Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PC 2022

Dans l'expression de la force de frottement visqueux \vec{f} = -\lambda \vec{v}, le coefficient \lambda représente le coefficient de frottement fluide (ou coefficient d'amortissement visqueux).

Pour déterminer son unité dans le Système International (SI), on effectue une analyse dimensionnelle :

L'unité de \lambda dans le Système International est donc le kilogramme par seconde :

On étudie la masse m, assimilée à son centre d'inertie G, dans le référentiel \mathcal{R}' lié au boîtier. Le sol étant immobile par hypothèse, le boîtier l'est également par rapport au référentiel du laboratoire \mathcal{R} supposé galiléen : le référentiel \mathcal{R}' est donc galiléen.

À l'équilibre, la vitesse de la masse est nulle (\vec{v} = \vec{0}), de sorte que la force de frottement visqueux s'annule : \vec{f} = \vec{0}. Les forces s'exerçant sur la masse sont :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_{z'} ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F}_{\text{él}} = -k(\ell_1 - \ell_0)\,\vec{u}_{z'}.

La seconde loi de Newton appliquée à la masse à l'équilibre s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical orienté vers le bas par le vecteur unitaire \vec{u}_{z'}, on obtient :

D'où l'expression de la longueur à l'équilibre \ell_1 :

Dans un référentiel non galiléen \mathcal{R}', les forces d'inertie à prendre en compte s'écrivent de façon générale :

• La force d'inertie d'entraînement :

  \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e(G)

  où \vec{a}_e(G) désigne l'accélération d'entraînement du point G.

• La force d'inertie de Coriolis :

  \vec{F}_{ic} = -2m\,\vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) \wedge \vec{v}_r(G)

  où \vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) est le vecteur rotation instantanée de \mathcal{R}' par rapport à \mathcal{R}, et \vec{v}_r(G) la vitesse relative de G dans \mathcal{R}'.

Dans le cas du sismographe étudié :

• Le boîtier \mathcal{R}' est en translation rectiligne par rapport au référentiel du laboratoire \mathcal{R}, donc :

  \vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) = \vec{0}

  Il en résulte que la force d'inertie de Coriolis est identiquement nulle :

  \boxed{\vec{F}_{ic} = \vec{0}}

• Le mouvement de translation étant commun à tous les points du boîtier, l'accélération d'entraînement est uniforme dans tout l'espace et égale à l'accélération absolue de translation du sol (et donc du boîtier) :

  \vec{a}_e(G) = \vec{a}(O'/\mathcal{R}) = \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z

  Par conséquent, la force d'inertie d'entraînement s'écrit :

  \boxed{\vec{F}_{ie} = -m\,\ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z}

On étudie la masse m (centre d'inertie G) dans le référentiel \mathcal{R}' lié au boîtier, muni de l'axe vertical (O'z') orienté vers le bas par le vecteur unitaire \vec{u}_{z'}. Ce référentiel est en translation rectiligne accélérée par rapport au référentiel galiléen \mathcal{R}.

Le bilan des actions mécaniques s'exerçant sur la masse m dans \mathcal{R}' comprend :

• Le poids :

  \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_{z'} \quad (\text{vertical, orienté vers le bas})

• La force de rappel élastique du ressort : L'extrémité supérieure étant fixe dans le boîtier et située au-dessus de G, un allongement positif (\ell - \ell_0 > 0) entraîne une traction vers le haut :

  \vec{F}_{\text{él}} = -k(\ell - \ell_0)\,\vec{u}_{z'} \quad (\text{orientée vers le haut})

• La force de frottement visqueux : Avec une vitesse relative dirigée vers le bas (v' > 0), la force fluide s'oppose au déplacement :

  \vec{f} = -\lambda \vec{v}' = -\lambda v'\,\vec{u}_{z'} \quad (\text{orientée vers le haut})

• La force d'inertie d'entraînement : L'accélération d'entraînement étant positive (a_e > 0, avec \vec{a}_e = a_e \vec{u}_{z'}) :

  \vec{F}_{ie} = -m\vec{a}_e = -m a_e\,\vec{u}_{z'} \quad (\text{orientée vers le haut})

• La force d'inertie de Coriolis : Le référentiel \mathcal{R}' étant en translation par rapport à \mathcal{R}, son vecteur rotation est nul, d'où :

  \vec{F}_{ic} = \vec{0}

On étudie la masse m dans le référentiel non galiléen \mathcal{R}' lié au boîtier, muni de l'axe vertical (O'z') descendant de vecteur unitaire \vec{u}_z.

Le bilan des forces appliquées à la masse m dans \mathcal{R}' comprend :

• le poids : \vec{P} = m g\,\vec{u}_z ;

• la force de rappel du ressort : la longueur du ressort s'exprime par \ell = \ell_1 + z'_G, où \ell_1 = \ell_0 + \frac{mg}{k} est la longueur à l'équilibre (d'après Q2). Ainsi :

  \vec{T} = -k(\ell - \ell_0)\,\vec{u}_z = -k\left(\frac{mg}{k} + z'_G\right)\vec{u}_z = -(mg + k z'_G)\,\vec{u}_z

• la force de frottement fluide visqueux :

  \vec{f} = -\lambda \vec{v}' = -\lambda \frac{\mathrm{d}z'_G}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z
• la force d'inertie de Coriolis, nulle car le boîtier est en translation pure (\vec{\Omega}(\mathcal{R}'/\mathcal{R}) = \vec{0}) : \vec{F}_{ic} = \vec{0} ;

• la force d'inertie d'entraînement liée à l'accélération du sol \vec{a}_e = \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z :

  \vec{F}_{ie} = -m \ddot{z}_s(t)\,\vec{u}_z

Le mouvement du sol étant z_s(t) = E_m \cos(\omega t + \phi), son accélération s'écrit :

d'où :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m dans \mathcal{R}' :

En projetant sur l'axe vertical descendant \vec{u}_z, il vient :

soit, en regroupant les termes :

D'après l'équation différentielle du mouvement obtenue à la question Q5 :

En divisant par la masse m, on obtient la forme canonique de l'oscillateur harmonique amorti :

Par identification directe avec la relation proposée :

On identifie ainsi les grandeurs caractéristiques de l'oscillateur :

• \omega_0 est la pulsation propre (ou pulsation de résonance non amortie) :

  \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}}

• Q est le facteur de qualité (sans dimension) :

  \boxed{Q = \frac{\sqrt{km}}{\lambda}}

L'équation différentielle établie à la question précédente (Q6) s'écrit :

Dans le cas idéal où le facteur de qualité tend vers l'infini (Q \to +\infty), le terme d'amortissement s'annule :

L'équation différentielle régissant le mouvement devient alors :

D'après la question Q7, l'équation différentielle régissant le mouvement en l'absence d'amortissement (Q \to +\infty) s'écrit :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, on introduit les grandeurs complexes associées :

La dérivation par rapport au temps se traduit par la multiplication par j\omega. L'équation différentielle devient :

On en déduit l'amplitude complexe :

L'amplitude réelle Z_m s'obtient en prenant le module :

En introduisant la pulsation réduite u = \dfrac{\omega}{\omega_0}, cette expression se met sous la forme :

D'après la question Q8, l'amplitude Z_m en fonction de la pulsation réduite u = \frac{\omega}{\omega_0} s'écrit :

Distinguons les deux intervalles de définition :

• Comportement en u = 0 :

  Z_m(0) = 0

  Au voisinage de 0, Z_m(u) \sim E_m u^2, ce qui correspond à un départ avec une tangente horizontale à l'origine.

• Sur l'intervalle [0, 1[ :

  Z_m(u) = E_m \frac{u^2}{1 - u^2}

  La dérivée par rapport à u vaut :

  \frac{\mathrm{d}Z_m}{\mathrm{d}u} = E_m \frac{2u(1 - u^2) - u^2(-2u)}{(1 - u^2)^2} = \frac{2 E_m u}{(1 - u^2)^2} > 0 \quad \text{pour } u \in ]0, 1[

  La fonction est donc strictement croissante sur [0, 1[.

• Comportement au voisinage de u = 1 : Le dénominateur s'annule en u = 1, d'où :

  \lim_{u \to 1^-} Z_m(u) = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{u \to 1^+} Z_m(u) = +\infty

  La courbe présente une asymptote verticale d'équation u = 1.

• Sur l'intervalle ]1, +\infty[ :

  Z_m(u) = E_m \frac{u^2}{u^2 - 1} = \frac{E_m}{1 - \frac{1}{u^2}}

  La dérivée par rapport à u vaut :

  \frac{\mathrm{d}Z_m}{\mathrm{d}u} = -\frac{2 E_m u}{(u^2 - 1)^2} < 0 \quad \text{pour } u > 1

  La fonction est donc strictement décroissante sur ]1, +\infty[.

• Comportement quand u \to +\infty :

  \lim_{u \to +\infty} Z_m(u) = \lim_{u \to +\infty} \frac{E_m}{1 - \frac{1}{u^2}} = E_m

  La courbe présente une asymptote horizontale d'équation Z_m = E_m.

Ces propriétés rendent parfaitement compte de l'allure de la Figure 2.

1. Phénomène pour u = 1 :
   Pour u = 1, c'est-à-dire lorsque la pulsation d'excitation est égale à la pulsation propre du système (\omega = \omega_0), l'amplitude Z_m(u) tend théoriquement vers l'infini. Il s'agit du phénomène de résonance (résonance d'amplitude ou d'élongation).

2. Zone de fonctionnement du sismographe :
   Le sismographe est conçu pour mesurer fidèlement le déplacement du sol z_s(t) = E_m \cos(\omega t + \phi). Dans la zone III (u \gg 1, soit \omega \gg \omega_0), on a :

   Z_m(u) \approx E_m

   L'amplitude mesurée est directement proportionnelle à l'amplitude du sol et indépendante de la fréquence de l'onde sismique :

   \boxed{\text{La zone de fonctionnement du sismographe est la zone III ($u \gg 1$).}}

3. Exemple de la vie courante pour la zone restante :
   La zone restante exploitée pour la mesure est la zone I (u \ll 1, soit \omega \ll \omega_0). Dans cette zone, l'amplitude s'écrit :

   Z_m(u) \approx E_m u^2 = \frac{E_m \omega^2}{\omega_0^2} = \frac{a_m}{\omega_0^2}

   où a_m = E_m \omega^2 est l'amplitude de l'accélération du support. Le capteur fonctionne alors en accéléromètre.
   Des exemples courants d'accéléromètres sont :

   • le capteur de déclenchement des airbags dans une automobile ;
   • l'accéléromètre d'un smartphone (détection d'orientation de l'écran, podomètre).

1. Expression du vecteur tourbillon :

   Le vecteur tourbillon (ou vorticité) est défini par le rotationnel du champ des vitesses :

   \boxed{\vec{\Omega} = \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}}

   Remarque : certains ouvrages et programmes définissent le vecteur tourbillon comme le vecteur rotation instantanée locale, soit \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\,\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}. Les deux conventions diffèrent uniquement d'un facteur 2.

2. Signification qualitative locale :

   Au niveau local, le vecteur tourbillon caractérise la rotation propre d'une particule de fluide sur elle-même (autour de son propre centre de masse) au cours de son mouvement. Plus précisément, la vitesse angulaire de rotation instantanée d'un élément fluide sphérique vaut :

   \vec{\omega}_{\text{rot}} = \frac{1}{2}\,\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}

3. Cas où le vecteur tourbillon est nul :

   Le vecteur tourbillon est nul lorsque la vitesse de rotation propre des particules fluides est nulle :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{0}

   Les particules de fluide subissent alors uniquement une translation et une déformation pure (dilatation et cisaillement), sans rotation sur elles-mêmes.

4. Caractérisation de l'écoulement correspondant :

   Un écoulement pour lequel le vecteur tourbillon est partout nul est qualifié d'écoulement irrotationnel. Dans un domaine simplement connexe, le champ de vitesse dérive alors d'un potentiel scalaire des vitesses \varphi tel que \vec{v} = \vec{\mathrm{grad}}\,\varphi ; on parle alors également d'écoulement potentiel.

1. Écoulement parfait :
   Un écoulement est dit parfait si les forces de viscosité (frottements internes et dissipation visqueuse) sont négligeables par rapport aux forces d'inertie et de pression (\eta \to 0). Dans ce cadre, les contraintes tangentielles (de cisaillement) sont nulles, et les forces de contact surfaciques au sein du fluide ou sur les parois sont purement normales (forces de pression).

2. Écoulement homogène et incompressible :

   • Homogène signifie que la composition et les propriétés thermodynamiques du fluide, notamment sa masse volumique \mu, sont uniformes dans tout le domaine considéré à un instant donné :

     \vec{\mathrm{grad}}\,\mu = \vec{0}

   • Incompressible (ou isochore) signifie que le volume des particules fluides ne varie pas au cours du mouvement, c'est-à-dire que la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle :

     \frac{\mathrm{D}\mu}{\mathrm{D}t} = \frac{\partial \mu}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\mathrm{grad}})\mu = 0

     L'équation locale de conservation de la masse \frac{\partial \mu}{\partial t} + \mathrm{div}(\mu\vec{v}) = 0 implique alors que le champ de vitesse est à divergence nulle :

     \boxed{\mathrm{div}\,\vec{v} = 0}

     Pour un écoulement à la fois homogène et incompressible, la masse volumique \mu est constante dans tout le fluide et à tout instant (\mu = \text{cte}).

3. Écoulement stationnaire (ou permanent) :
   Un écoulement est dit stationnaire si les grandeurs de champ (description eulérienne), telles que le champ de vitesse \vec{v}(\vec{r},t) et le champ de pression P(\vec{r},t), ne dépendent pas explicitement du temps t :

   \boxed{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \frac{\partial P}{\partial t} = 0}

Une ligne de courant est, à un instant t fixé, une courbe de l'espace tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse \vec{v} de l'écoulement. L'équation différentielle définissant une ligne de courant s'écrit :

Dans le modèle adopté pour la tornade, le champ de vitesse s'exprime en coordonnées cylindriques par :

Le vecteur déplacement élémentaire le long d'une ligne de courant s'écrit \mathrm{d}\vec{M} = \mathrm{d}r\,\vec{e}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta + \mathrm{d}z\,\vec{e}_z. La condition de colinéarité avec \vec{v} impose :

soit immédiatement :

Elles sont parcourues dans le sens orthoradial \vec{e}_\theta (sens trigonométrique si v_\theta > 0).

Le champ de vitesse est purement orthoradial et ne dépend que de la coordonnée radiale : \vec{v} = v_\theta(r)\vec{e}_\theta. En utilisant la composante selon \vec{e}_z du rotationnel donnée dans le préambule :

Selon la définition retenue pour le vecteur tourbillon (au sens de la vorticité \vec{\Omega} = \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} ou de la vitesse de rotation locale \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}), nous menons le calcul avec \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{\Omega} (et nous donnons également le résultat correspondant à la convention \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}).

1. Dans le cœur du vortex (0 \leqslant r \leqslant R) :

où C_1 est une constante d'intégration. La vitesse v_\theta(r) étant finie en r = 0 avec v_\theta(0) = 0, la constante C_1 est nécessairement nulle :

Remarque : Avec la convention du programme \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}, on obtiendrait directement v_\theta(r) = \Omega_0 r.

2. À l'extérieur du vortex (r > R) : L'écoulement y est irrotationnel, soit \vec{\Omega} = \vec{0} :

où C_2 est une constante. Cette expression vérifie bien \lim_{r\to+\infty} v_\theta(r) = 0.

3. Continuité en r = R : La vitesse étant continue en r = R :

On en déduit les expressions de la vitesse dans les deux domaines (modèle du vortex de Rankine) :

Si l'on adopte la convention \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}, ces expressions deviennent :

1. Représentation graphique de v_\theta(r)

D'après le résultat de la question Q14, le profil de vitesse v_\theta(r) présente deux régimes :

• pour 0 \leqslant r \leqslant R : une croissance linéaire v_\theta(r) \propto r, caractéristique d'une rotation en bloc solide à vitesse angulaire constante ;
• pour r \geqslant R : une décroissance hyperbolique v_\theta(r) \propto \frac{1}{r}, caractéristique d'un écoulement irrotationnel ;
• la continuité de la vitesse impose un raccordement en r = R, où la vitesse atteint sa valeur maximale notée v_{\max} = v_\theta(R).

2. Analogie magnétique

Comparons les équations locales de l'écoulement avec celles de la magnétostatique :

• L'incompressibilité du fluide se traduit par \operatorname{div}\vec{v} = 0, formellement identique à la conservation du flux magnétique \operatorname{div}\vec{B} = 0.
• Le rotationnel de la vitesse vérifie \vec{\operatorname{rot}}\vec{v} = \vec{\omega} (où \vec{\omega} = \vec{\operatorname{rot}}\vec{v} est non nul pour r \leqslant R et nul pour r > R), ce qui est analogue au théorème d'Ampère local \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}.

On en déduit l'analogie suivante :

Le vortex de Rankine est ainsi formellement analogue au champ magnétique \vec{B} = B_\theta(r)\vec{e}_\theta créé par un conducteur cylindrique rectiligne infini de rayon R, d'axe (Oz), parcouru par une densité volumique de courant uniforme \vec{\jmath} = j_0 \vec{e}_z :

• à l'intérieur (r \leqslant R) : B_\theta(r) = \dfrac{\mu_0 j_0}{2} r ;
• à l'extérieur (r > R) : B_\theta(r) = \dfrac{\mu_0 j_0 R^2}{2r}.

• Nature de l'écoulement pour r > R : D'après l'énoncé, le vecteur tourbillon est nul dans cette région :

  \vec{\Omega} = \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{0}

  L'écoulement est donc irrotationnel (ou à potentiel des vitesses) dans tout le domaine r > R.

• Conséquence pour la relation de Bernoulli et champ d'application : Pour un écoulement parfait, incompressible, homogène et stationnaire, le théorème de Bernoulli s'écrit habituellement le long d'une ligne de courant donnée (les forces de pesanteur étant négligées) :

  P + \frac{1}{2}\mu v^2 = \text{cte}

  Puisque l'écoulement est de surcroît irrotationnel pour r > R, la constante est la même sur toutes les lignes de courant :

  \boxed{P + \frac{1}{2}\mu v^2 = \text{cte}\quad \text{dans tout le domaine } r > R}

  Son champ d'application ne se restreint donc pas à une seule ligne de courant : la relation de Bernoulli s'applique globalement entre deux points quelconques du domaine r > R.

D'après la question Q16, l'écoulement étant stationnaire, parfait, incompressible, homogène, irrotationnel dans le domaine r > R et les effets de la pesanteur étant négligés, la relation de Bernoulli s'applique entre deux points quelconques de ce domaine :

où v(r) = v_\theta(r) puisque la vitesse est purement orthoradiale.

En prenant la limite lorsque r \to +\infty :

ce qui fixe la constante :

On en déduit l'expression du profil de pression :

En utilisant l'expression du champ de vitesse établie à la question Q14 :

• Si l'on a retenu la définition conventionnelle \vec{\Omega} = \vec{\operatorname{rot}}\vec{v}, avec v_\theta(r) = \dfrac{\Omega_0 R^2}{2r} :

  \boxed{P(r) = P_a - \frac{\mu \Omega_0^2 R^4}{8\,r^2}}

• Si l'on a retenu la définition \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\vec{\operatorname{rot}}\vec{v}, avec v_\theta(r) = \dfrac{\Omega_0 R^2}{r} :

  \boxed{P(r) = P_a - \frac{\mu \Omega_0^2 R^4}{2\,r^2}}

1. Nature de l'écoulement pour 0 \leqslant r \leqslant R

Dans le cœur du vortex (0 \leqslant r \leqslant R), le vecteur tourbillon est non nul :

L'écoulement est donc rotationnel (ou tourbillonnaire). Comme la vitesse est proportionnelle au rayon (v_\theta \propto r), le fluide s'y comporte comme un solide indéformable en rotation uniforme autour de l'axe (Oz) (mouvement de « rotation en bloc »).

2. Conséquence pour la relation de Bernoulli

L'écoulement n'étant pas irrotationnel, la quantité P + \frac{1}{2}\mu v^2 n'est plus uniforme dans tout le domaine. La relation de Bernoulli est uniquement valable le long d'une même ligne de courant :

où la constante C dépend a priori de la ligne de courant considérée.

3. Inutilité de cette relation pour déterminer P(r)

D'après la question Q13, les lignes de courant sont des cercles d'axe (Oz) situés dans des plans z = \text{cte}, c'est-à-dire définis par r = \text{cte}.

Sur une ligne de courant donnée, le rayon r est constant, donc la vitesse v_\theta(r) et la pression P(r) y sont déjà intrinsèquement constantes par symétrie de révolution. La relation de Bernoulli s'écrit donc :

Puisque la constante C(r) varie d'une ligne de courant à l'autre (c'est-à-dire en fonction de r) et demeure inconnue, cette relation ne permet pas de relier la pression entre des points situés à des rayons différents. Elle ne renseigne donc en rien sur le profil radial P(r).

4. Champ d'application de la relation de Bernoulli dans ce cas

Dans cette situation, la relation de Bernoulli s'applique :

• à un fluide parfait (effets visqueux négligés) ;
• homogène et incompressible (\mu = \text{cte}) ;
• en écoulement stationnaire (\partial/\partial t = 0) ;
• les forces volumiques étant ici négligées (pesanteur négligée) ;
• strictement le long d'une même ligne de courant.

L'écoulement d'air étant parfait, homogène, incompressible, stationnaire et en l'absence de pesanteur (\vec{g} = \vec{0}), l'équation d'Euler s'écrit :

En coordonnées cylindriques, le champ de vitesse est orthoradial et circulaire : \vec{v} = v_\theta(r)\,\vec{e}_\theta. L'accélération convective est purement centripète :

Remarque : On retrouve ce résultat à l'aide de la formule fournie dans l'énoncé :

Par symétrie, la pression ne dépend que de r, d'où \vec{\nabla} P = \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}\,\vec{e}_r. La projection de l'équation d'Euler sur l'axe radial \vec{e}_r donne :

Pour 0 \leqslant r \leqslant R, le fluide est en rotation en bloc : v_\theta(r) = \frac{\Omega_0}{2}\,r (avec la définition \vec{\Omega} = \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}). L'équation différentielle devient :

En intégrant entre r et R :

D'après l'expression de la pression obtenue à la question Q17 pour le domaine extérieur r > R, et par continuité de la pression à la traversée de la surface r = R :

On en déduit l'expression de la pression pour 0 \leqslant r \leqslant R :

Remarque : Si l'on a adopté la convention \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\,\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} (où v_\theta(r) = \Omega_0 r), l'expression prend la forme équivalente :

Exprimée directement en fonction de la vitesse v_\theta(R) au bord du cœur, la pression s'écrit de manière univoque :

1. Expressions de la dépression P(r) - P_a

En utilisant les résultats des questions Q17 et Q19 avec la définition \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v} = \vec{\Omega} = \Omega_0\vec{e}_z :

• Pour r \geqslant R :

  \boxed{P(r) - P_a = -\frac{\mu \Omega_0^2 R^4}{8r^2}}

• Pour 0 \leqslant r \leqslant R :

  \boxed{P(r) - P_a = -\frac{\mu \Omega_0^2}{8}\left(2R^2 - r^2\right)}

Remarque : avec la convention \vec{\Omega} = \frac{1}{2}\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{v}, le préfacteur \frac{1}{8} devient \frac{1}{2}.

2. Valeur de r pour laquelle |P(r) - P_a| est maximale

La grandeur P(r) - P_a est négative pour tout r, de sorte que :

• Pour r \geqslant R, |P(r) - P_a| = \frac{\mu \Omega_0^2 R^4}{8r^2} est une fonction strictement décroissante de r, maximale en r = R où elle vaut \frac{\mu \Omega_0^2 R^2}{8}.
• Pour 0 \leqslant r \leqslant R, |P(r) - P_a| = \frac{\mu \Omega_0^2}{8}\left(2R^2 - r^2\right) est une fonction strictement décroissante de r, maximale en r = 0.

La dépression est donc maximale en valeur absolue au centre du vortex :

3. Commentaires

• Cohérence avec les observations : Le cœur du vortex (r = 0) constitue une zone de forte dépression, ce qui corrobore parfaitement la mention « Basses pressions (au centre) » de la figure 3.
• Effet d'aspiration : Ce gradient radial de pression \frac{\partial P}{\partial r} > 0 accélère radialement les masses d'air et les débris vers l'axe avant qu'ils ne soient entraînés dans le violent courant ascendant.
• Pouvoir destructeur : Le passage de l'œil de la tornade sur une habitation fermée crée une brutale différence de pression entre l'intérieur (à pression atmosphérique P_a) et l'extérieur (à P(0) < P_a), susceptible de souffler toitures et cloisons vers l'extérieur.
• Formation du tuba : La détente adiabatique subie par l'air convergeant vers les basses pressions entraîne un refroidissement et la condensation de la vapeur d'eau, rendant ainsi le cône visible.