (attractive vers S) :

       \boxed{\vec{F}_{S \to P} = -\frac{\mathcal{G} M_S m}{(d-r)^2}\,\vec{u}_{x'}}

    2. La force gravitationnelle exercée par Jupiter (attractive vers J) :

       \boxed{\vec{F}_{J \to P} = \frac{\mathcal{G} M_J m}{r^2}\,\vec{u}_{x'}}

    3. La force d'inertie d'entraînement (force centrifuge liée à la rotation de \mathcal{R}' autour de (S,\vec{u}_z)) :

       \vec{F}_{ie} = -m\,\vec{a}_e(P) = -m\,\vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{SP}) = m\,\Omega^2\,\overrightarrow{SP}

       soit :

       \boxed{\vec{F}_{ie} = m\,\Omega^2 (d-r)\,\vec{u}_{x'}}

    4. La force d'inertie de Coriolis : À l'équilibre dans le référentiel \mathcal{R}', la vitesse relative de la sonde est nulle (\vec{v}' = \vec{0}), d'où :

       \boxed{\vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega} \wedge \vec{v}' = \vec{0}}

    Résultat

    $${\vec{F}}_{S\to P}=-\frac{\mathcal{G}{M}_{S}m}{(d-r{)}^2}{\vec{u}}_{x^{\prime }}$$

    $${\vec{F}}_{J\to P}=\frac{\mathcal{G}{M}_{J}m}{r^2}{\vec{u}}_{x^{\prime }}$$

    $${\vec{F}}_{ie}=m{\Omega }^2(d-r){\vec{u}}_{x^{\prime }}$$

    $${\vec{F}}_{ic}=-2m\vec{\Omega }\wedge {\vec{v}}^{\prime }=\vec{0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question